橢圓的簡單幾何性質(zhì)第一課時高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第一冊

3.1.2橢圓的簡單幾何性質(zhì)（1）焦點在x軸上焦點在y軸上橢圓的定義標(biāo)準(zhǔn)方程焦點坐標(biāo)軌跡a,b,c的關(guān)系復(fù)習(xí)：橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程x2，y2的分母哪個大，焦點就在哪個軸上平面內(nèi)到兩個定點F1、F2的距離之和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點P的軌跡，即|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|)與利用直線的方程、圓的方程研究它們的幾何性質(zhì)一樣，我們利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程研究橢圓的幾何性質(zhì)，包括橢圓的范圍、形狀、大小、對稱性和特殊點等.下面，我們用橢圓方程來研究橢圓的幾何性質(zhì).探究1：橢圓的幾何性質(zhì)xy(以焦點在x軸上的橢圓為例)01范圍02對稱性03形狀用橢圓的方程研究它的性質(zhì)xy橢圓位于直線x=±a和y=±b圍成的矩形框內(nèi).范圍：（幾何直觀）（代數(shù)方法）對稱性：關(guān)于x軸、y軸、原點對稱坐標(biāo)軸是橢圓的對稱軸原點是橢圓的對稱中心,叫做橢圓的中心（幾何直觀）（代數(shù)方法）頂點：橢圓與對稱軸(x軸,y軸)的交點長軸:線段A1A2長軸長:|A1A2|=2a

長半軸長:a短軸:線段B1B2短軸長:|B1B2|=2b

短半軸長:b

焦距:|F1F2|=2c半焦距:c四點法畫橢圓xy圖3.1-10xyO橢圓的離心率：動畫演示思考觀察圖形，我們發(fā)現(xiàn)，不同橢圓的扁平程度不同.扁平程度是橢圓的重要形狀特征，你能用適當(dāng)?shù)牧慷靠坍嫏E圓的扁平程度嗎?如右圖示，橢圓的長半軸長為a,半焦距為c.通過幾何畫板演示發(fā)現(xiàn),保持長半軸長a不變,改變橢圓的半焦距c,可以發(fā)現(xiàn),c越接近a,橢圓越扁平.類似地,保持c不變,改變a的大小,則a越接近c,橢圓越扁平;而當(dāng)a,c擴(kuò)大或縮小相同倍數(shù)時,橢圓的形狀不變.這樣,利用c和a這兩個量,可以刻畫橢圓的扁平程度.離心率就是刻畫橢圓的扁平程度的量.2.性質(zhì)：橢圓的離心率：1.定義:我們把橢圓的焦距與長軸長的比稱為橢圓的離心率,用e表

示,即(1)離心率的取值范圍：0<e<1.①e

越大，c

就越接近a，從而b就越小，橢圓就越扁；②e

越小，c就越接近0，從而b就越大，橢圓就越圓；③特例：e=0，則c=0，則a=b，兩個焦點重合，橢圓變成圓；④e相等，橢圓的扁平程度相同，但大小不一定相等.(2)離心率對橢圓形狀的影響：

問題4:你能運用三角函數(shù)的知識解釋為什么e越大，橢圓越扁平?e越小，橢圓越接近于圓嗎?思考

那么e與a，b的關(guān)系是什么？橢圓的離心率知橢圓方程時可用此式求ee=0(c=0):軌跡為圓Oe=1(c=a):軌跡為線段F1F2e→1，c→a，b→0，橢圓越扁；能刻畫兩個焦點離開中心的程度，蘊含著圓錐曲線幾何特征的同一性.(0<c<a)邊化角教材習(xí)題5.比較下列每組中橢圓的形狀，哪一

個更接近于圓?為什么?教材習(xí)題5.比較下列每組中橢圓的形狀，哪一

個更接近于圓?為什么?例1

求橢圓16x2+25y2=400的長軸和短軸的長、離心率、焦點和頂點的坐標(biāo).解：

變式求橢圓9x2＋16y2＝144的長軸長、短軸長、離心率、焦點坐標(biāo)和頂點坐標(biāo)．1.你能用圓規(guī)作出圖中橢圓焦點的位置嗎?你的依據(jù)是什么?OxyA1A2B1B2F2F1??先定位(焦點),再定量(a、b)A3.求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:4.求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:先定位(焦點),再定量(a、b)1.定義法(含焦點三角形)Axoy

（2）已知橢圓的焦距不小于短軸長，則橢圓離心率的取值范圍為_

______.

例4已知橢圓的左焦點為是兩個頂點,如果F1到直線AB的距離為,求橢圓的離心率e.解1：xF1F2MOyAB??解2：xF1F2MOyAB??橢圓的最大張角