2022年甘肅省武威高考?jí)狠S卷數(shù)學(xué)試卷含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷

請(qǐng)考生注意：

1.請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答

案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。

2.答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.如圖所示是某年第一季度五省GDP情況圖，則下列說法中不正確的是()

與

12去

10年

8同

6期

相

比

增

長(zhǎng)

率

(

O*

遼寧)

「?。主所?即B型竺包

A.該年第一季度GDP增速由高到低排位第3的是山東省

B.與去年同期相比，該年第一季度的GDP總量實(shí)現(xiàn)了增長(zhǎng)

C.該年第一季度GDP總量和增速由高到低排位均居同一位的省份有2個(gè)

D.去年同期浙江省的GDP總量超過了4500億元

2.已知函數(shù)“X)的導(dǎo)函數(shù)為尸(x),記=(%)=/'(%)，人(x)=/(x)，…，力+i(x)=4(x)(”eN*).若

/(x)=xsinx,則人oi9(x)+力02i(x)=()

A.-2cosxB.-2sinxC.2cosxD.2sinx

x>y,

3.已知實(shí)數(shù)x，y滿足x+y-lWO,則Z=x+2y的最大值為()

3

A.2B.-C.1D.0

2

4.在正方體AG中，E是棱CG的中點(diǎn)，尸是側(cè)面BCG4內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且A/與平面AAE的垂線垂直，如圖所示,

下列說法不正確的是()

A.點(diǎn)尸的軌跡是一條線段B.A/與5E是異面直線

C.A/與Og不可能平行D.三棱錐尸-ABA的體積為定值

5.設(shè)加，”是兩條不同的直線，a,夕是兩個(gè)不同的平面，下列命題中正確的是（）

A.若mua,〃u￡,則

B.若?！??,mua,nu/3,貝!)加〃〃

C.若mua,nu/3,則

D.若〃?J_a,mlIn,nil(3,則a_L/?

2r_1r>0(1A

6.已知/(x)={""，則//log2-=()

-x,x<0Lv3J_

22

A.2B?一C.一一D.3

33

7.設(shè)。=log23,b=log46,c=54l則()

A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>hD.c>b>a

8.在AABC中，|通+不。=|而—H。，AB=4,AC=3,則初在前方向上的投影是()

A.4B.3C.-4D.-3

9.AABC中，BC=2>/5，。為5c的中點(diǎn)，ZBAD=^,AD=1,則AC=()

A.26B.272C.6-V5D.2

10.已知集合"={x|-2<x<6},N-[x\-3<x<log235},則Mp|N=()

A.{x|-2<x<log235}B.{x|-3<x<log235)

C.{x|-3<x<6}D.{x|log235<x<6}

11.已知函數(shù)/（x）=W^+2O18tanx+x2（加〉0,〃件1）,若〃1）=3,則/（一1）等于（）

A.-3B.-1C.3D.0

12.若直線二不平行于平面二，且二u二，則（）

A.二內(nèi)所有直線與二異面

B.二內(nèi)只存在有限條直線與二共面

C.-內(nèi)存在唯一的直線與-平行

D.二內(nèi)存在無數(shù)條直線與二相交

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

a1

13.已知函數(shù)/（x）=—/+x+a,xe,e］與g（x）=3服一x-1的圖象上存在關(guān)于％軸對(duì)稱的點(diǎn)，則。的取值范圍為

x2-2ar+9,x<1,

14.已知函數(shù)八>）={4，若/（X）的最小值為/（I），則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是_________

x+—+a,x>1,

、x

15.已知雙曲線，=l（a>0,b>0）的一條漸近線方程為x-2y=0,則該雙曲線的離心率為

b2

16.（5分）已知x為實(shí)數(shù)，向量。=（2,-I）,力=（1,幻，且。則|2。+力|=

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）已知函數(shù)/（工）=（0￥2一（。一［）*一］11%（。67?,4聲0）

