第二十六章 二次函數(shù)（7大題型）（64道壓軸題專練）（解析版）

第二十六章二次函數(shù)（7大題型）（64道壓軸題專練）壓軸題型一二次函數(shù)的圖象與各系數(shù)符號(hào)的關(guān)系1．（23·24上·黃石·開學(xué)考試）二次函數(shù)的圖象如圖所示，給出下列結(jié)論：①；②；③若，則；④，其中正確的結(jié)論有（）

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】開口向下，故，與y軸交于負(fù)半軸，故；對(duì)稱軸在直線右側(cè)，故，所以；故①正確；對(duì)稱軸在直線右側(cè)，故，可推出，故②錯(cuò)誤；由，得，于是，故③正確；時(shí)，，結(jié)合，得，可推出，故④正確；【詳解】解：如圖，開口向下，故；拋物線與y軸交于負(fù)半軸，故；對(duì)稱軸在直線右側(cè)，故，所以；∴．故①正確；對(duì)稱軸在直線右側(cè)，故，∴．∴，故②錯(cuò)誤；∵，，∴．∴，故③正確；∵，∴，時(shí)，，∵，∴∴．∴，故④正確；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)圖象確定參數(shù)的取值范圍，對(duì)軸軸信息及關(guān)鍵點(diǎn)信息是解題的關(guān)鍵．2．（23·24上·專題練習(xí)）拋物線（是常數(shù)且）經(jīng)過點(diǎn)A（3，0）．下列四個(gè)結(jié)論：①該拋物線一定經(jīng)過；②；③點(diǎn)，在拋物線上，且，則；④若是方程的兩個(gè)根，其中，則．其中正確的個(gè)數(shù)有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】由函數(shù)解析式可得函數(shù)的對(duì)稱軸為直線，再根據(jù)二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，逐一分析，判斷對(duì)錯(cuò)即可解答．【詳解】解：①∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)，，，當(dāng)時(shí)，，，∴該拋物線一定經(jīng)過，故此項(xiàng)正確；②由①得：，，，，，，，故此項(xiàng)正確；③拋物線的對(duì)稱軸為直線，當(dāng)時(shí)，，，，也符合題意與矛盾，故此項(xiàng)錯(cuò)誤．④∵拋物線，對(duì)稱軸為直線，拋物線對(duì)稱軸為直線，∴拋物線圖象向左平移2個(gè)單位得到拋物線的圖象，∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)，∴拋物線經(jīng)過點(diǎn)，是方程的兩個(gè)根，是拋物線與直線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，，，故此項(xiàng)正確，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)和數(shù)形結(jié)合的思想，掌握二次函數(shù)的基本性質(zhì)并會(huì)靈活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．3．（21·22下·株洲·二模）如圖，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)，與y軸的交點(diǎn)B在和之間（不包括這兩點(diǎn)），對(duì)稱軸為直線．下列結(jié)論：①；②；③；④；⑤．其中正確結(jié)論有（

）

A．①②⑤ B．①④⑤ C．①③④⑤ D．①②③④⑤【答案】C【分析】根據(jù)拋物線的開口方向判斷a的符號(hào)，由拋物線的對(duì)稱軸公式可判斷b與a的關(guān)系，由拋物線與y軸的交點(diǎn)判斷c的取值范圍，然后根據(jù)對(duì)稱軸及拋物線與x軸交點(diǎn)情況進(jìn)行推理，進(jìn)而對(duì)所得結(jié)論進(jìn)行判斷．【詳解】解：由圖象可知該二次函數(shù)圖象開口向上，與y軸的交點(diǎn)位于x軸下方，對(duì)稱軸為直線，∴，，，∴，∴，故①正確；由圖象可知當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)值為0，又∵對(duì)稱軸為直線，∴當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)值為0，∴當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)值小于0，即，故②錯(cuò)誤；③∵該拋物線圖象與y軸的交點(diǎn)B在和之間，，對(duì)稱軸為直線，∴頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)要小于，∴．∵，∴，故③正確；∵該拋物線圖象與y軸的交點(diǎn)B在和之間，∴．∵與x軸交于點(diǎn)，∴，∴，∴，∴，故④正確；∵，，，∴，故⑤正確．綜上可知正確的為①③④⑤．故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)之間的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．4．（21·22下·濱州·二模）如圖是拋物線的一部分，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是，與x軸的一個(gè)交點(diǎn)是，點(diǎn)P在拋物線上，且在直線上方，則下列結(jié)論正確的是(

)

A．B．方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根C．D．點(diǎn)P到直線的最大距離【答案】C【分析】根據(jù)圖象可知，，再由對(duì)稱軸可知，可判斷①；根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)可知方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，可判斷②；當(dāng)時(shí)函數(shù)有最大值，由此可判斷③；求出函數(shù)的解析式和直線的解析式，當(dāng)?shù)拿娣e最大值時(shí)，P點(diǎn)到的距離最大，過P點(diǎn)作軸交于點(diǎn)G，用同一參數(shù)的代數(shù)式分別表示點(diǎn)P，G的坐標(biāo)，表示出，運(yùn)用二次函數(shù)性質(zhì)，可求得的最大值，當(dāng)取最大值時(shí)，的面積最大，從而求得P點(diǎn)到的距離最大值，由此判斷④．【詳解】解：由圖象可知開口向下，∴，∵函數(shù)與y軸的交點(diǎn)在y軸的正半軸上，∴，∵對(duì)稱軸為直線，∴，∴，故A不符合題意；∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是，∴時(shí)，方程的解為，∴方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，故B不符合題意；當(dāng)時(shí)，，∴，即，故C符合題意；設(shè)直線的解析式為，∴，解得，∴，設(shè)拋物線，將點(diǎn)代入，∴，解得，∴，過P點(diǎn)作軸交于點(diǎn)G，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為，則，∴，∴當(dāng)時(shí)，有最大值，此時(shí)，為最大值，由圖，，設(shè)點(diǎn)P到的距離為h，則當(dāng)最大時(shí)，h取最大值，∴解得，∴點(diǎn)P到直線AB的最大距離為，故D不符合題意；故選：C．

