2024屆江蘇省金陵中學(xué)高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末統(tǒng)考試題含解析

2024屆江蘇省金陵中學(xué)高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末統(tǒng)考試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將正確答案涂在答題卡上.）1．若命題“，使得”為真命題，則實數(shù)a的取值范圍是（）A. B.C. D.2．設(shè)非零向量、、滿足，，則向量、的夾角（）A. B.C. D.3．已知函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)與在同一直角坐標系中的圖象是A. B.C. D.4．17世紀，在研究天文學(xué)的過程中，為了簡化大數(shù)運算，蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾發(fā)明了對數(shù)，對數(shù)的思想方法即把乘方和乘法運算分別轉(zhuǎn)化為乘法和加法，數(shù)學(xué)家拉普拉斯稱贊為“對數(shù)的發(fā)明在實效上等于把天文學(xué)家的壽命延長了許多倍”.已知，，設(shè)，則所在的區(qū)間為（）A. B.C. D.5．函數(shù)的圖象大致是A. B.C. D.6．向量，若，則k的值是（）A.1 B.C.4 D.7．函數(shù)的零點個數(shù)為（）A. B.C. D.8．“函數(shù)在區(qū)間I上嚴格單調(diào)”是“函數(shù)在I上有反函數(shù)”的（）A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充分必要條件 D.既非充分又非必要條件9．已知集合，則（）A. B.C. D.10．已知向量，且，則實數(shù)=A B.0C.3 D.11．要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象A.向左平移個單位 B.向右平移個單位C.向左平移個單位 D.向右平移個單位12．函數(shù)的定義域是A.（-1，2] B.[-1,2]C.（-1，2） D.[-1,2)二、選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分,將答案寫在答題卡上.）13．將函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐標不變，再將圖象向右平移個單位后，所得圖象關(guān)于原點對稱，則的值為______14．計算：___________.15．若不等式的解集為，則______，______16．命題“，使”是真命題，則的取值范圍是________三、解答題（本大題共6個小題，共70分。解答時要求寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。）17．函數(shù)的一段圖象如下圖所示.（1）求函數(shù)的解析式；（2）將函數(shù)的圖象向右平移個單位，得到的圖象.求直線與函數(shù)的圖象在內(nèi)所有交點的橫坐標之和.18．已知正方體，分別為和上的點，且，.（1）求證：；（2）求證：三條直線交于一點.19．在①；②“”是“”的充分條件：③“”是“”的必要條件，在這三個條件中任選一個，補充到本題第（2）問的橫線處，求解下列問題問題：已知集合，（1）當時，求；（2）若________，求實數(shù)的取值范圍注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分20．已知函數(shù)為冪函數(shù)，且為奇函數(shù).（1）求的值，并確定的解析式；（2）令，求在的值域.21．設(shè)是定義在上的偶函數(shù)，的圖象與的圖象關(guān)于直線對稱，且當時，（）求的解析式（）若在上為增函數(shù)，求的取值范圍（）是否存在正整數(shù)，使的圖象的最高點落在直線上？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由22．已知等差數(shù)列滿足，前項和.（1）求的通項公式（2）設(shè)等比數(shù)列滿足，，求的通項公式及的前項和.

參考答案一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將正確答案涂在答題卡上.）1、B【解析】在上有解，利用基本不等式求出的最小值即可.【詳解】即在上有解，所以在上有解，由，當且僅當，即時取得等號，故故選:B2、B【解析】根據(jù)已知條件，應(yīng)用向量數(shù)量積的運算律可得，由得，即可求出向量、的夾角.【詳解】由題意，，即，∵，∴，則，又，∴.故選：B3、C【解析】根據(jù)冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得a∈（0，1），再由指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得答案【詳解】由已知中函數(shù)y=xa（a∈R）的圖象可知：a∈（0，1），故函數(shù)y=a﹣x為增函數(shù)與y=logax為減函數(shù)，故選C【點睛】本題考查知識點是冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)，指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，難度不大，屬于基礎(chǔ)題4、C【解析】利用對數(shù)的運算性質(zhì)求出，由此可得答案.【詳解】,所以.故選：C5、A【解析】利用函數(shù)的奇偶性排除選項B、C項，然后利用特殊值判斷，即可得到答案【詳解】由題意，函數(shù)滿足，所以函數(shù)為偶函數(shù)，排除B、C，又因為時，，此時，所以排除D，故選A【點睛】本題主要考查了函數(shù)的圖象的識別問題，其中解答中熟練應(yīng)用函數(shù)的奇偶性進行排除，以及利用特殊值進行合理判斷是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題解決問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.6、B【解析】首先算出的坐標，然后根據(jù)建立方程求解即可.【詳解】因為所以，因為，所以，所以故選：B7、B【解析】當時，令，故，符合；當時，令，故，符合，所以的零點有2個，選B.8、A【解析】“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)”“函數(shù)在上有反函數(shù)”，反之不成立．即可判斷出結(jié)論【詳解】解：“函數(shù)在區(qū)間上嚴格單調(diào)”“函數(shù)在上有反函數(shù)”，下面給出證明：若“函數(shù)在區(qū)間上嚴格單調(diào)”，設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的值域為，任取，如果在中存在兩個或多于兩個的值與之對應(yīng)，設(shè)其中的某兩個為，且，即，但因為，所以(或)由函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)知：，(或)，這與矛盾．因此在中有唯一的值與之對應(yīng)．由反函數(shù)的定義知：函數(shù)在區(qū)間上存在反函數(shù)反之“函數(shù)在上有反函數(shù)”則不一定有“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)”，例如：函數(shù)，就存在反函數(shù)：易知函數(shù)在區(qū)間上并不單調(diào)綜上，“函數(shù)在區(qū)間上嚴格單調(diào)”是“函數(shù)在上有反函數(shù)”的充分不必要條件.故選：A9、C【解析】根據(jù)并集的定義計算【詳解】由題意故選：C10、C【解析】由題意得，，因為，所以，解得，故選C.考點：向量的坐標運算.11、C【解析】化函數(shù)解析式為，再由圖象平移的概念可得【詳解】解要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象向左平移個單位，即：故選C【點睛】本題考查函數(shù)圖象平移變換，要注意的左右平移變換只針對自變量加減，即函數(shù)的圖象向左平移個單位，得圖象的解析式為12、A【解析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)求出函數(shù)的定義域即可【詳解】由題意得：解得：﹣1＜x≤2，故函數(shù)的定義域是（﹣1，2]，故選A【點睛】本題考查了求函數(shù)的定義域問題，考查二次根式的性質(zhì)，是一道基礎(chǔ)題．常見的求定義域的類型有：對數(shù)，要求真數(shù)大于0即可；偶次根式，要求被開方數(shù)大于等于0；分式，要求分母不等于0，零次冪，要求底數(shù)不為0;多項式要求每一部分的定義域取交集.二、選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分,將答案寫在答題卡上.）13、【解析】將函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐標不變得到，再將圖象向右平移個單位，得到，即，其圖象關(guān)于原點對稱.∴，，又∴故答案為14、7【解析】直接利用對數(shù)的運算法則以及指數(shù)冪的運算法則化簡即可.【詳解】.故答案為：7.15、①.②.【解析】由題設(shè)知：是的根，應(yīng)用根與系數(shù)關(guān)系即可求參數(shù)值.【詳解】由題設(shè)，是的根，∴，即，.故答案為：，.16、【解析】可根據(jù)題意得出“，恒成立”，然后根據(jù)即可得出結(jié)果.【詳解】因為命題“，使”是真命題，所以，恒成立，即恒成立，因為當時，，所以，的取值范圍是，故答案為：.三、解答題（本大題共6個小題，共70分。解答時要求寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。）17、（1）（2）【解析】(1)由圖象可計算得；(2)由題意可求，進而可以求出在給定區(qū)間內(nèi)與已知直線的交點的橫坐標，問題得解.【小問1詳解】由題圖知，，于是，將的圖象向左平移個單位長度，得的圖象.于是所以，【小問2詳解】由題意得故由，得因為，所以所以或或或，所以，在給定區(qū)間內(nèi)，所有交點的橫坐標之和為.18、（1）詳見解析；（2）詳見解析【解析】（1）連結(jié)和，由條件可證得和，從而得到∥.（2）結(jié)合題意可得直線和必相交，根據(jù)線面關(guān)系再證明該交點直線上即可得到結(jié)論【詳解】證明：(1)如圖，連結(jié)和，在正方體中，，∵，∴，又，，∴又在正方體中，，,∴，又，∴同理可得，又，∴∴∥.（2）由題意可得（或者和不平行），又由(1)知∥，所以直線和必相交，不妨設(shè)，則，又，所以，同理因為，所以，所以、、三條直線交于一點【點睛】（1）證明兩直線平行時，可根據(jù)三種平行間的轉(zhuǎn)化關(guān)系進行證明，也可利用線面垂直的性質(zhì)進行證明，解題時要注意合理選擇方法進行求解（2）證明三線共點的方法是：先證明其中的兩條直線相交，再證明該交點在第三條直線上．解題時要依據(jù)空間中的線面關(guān)系及三個公理，并結(jié)合圖形進行求解19、（1）（2）【解析】（1）首先解一元二次不等式得到集合，再求出集合，最后根據(jù)交集的定義計算可得；（2）根據(jù)所選條件均可得到，即可得到不等式，解得即可；【小問1詳解】解：由，解得，所以，當時，，所以【小問2詳解】解：若選①，則，所以，解得，即；若選②“”是“”的充分條件，所以，所以，解得，即；若選③“”是“”的必要條件，所以，所以，解得，即；20、（1）,；（2）.【解析】（1）根據(jù)冪函數(shù)的定義及函數(shù)奇偶性的定義即可求解；（2）由（1），得，利用換元法得到，，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【小問1詳解】因為函數(shù)為冪函數(shù)，所以，解得或，當時，函數(shù)是奇函數(shù)，符合題意，當時，函數(shù)是偶函數(shù)，不符合題意，綜上所述，的值為，函數(shù)的解析式為.【小問2詳解】由（1）知，，所以，令，則，，所以，，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)知，的對稱軸為，開口向上，所以在上單調(diào)遞增；所以，所以函數(shù)在的值域為.21、（1）；（2）；（3）見解析.【解析】分析：（）當時，，；當時，，從而可得結(jié)果；（）由題設(shè)知，對恒成立，即對恒成立，于是，，從而；（）因為為偶函數(shù)，故只需研究函數(shù)在的最大值，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，討論兩種情況，即可篩選出符合題意的正整數(shù).詳解：（）當時，，；當時，，∴，（）由題設(shè)知，對恒成立，即對恒成立，于是，，從而（）因為為偶函數(shù)，故只需研究函數(shù)在的最大值令，計算得出（）若，即，，故此時不存在符合題意的（）若，即，則在上為增函數(shù)，于是令，故綜上，存在滿足題設(shè)點睛：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)