（1）求函數(shù)/（X）的單調(diào)遞增區(qū)間

（2）記函數(shù)y=F（x）的圖象為曲線C,設(shè)點(diǎn)A（%，x）,B（X2，y2）是曲線c上不同兩點(diǎn)，如果在曲線C上存在點(diǎn)

使得①天=歸旦；②曲線C在點(diǎn)M處的切線平行于直線48,則稱函數(shù)存在“中值和諧切線”，當(dāng)。=2

時(shí)，函數(shù)f（x）是否存在“中值和諧切線”請(qǐng)說明理由

18.（12分）如圖1,已知四邊形8CDE為直角梯形，NB=90，BEUCD,且8￡=2。0=23。=2,A為8E

的中點(diǎn)?將△￡/%沿AO折到&PD4位置（如圖2）,連結(jié)PC,08構(gòu)成一個(gè)四棱錐P—ABCZ）.

(I)求證45_Lm；

(II)若平面ABCD.

①求二面角8-PC-。的大小;

②在棱PC上存在點(diǎn)M,滿足加=4斤（0WXW1）,使得直線AM與平面PBC所成的角為45。，求/I的值.

丫22J

19.（12分）己知點(diǎn)E，尸分別是橢圓C：r+==1（.>。>0）的上頂點(diǎn)和左焦點(diǎn)，若與圓.d+y2=彳相切于

礦Zr3

點(diǎn)T,且點(diǎn)T是線段EF靠近點(diǎn)E的三等分點(diǎn).

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)直線/:y=Ax+〃z與橢圓C只有一個(gè)公共點(diǎn)p,且點(diǎn)P在第二象限，過坐標(biāo)原點(diǎn)。且與/垂直的直線r與圓

犬+尸=8相交于4，B兩點(diǎn)，求△尸AB面積的取值范圍.

20.(12分)某景點(diǎn)上山共有999級(jí)臺(tái)階，寓意長(zhǎng)長(zhǎng)久久.甲上臺(tái)階時(shí)，可以一步走一個(gè)臺(tái)階，也可以一步走兩個(gè)臺(tái)階，

12

若甲每步上一個(gè)臺(tái)階的概率為彳，每步上兩個(gè)臺(tái)階的概率為一.為了簡(jiǎn)便描述問題，我們約定，甲從0級(jí)臺(tái)階開始向

上走，一步走一個(gè)臺(tái)階記1分，一步走兩個(gè)臺(tái)階記2分，記甲登上第"個(gè)臺(tái)階的概率為q,其中〃eN,且〃4998.

(1)若甲走3步時(shí)所得分?jǐn)?shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(2)證明：數(shù)列代用-匕｝是等比數(shù)列；

(3)求甲在登山過程中，恰好登上第99級(jí)臺(tái)階的概率.

21.(12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：一一的右準(zhǔn)線方程為x=2,且兩焦點(diǎn)與短軸的一

1+不=?匚>口>0)

個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成等腰直角三角形.

(1)求橢圓C的方程；

(2)假設(shè)直線/：二=二二+二與橢圓C交于A,B兩點(diǎn).①若A為橢圓的上頂點(diǎn)，M為線段AB中點(diǎn)，連接OM并

延長(zhǎng)交橢圓C于N,并且___，求OB的長(zhǎng)；②若原點(diǎn)O到直線/的距離為I,并且石;麗=-，當(dāng)t

ON=^OM-<E<；

時(shí)，求△OAB的面積S的范圍.

22.(10分)設(shè)函數(shù)/(x)=|x+a],a>0.

(I)當(dāng)a=2時(shí)，求不等式/(x)<f的解集；

(II)若函數(shù)g(x)=/(x)+/(l-x)的圖象與直線y=11所圍成的四邊形面積大于20,求"的取值范圍.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.D

【解析】

根據(jù)折線圖、柱形圖的性質(zhì)，對(duì)選項(xiàng)逐一判斷即可.