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，能從圖象中獲取信息，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)，尤其是配方法求極值是解題的關(guān)鍵．5．（22·23下·日照·期末）如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)，其對(duì)稱軸為直線，結(jié)合圖象給出下列結(jié)論：①；②；③，是拋物線上兩點(diǎn)，則；④若關(guān)于x的一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根，則；⑤對(duì)于任意實(shí)數(shù)m，總有．其中正確的結(jié)論有（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)拋物線的開口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)、增減性以及與軸軸的交點(diǎn)，綜合判斷即可．【詳解】解：拋物線開口向上，則，對(duì)稱軸，則，，，所以①正確；拋物線對(duì)稱軸為，與軸的一個(gè)交點(diǎn)為，則另一個(gè)交點(diǎn)為，于是有，聯(lián)立，解得，，所以②正確；拋物線的解析式為，，是拋物線上兩點(diǎn)，，，即，所以③錯(cuò)誤；若關(guān)于x的一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根，，，，，，所以④正確；拋物線與軸有兩個(gè)不同交點(diǎn)，因此關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以④正確；對(duì)于任意實(shí)數(shù)m，總有故⑤正確．綜上所述，正確的結(jié)論有：①②④⑤．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的圖象與系數(shù)之間的關(guān)系是正確判斷的前提．6．（23·24上·武漢·階段練習(xí)）已知拋物線的圖象經(jīng)過，頂點(diǎn)是，且，下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③的解集是或；④點(diǎn)，在拋物線上，當(dāng)時(shí)，．其中正確的是（填寫序號(hào)）．【答案】①③④【分析】由已知可得拋物線開口方向及對(duì)稱軸，從而可得，符號(hào)，由及拋物線對(duì)稱軸為直線可得拋物線與軸的另一交點(diǎn)坐標(biāo)，從而可得的符號(hào)，進(jìn)而判斷①②，由與的關(guān)系可得的解，從而判斷③，由拋物線的對(duì)稱軸及開口方向可得時(shí)隨增大而減小，再根據(jù)可得，，從而判斷④．【詳解】解：拋物線經(jīng)過，頂點(diǎn)是，且，頂點(diǎn)為最低點(diǎn)，即拋物線開口向上，，由拋物線的對(duì)稱性可得拋物線經(jīng)過，時(shí)，，時(shí)，拋物線與軸交點(diǎn)在軸下方，即，，，，①正確．當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，②錯(cuò)誤．，，拋物線與軸交點(diǎn)坐標(biāo)為，，，拋物線開口向上，或時(shí)，，③正確．當(dāng)時(shí)，，，時(shí)，隨增大而減小，，④正確．故答案為：①③④．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)與方程及不等式的關(guān)系．7．（23·24上·武漢·階段練習(xí)）拋物線（a、b、c是常數(shù)，且）經(jīng)過點(diǎn)，其中，且對(duì)稱軸是直線，下列結(jié)論：①；②；③當(dāng)t為全體實(shí)數(shù)時(shí)，總成立；④若，該拋物線上存在、兩點(diǎn)，滿足，則m的取值范圍是，其中正確的有．【答案】①②④【分析】由拋物線的開口方向及對(duì)稱軸，可確定b的符號(hào)，再可確定拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可確定c的符號(hào)，從而可判斷①；由①得，當(dāng)時(shí)有，只要確定的大小，利用函數(shù)的增減性即可判斷②；由題意知，函數(shù)當(dāng)時(shí)取得最大值，因此，對(duì)任意實(shí)數(shù)t，都有，整理即可判斷③；由拋物線上存在、兩點(diǎn)，滿足，則應(yīng)在對(duì)稱軸的兩側(cè)，則有，解不等式組即可，從而可判斷④，最后可確定答案．【詳解】解：∵拋物線的對(duì)稱軸是直線，，∴，即，∴；∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)，其中，∴由拋物線的對(duì)稱性質(zhì)，拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為，∴，∵當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小，∴當(dāng)時(shí)，時(shí)，，∴，故①正確；由①得，則當(dāng)時(shí)有，∵，∴，即，由函數(shù)的增減性知，故②正確；由題意知，函數(shù)當(dāng)時(shí)取得最大值，∴對(duì)任意實(shí)數(shù)t，都有，即，∵，∴整理即可判斷③；當(dāng)，該拋物線上存在、兩點(diǎn)，滿足，∴應(yīng)在對(duì)稱軸的兩側(cè)，∴有，解不等式組得：，故④正確；∴正確的有①②④，故答案為：①②④．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．（22·23下·武漢·三模）二次函數(shù)(，，是常數(shù)，的自變量與函數(shù)值的部分對(duì)應(yīng)值如表：…-1012…且當(dāng)時(shí)，與其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，有下列結(jié)論：①；②當(dāng)時(shí)，隨的增大而減??；③關(guān)于的方程的兩個(gè)根是和；④．其中正確的結(jié)論是．(填寫序號(hào))【答案】①③④【分析】根據(jù)題意得：函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為，可得，再由當(dāng)時(shí)，，可得；由，可得，再由當(dāng)時(shí)，與其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，可得，從而得到圖象在對(duì)稱軸右側(cè)y隨x的增大而增大；根據(jù)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為，可得點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為，從而得到關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝t的兩個(gè)根是和；再由當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，可得，即可求解．【詳解】解：①根據(jù)題意得：函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為，即，∴異號(hào)，∴，∵當(dāng)時(shí)，，即，∴，故①正確；②∵，∴，當(dāng)時(shí)，，解得：，∴二次函數(shù)圖象開口向上，∴圖象在對(duì)稱軸右側(cè)y隨x的增大而增大，∴當(dāng)x>1時(shí)，y隨x的增大而增大，故②錯(cuò)誤；③∵二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為，∴點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為，∴關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝t的兩個(gè)根是和，故③正確；④當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴，故④正確，∴正確的結(jié)論是①③④．故答案為：①③④．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．（22·23下·武漢·一模）二次函數(shù)（a，b，c為常數(shù)）中的x與y的部分對(duì)應(yīng)值如下表：x-1.4012.4y-1.42.452.4①；②當(dāng)時(shí)，y的值隨x值的增大而減?。虎凼欠匠痰囊粋€(gè)根；④當(dāng)時(shí)，．以上結(jié)論正確的是（填序號(hào)）．【答案】①③④【分析】根據(jù)表格數(shù)據(jù)可得拋物線的對(duì)稱軸為直線且開后向下，即可判定①；由對(duì)稱軸為對(duì)稱軸為直線且開后向下，則當(dāng)時(shí)，y的值隨x值的增大而減小，可判定②；然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)對(duì)各小題分析判斷即可得解．【詳解】解：①由圖表中數(shù)據(jù)可得出拋物線且開后向下，∴，即①正確；②二次函數(shù)開口向下，且對(duì)稱軸為，當(dāng)時(shí)，y的值隨x值的增大而減小，故②錯(cuò)誤；③時(shí)，，∴，將代入可得：，即是方程的一個(gè)根，故③正確；④時(shí)，，時(shí)，，時(shí)，，則且函數(shù)有最大值，當(dāng)時(shí)，，故④正確．故答案為①③④．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)圖像與系數(shù)的關(guān)系、拋物線與x軸的交點(diǎn)、二次函數(shù)與不等式等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握二次函數(shù)圖像和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．（22·23下·武漢·一模）已知函數(shù)（為常數(shù)）的圖象經(jīng)過點(diǎn)．下列結(jié)論：①；②當(dāng)時(shí)，；③若，則函數(shù)圖象與軸有兩個(gè)公共點(diǎn)；④若，則當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，其中正確的結(jié)論是（填寫序號(hào)）．【答案】①②③④【分析】根據(jù)拋物線與x軸的交點(diǎn)得出、b的關(guān)系，進(jìn)而得到，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)對(duì)各小題分析判斷即可得解．【詳解】∵拋物線與x軸的交點(diǎn)為，∴，000∴，故①正確，由①可知，，∴，∵，∴，∴，∴，故②正確，令，則，，∵∴，∴若，則函數(shù)圖象與軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，即選項(xiàng)③正確，設(shè)，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則，當(dāng)時(shí)，則，∵點(diǎn)拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)，∴令，則，∵，∴，∵∴拋物線開口向下，∴若，則當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，即選項(xiàng)④正確．故答案為：①②③④．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與性質(zhì)．掌握二次函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及對(duì)稱軸方程求法是關(guān)鍵.壓軸題型二二次函數(shù)的平移問題1．（22·23下·濟(jì)南·二模）如圖，拋物線與直線交于A、B兩點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)P，將拋物線沿著射線平移個(gè)單位，在整個(gè)平移過程中，點(diǎn)P經(jīng)過的路程為（

）

A．6 B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意可得由題意得，當(dāng)拋物線沿著射線平移個(gè)單位時(shí)，相當(dāng)于將點(diǎn)A先向右平移3個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位，設(shè)拋物線向右平移個(gè)單位，向上平移個(gè)單位，則平移后的解析式為，再根據(jù)點(diǎn)P在直線，直接把代入得到點(diǎn)P的縱坐標(biāo)與a的二次函數(shù)，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【詳解】解：由題意得，當(dāng)拋物線沿著射線平移個(gè)單位時(shí)，相當(dāng)于將點(diǎn)A先向右平移3個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位，設(shè)拋物線向右平移個(gè)單位，向上平移個(gè)單位，∵原拋物線解析式為，∴平移后的解析式為令時(shí)，則，∴當(dāng)時(shí)，，∵，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)時(shí)，在平移過程中點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路程為，當(dāng)時(shí)，在平移過程中點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路程為，∴整個(gè)平移過程中，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路程為，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)圖象與幾何變換，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的特征等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用平移的性質(zhì)解決問題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)，構(gòu)建二次函數(shù)解決問題，屬于中考?jí)狠S題．2．（2022下·嘉興·一模）已知拋物線與直線有且只有一個(gè)交點(diǎn)，若c為整數(shù)，則c的值有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【分析】由函數(shù)解析式作出拋物線與直線的圖象，根據(jù)圖象關(guān)系計(jì)算求值即可；【詳解】解：∵，對(duì)稱軸為：，∴x=0時(shí)，y=c；x=-3時(shí)，y=c，如圖為拋物線與直線關(guān)系圖，由圖象可知：①當(dāng)直線過拋物線左端點(diǎn)時(shí)c=-5，當(dāng)直線過拋物線右端點(diǎn)時(shí)c=-2，∴當(dāng)-5≤c＜-2時(shí)，直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，∴c為整數(shù)時(shí)可取-5，-4，-3，②令，則，時(shí)，解得c=-1，此時(shí)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，拋物線與直線只有一個(gè)交點(diǎn)，∴c的值為：-5，-4，-3，-1，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線與直線的交點(diǎn)問題，利用圖象法確定交點(diǎn)個(gè)數(shù)是解題關(guān)鍵．3．（2021下·濟(jì)南·中考真題）新定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于點(diǎn)和點(diǎn)，若滿足時(shí)，；時(shí)，，則稱點(diǎn)是點(diǎn)的限變點(diǎn)．例如：點(diǎn)的限變點(diǎn)是，點(diǎn)的限變點(diǎn)是．若點(diǎn)在二次函數(shù)的圖象上，則當(dāng)時(shí)，其限變點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，的圖象向下平移4個(gè)單位，當(dāng)時(shí)，，的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，據(jù)此即可求得其限變點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍，作出函數(shù)圖像，直觀的觀察可得到的取值范圍【詳解】點(diǎn)在二次函數(shù)的圖象上，則當(dāng)時(shí)，其限變點(diǎn)的圖像即為圖中虛線部分，如圖，當(dāng)時(shí)，的圖象向下平移4個(gè)單位，當(dāng)時(shí)，的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，從圖可知函數(shù)的最大值是當(dāng)時(shí)，取得最大值3，最小值是當(dāng)時(shí)，取得最小值，．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了新定義，二次函數(shù)的最值問題，分段討論函數(shù)的最值，可以通過函數(shù)圖像輔助求解，理解新定義，畫出函數(shù)圖像是解題的關(guān)鍵．4．（22·23下·廣州·一模）如圖，拋物線與交于點(diǎn)，且分別與軸交于點(diǎn)，．過點(diǎn)作軸的平行線，交拋物線于點(diǎn)，．則以下結(jié)論：①無論取何值，總是負(fù)數(shù)；②拋物線可由拋物線向右平移3個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位得到；③當(dāng)時(shí)，隨著的增大，的值先增大后減??；④四邊形為正方形．其中正確的是．（填寫正確的序號(hào)）【答案】①②④【分析】①根據(jù)非負(fù)數(shù)的相反數(shù)或者直接由圖像判斷即可；②先求拋物線的解析式，再根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，判斷平移方向和平移距離即可判斷②；③先根據(jù)題意得出時(shí)，觀察圖像可知，然后計(jì)算，進(jìn)而根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷；④分別計(jì)算出的坐標(biāo)，根據(jù)正方形的判定定理進(jìn)行判斷即可．【詳解】①，，，無論取何值，總是負(fù)數(shù)，故①正確；②拋物線與拋物線交于點(diǎn)，，即，解得，拋物線，拋物線的頂點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為，將向右平移3個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位即為，即將拋物線向右平移3個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位可得到拋物線，故②正確；③，將代入拋物線，解得，，將代入拋物線，解得，，，從圖像可知拋物線的圖像在拋物線圖像的上方，當(dāng)，隨著的增大，的值減小，故③不正確；④設(shè)與軸交于點(diǎn)，，，由③可知，，，，當(dāng)時(shí)，，即，，，四邊形是平行四邊形，，四邊形是正方形，故④正確，綜上所述，正確的有①②④，故答案為：①②④．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖像與性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)，平移，正方形的判定定理，解題的關(guān)鍵是綜合運(yùn)用以上知識(shí)．5．（2021下·合肥·二模）已知函數(shù)與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D．直線交x軸于點(diǎn)E，點(diǎn)F在直線上，且橫坐標(biāo)為4，現(xiàn)在，將拋物線沿其對(duì)稱軸上下平移，使拋物線與線段總有公共點(diǎn)．拋物線向上最多可以平移個(gè)單位長(zhǎng)度，向下最多可以平移個(gè)單位長(zhǎng)度．【答案】36【分析】求得直線CD的解析式，根據(jù)平移規(guī)律，設(shè)出平移后的解析式，利用解析式聯(lián)立方程組，轉(zhuǎn)化為一元二次方程的根的判別式問題，不等式的解集，求解即可【詳解】∵函數(shù)與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，4），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，），設(shè)直線CD的解析式為y=kx+b，∴，∴，∴直線CD的解析式為，當(dāng)y=0時(shí)，，解得x=-8，∴點(diǎn)E（-8，0），當(dāng)x=4時(shí)，y=，∴點(diǎn)F（4，6），設(shè)最多上移n個(gè)單位，此時(shí)解析式為，∴當(dāng)x=-8時(shí)，，∵拋物線與直線有公共點(diǎn)，∴y≤0∴≤0,∴n≤36,∴拋物線最多上移36個(gè)單位，設(shè)向下最多可以平移m個(gè)單位，根據(jù)題意，得，∴，整理，得，當(dāng)△=0時(shí)，有一個(gè)公共點(diǎn)，∴，解得m=；故答案為：36；【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線與一次函數(shù)的交點(diǎn)，二次函數(shù)的平移，不等式的解法，根的判別式，熟練掌握二次函數(shù)的平移規(guī)律，活用根的判別式是解題的關(guān)鍵．6．（22·23上·莆田·階段練習(xí)）拋物線經(jīng)過兩點(diǎn)，則關(guān)于x的不等式的解集為．【答案】【分析】直接利用二次函數(shù)大致圖象結(jié)合不等式與函數(shù)關(guān)系得出答案．【詳解】解：∵拋物線經(jīng)過兩點(diǎn)，∴圖像大致如下：∴函數(shù)與交于，∴關(guān)于x的不等式的解集為：．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次函數(shù)與不等式，二次函數(shù)的平移，數(shù)形結(jié)合是解題關(guān)鍵．7．（23·24上·恩施·階段練習(xí)）拋物線交x軸于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），頂點(diǎn)在y軸的正半軸上，點(diǎn)E，D在拋物線上，．

(1)求點(diǎn)A，B的坐標(biāo)；(2)求m與n之間的關(guān)系式；(3)若的面積是96，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．【答案】(1)，詳見解析(2)，詳見解析(3)，詳見解析【分析】（1）令，解得：，即可求解；（2）點(diǎn)A向右平移2個(gè)單位向上平移n個(gè)單位得到點(diǎn)C，則點(diǎn)E向右平移2個(gè)單位向上平移n個(gè)單位得到點(diǎn)，即可求解；（3）由，即可求解．【詳解】（1）令，解得，即點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為：；（2）∵點(diǎn)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為，又因?yàn)辄c(diǎn)A向右平移2個(gè)單位向上平移n個(gè)單位得到點(diǎn)C，∴點(diǎn)E向右平移2個(gè)單位向上平移n個(gè)單位得到點(diǎn)，將點(diǎn)D的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得：，整理得：；（3）連接，過點(diǎn)E作y軸的平行線交x軸于點(diǎn)M，交過點(diǎn)C與x軸的平行線與點(diǎn)N，

則，解得（舍去）或4，故點(diǎn)E的坐標(biāo)為．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結(jié)合的綜合能力的培養(yǎng)．要會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來，利用點(diǎn)的坐標(biāo)的意義表示線段的長(zhǎng)度，從而求出線段之間的關(guān)系．8．（23·24上·大慶·階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，是坐標(biāo)原點(diǎn)，菱形的頂點(diǎn)，在軸的負(fù)半軸，拋物線過點(diǎn)．(1)求的值；(2)若把拋物線沿軸向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，使得平移后的拋物線經(jīng)過菱形的頂點(diǎn)．試判斷點(diǎn)是否落在平移后的拋物線上，并說明理由．(3)在軸上是否存在點(diǎn)，使以、、三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形，若存在直接寫出點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在平移后的拋物線上;當(dāng)時(shí),點(diǎn)不在平移后的拋物線上(3)存在，，，，【分析】（1）將點(diǎn)的坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式中，可得出關(guān)于的一元一次方程，解方程即可得出結(jié)論．（2）設(shè)與軸交于點(diǎn)，結(jié)合勾股定理以及菱形的性質(zhì)找出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)二次函數(shù)的解析式求出該拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)平移的性質(zhì)找出平移后過點(diǎn)的二次函數(shù)的解析式，代入點(diǎn)的坐標(biāo)來驗(yàn)證其是否在平移后的函數(shù)圖象上即可得出結(jié)論．（3）分情況進(jìn)行討論，分別以為斜邊進(jìn)行計(jì)算，結(jié)合兩直線垂直斜率乘積等于進(jìn)行計(jì)算即可求出．【詳解】（1）解：∵過點(diǎn)，代入得：解得：．（2）當(dāng)時(shí).點(diǎn)在平移后的拋物線上;當(dāng)時(shí),點(diǎn)不在平移后的拋物線上,理由:設(shè)與軸交于點(diǎn),則軸,,.∵四邊形是菱形,∴,.點(diǎn)的坐標(biāo)為.如圖：令,得.解得：..當(dāng)時(shí),平移后的拋物線為令.得∴點(diǎn)在平移后的拋物線上.當(dāng)時(shí),平移后的拋物線為令，∴點(diǎn)不在平移后的拋物線上.綜上所述：當(dāng)時(shí).點(diǎn)在平移后的拋物線上;當(dāng)時(shí),點(diǎn)不在平移后的拋物線上．（3）解：是菱形，設(shè)①以為直角，為斜邊整理得：解得：，②以為直角，為斜邊同理：解得：③以為直角，為斜邊同理：解得：綜上所述：存在點(diǎn)，坐標(biāo)為：，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與幾何變換及菱形的性質(zhì).確定出平移的的值，并采用分類討論的方法求解是解題的關(guān)鍵．9．（23·24上·合肥·階段練習(xí)）已知拋物線（為常數(shù)，）過點(diǎn)，頂點(diǎn)為點(diǎn)．(1)當(dāng)時(shí)，求此拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)當(dāng)時(shí)，若△的面積為4，求此拋物線的解析式；(3)將拋物線向左平移2個(gè)單位，向下平移個(gè)單位，得到新拋物線的頂點(diǎn)為A，與軸交點(diǎn)為B，點(diǎn)M在直線上，點(diǎn)N在直線上，當(dāng)四邊形的周長(zhǎng)最小時(shí)，恰好有，求的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）將，代入拋物線，可得函數(shù)解析式，即可解答；（2）先求出點(diǎn)P坐標(biāo)，求得拋物線對(duì)稱軸與直線的交點(diǎn)C的坐標(biāo)，根據(jù)，即可解答；（3）寫出新拋物線的解析式為，可得，，如圖，作B點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，作A點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接交、于點(diǎn)，此時(shí)四邊形的周長(zhǎng)最小，再求解直線的解析式，直線的解析式，結(jié)合建立方程求解即可．【詳解】（1）解：將，代入拋物線，得，解得，拋物線的解析式為，；（2）如圖，的對(duì)稱軸為直線，頂點(diǎn)P坐標(biāo)為，而，過作軸交于C，

設(shè)直線的解析式為，將代入，∴，直線的解析式為，，將代入，得，，，，解得，拋物線的解析式為；（3）如圖，

∵拋物線為，而，則，∴平移后的拋物線，，如圖，作B點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，作A點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接交、于點(diǎn)，此時(shí)四邊形的周長(zhǎng)最小，設(shè)直線的解析式為，將，代入可得，解得，直線的解析式為，

設(shè)直線的解析式為，將，代入可得，解得，直線的解析式為，，，解得．【點(diǎn)睛】本題為二次函數(shù)綜合題目，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的平移，熟練畫出大概圖形并作出四邊形周長(zhǎng)最小時(shí)的圖形是解題的關(guān)鍵．壓軸題型三二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)綜合1．（23·24上·杭州·階段練習(xí)）已知二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，則下列說法正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，有最小值 B．當(dāng)時(shí)，有最大值C．當(dāng)時(shí)，無最小值 D．當(dāng)時(shí)，有最大值【答案】B【分析】根據(jù)拋物線的性質(zhì)，分當(dāng)時(shí)，時(shí)兩種情況進(jìn)行判斷，即可得出結(jié)論．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，當(dāng)，在軸同側(cè)時(shí)，，都越大時(shí)，越接近于，但不能取，即沒有最小值，當(dāng)，異號(hào)時(shí)，當(dāng)，時(shí)，最大，當(dāng)時(shí)，當(dāng)，在軸同側(cè)時(shí)，，離軸越遠(yuǎn)，越大，但取不到最大，當(dāng)，在軸兩側(cè)時(shí)，當(dāng)，時(shí)，取到最小，最小值為，故選：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵對(duì)二次函數(shù)的性質(zhì)的掌握與應(yīng)用．2．（23·24上·合肥·期中）已知二次函數(shù)（其中是自變量），當(dāng)時(shí)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值均為正數(shù)，則的取值范圍為：（

）A． B．或C．或 D．或【答案】D【分析】首先根據(jù)題意求出對(duì)稱軸，然后分兩種情況：和，分別根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】∵二次函數(shù)，∴對(duì)稱軸，當(dāng)時(shí)，∵當(dāng)時(shí)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值均為正數(shù)，∴此時(shí)拋物線與x軸沒有交點(diǎn)，∴，∴解得；當(dāng)時(shí)，∵當(dāng)時(shí)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值均為正數(shù)，∴當(dāng)時(shí)，，∴解得，∴，∴綜上所述，當(dāng)時(shí)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值均為正數(shù)，則的取值范圍為或．故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是分兩種情況討論．3．（23·24上·武漢·階段練習(xí)）無論為何值，直線與拋物線總有公共點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B．或 C． D．或【答案】D【分析】因?yàn)閮蓚€(gè)圖象總有公共點(diǎn)，所以將兩個(gè)解析式進(jìn)行聯(lián)立，再根據(jù)根的判別式進(jìn)行判斷即可求出的取值范圍．【詳解】解：由題意得，無論為何值，直線與拋物線總有公共點(diǎn)，將代入得：，整理得：，，，，當(dāng)時(shí)，，解得，，當(dāng)時(shí)，，解得：，的取值范圍是或．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題，正確的列出判別式，并根據(jù)交點(diǎn)數(shù)進(jìn)行判定是解題的關(guān)鍵．4．（23·24上·西城·階段練習(xí)）已知某函數(shù)的圖象過，兩點(diǎn)，下面有四個(gè)推斷：①若此函數(shù)的圖象為直線，則此函數(shù)的圖象經(jīng)過；②若此函數(shù)的圖象為拋物線，且經(jīng)過，則該拋物線開口向下；③若此函數(shù)的解析式為，且經(jīng)過原點(diǎn)，則；④若此函數(shù)的解析式為，開口向下，且，則a的范圍是．所有合理推斷的序號(hào)是．【答案】①④/④①【分析】①利用待定系數(shù)法求出直線解析式，再令，求出y的值，即可判斷；②利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式即可判斷；③利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式即可判斷；④設(shè)此函數(shù)的解析式為，根據(jù)其經(jīng)過，兩點(diǎn)可求出，從而得出該函數(shù)為，進(jìn)而得出其對(duì)稱軸為直線，即，再根據(jù)h的取值范圍和拋物線開口方向求出a的解集，即可判斷．【詳解】解：設(shè)過，兩點(diǎn)的直線解析式為，∴，解得：，∴直線的解析式為：，當(dāng)時(shí)，，∴此函數(shù)的圖象經(jīng)過，故①符合題意；若此函數(shù)的圖象為拋物線，即可設(shè)其解析式為，將，，代入，得：，解得：，∴拋物線解析式為，∴拋物線的開口向上，故②不符合題意；當(dāng)函數(shù)的解析式為，且經(jīng)過，和原點(diǎn)，則，解得：，∴，故③不符合題意；設(shè)其解析式為，由其圖象經(jīng)過，，∴，解得：，∴該函數(shù)為，∴．∵，∴，即．又∵拋物線開口向下，∴，∴，解得：，故④符合題意；故答案為：①④．【點(diǎn)睛】本題考查利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)．熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．5．（23·24上·武漢·階段練習(xí)）已知拋物線，(為常數(shù))若對(duì)滿足的任意實(shí)數(shù)，都使得成立，別實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】/【分析】分類討論，函數(shù)圖象與軸有一個(gè)交點(diǎn)和沒有交點(diǎn)時(shí)，的任意實(shí)數(shù)，都有成立，若函數(shù)圖象與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則需滿足兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)均不大于，列出不等式即可求的取值范圍．【詳解】①二次函數(shù)的圖象開口向上，當(dāng)二次函數(shù)的圖象與軸沒有交點(diǎn)或只有個(gè)交點(diǎn)時(shí)，總有成立如圖；

此時(shí)，即，解得；②當(dāng)二次函數(shù)的圖象與軸有個(gè)交點(diǎn)時(shí)，，可得或，設(shè)此時(shí)兩交點(diǎn)為，，則，要使的任意實(shí)數(shù)，都有，需，，即，如圖，且，解得：，此時(shí)，綜上，對(duì)滿足的任意實(shí)數(shù)，都使得成立，則．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（22·23下·亳州·開學(xué)考試）若拋物線過點(diǎn)和兩點(diǎn)，且頂點(diǎn)在第二象限．（1）若該拋物線的對(duì)稱軸，則．（2）設(shè)，則P的取值范圍是．【答案】【分析】（1）根據(jù)題意，列方程組求解即可得到答案；（2）根據(jù)題意得到，代入使，再由頂點(diǎn)在第二象限，分類討論，確定拋物線開口方向，進(jìn)而得到，利用不等式性質(zhì)求出范圍即可．【詳解】解：（1）拋物線過點(diǎn)和兩點(diǎn)，，拋物線的對(duì)稱軸，，，解得，，故答案為：；（2）拋物線過點(diǎn)和兩點(diǎn)，，，，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，且頂點(diǎn)在第二象限，，當(dāng)拋物線開口向上時(shí)，，則，，與頂點(diǎn)在第二象限矛盾，拋物線開口向下，則，，，則，解得，，，即，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)圖像與性質(zhì)，涉及待定系數(shù)法確定函數(shù)系數(shù)、頂點(diǎn)坐標(biāo)及利用二次函數(shù)圖像與性質(zhì)確定式子范圍，熟練掌握二次函數(shù)圖像與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．7．（23·24上·西城·期中）已知點(diǎn)，在拋物線的圖象上，設(shè)拋物線的對(duì)稱軸為．(1)若，，則_______；(2)當(dāng)，時(shí)，都有，求的取值范圍．【答案】(1)5(2)【分析】（1）根據(jù)，即可求解；（2）根據(jù)，，，進(jìn)行討論求解即可【詳解】（1）解：由題意得：拋物線的對(duì)稱軸為：直線，∴，故答案為：5．（2）①當(dāng)時(shí)，，∵，∴，，∵，∴．②當(dāng)時(shí)，則與條件矛盾，③當(dāng)時(shí)，與條件矛盾，綜上，當(dāng)，時(shí)，都有，求的取值范圍．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，掌握相關(guān)知識(shí)并正確理解題意是解題的關(guān)鍵．8．（23·24上·朝陽·期中）已知拋物線．(1)求該拋物線的項(xiàng)點(diǎn)坐標(biāo)（用含的式子表示）；(2)拋物線上有不同的兩點(diǎn)，若，直接寫出的值；(3)點(diǎn)在拋物線上，是否存在實(shí)數(shù)，使得恒成立？若存在，求出的取值范圍，若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，【分析】（1）由，可得頂點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）由題意知，關(guān)于直線對(duì)稱，即，計(jì)算求解即可；（3）由頂點(diǎn)坐標(biāo)為，，可知，當(dāng)時(shí)，隨著的增大而增大，當(dāng)時(shí)，隨著的增大而減?。挥?，可得，當(dāng)，即時(shí)，；當(dāng)，且，即時(shí)，；然后作答即可．【詳解】（1）解：∵，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）解：∵拋物線上有不同的兩點(diǎn)，，∴關(guān)于直線對(duì)稱，∴，解得，，∴；（3）解：∵頂點(diǎn)坐標(biāo)為，恒成立，∴，當(dāng)時(shí)，隨著的增大而增大，當(dāng)時(shí)，隨著的增大而減小；∵，∴，當(dāng)，即時(shí)，；當(dāng)，且，即時(shí)，；綜上所述，存在，當(dāng)時(shí)，．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)．解題的關(guān)鍵在于熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)．9．（23·24上·門頭溝·期中）已知拋物線．(1)直接寫出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)（用含a的式子表示）；(2)若點(diǎn)，在拋物線上，直接寫出a的取值范圍；(3)若，，都在拋物線上，是否存在實(shí)數(shù)m，使得恒成立?若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)或(3)存在，【分析】（1）由，可得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）令，則，解得，或，則二次函數(shù)圖象與軸的兩個(gè)交點(diǎn)為，，分當(dāng)時(shí)，，，由，，可知符合要求；當(dāng)時(shí)，，，由，，計(jì)算求解即可；（3）由，可知二次函數(shù)圖象開口向下，當(dāng)時(shí)，隨著的增大而增大；當(dāng)時(shí)，隨著的增大而減?。挥?，可知當(dāng)，且時(shí)，即，此時(shí)；當(dāng)，且時(shí)，無解；然后作答即可．【詳解】（1）解：∵，∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）解：令，則，解得，或，∴二次函數(shù)圖象與軸的兩個(gè)交點(diǎn)為，，當(dāng)時(shí)，，，∵，，∴符合要求；當(dāng)時(shí)，，，∵點(diǎn)，在拋物線上，∴，，解得，；綜上，a的取值范圍為或；（3）解：存在，；∵，∴二次函數(shù)圖象開口向下，當(dāng)時(shí)，隨著的增大而增大；當(dāng)時(shí)，隨著的增大而減小，∵，∴當(dāng)，且時(shí)，即，此時(shí)；當(dāng)，且時(shí)，無解；綜上，時(shí)，．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，不等式組的解集，二次函數(shù)與軸的交點(diǎn)．解題的關(guān)鍵在于熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)．壓軸題型四二次函數(shù)的最值問題1．（22·23下·二模）安安同學(xué)在正三角形中放入正方形和正方形（兩個(gè)正方形不重疊），使得在邊AB上，點(diǎn)P，N分別在邊上．下列說法正確的是（）A．兩個(gè)正方形邊長(zhǎng)和的最小值為 B．兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)差為3C．兩個(gè)正方形面積和的最小值為 D．兩個(gè)正方形面積和的最大值為【答案】D【分析】連接，設(shè)正方形、正方形的邊長(zhǎng)分別為，求得面積和的表達(dá)式為：，再結(jié)合（2）的結(jié)論，即可求出這兩個(gè)正方形面積和的最大值和最小值了．【詳解】解：如圖，連接，則．設(shè)正方形、正方形的邊長(zhǎng)分別為，它們的面積和為S，則，，∴，∴．延長(zhǎng)交于點(diǎn)G，則，在中，由勾股定理，．∵，即，∴，∴，∴，故選項(xiàng)A、B不正確；∴．①當(dāng)時(shí)，即時(shí)，S最?。?；故選項(xiàng)C不正確；②當(dāng)最大時(shí)，S最大．即當(dāng)a最大且b最小時(shí)，S最大．∵，由（2）知，，．∴．故選項(xiàng)D正確；故選：D．【點(diǎn)睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了等邊三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)，解題關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問題，屬于中考?jí)狠S題．2．（22·23下·三明·二模）已知二次函數(shù)（是常數(shù)，且）的最大值為，且該二次函數(shù)圖像經(jīng)過點(diǎn)，兩點(diǎn)，則的值可能是(

)A． B． C．0 D．1【答案】A【分析】根據(jù)題意，得到二次函數(shù)的對(duì)稱軸為，圖像開口向下；再由二次函數(shù)圖像經(jīng)過點(diǎn)，兩點(diǎn)，得到，從而由二次函數(shù)增減性知到對(duì)稱軸距離比到對(duì)稱軸距離近，列不等式求解即可得到答案．【詳解】解：二次函數(shù)（是常數(shù)，且）的最大值為，當(dāng)時(shí)有，即二次函數(shù)的對(duì)稱軸為，圖像開口向下，二次函數(shù)圖像經(jīng)過點(diǎn)，兩點(diǎn)，，即，，即，當(dāng)，即時(shí)，，解得；當(dāng)，即時(shí)，，解得；四個(gè)選項(xiàng)中的數(shù)字，只有滿足上述要求，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)圖像與性質(zhì)，難度較大，讀懂題意，將條件準(zhǔn)確轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的代數(shù)式求解是解決問題的關(guān)鍵．3．（22·23下·岳陽·一模）已知二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小，則的最大值為（

）A．4 B．6 C．8 D．【答案】C【分析】由二次函數(shù)解析式求出對(duì)稱軸，分類討論拋物線開口向下及開口向上的的取值范圍，將轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值即可．【詳解】解：拋物線的對(duì)稱軸為直線：，①當(dāng)時(shí)，拋物線開口向上，∵時(shí)，y隨x的增大而減小，∴，即．解得，∴，∵，∴．②當(dāng)時(shí)，拋物線開口向下，∵時(shí)，y隨x的增大而減小，∴，即，解得，∴，∵，當(dāng)時(shí)，有最大值，∵，∴此情況不存在．綜上所述，最大值為8．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是將的最大值轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值．4．（22·23上·開學(xué)考試）已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)．（1）和的代數(shù)關(guān)系為；（2）若，過點(diǎn)作直線軸，與軸交于點(diǎn)，與拋物線交于另一點(diǎn)，，點(diǎn)為直線上方拋物線上一點(diǎn)，求點(diǎn)到直線距離的最大值為．【答案】9【分析】（1）將點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得：，即可求解；（2）當(dāng)點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)到直線距離的最大值，即可求解．【詳解】解：（1）將點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得：，整理得：，故答案為：；（2）由拋物線的表達(dá)式知，其對(duì)稱軸為，而，故拋物線的對(duì)稱軸，即點(diǎn)在對(duì)稱軸的左側(cè)，根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性，點(diǎn)，，故，即，解得：，則點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，拋物線的表達(dá)式為：，當(dāng)點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)到直線距離的最大值，由拋物線的表達(dá)式得，故頂點(diǎn)，則到直線距離的最大值，故答案為：9．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，利用軸對(duì)稱求出的值是解題的關(guān)鍵．5．（22·23·成都·三模）定義：將函數(shù)的圖象繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，得到新的函數(shù)的圖象，我們稱函數(shù)是函數(shù)關(guān)于點(diǎn)P的相關(guān)函數(shù)．如果當(dāng)時(shí)，函數(shù)關(guān)于點(diǎn)的相關(guān)函數(shù)的最大值為8，則m的值為．【答案】或【分析】先求出該函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)題目所給新定義和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，求出其相關(guān)函數(shù)的表達(dá)式，最后根據(jù)對(duì)稱軸的不同位置，進(jìn)行分類討論即可．【詳解】解：∵，，∴該函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)該函數(shù)關(guān)于點(diǎn)的相關(guān)函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∴，，解得：，，∴設(shè)該函數(shù)關(guān)于點(diǎn)的相關(guān)函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∴設(shè)該函數(shù)關(guān)于點(diǎn)的相關(guān)函數(shù)為；①當(dāng)時(shí)，，∵，開口向下，∴當(dāng)時(shí)，y有最大值，，解得：，（舍）；②當(dāng)時(shí)，時(shí)，當(dāng)時(shí)，y有最大值，，解得：（舍），（舍），③當(dāng)時(shí)，，∵，開口向下，∴當(dāng)時(shí)，y有最大值，，解得：（舍），（舍）；綜上：或．故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)他題意得出該函數(shù)以及其相對(duì)函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)連線中點(diǎn)為，根據(jù)對(duì)稱軸的不同位置進(jìn)行分類討論．6．（22·23下·合肥·二模）已知：關(guān)于的二次函數(shù)，（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為．（2）若函數(shù)的最大值為，則的最小值為．【答案】【分析】（1）將代入解析式，得出二次函數(shù)圖象開口向上，對(duì)稱軸為，當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小，則函數(shù)的最大值為時(shí)，；（2）根據(jù)，先求得當(dāng)時(shí)的的值，進(jìn)而分，分別求得關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，進(jìn)而畫出函數(shù)圖象，即可求解．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，∵系數(shù)為，則二次函數(shù)圖象開口向上，對(duì)稱軸為，∴當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小，∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為時(shí)，，故答案為：．（2）對(duì)稱軸為，∵，①當(dāng)時(shí)，即時(shí)，當(dāng)和時(shí)的函數(shù)值相等，拋物線解析式為，在，當(dāng)或時(shí)，最大值為,②當(dāng)時(shí)，即，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值大于對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，∴，③當(dāng)時(shí)，即，∴關(guān)于的函數(shù)圖象，如圖所示，∴的最小值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．（23·24上·蘇州·階段練習(xí)）已知拋物線與直線都經(jīng)過點(diǎn)，拋物線與y軸交點(diǎn)為，過點(diǎn)B作x軸平行線，與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為C，直線與拋物線對(duì)稱軸交與點(diǎn)D，將點(diǎn)D向上平移一個(gè)單位得到點(diǎn)E，點(diǎn)E不在直線上方．(1)______；______；______；（均用含m的代數(shù)式表示）(2)若拋物線的頂點(diǎn)為G，求的最小值及此時(shí)m的值；(3)連接、、，直接寫出是______三角形．【答案】(1)(2)當(dāng)時(shí)，有最小值(3)等腰直角【分析】（1）將代入即可求出b的值，將、代入，即可求出a和k的值；（2）根據(jù)（1）可得拋物線的表達(dá)式為，一次函數(shù)表達(dá)式為，求出，則，即可求出和，再根據(jù)三角形的面積公式求出和，即可得出的表達(dá)式，將其化為頂點(diǎn)式，即可解答；（3）根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式求出，，，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：將代入得：，解得：，將、代入得：，解得：，故答案為：；（2）解：∵，∴拋物線的表達(dá)式為，∴，∵，∴一次函數(shù)表達(dá)式為，把代入得：，∴，∵點(diǎn)D向上平移一個(gè)單位得到點(diǎn)E，∴，∵點(diǎn)E不在直線上方，軸，∴，解得：∵，，∴軸，則，∴點(diǎn)B到的距離為m，∴，∵，，∴軸，則，∴點(diǎn)A到的距離為，∴，∴，∵，∴當(dāng)時(shí)，有最小值；（3）解：∵拋物線的表達(dá)式為，∴拋物線對(duì)稱軸為直線，設(shè)∵，∴，解得：，∴，∵、，∴，，，∵，∴是等腰三角形，∵，∴是直角三角形，綜上：是等腰直角三角形．故答案為：等腰直角．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)和一次函數(shù)綜合，等腰三角形的定義，勾股定理逆定理，解題的關(guān)鍵是掌握用待定系數(shù)大求解函數(shù)表達(dá)式的方法和步驟．8．（23·24上·廣州·期中）已知函數(shù)，記該函數(shù)圖象為．(1)當(dāng)時(shí)，①已知在該函數(shù)圖象上，求的值；②當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值．(2)當(dāng)時(shí)，作直線與軸交于點(diǎn)，與函數(shù)交于點(diǎn)，若時(shí)，求的值；(3)當(dāng)時(shí)，設(shè)圖象與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交直線于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，若，求的值．【答案】(1)①；②;(2)6或14(3)．【分析】（1）①將代入解析式，將代入對(duì)應(yīng)解析式求解．②將分為兩部分確定y的最大值，當(dāng)時(shí)，將配方可得最值，再將代入中，可得，對(duì)比可得函數(shù)G的最大值；（2）分兩種情況：Q在x軸的上方和下方；證明是等腰直角三角形，得，列方程可得結(jié)論；（3）分兩種情況：①，如圖2，過點(diǎn)C作軸于D，證明，得，列方程可得結(jié)論；②，如圖3，同理可得結(jié)論．【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，，①∵在該函數(shù)圖象上，∴；②當(dāng)時(shí)，∵，∴當(dāng)時(shí)，y有最大值是，當(dāng)時(shí)，，∵，∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)G的最大值是，（2）分兩種情況：①如圖1，當(dāng)Q在x軸上方時(shí)，由題意得：，

∵，，∴是等腰直角三角形，∴，∴解得：，∵，∴；②當(dāng)Q在x軸下方時(shí)，同理得：解得：，∵，∴；綜上，m的值是6或14（3）分兩種情況：①如圖2，當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)C作軸于D，

當(dāng)時(shí)，，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，當(dāng)時(shí)，，即，，解得：，∴，且，∵點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為a，C點(diǎn)的縱坐標(biāo)為c，若，∴，∴，∵，∴，解得：（此時(shí)，A，B，C三點(diǎn)重合，舍），，②當(dāng)時(shí)，如圖3，過點(diǎn)C作軸于D，

同理得：，當(dāng)時(shí)，，則，解得：（舍），∴，∴，解得：（舍去），綜上，m的值是．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合運(yùn)用，主要考查了函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)關(guān)系式的確定，解題的關(guān)鍵是對(duì)關(guān)鍵點(diǎn)進(jìn)行分析，理解分段函數(shù)，并利用圖象解答．9．（23·24上·雞西·期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．

(1)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)如圖①，二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸與直線AC交于點(diǎn)D，若E是直線AC上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求面積的最大值；(3)如圖②，P是直線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，使是等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)(3)點(diǎn)P的坐標(biāo)為或或或．【分析】（1）利用待定系數(shù)法，設(shè)拋物線的交點(diǎn)式直接得出結(jié)果；（2）先求出拋物線的對(duì)稱軸，直線解析式，進(jìn)而求得，坐標(biāo)，過點(diǎn)與軸垂直的直線交與，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，從而得出，根據(jù)二次函數(shù)的最值得出結(jié)果；（3）設(shè)點(diǎn)P為．用兩點(diǎn)距離公式用表示出、，根據(jù)等腰三角形的定義分三種情況列出方程求解即可.【詳解】（1）解：由題意得，；（2）解：如圖1，

由拋物線得：拋物線的對(duì)稱軸是直線：，拋物線與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)為又∵直線過、，∴直線解析式為當(dāng)時(shí)，，，設(shè)過點(diǎn)與軸垂直的直線交AC與，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，∴，∵，∴即∴當(dāng)時(shí)，；（3）解：設(shè)，則，，當(dāng)時(shí)，由得，，，，，當(dāng)時(shí)，由得，，，，當(dāng)時(shí)，由得，，，，，綜上所述：點(diǎn)P的坐標(biāo)為或或或．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)及其圖象的性質(zhì)，一元二次方程的解法，等腰三角形的定義、三角形面積的求法等知識(shí)，解決問題（2）的關(guān)鍵是利用鉛直法求三角形面積。解決問題（3）的關(guān)鍵是利用平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)距離公式表示三角形三邊長(zhǎng)．壓軸題型五二次函數(shù)的存在性問題1．（22·23上·濟(jì)南·期末）如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)，連接，點(diǎn)為線段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合），過點(diǎn)作軸交拋物線于點(diǎn)．(1)求拋物線的表達(dá)式和對(duì)稱軸；(2)設(shè)P的橫坐標(biāo)為t，請(qǐng)用含t的式子表示線段的長(zhǎng)，并求出線段的最大值；(3)已知點(diǎn)M是拋物線對(duì)稱軸上的一個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)N是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)線段取得最大值時(shí)，是否存在這樣的點(diǎn)M，N，使得四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)，直線(2)，最大值為4(3)，或，【分析】（1）根據(jù)與x軸交點(diǎn)可得頂點(diǎn)式，化簡(jiǎn)即可求解；（2）由，即可求解；（3）當(dāng)四邊形是菱形時(shí)，則，即可求解．【詳解】（1）解：設(shè)拋物線的表達(dá)式為：，即，則拋物線的對(duì)稱軸為直線；（2）設(shè)直線的表達(dá)式為：，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入上式得：，解得：，故直線的表達(dá)式為：，設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，則，，故有最大值，當(dāng)時(shí)，的最大值為4；（3）存在，理由：當(dāng)時(shí)，點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，，而點(diǎn)；四邊形是菱形，則，即，解得：，即點(diǎn)的坐標(biāo)為，或，．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（22·23上·南川·期末）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與軸于，兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，點(diǎn)P是直線BC下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．(1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；(2)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)Р運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，使四邊形ACPB的面積最大，求出此時(shí)四邊形ACPB的面積最大值和P的坐標(biāo)；(3)如圖2，點(diǎn)M在拋物線對(duì)稱軸上，點(diǎn)N是平面內(nèi)一點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)M、N，使得以點(diǎn)M、N、A、C為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)直接寫出所有M點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)當(dāng)時(shí)，四邊形ABCP的最大值是，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3)存在，、、、【分析】（1）由二次函數(shù)的圖象與x軸交于兩點(diǎn)，直接利用待定系數(shù)法，即可求得這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，即可由求得答案；（3）分別從當(dāng)，，AC為對(duì)角線，結(jié)合菱形的性質(zhì)去分析求解即可求得答案．【詳解】（1）∵二次函數(shù)的圖象與x軸交于兩點(diǎn)，∴，解得：，∴這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式為：；（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為∵∴當(dāng)時(shí)，四邊形ABCP的最大值是，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3）∵∴拋物線的對(duì)稱軸為直線，當(dāng)時(shí)，，∴設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，則：，，，設(shè)的中點(diǎn)為Q，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為即，∴，當(dāng)時(shí)，則∴解得，∴、；當(dāng)時(shí)，則，∴解得，∴、；舍去，此時(shí)M、A、C三點(diǎn)共線，無法構(gòu)成菱形當(dāng)AC為對(duì)角線時(shí)則有：∴解得，∴∴存在這樣的點(diǎn)M、N能夠使得以點(diǎn)M、N、A、C為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為：、、、【點(diǎn)睛】此題屬于二次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)求函數(shù)解析式的知識(shí)、二次函數(shù)的最值問題以及菱形的性質(zhì)．注意掌握分類討論思想的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵．3．（22·23下·永州·一模）已知拋物線（，為常數(shù)，且）的對(duì)稱軸為，且過點(diǎn)．點(diǎn)是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，直線的解析式為，直線與軸相交于點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)當(dāng)直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)當(dāng)時(shí)，是否存在的值，使函數(shù)的最大值為，若存在，請(qǐng)求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，t的值為或【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解；（2）聯(lián)立兩個(gè)函數(shù)解析式得，由直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，得Δ，求出c，得直線的解析式，即可求出點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（3）分類討論：①當(dāng)時(shí)，②當(dāng)時(shí)，③當(dāng)時(shí)，分別求解．【詳解】（1）解：由題意可得，該拋物線對(duì)稱軸為，將點(diǎn)代入拋物線解析式得：，聯(lián)立，解得，∴拋物線的解析式為；（2）由，消去整理得，∵直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，∴Δ，解得，∴直線的解析式為，令得，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為；（3）分類討論：①當(dāng)時(shí)，，∵，對(duì)稱軸為，∴此時(shí)y隨x的增大而增大，∴，由，解得：（舍去）②當(dāng)時(shí)，函數(shù)在頂點(diǎn)處取得最大值，即當(dāng)時(shí)，取得最大值=（不符題意，舍去）

③當(dāng)時(shí)，，∵，對(duì)稱軸為，∴此時(shí)y隨x的增大而減小，∴當(dāng)時(shí)，y取得最大值，y的最大值，由，解得：（舍去）或．綜上可知t的值為或．【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)的綜合知識(shí)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，直線與拋物線交點(diǎn)問題，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，正確掌握二次函數(shù)的知識(shí)是解題的關(guān)鍵．4．（22·23下·臨滄·一模）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線的對(duì)稱軸上．(1)若點(diǎn)E在x軸下方的拋物線上，求面積的最大值．(2)拋物線上是否存在一點(diǎn)F，使得以點(diǎn)A，C，D，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)16(2)存在，點(diǎn)F的坐標(biāo)為或或【分析】（1）由面積，即可求解；（2）當(dāng)是對(duì)角線時(shí)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得：，則，即可求解；當(dāng)是對(duì)角線時(shí)，同理可得．【詳解】（1）解：由題意得，拋物線的表達(dá)式為：，則，解得：，則拋物線的表達(dá)式為：，面積，故最大時(shí)，面積的最大，此時(shí)點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，則面積的最大值；（2）存在，理由：由拋物線的表達(dá)式知，其對(duì)稱軸為，點(diǎn)，故設(shè)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，其中，，當(dāng)是對(duì)角線時(shí)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得：，則，則點(diǎn)的坐標(biāo)為：；當(dāng)是對(duì)角線時(shí)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得：，則，則點(diǎn)的坐標(biāo)為：；當(dāng)是對(duì)角線時(shí)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得：，則，則點(diǎn)的坐標(biāo)為：；綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)為：或或．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)圖象和性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，平行四邊形的性質(zhì)，此題綜合性較強(qiáng)，中等難度，是一道很好的試題．5．（22·23下·株洲·開學(xué)考試）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，直線經(jīng)過、兩點(diǎn)．

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式．(2)求點(diǎn)的坐標(biāo)及直線的表達(dá)式．(3)在直線上方的拋物線上存在一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作軸，交于點(diǎn)，請(qǐng)求出線段的最大值．【答案】(1)(2)，(3)【分析】（1）將A代入二次函數(shù)表達(dá)式，求出c值即可得解；（2）根據(jù)二次函數(shù)表達(dá)式可得點(diǎn)C坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)表達(dá)式；（3）設(shè)，，求出，再利用二次函數(shù)的最值求解．【詳解】（1）解：將代入中，得：，解得：，∴；（2）在中，令，則，∴，將，代入中，得：，解得：，∴直線的表達(dá)式為：；（3）設(shè)，其中，則，∴，∴當(dāng)時(shí)，線段的最大值為．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)解析式和一次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的最值問題，解題的關(guān)鍵是正確求出函數(shù)解析式，表示出的長(zhǎng)．6．（22·23·綏化·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與軸交于、兩點(diǎn)，與軸交于，點(diǎn)在原點(diǎn)的左側(cè)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)是拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且在直線的上方．

(1)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式．(2)連接、，并把沿翻折，得到四邊形，那么是否存在點(diǎn)，使四邊形為菱形？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．(3)當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，使的面積最大，求出點(diǎn)的坐標(biāo)和的面積最大值．【答案】(1)(2)存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為(3)點(diǎn)的坐標(biāo)為，的面積的最大值為【分析】（1）利用待定系數(shù)法可直接求出二次函數(shù)的解析式；（2）先設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，再求出的坐標(biāo)，利用菱形的對(duì)角線互相垂直且鄰邊相等即可求出點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）先設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，然后作平行軸交與點(diǎn)，將三角形和三角形的面積表示出來，再求出最大值的條件和最大值．【詳解】（1）解：把點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得，解得，二次函數(shù)得表達(dá)式為；（2）解：存在點(diǎn)，使四邊形為菱形，設(shè)，交于點(diǎn)，若四邊形是菱形，則，連接，則，，，解得，不合題意，舍去，點(diǎn)的坐標(biāo)為；

（3）解：如圖，過點(diǎn)作軸的平行線與交于點(diǎn)，

設(shè)，設(shè)直線的解析式為，則有，解得：，∴直線的解析式為，則，，當(dāng)時(shí)，的面積最大，將代入，得，點(diǎn)的坐標(biāo)為，的面積的最大值為．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，關(guān)鍵是要會(huì)用待定系數(shù)法求拋物線的解析式，還要牢記菱形的性質(zhì)：菱形的對(duì)角線互相垂直，菱形的四條邊都相等，對(duì)于求三角形面積最大值的問題，一般是將三角形分割成兩個(gè)三角形，即作軸的平行線或軸的平行線，然后再利用面積公式得出一個(gè)二次函數(shù)，求出頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)即是最大值．7．（22·23上·洛陽·期中）如圖，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)在拋物線上；

(1)求拋物線的解析式；(2)拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使得周長(zhǎng)最小，若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)及周長(zhǎng)的最小值；(3)若點(diǎn)M是直線下方的拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過M作y軸的平行線與線段交于點(diǎn)N，求線段的最大值．【答案】(1)(2),(3)【分析】（1）將點(diǎn)A、D的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式，即可求解；（2）點(diǎn)A關(guān)于函數(shù)對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)B，連接交函數(shù)對(duì)稱軸于點(diǎn)P，則點(diǎn)P為所求點(diǎn)，求出直線的表達(dá)式，進(jìn)一步即可求解；（3）先求出直線解析式，設(shè)N橫坐標(biāo)為x，用含x的代數(shù)式表示線段，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：將點(diǎn)、代入拋物線表達(dá)式得：，解得：，拋物線的表達(dá)式為：；（2），令，則,解得或，令，則，故點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別為：、；函數(shù)的對(duì)稱軸為直線，

點(diǎn)A關(guān)于函數(shù)對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)B，連接交函數(shù)對(duì)稱軸于點(diǎn)P，則點(diǎn)P為所求點(diǎn)，設(shè)直線的表達(dá)式為，將點(diǎn)D、B的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式得：，解得：，故BD的函數(shù)表達(dá)式為，當(dāng)時(shí)，，即點(diǎn)，此時(shí)周長(zhǎng)的最小值；（3）如圖，

設(shè)直線的解析式是，把點(diǎn)，代入中，解得，∴直線解析式為．設(shè)N橫坐標(biāo)為x，則，，∴，∵，∴拋物線開口向下，∴當(dāng)時(shí)，的最大值為．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到拋物線和直線的待定系數(shù)法求解析式，軸對(duì)稱-最短問題，二次函數(shù)的最值等，解題關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法求拋物線解析式．8．（22·23下·聊城·三模）拋物線與x軸交于點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)，點(diǎn)P為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)．

(1)求b，c的值；(2)若P為直線上方拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，作軸交直線于點(diǎn)H，求的最大值；(3)點(diǎn)N為拋物線對(duì)稱軸上的動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)N，使直線垂直平分線段？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)N的縱坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)b=2，c=3(2)PH取得最大值為(3)存在，或【分析】（1）將坐標(biāo)代入解析式，構(gòu)建方程求解；（2）設(shè)交y軸于點(diǎn)M，，則；待定系數(shù)法確定直線的解析式為，從而確定，解得最大值為；（3）如圖，設(shè)與交于點(diǎn)G，可設(shè)直線的解析式為，設(shè)點(diǎn)，求得；聯(lián)立，解得，所以點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為，由二次函數(shù)解析式構(gòu)建方程，解得；【詳解】（1）∵拋物線與x軸交于點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)，∴，解得：，∴b=2，c=3；（2）設(shè)交y軸于點(diǎn)M，，∴，∵軸，∴點(diǎn)H的縱坐標(biāo)為，設(shè)直線AC的解析式為，∴，解得：，∴直線的解析式為．∴，∴，∴，∴，∴當(dāng)時(shí)，取得最大值為（3）存在點(diǎn)N，使直線垂直平分線段，點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為或

如圖，設(shè)與交于點(diǎn)G，∵垂直平分，直線的解析式為∴可設(shè)直線的解析式為設(shè)點(diǎn)，則∴，∴聯(lián)立，解得∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為∴，解得∴點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題考查利用二次函數(shù)解析式及點(diǎn)坐標(biāo)求待定參數(shù)、待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式、二次函數(shù)極值及其它二次函數(shù)綜合問題，利用直線間的位置關(guān)系、點(diǎn)線間的位置關(guān)系，融合方程的知識(shí)求解坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．9．（22·23上·綿陽·期中）如圖1，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)、，與y軸交于點(diǎn)．(1)求二次函數(shù)的解析式；(2)在二次函數(shù)的對(duì)稱軸上是存在點(diǎn)K，使為等腰三角形，若存在，請(qǐng)求出K點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由；(3)如圖2，若點(diǎn)P是二次函數(shù)圖象上位于下方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，作交于M，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，求的最大值．【答案】(1)(2)存在，滿足條件的K點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或或；(3)的最大值為1【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）可求得拋物線的對(duì)稱軸為直線，故設(shè)，分、、三種情況，結(jié)合兩點(diǎn)坐標(biāo)距離公式求解即可；（3）先求得的解析式，根據(jù)題意可得，則，可得，運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：將、、代入中，得：，解得：，∴該二次函數(shù)的解析式為；（2）解：存在．∵二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線，∴設(shè)，∵，，∴，，，當(dāng)時(shí)，，解得：；當(dāng)時(shí)，，解得：；當(dāng)時(shí)，，解得：，綜上，滿足條件的K點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或或；（3）解：設(shè)直線的解析式為，則，解得：，∴直線的解析式為．根據(jù)題意，，則，，∴，∵，∴當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為1．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，涉及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、兩點(diǎn)坐標(biāo)距離公式、解一元二次方程、坐標(biāo)與圖形等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系與運(yùn)用，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合和分類討論思想求解是解答的關(guān)鍵．壓軸題型六二次函數(shù)與一元二次方程關(guān)系1．（23·24上·西城·期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于A，兩點(diǎn)，且．若將此拋物線先向左平移3個(gè)單位，再向下平移個(gè)單位，所得新拋物線與軸兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為8，則的值為（

）．

A．6 B．12 C．24 D．36【答案】C【分析】設(shè)兩根為，根據(jù)得到，由題意得出當(dāng)時(shí)，拋物線上兩點(diǎn)之間距離為8，得，解方程求出即可．【詳解】解：拋物線，當(dāng)時(shí)，設(shè)兩根為，則，，，，，即，將此拋物線先向左平移3個(gè)單位，再向下平移個(gè)單位，所得新拋物線與軸兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為8，即當(dāng)時(shí)，拋物線上兩點(diǎn)之間距離為8，設(shè)兩根為，則，，，，即，，，解得：．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線與x軸交點(diǎn)問題及拋物線的平移、一元二次方程根于系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．2．（23·24上·西城·期中）拋物線與軸交于兩點(diǎn)，若點(diǎn)的坐標(biāo)是，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】把的坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式求出的值，然后得到二次函數(shù)的解析式為：，當(dāng)時(shí)，，求解即可得到答案．【詳解】解：拋物線與軸交于兩點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)是，，解得：，該二次函數(shù)的解析式為：，當(dāng)時(shí)，，解得：，，，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與軸的交點(diǎn)問題、求二次函數(shù)的解析式，先求出的值是解此題的關(guān)鍵．3．（23·24上·中山·期中）如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于，兩點(diǎn)，下列說法正確的是（

）A．拋物線的對(duì)稱軸為直線 B．拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為C．，兩點(diǎn)之間的距離為7 D．當(dāng)時(shí)，的值隨值的增大而增大【答案】C【分析】待定系數(shù)法求得二次函數(shù)解析式，進(jìn)而逐項(xiàng)分析判斷即可求解．【詳解】解：∵二次函數(shù)的圖象與x軸交于，兩點(diǎn)，∴，∴，∴二次函數(shù)解析式為，∴對(duì)稱軸為直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，故A，B選項(xiàng)不正確，不符合題意；∵，拋物線開口向上，當(dāng)時(shí)，的值隨值的增大而增大，故D選項(xiàng)不正確，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，解得，，∴，∴，故C選項(xiàng)正確，符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（23·24上·南通·階段練習(xí)）二次函數(shù)的圖象如圖所示，若關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根異號(hào)，則m的取值范圍是．

【答案】【分析】可得，令，可得一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根異號(hào)，就是拋物線與直線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)異號(hào)，據(jù)此結(jié)合圖象即可求解．【詳解】解：由得，令，一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根異號(hào)，拋物線與直線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)異號(hào)，如圖，

由圖可得：拋物線與直線交點(diǎn)在軸上方時(shí)，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)異號(hào)，解得：；故答案：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)中數(shù)形結(jié)合能力，利用二次函數(shù)圖象根據(jù)方程根的情況確定參數(shù)的取值范圍，掌握解法是解題的關(guān)鍵．5．（23·24上·蘇州·階段練習(xí)）我們約定：為函數(shù)的關(guān)聯(lián)數(shù)，當(dāng)其圖像與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)時(shí)，該交點(diǎn)為“整交點(diǎn)”，若關(guān)聯(lián)數(shù)為的函數(shù)圖像與x軸有兩個(gè)整交點(diǎn)（m為正整數(shù)），則m為．【答案】1或5/5或1【分析】由題意知，，令，則，解得，，，根據(jù)m為正整數(shù)，可知當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，符合題意，然后作答即可．【詳解】解：由題意知，，令，則，解得，，，∴當(dāng)時(shí)，，符合題意；當(dāng)時(shí)，，符合題意，故答案為：1或5．【點(diǎn)睛】本題考查了求拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．解題的關(guān)鍵在于理解題意并正確的解方程．6．（23·24上·蘇州·階段練習(xí)）若關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為，，則拋物線與x軸的公共點(diǎn)坐標(biāo)為．【答案】【分析】根據(jù)題意，設(shè)拋物線，可得的根就是拋物線與軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，而拋物線為拋物線向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度得到，據(jù)此即可解答．【詳解】解：設(shè)拋物線，的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為，，拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，拋物線為拋物線向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度得到，拋物線與x軸的公共點(diǎn)坐標(biāo)為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，二次函數(shù)的平移，熟練掌握上述性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．（23·24上·武漢·階段練習(xí)）如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)．

(1)的值為___________；(2)當(dāng)滿足___________時(shí)，的值隨值的增大而減小；(3)當(dāng)滿足___________時(shí)，拋物線在軸上方；(4)當(dāng)滿足時(shí)，的取值范圍是___________．【答案】(1)3(2)(3)(4)【分析】（1）把點(diǎn)代入拋物線的關(guān)系式，求出m的值即可；（2）根據(jù)二次函數(shù)圖像的性質(zhì)，求出對(duì)稱軸，即可得出答案；（3）先求出拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖像即可得出答案；（4）根據(jù)二次函數(shù)的的增減性結(jié)合函數(shù)圖像，求出當(dāng)時(shí)，y的取值范圍即可．【詳解】（1）解：把點(diǎn)代入拋物線的關(guān)系式得：．故答案為：3．（2）解：把代入得：，對(duì)稱軸為直線，∵，∴當(dāng)時(shí)y的值隨x值的增大而減?。还蚀鸢笧椋海?）解：根據(jù)解析（1）可知，拋物線的關(guān)系式為：，把代入得：，解得：，，∴拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為：，，∴結(jié)合函數(shù)圖像可知，當(dāng)時(shí)，拋物線在x軸上方；故答案為：．（4）解：結(jié)合函數(shù)圖像可知，當(dāng)時(shí)，y可以取最大值，且最大值為：，∵，∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值，且最小值為：，∴當(dāng)時(shí)，y的取值范圍是．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了求二次函數(shù)解析式，對(duì)稱軸，與x軸的交點(diǎn)，函數(shù)值，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，注意進(jìn)行數(shù)形結(jié)合．8．（22·23上·淮安·階段練習(xí)）如圖．已知二次函數(shù)的圖像與軸的一個(gè)交點(diǎn)為，與軸交于點(diǎn)．

(1)______；(2)此二次函數(shù)關(guān)系式為______；(3)在軸的負(fù)半軸上是否存在點(diǎn)．使得是以為腰的等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)(3)點(diǎn)的坐標(biāo)為或【分析】（1）把代入二次函數(shù)求出點(diǎn)的坐標(biāo)可得出答案；（2）把點(diǎn)的坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式，求出的值，則可確定二次函數(shù)關(guān)系式；（3）分兩種情況，由等腰三角形的性質(zhì)可求出答案．【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，故答案為：；（2）把點(diǎn)代入二次函數(shù)有：，得：，二次函數(shù)的解析式為：，故答案為：；（3）若，則，；若，，，，，，綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法，二次函數(shù)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)二次函數(shù)的概念求出拋物線的解析式；（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，利用勾股定理求出點(diǎn)的坐標(biāo)．9．（23·24上·寧波·階段練習(xí)）如圖，拋物線與直線相交于點(diǎn)，，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，與軸相交于點(diǎn)．

(1)求出拋物線的解析式．(2)求出拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．(3)根據(jù)圖象，當(dāng)時(shí)，直接寫出自變量的取值范圍．【答案】(1)(2)，(3)或【分析】（1）將，代入拋物線解析式求解即可；（2）令，解方程即可；（3）根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性可得，結(jié)合函數(shù)圖象，寫出在軸上方且在直線下方所對(duì)應(yīng)的自變量的范圍即可．【詳解】（1）解：把，代入拋物線解析式，得：，解得：，，拋物線解析式為；（2）解：拋物線解析式為，當(dāng)，則，解得：,與軸交點(diǎn)為，；（3）解：點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，，，當(dāng)或時(shí)，．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與不等式（組），待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，解題的關(guān)鍵在于數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用．壓軸題型七二次函數(shù)的綜合應(yīng)用（含參）1．（23·24上·咸寧·階段練習(xí)）某超市銷售一種商品，成本價(jià)為20元/千克，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查，每天銷售量y（千克）與銷售單價(jià)x（元/千克）之間的關(guān)系如圖所示，規(guī)定每千克售價(jià)不能低于30元，且不高于80元．設(shè)每天的總利潤(rùn)為w元．

(1)根據(jù)圖象求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)請(qǐng)求出w與x之間的函數(shù)關(guān)系式，當(dāng)銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，該超市每天的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少元？(3)若該超市銷售該商品所獲利潤(rùn)不低于2800元，請(qǐng)直接寫出x的取值范圍．【答案】(1)(2)；80元；6000元(3)【分析】（1）設(shè)與之間的函數(shù)關(guān)系式為，由待定系數(shù)法求解即可；（2）利用總利潤(rùn)等于每千克的利潤(rùn)乘以銷售量列出函數(shù)關(guān)系，將關(guān)于的二次函數(shù)寫成頂點(diǎn)式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)及自變量的取值范圍可得答案．（3）當(dāng)時(shí)，得或，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和題目中x滿足的條件綜合得出x的取值范圍．【詳解】（1）解：設(shè)與之間的函數(shù)關(guān)系式為，將；分別代入得：，解得：，與之間的函數(shù)關(guān)系式為；（2）由題意得：，；，，拋物線開口向下，對(duì)稱軸為直線，當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，當(dāng)時(shí)，有最大值，此時(shí)，當(dāng)銷售單價(jià)定為80元時(shí)，該超市每天的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是6000元．（3），當(dāng)時(shí)，，解得，或，拋物線開口向下時(shí)，，【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)在銷售問題中的應(yīng)用，理清題中的數(shù)量關(guān)系并熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（23·24上·和平·期中）一個(gè)滑雪者從山坡滑下，為了得出滑行距離s（單位：m）與滑行時(shí)間t（單位：s）之間的關(guān)系式，在滑道上設(shè)置了幾個(gè)固定的計(jì)時(shí)點(diǎn)，測(cè)得一些數(shù)據(jù)（如表格）．位置編號(hào)①②③④⑤⑥滑行時(shí)間t/s01234滑行距離s/m0131448為觀察s與t之間的關(guān)系，建立坐標(biāo)系，以t為橫坐標(biāo)，s為縱坐標(biāo)，描出表中數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)（如圖）．可以看出，其中絕大部分的點(diǎn)都近似的位于某條拋物線上．于是，我們用二次函數(shù)來近似的表示s與t的關(guān)系．

(1)在位置①處，當(dāng)時(shí)，，所以______；(2)有一個(gè)計(jì)時(shí)點(diǎn)的計(jì)時(shí)裝置出現(xiàn)了故障，請(qǐng)同學(xué)們用平滑曲線連接這些絕大部分的點(diǎn)，通過觀察發(fā)現(xiàn)故障點(diǎn)的位置編號(hào)可能是______；(3)利用函數(shù)圖象推測(cè)當(dāng)此滑雪者滑行距離為30m時(shí)，用時(shí)約為______s（結(jié)果保留一位小數(shù)）；(4)求s與t的函數(shù)關(guān)系式，并求出滑雪者在故障位置的滑行距離．【答案】(1)(2)平滑曲線見詳解，③(3)(4)（），【分析】（1）將，代入函數(shù)解析式，即可求解；（2）畫出圖象，觀察圖象即可求解；（3）根據(jù)圖象可找出當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的近似值，即可求解；（4）圖象經(jīng)過，，可求，驗(yàn)證，是否在拋物線上，從而可以確定s與t的函數(shù)關(guān)系式，再當(dāng)即可求解．【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，，，，故答案：．（2）解：畫圖如下，

觀察圖象可知，除了③號(hào)點(diǎn)，其它各點(diǎn)都在同一個(gè)拋物線上，故這個(gè)計(jì)時(shí)點(diǎn)的位置編號(hào)可能是③．故答案為：③；（3）解：如圖，

由圖象得：當(dāng)此滑雪者滑行距離為30m時(shí)，用時(shí)約為，故答案：．（4）解：由題意得，圖象經(jīng)過，，則有，解得：，，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，，在拋物線上，s與t的函數(shù)關(guān)系式（），當(dāng)時(shí)，（），答：s與t的函數(shù)關(guān)系式（），滑雪者在故障位置的滑行距離．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．3．（23·24上·階段練習(xí)）如圖，函數(shù)的圖象交軸于點(diǎn)和點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．

(1)求拋物線的函數(shù)解析式；(2)點(diǎn)在拋物線上，求當(dāng)時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)點(diǎn)坐標(biāo)為【分析】（1）運(yùn)用待定系數(shù)法即可求解；（2）根據(jù)題意，分類討論：①如圖所示，連接，當(dāng)在下方時(shí)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，可證求出點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求出直線的解析式，根據(jù)直線與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)的計(jì)算方法即可求解；②如圖所示，連接，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，可證求出點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求出直線的解析式，再根據(jù)直線與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)的計(jì)算方法即可求解．【詳解】（1）解：∵函數(shù)的圖象交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，∴，解得，，∴拋物線的解析式為．（2）解：拋物線的解析式為，，∴令，則，，∴，則，∵，∴，①如圖所示，連接，當(dāng)在下方時(shí)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，

∴四邊形是矩形，即，，∵，∴，∵，，∴，∴，∴，，且點(diