2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（學(xué)生版）：第七單元平面向量

V第七單元

平面向量

破管>

回F.礎(chǔ)的習(xí)資科

§7.1平面向量的概念及線性運算

(對應(yīng)答案分冊第22頁)

國基礎(chǔ)知識，夯實基礎(chǔ)鞏固提升

<知識清單》

1.向量的概念

⑴既有大小，又叫向量;向量的叫作向量的模.

⑵零向量：

(3)單位向量:長度為個號的向量.

(4)平行向量：的非零向量，又叫.規(guī)定:零向量與

任意向量線.

(5)相等向量:長度相等且的向量.

(6)相反向量:長度相等且的向量.

2.向量的加法

(1)定義:求兩個向量的和的運算.

(2)運算法則：

(3)運算律有交換律和結(jié)合律.

3.向量的減法

(1)定義：，叫作向量a與向量6的差，即

，求兩個向量差的運算叫作向量的減法.

(2)運算法則：

4.向量的數(shù)乘

⑴定義:實數(shù)人與向量的積的運算，即

⑵運算法則:如圖，的長度與方向規(guī)定如下:①/*/=/"?/a/；翦兒為

時，兒?與a的方向相同;③當兒6時，兒?與a的方向相反;@當八=0時，梟?=0.

（3）運算率：-；（；,

5.共線向量定理

如果向量a（aWO）與8共線，那么存在的實數(shù)，使得

特別提醒:

1.若P為線段四的中點,0為平

面內(nèi)任意一點，則而^（OA花豆）.

2.若點44。共

線鼐=4麗，〃玩（A,共為實數(shù)），則

兒+〃=1.

3.一般地，首尾順次相接的多個向量

的和等于從第一個向量起點指向最

后一個向量終點的向量，即

A42+A2A3+A3A41"+An.iAn5AjAn

.特別地，對于一個封閉圖形，首尾順

次連接而成的向量的和為零向量.

4.與非零向量a共線的單位向

量為上A，

夯實基礎(chǔ)

【概念辨析】

判斷下面結(jié)論是否正確.（對的打“v”，錯的打“X”）

⑴若向量荏與而是共線向量測48c〃四點在同一條直線上.（）

⑵向量不能比較大小，但向量的?？梢员容^大小.（）

⑶向量與有向線段是一樣的，因此可以用有向線段來表示向量.（）

（4）/a/與/是否相等與a,8的方向無關(guān).（）

【對接教材】

如圖，設(shè)。是正六邊形ABCDEF的中心,分別寫出圖中與瓦?，布，方相等的向量.

在平行四邊形眼切中，點少為圈的中點，龍與的交點為々設(shè)四二a,通苑則

向量而X).

12127

AA.二rnra、b

3333

C.劣為D.：a3

3333

【易錯診斷】

在△46。中,4〃為a1邊上的中線,￡為4〃的中點，則說Y).

K.^-AB^-ACB.^-AB^AC

4444

C.yAB^ACD.^-AB^AC

4444

若四邊形ABCD滿足而市工，則四邊形ABCD的形狀是

講考點考向?卜精研考向錘煉技能

d點殺平面向量的概念【題組過關(guān)】

下列命題中，真命題的個數(shù)是().

①單位向量都共線;②長度相等的向量都相等;③共線的單位向量必相等;④與非

零向量a共線的單位向量是壬鼻

M

A.0B.1C.2D.3

給出下列命題：

⑦若兩個向量相等，則它們的起點相同，終點相同；

②a與b共線力與c共線，則a與c也共線；

鰥43。〃是不共線的四點,且希沅，則四⑦為平行四邊形;

④a=b的充要條件是/a/=/。/且a//b;

⑤已知九〃為實數(shù)，若Ha=〃”則a與8共線.

其中真命題的序號是

」1,相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性.

2.共線向量即平行向量，它們均與起點無關(guān).

3.向量可以平移,平移后的向量與原向量是相等向量，解題時,不要把它與函

數(shù)圖象移動混為一談.

4.非零向量a與*的關(guān)系:六是a方向上的單位向量.

|a|1?1

(考點一?平面向量的線性運算【考向變換】

考向1向量的線性運算

僅1。

如圖，在△加「中，〃是比的中點/是〃。的中點/是的中點，若南二&元=6,

則方=().

卜.二a*bB."4

4444

必乜向量的線性運算的解題策略

⑴常用的法則是平行四邊形法則和三角形法則,一般共起點的向量求和用平

行四邊形法則，求差用三角形法則，求首尾相連向量的和用三角形法則.

(2)找出圖形中的相等向量、共線向量，將所求向量與已知向量轉(zhuǎn)化到同一個

平行四邊形或三角形中求解.

(3)用幾個基本向量表示某個向量問題的基本技巧:⑦觀察各向量的位置;②

尋找相應(yīng)的三角形或多邊形;頻用法則找關(guān)系;①化簡結(jié)果.

【追蹤訓(xùn)練1］已知在平行四邊形ABCD中，點、也A；6分別在邊AB,AD,CD

上，反=2就而=4福前二〃砌4〃W0),若而〃麗廁H).

A」B.2C」D.3

23

考向2根據(jù)向量的線性運算求參數(shù)

施］0設(shè)為不共線的向量，已知向量荏9Na必，而=3a-6,若46,〃

三點共線則實數(shù)A的值等于（）.

A.-2B.2C.-10D.10

—利用共線向量定理及向量相等條件，列方程（組）求參數(shù)的值.

【追蹤訓(xùn)練2】

如圖，在△/a,中，前航，尸是胡上的一點，麗=3麗，若布4施+/嬴,則實數(shù)

4

力的值為（）.

4847

CS豆⑥共線定理的應(yīng)用【典例遷移】

制?設(shè)8,已是兩個不共線的向量,已知荏=2芻~882,詼=/3包,而=2芻-&.

⑴求證：4及〃三點共線.

⑵若麗=3e「Ae2,且8,〃尸三點共線,求實數(shù)A的值.

【變式設(shè)問】在△48。中,BC4BD,AC4CE,BE與AD相交于點M.

⑴用存，前表示而，露；

(2)若宿《南*而，證明:氏必少三點共線.

1.證明三點共線問題,可用向量共線來解決，但應(yīng)注意向量共線與三點

共線的區(qū)別與聯(lián)系,當兩向量共線且有公共點時，才能得出三點共線.

2.向量a*共線是指存在不全為零的實數(shù)九，九，使小a+4/R成立;若

小a#42,老當且僅當人二兒2為時成立，則向量a,b不共線.

【追蹤訓(xùn)練3］如圖所示，在口力中，就［就，而］荏,胡和而=8.

(1)試用向量a,6來表示麗，病；

⑵4"交ZW于點0,若布二八而，求A的值.

￡3方法技巧……＞方法探究分類突破

（方法突破O方程思想在平面向量的線性運算中的應(yīng)用

用兩個已知向量來表示另一向量的問題中，找不到問題的切入口，可利用待定

系數(shù)法求解.例如，用&6表示瓦?,可設(shè)瓦?=儂，/7儀加,〃臥）,再結(jié)合圖形,利用向量共

線的性質(zhì)建立方程，用方程的思想求解.方程思想是解決此類問題的關(guān)鍵，要注意

理解體會.

如圖，在△/仍中,刀招用二”設(shè)宿=2麗，麗=3耐,而0M與5V相交于點2試用

a力表示向量而.

E方法總結(jié):

L用已知向量來表示另外一些

向量是用向量解題的基本要領(lǐng)，要盡

可能地轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形

中去.

2.利用向量共線建立方程，用方程的

思想求解是此類題型解題的核心.

【突破訓(xùn)練】如圖，在△力比"中，而1而，鹿〃比1交布于點￡8。邊上的中線

A也交"于點N,若希和左斗，試用表示向量荏,阮,屁，前，宿，前.

請完成解后作亞

鏈接《精練案》分冊P41

§7.2平面向量基本定理及坐標表示

(對應(yīng)答案分冊第2223頁)

學(xué)基礎(chǔ)知識，夯實基礎(chǔ)鞏固提升

一知識清單＞?

1.平面向量基本定理

如果為⑻是同一平面內(nèi)的兩個向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量

a,1只一對實數(shù)小，42,使，其中不共線的向量e,a叫作表示這

一平面內(nèi)所有向量的一組，把一個向量分解為兩個的向量，叫作把向

量正交分解.

2.平面向量的坐標運算

設(shè)@3不,為,6=(應(yīng)，同廁a+b={xx+x2,yx+y^,a-b=(x{-x2,yX-y^),

22

44父,Ay,),/a/R*+資,/a+b/^/(x2+%i)+(y2+Yi)-

3.平面向量共線的坐標表示

設(shè)歸晶間則a//b^xxy2-x2y1=Q.

R拓展知識

1.若a與6不共線且

4a+=0,則4=〃=0.

2.若G是△/比的重心，則

GA-^B^GC=0^AG^(AB+AC).

3.三點共線定理

若UX,而是平面內(nèi)不共線的向量，且

存在實數(shù)3,九使得

玩=小市+42而，則當。+42=1

時/SC三點共線.特別地，當

41=4號時,C是線段AB的中點.

?《夯實基礎(chǔ)》

【概念辨析】

判斷下面結(jié)論是否正確.(對的打“v”，錯的打“x”)

⑴平面內(nèi)的任何兩個向量都可以作為一組基底.()

⑵在△/a'中,向量荏，近的夾角為//必()

(3)同一向量在不同基底下的表示是相同的.()

(4)設(shè)a,6是平面內(nèi)的一組基底，若實數(shù)兒1,小，小，滿足\a+u\b=A2a+Il2b,^A

41=42,=()

【對接教材】

在平行四邊形48切中,￡尸分別是名〃。的中點，施=a，而=8,若用a/表示前，而，

貝廊=JDE=.

已知內(nèi)2,1),歸-3,4),則3a+4b=.

【易錯診斷】

在等邊三角形4歐中，若方二a,近論則a,6的夾角為.

已知向量—已W),外1,-1),則“折-3”是ua//bn的().

A,充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

................................E3考點考向,?…精研考向錘煉技能

CH?平面向量基本定理的應(yīng)用【典例遷移】

施JU如圖，在△/仍中,〃是邊防的中點,C是邊力上靠近。的三等分點,4〃

與a'交于點M.設(shè)a=a，赤=6.

(1)用a,6表示兩；

⑵過點明的直線與邊勿磔分別交于E,F.設(shè)屈能而赤=Q函求^的值.

B.

【變式設(shè)問】如圖所示，在△如6中，而3就,礪高礪題與a'交于點M.過

點財?shù)闹本€1與勿,仍分別交于點EF

⑴試用而，礪表示向量的；

⑵設(shè)屈=共福,行-赤，求證:那是定值.

0

上利用基底表示未知向量，實質(zhì)就是利用向量的加、減法及數(shù)乘進行線

性運算.向量的表示是向量應(yīng)用的前提.

【追蹤訓(xùn)練1】如圖，在平行四邊形四口中胡加60°,點6/分

別為的中點，應(yīng)'與"'相交于點Q記方=a，而=8.

(1)用a,8表示麗;

⑵若而=4方,求實數(shù)A的值.

平面向量的坐標運算【題組過關(guān)】

已知/(-2,4)以3,-1),[-3,/),且前3夕,麗=2荏,求點,%矛及麗的坐標.

已知平面內(nèi)三個向量組7,5),以-3,4),注1,2).

⑴求/a-26+3c/；

(2)求滿足a=mb-nc的實數(shù)m,n\

⑶若(而-c)〃(8+c),求實數(shù)上

向量的坐標運算主要是利用加、減、數(shù)乘運算法則進行，若已知有向

線段兩端點的坐標，則應(yīng)先求出向量的坐標，解題過程中要注意方程思想的運用及

正確使用運算法則.

向量共線的坐標表示【考向變換】

考向1利用兩向量共線求參數(shù)或坐標

倒0平面內(nèi)給定三個向量@<3,2),加(-1,2),。=(4,1).

(1)求滿足a=mb+nc的實數(shù)m,n的值；

⑵若d滿足加(a班)，且份/=同，求d.

再也⑴運用向量的坐標表示，使向量的運算完全代數(shù)化，將數(shù)與形有機結(jié)

合.

(2)根據(jù)平行的條件建立方程求參數(shù),是解決這類題目的常用方法，充分體現(xiàn)

了方程思想在向量中的應(yīng)用.

【追蹤訓(xùn)練2】已知向量a十3,2),以2,1),日3,-1),好直

⑴求/a+屹的最小值；

(2)若a-仍與c共線，求1的值.

考向2利用向量共線求解三點共線問題

硼?已知向量力?41,-3),而=(2,-1),方=(4＜1次-2),若4及。三點能構(gòu)成三角

形則實數(shù)A應(yīng)滿足的條件是.

An向量共線的充要條件用坐標可表示為刀加-法芳才.

【追蹤訓(xùn)練3】在同一平面內(nèi)，已知瓦?=(0,3),赤41-加,6),況＜加+2,-2),若以

4瓦。為頂點可以構(gòu)成一個三角形，則加的取值范圍是

..........................￡3方法技巧........＞方法探究分類突破

05醫(yī)突破。求向量中的取值范圍'最值問題

引入向量的坐標運算使問題比較容易獲解，體現(xiàn)了坐標法解決問題的優(yōu)勢，凸

顯了向量的代數(shù)特征，為用代數(shù)的方法研究向量問題奠定了基礎(chǔ).

閱例如圖，點。是半徑為6的扇形圓弧加上的一點，福?布=-18,若

方=花券麗則3x+2y的最大值為().

.2V51V57

A.---Dn.——

33

「2V57八V51

C.---D.——

33

。方法總結(jié),

解決幾何圖形問題時，可以先建

立適當?shù)淖鴺讼祵D形坐標化，再運

用數(shù)學(xué)運算解決相關(guān)問題.在平面向

量中，向量的坐標運算就是這一思想

的具體應(yīng)用.

【突破訓(xùn)練】已知/a/=/6/=2,a_L仇若向量。滿足/c-a-6/2,求/c/的取值范

圍.

請完成課后作業(yè)

鏈接《精練案》分冊P43

§7.3平面向量的數(shù)量積

(對應(yīng)答案分冊第2324頁)

基礎(chǔ)知識……夯實基礎(chǔ)鞏固提升

知識清單

L兩個向量的夾角

定義圖示范圍共線與垂直

已知兩個

非零向量

a和6作設(shè)〃是a

和〃的夾

OA=a,角，則0

/的取值范。小°或"=180°=a〃b,()的oa_L6

用力則0aA圍是

[0°,180

0就是a

和。的夾

角

2.平面向量的數(shù)量積

定義設(shè)兩個非零向量a,。的夾角為夕,則數(shù)量/a〃/)/cos，叫作a與。的數(shù)量積，記作6

叫作向量a在6方向上的投影，

技影叫作向量6在a方向上的投影

幾何意義數(shù)量積a?6等于a的長度a/與。在a的方向上的投影的乘積

3.平面向量數(shù)量積的性質(zhì)

設(shè)a?8都是非零向量,e是單位向量，〃為a與儀或e)的夾角，貝U

(l)e?a=a,e=/a/cos，；

(2)a±Z><=>;

⑶當a與6同向時/?b=/a〃b/；當d與b反向時m?6=-/》〃6/,特別

地,a?a=la『或/a/力era;

”。儡；

（5）/a?b/^：/a//b/.

4.平面向量數(shù)量積滿足的運算律

（l）a,b=;

⑵（4a）廣。（A為實數(shù)）；

（3）（a^Z?）?c=,（.

5.平面向量數(shù)量積有關(guān)性質(zhì)的坐標表示

設(shè)向量a（nM，歸所,謁廁a?b=，由此得到：

⑴若且4%了）,貝1]/4產(chǎn)=或ja!=^x2+y2；

⑵設(shè)/（鳥乂）,且吊,刃,則43兩點間的距離酒/R（久2%）2+優(yōu)歡產(chǎn)

⑶設(shè)兩個非零向量&6/=（矛|,y）,6?2,%）廁@_1_2不在+”凡4）；

（4）設(shè)兩個非零向量a,b,a=[x1,y^,b={x2,y^,，是a與8的夾角，則cos

_*1應(yīng)+丫1曠2

1.非零向量a/的夾角為銳角

0a?bX）且a,6不共線；

非零向量a,8的夾角為鈍角oa?

且88不共線.

非空向量名6的夾角為直角

0a?b=0.

2.平面向量數(shù)量積的運算公式

⑴（方班）*（a-6）二才-N；

⑵（a+Z?y=，*2z?b+性

⑶（司-6）2=才-2a?b+B.

夯實基礎(chǔ)

【概念辨析】

判斷下面結(jié)論是否正確.(對的打“J”，錯的打“X”)

⑴向量在另一個向量方向上的投影為數(shù)量，而不是向量.()

⑵兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù)晌量的加、減、數(shù)乘運算的運算結(jié)果是向

量.()

⑶兩個向量的夾角的范圍是［0弓］.()

⑷(a?Z?)?c=a?(Z??c).()

【對接教材】

若單位向量a,6的夾角為全則a?加().

A.2Bi1C.^3D.1

22

已知單位向量份,a的夾角為60°,則向量a=e產(chǎn)&與6和-2芻的夾角

為.

【易錯診斷】

下列說法正確的有個.

⑴向量〃在向量a方向上的投影是向量；

⑵若a?8X,則a和6的夾角為銳角;若a?8。則a和8的夾角為鈍角；

⑶(a?8)?c=a?(b?c);

(4)若a,爐0,則aO或b=Q.

已知向量a力滿足回|=、后,/6/=2,且a_L(a-6),則a在6方向上的投影為().

A.V3B.3

C.-V3D.|

講考點考向，精研考向錘煉技能

C5SO平面向量數(shù)量積的基本運算【典例遷移】

倒11⑴在△48。中，/8點是邊3。的三等分點，則

AD-AE=().

A.4B.—C.5D.-

99

⑵若向量a和力滿足/a/2/6/=l,/-/2/5,則向量a在向量，上的投影

為().

A.V2B.V3C.-1D.1

【變式設(shè)問】在矩形48⑦中,麴二1,砂2和與8〃相交于點。，過點A作AELBD

交8〃于石則荏?前《).

1224

AA?云nB.元

C—o-

'5-5

向量數(shù)量積的兩種運算方法

1.定義法:適用于平面圖形中的向量數(shù)量積的有關(guān)計算問題.

2.坐標法:適用于已知相應(yīng)向量的坐標求解數(shù)量積的有關(guān)計算問題.

【追蹤訓(xùn)練1】⑴邊長為12的正三角形48。中萬為a'的中點/在線段

47上且/葉星若4E與郎交于以貝IJ福-MB=().

A.-12B.-27

C.TD.3

24

⑵在△48。中，/慶5,47=6,若戶2c則向量正在瓦?上的投影是().

A7n77

A，

777

c?而飛

(5直箜平面向量數(shù)量積的應(yīng)用【考向變換】

考向1平面向量的模

例目已知平面向量a力的夾角為60°,且/a/=2,/a/26/3百，貝IJ/6/Y).

A.1B.2V3C.3D.2

求平面向量的常用方法利用公式/a/^a：將模的運算轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)

量積的運算.

［追蹤ij11練2】已知向量a/滿足/a/=3,/8/3,/a+8/=!,貝ij/a-6/=.

考向2平面向量的夾角

倒?⑴已知向量a/滿足(aH)=2,且/a/=l,/力/=2,則a與。的夾角為

().

A?期

C'TD-T

⑵平面向量aqi,2),6=(4,2),c=/z/am(/z7eR)用c與a的夾角等于c與6的夾角,

貝|Jm={).

A.-2B,-1C.2D.1

"求兩向量的夾角cos。瑞&要注意。

【追蹤訓(xùn)練3］若兩個非零向量a,6滿足/a域/=/a-8A^/b/,則向量a+b與a

的夾角為().

A《B.§C."D，7

3366

考向3兩向量垂直問題

￡i已知'a1=1b/=l,a/的夾角是直角,c=2a+3A,d=ka-4A,c_L”則

k=.

U兩向量垂直的應(yīng)用關(guān)鍵，兩非零向量垂直的充要條件是

a±Zx=>a,b=Q<^!a-b1=1a+b/.

【追蹤訓(xùn)練4】已知向量內(nèi)2,1),以0㈤,內(nèi)2,4),且(a-8)J_c,則實數(shù)加的值為

()-

A.4B.3C.2D.1

C3點⑥平面向量與三角函數(shù)【典例遷移】

位M3已知銳角△4%中的三個內(nèi)角分別為A,B,C.

⑴設(shè)阮?CA<A?荏，求證△/比是等腰三角形；

⑵設(shè)向量s=(2sinC75),■cos2C,2cos2g-1),且s//力若sin4總求

sin管-B)的值.

【變式設(shè)問】在△/比"中,cosC專.

⑴若希?AC=3BA?前，求tanA的值；

⑵設(shè)向量jr=(2sin5,-V3),y=^cos2B,l-2sin2?),且x//匕求sin(夕-/)的值.

1.解決平面向量與三角函數(shù)的交匯問題,關(guān)鍵是準確利用向量的坐標

運算化簡已知條件，將其轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)中的有關(guān)問題；

2.熟練掌握向量數(shù)量積的坐標運算公式、幾何意義、向量的模、夾角的坐標

運算公式以及三角恒等變換、正余弦定理等知識.

【追蹤訓(xùn)練5］在中，內(nèi)角4及。所對的邊分別是a,b,c.已知

m=(a,c-2t>),n=(cos'cos/),且/?J_n.

(1)求角,4的大??；

⑵若牌一碼力，求面積的最大值.

國方法技巧……，方法探究分類突破

（方宏突帔o向量的線性運算與數(shù)量積的綜合應(yīng)用

在利用向量數(shù)量積的有關(guān)性質(zhì)解題時，會出現(xiàn)過程比較長，且轉(zhuǎn)化后不容易發(fā)

現(xiàn)解題突破口等問題，可結(jié)合向量的線性運算,即利用三角形法則或平行四邊形法

則找到問題的本質(zhì)，使問題簡單化、形象化.

陽砌已知非零向量a與向量〃的夾角為鈍角,/6/2當力=-2時,/8Ka/（tdR）

取得最小值也則a?（6-a）等于（）.

48119

A,高B.-2C,--D.-

方法總結(jié)

在平面向量的綜合題中,線性運

算和數(shù)量積是密不可分的，一些最值

問題往往通過數(shù)形結(jié)合或三角函數(shù)

有界性來判斷和分析，然后利用向量

的基本運算求解.

【突破訓(xùn)練】已知邊長為2的正方形4靦的頂點48分別在兩條互相垂直

的射線曲0Q上滑動，則3??加的最大值為.

--------請完成驟后作業(yè)-------.

鏈接《精練案》分冊P44

微專題5數(shù)學(xué)工具一一平面向量在解題中的

應(yīng)用