【詳解】

由折線圖可知A、B項(xiàng)均正確，該年第一季度GDP總量和增速由高到低排位均居同一位的

省份有江蘇均第一.河南均第四.共2個(gè).故C項(xiàng)正確；4632.1+(1+3.3%)r4484<4500.

故D項(xiàng)不正確.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查折線圖、柱形圖的識(shí)別，考查學(xué)生的閱讀能力、數(shù)據(jù)處理能力，屬于中檔題.

2.D

【解析】

通過計(jì)算工(x)"(x)/(x)/(x)/(x),可得九一3(x)，以一2(同，九T(X)/?(X)，最后計(jì)算可得結(jié)果.

【詳解】

由題可知：/(x)=xsinx

所以/；(%)=5m%+%85工,力(%)=2851一心111%

/3(-^)=-3sinx—xcosx,/4(x)=-4cosx+xsinx

f5(x)=5sinx+xcosx,…

所以猜想可知：f4k_3(x)=(4Z:-3)sinx+xcosx

f4k_2(x)=(4左-2)cosx—xsinx

九t(x)=—(4k—l)sinx—xcosx

于4k(^)=cosx+xsinx

由2019=4x505-1,2021=4x506—3

所以/o[9(x)=-2019sinx-xcosx

^02i(-^)=2021sinx+xcosx

所以力019(%)+&02i(%)=2sinx

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算以及不完全歸納法的應(yīng)用，選擇題、填空題可以使用取特殊值，歸納猜想等方法的使用，屬中檔

題.

3.B

【解析】

作出可行域，平移目標(biāo)直線即可求解.

【詳解】

解：作出可行域：

y\

由圖形知，y=-1x+Lz經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，其截距最大，此z時(shí)最大

22

123

222

故選：B

【點(diǎn)睛】

考查線性規(guī)劃，是基礎(chǔ)題.

4.C

【解析】

分別根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理以及異面直線的定義，體積公式分別進(jìn)行判斷.

【詳解】

對(duì)于A,設(shè)平面AQE與直線8c交于點(diǎn)G,連接4G、EG,則G為的中點(diǎn)

分別取用8、4G的中點(diǎn)“、N,連接AM、MN、AN,

QAM//RE,AWU平面。|AE，REu平面。1AE,

.?.4加//平面。14七.同理可得MN//平面AAE,

??,AM、MN是平面內(nèi)的相交直線

二平面AMN//平面RAE,由此結(jié)合4尸//平面。|AE,可得直線4尸u平面A^V,

即點(diǎn)尸是線段MN上上的動(dòng)點(diǎn).」.A正確.

對(duì)于B,?.?平面AMN//平面2AE,跳和平面2AE相交，

尸與巫是異面直線，,8正確.

對(duì)于C,由A知，平面4MV//平面

尸與"E不可能平行，；.c錯(cuò)誤.

對(duì)于。，因?yàn)镸N//EG,則尸到平面的距離是定值，三棱錐尸-ARE的體積為定值，所以。正確；

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了正方形的性質(zhì)、空間位置關(guān)系、空間角、簡(jiǎn)易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.

5.D

【解析】

試題分析：〃||P，，a-L力，故選D.

考點(diǎn)：點(diǎn)線面的位置關(guān)系.

6.A

【解析】

利用分段函數(shù)的性質(zhì)逐步求解即可得答案.

【詳解】

log2g<°，/(log21)=-log?!=log23>0；

???/[./(log2^)]=/(log23)=3-l=2；

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了函數(shù)值的求法，考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)注意函數(shù)性質(zhì)的合理應(yīng)用.

7.A

【解析】

先利用換底公式將對(duì)數(shù)都化為以2為底,利用對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性可比較“力，再由中間值1可得三者的大小關(guān)系.

【詳解】

a=log,3G(1,2),b=log46=log,V6e(1,log23),c=5'"e(0,l),因此a>b>c,故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了利用對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小,屬于基礎(chǔ)題.

8.D

【解析】

分析：根據(jù)平面向量的數(shù)量積可得而，衣，再結(jié)合圖形求出與心與場(chǎng)方向上的投影即可.

詳解：如圖所示：

-,?|AB+AC|=|AB-AC|

ABAC=Q>

AB±AC>

又AB=4,AC=3,

r.在m方向上的投影是：忸cosBC,CA=|BC|cos(^-ZACB)=-|BC|cosZACB=-3,

故選D.

點(diǎn)睛：本題考查了平面向量的數(shù)量積以及投影的應(yīng)用問題，也考查了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用問題.

9.D

【解析】

在中，由正弦定理得sin8=亞；進(jìn)而得cosNAOC=cos(^+=,在AADC中，由余弦定理可得

1014J5

AC.

【詳解】

ADBDr—'「

在AARD中，由正弦定理得sin8=.乃，得sinB=Y1?，又BD>AD，所以3為銳角，所以COSB=M1，

sm%1010

/.cosZADC=cosf—+81=,

14J5

在AAOC中，由余弦定理可得AC?=4)2+。。2一2AD.OCC0SNADCM4，

.?.AC=2.

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了正余弦定理的應(yīng)用，考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力.

10.A

【解析】

根據(jù)對(duì)數(shù)性質(zhì)可知5<log,35<6,再根據(jù)集合的交集運(yùn)算即可求解.

【詳解】

v5<log235<6,

集合M={x|-2<x<6},

二由交集運(yùn)算可得Mr>N={x\-2<x<log235}.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查由對(duì)數(shù)的性質(zhì)比較大小，集合交集的簡(jiǎn)單運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

11.D

【解析】

分析：因?yàn)轭}設(shè)中給出了/(1)的值，要求/(一1)的值，故應(yīng)考慮了(力,/(-力兩者之間滿足的關(guān)系.

Tx1

詳解：由題設(shè)有f(-x)=n-----2018tanx+x2=-------2018tanx+x2，

mx+1W4-1

故有+-X)=1+2》2,所以/。)+/(一1)=3,

從而/(一1)=0,故選D.

點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)的表示方法，解題時(shí)注意根據(jù)問題的條件和求解的結(jié)論之間的關(guān)系去尋找函數(shù)的解析式要滿

足的關(guān)系.

12.D

【解析】

通過條件判斷直線二與平面二相交，于是可以判斷ABCD的正誤.

【詳解】

根據(jù)直線二不平行于平面二，且二仁二可知直線二與平面二相交，于是ABC錯(cuò)誤，故選D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查直線與平面的位置關(guān)系，直線與直線的位置關(guān)系，難度不大.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.［2,?-2J

【解析】

兩函數(shù)圖象上存在關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的等價(jià)命題是方程-d+x+a=-3歷x+x+1在區(qū)間上⑼上有解，化簡(jiǎn)方程

e

a-l=d-3機(jī)r在區(qū)間d，e］上有解，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，求出單調(diào)區(qū)間，利用函數(shù)性質(zhì)得解.

e

【詳解】

解：根據(jù)題意，若函數(shù)/(xA-f+x+adwxVe)與g(x)=31nx-x-l的圖象上存在關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)，

e

則方程-/+x+〃=-3/nx+x+l在區(qū)間［-⑼上有解,

即方程a-l=x3-3bvc在區(qū)間I-,e］上有解,

設(shè)函數(shù)g(x)=/一3/〃x,其導(dǎo)數(shù)ga)=—2=3d),

XX

又由可得：當(dāng)時(shí)，g'(x)<O,g(x)為減函數(shù),

ee

當(dāng)iWxWe時(shí)，g'(x)>O,g(x)為增函數(shù)，

故函數(shù)g(x)=/一有最小值g⑴=1,

又由gd)=［+3,g(e)=e3—3；比較可得：g(2)<g(e),

ee'e

故函數(shù)8(力=_?-3如有最大值8,)=/一3,

故函數(shù)g(x)=V-3勿%在區(qū)間［：,e］上的值域?yàn)椋?43-3］；

若方程a+1=V一3配v在區(qū)間［Le］上有解，

e

必有1?a-l-3，則有2<a〈e3_2，

即。的取值范圍是［2,/-2］；

故答案為：［243—2］；

【點(diǎn)睛】

本題利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在某區(qū)間上最值求參數(shù)的問題，函數(shù)零點(diǎn)問題的拓展.由于函數(shù)y=/(x)的零點(diǎn)就是方程

/(幻=0的根，在研究方程的有關(guān)問題時(shí)，可以將方程問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題解決.此類問題的切入點(diǎn)是借助函數(shù)的零點(diǎn),

結(jié)合函數(shù)的圖象，采用數(shù)形結(jié)合思想加以解決.

14.a>2

【解析】

x>l,可得在x=2時(shí)，最小值為4+a,

xWl時(shí)，要使得最小值為/⑴，則/(x)對(duì)稱軸x=。在1的右邊，

且/⑴W4+a,求解出a即滿足/(x)最小值為了⑴.

【詳解】

4

當(dāng)X>1,f(x)=x+-+a>4+a,當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)，等號(hào)成立.

當(dāng)xWl時(shí)，/(可=/-2^+9為二次函數(shù)，要想在x=l處取最小，則對(duì)稱軸要滿足

x=a>\

并且/(l)W4+a,即1—2<z+9Wa+4,解得a22.

【點(diǎn)睛】

本題考查分段函數(shù)的最值問題，對(duì)每段函數(shù)先進(jìn)行分類討論，找到每段的最小值，然后再對(duì)兩段函數(shù)的最小值進(jìn)行比

較，得到結(jié)果，題目較綜合，屬于中檔題.

15.B

2

【解析】

根據(jù)題意，由雙曲線的漸近線方程可得2=工，即a=2b,進(jìn)而由雙曲線的幾何性質(zhì)可得，二而壽二后。，由雙

a2

曲線的離心率公式計(jì)算可得答案.

【詳解】

22r

根據(jù)題意，雙曲線三―4=1(“>0,8>0)的漸近線方程為y=±/x,

又由該雙曲線的一條漸近線方程為x-2y=0,即y=；x,

則有一=',BPa=2b9

a2

則。=Ja2+/=^b,

則該雙曲線的離心率6=￡=叵=好；

a2b2

故答案為：且.

2

【點(diǎn)睛】

本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，關(guān)鍵是分析。、5之間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

16.5

【解析】

由。=(2,-1),b=(l,x),且U得al=2-x=0,解得x=2,則—+6=2(2,-1)+(1,2)=(5,0),則

I2a+b|=yj52+O2=5.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（1）見解析（2）不存在，見解析

【解析】

（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論。的范圍求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；

（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義，再令轉(zhuǎn)化為方程有解問題，即可說明.

【詳解】

⑴函數(shù)的定義域?yàn)椋?,+紇），所以r（x）_/（xT）*+a）

X

當(dāng)a＞0時(shí),/,（x）＞0,x＞l；/,（x）＜0,0＜x＜l,

所以函數(shù)/（X）在（L+8）上單調(diào)遞增

當(dāng)"0時(shí),

11（1A

①當(dāng)一一＜1,。＜一1,r（幻＞0,一-＜x＜l時(shí)，函數(shù)在一一,0上遞增

aaya）

②一，=l,a=—1,顯然無增區(qū)間；

a

1

③當(dāng)——＞1,一1＜。＜（）時(shí)，r（x）＞o,i＜x＜一一，函數(shù)在1,一一上遞增,

aa\a）

綜上當(dāng)a＞0,函數(shù)在上單調(diào)遞增.

當(dāng)時(shí)函數(shù)在［-上單調(diào)遞增；

當(dāng)。=-1時(shí)函數(shù)無單調(diào)遞增區(qū)間

當(dāng)一1＜。＜0時(shí)函數(shù)在［1,一,］上單調(diào)遞增

IaJ

（2）假設(shè)函數(shù)存在“中值相依切線”

設(shè)4和弘）,5（々,必）是曲線y=/a）上不同的兩個(gè)點(diǎn)，且。＜當(dāng)＜々

則X=%一再一InX],y=4——Inx2

k-%—X-x-1In%-In%

x2-x,x2-x}

2

曲線在點(diǎn)/(%,%)處的切線的斜率為％=/'(%)=X|+%-1一；二，

1Inx7-InxL.2

x2+Xj-1------=------=%+%-----------

x2-xxxl+x2

2(強(qiáng)一1)

m“2二I"N=2,.m強(qiáng)一=0.

々一玉玉+々西強(qiáng)+]

令，=三，則/★)=—/_也a,〃(r)=?T)：〉0,

玉l+tr(r+l)2

???/i⑴單調(diào)遞增，??/?)＞瓜1)=0,

故〃。)=0無解，假設(shè)不成立

綜上，假設(shè)不成立，所以不存在“中值相依切線”

【點(diǎn)睛】

本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.

2

18.(I)詳見解析；(II)①120。，②4=()或

【解析】

(I)可以通過已知證明出AD_L平面物5,這樣就可以證明出4D_LA5;

(II)①以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以A3,AD,AP為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，可以求出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求

出平面P8C的法向量為“、平面PCO的法向量比，利用空間向量的數(shù)量積，求出二面角8—PC—。的大??；

②求出平面PBC的法向量，利用線面角的公式求出2的值.

【詳解】

證明：（I）在圖1中，?.?AB//CD,AB^CD,

?.NB=90，.-.AD±BE,

當(dāng)△￡/%沿AO折起時(shí)，AD±AB,AD±AE,即ADL45,AD±PA,

又ABcQ4=A,ABu面尸46,PAu面批B；.AD±平面PAB,

又必u平面BiB,J.ADJ_PB.

解：(II)①以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以A8,AD,AP為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由于PA_L平面A3。

則A(0,0,0),5(1,0,0),C(1,L0),P(0,0,1),0(0,1,0)

正=(1,1,-1),前=(0,1,0),DC=(1,0,0),

設(shè)平面P8C的法向量為乃=(x,y,Z),

PC-n=x+y-z=0

則取z=l,得歷=(1,0,1),

BCn=y-0

設(shè)平面PC。的法向量玩=(a,b,c),

in-PC=a+b-c=0

則,取h=l,得比=(0,1,1)，

m-DC=<7=0

設(shè)二面角B-PC-D的大小為0,可知為鈍角，

?\m-n\11

則c°se=一麗=一反雙=一5,'"⑵。.

，二面角8—PC—。的大小為120。.

②設(shè)AM與面P8C所成角為a,

AM=AP+PM=(0,0,l)+/l(l,1,—1)=(A,%,1—X),

平面尸5c的法向量力=(1,0,1),

?.,直線AM與平面P8C所成的角為45,

_|2+1-2|巨

sina=cos

|W|-|H|V2-7/t2+/l2+(l-A)22

2

解得4=()或％.

3

【點(diǎn)睛】本題考查了利用線面垂直證明線線垂直，考查了利用向量數(shù)量積，求二面角的大小以及通過線面角公式

求定比分點(diǎn)問題.

22

；（2）（0,4^-4].

I%嗚+與

【解析】

（1）連接OT,由三角形相似得，OT'ETTF/,進(jìn)而得出6=6,b2=OE2=OT2+ET2=2,寫出橢圓C的

標(biāo)準(zhǔn)方程；

y=kx+m

（2）由y2得，（3公+l）d+6癡X+3m2-6=0,因?yàn)橹本€/:丁=履+根與橢圓C相切于點(diǎn)P,A=0,

---1----=1

62

解得x=F—，y=F-'因?yàn)辄c(diǎn)夕在第二象限，所以2>0,帆>0,所以m;癡匹3,設(shè)直線r與/垂直

3k+13^+1

交于點(diǎn)。，貝!I|PQ|是點(diǎn)p到直線r的距離，設(shè)直線r的方程為丁=一；無，則歸。|=后-夜，求出△PAB面積的取

K

值范圍.

【詳解】

)24

解：(1)連接or,由△EOTSAOFT可得OT2=ETTF=—a-ma=—，

a2=6,b1=OE2^OT2+ET2=2,

22

橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程上+匕=1；

62

y=kx-\-m

⑵由V丁得，+l)x2+6hwc+3m2-6=0,

---1----=1

[62

因?yàn)橹本€/：y=丘+加與橢圓C相切于點(diǎn)P,

所以A=(6切?)2-4(3%2+1乂3〉-6)=12(6公+2-〃?2)=0,即加2+2,

-3kmm

解得x=

3k2+\3二+1

-3kmm

即點(diǎn)。的坐標(biāo)為

3左2+1'3女2+1

因?yàn)辄c(diǎn)P在第二象限，所以Z>0,m>0,

所以=,6攵2+2，

設(shè)直線/'與/垂直交于點(diǎn)Q，則|PQ|是點(diǎn)P到直線I'的距離,

設(shè)直線/'的方程為），=-!1,

_2血我2夜<2/20

一環(huán)武T河-而市=京?3夜’

當(dāng)且僅當(dāng)3公=￡,即％2=4時(shí)，|尸口有最大值而一夜，

所以S?PAB=；X40X|P°K46一4,即APAB面積的取值范圍為伍,46一4].

【點(diǎn)睛】

本題考查直線和橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，利用基本不等式，屬于難題.

20.見解析

【解析】

(1)由題可得X的所有可能取值為3,4,5,6,

I?212

且P(X=3)=(?3=為，P(X=4)=C*X-X(-)2=-,

P(X=5)=C^X(|)2X1=4P(X=6)=(1)3=^-,

JjyJz/

所以X的分布列為

X3456

1248

p

279927

；o4Q

所以X的數(shù)學(xué)期望E(X)=3x句+4x>5x§+6x：5.

122

(2)由題可得所以《+2-七1=一§(￡,「月)，

又耳=；，6=|+/=。所以6-6=>0，

所以｛RM-4｝是以:為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.

(3)由(2)可得%=(%-%)+(48—67)■1-----F(3-用+6

和1-(-鏟］

=-^+

3

2L⑴f,5⑵①、了；②了-；,

：+于=/口口=*嚀,學(xué)v

【解析】

(1)根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)可得到a?,b2；

(2)聯(lián)立直線和橢圓，利用弦長(zhǎng)公式可求得弦長(zhǎng)AB,利用點(diǎn)到直線的距離公式求得原點(diǎn)到直線1的距離，從而可求

得三角形面積，再用單調(diào)性求最值可得值域.

【詳解】

(1)因?yàn)閮山裹c(diǎn)與短軸的一個(gè)頂點(diǎn)的連線構(gòu)成等腰直角三角形，所以--、=-，

又由右準(zhǔn)線方程為-_、，得到一，

J一‘口_'

解得——F——<9所以一：一一：一一二一'

」—?J-Jj~~1

所以，橢圓-的方程為一,

一1+口，=」

⑵①設(shè)二(二二1),而二(0」)，則」+二，

口(二，丁)

因?yàn)辄c(diǎn)二二都在橢圓上，所以

一：,,將下式兩邊同時(shí)乘以一再減去上式，解得,，“

；+一-｝T.T=7

藥3q+二》二j

3~*

所以_________

ln/l/i^>

口」=V」十山=.1

N

②由原點(diǎn)-到直線-的距離為:，得，化簡(jiǎn)得：；+

---|~|_.」十一一一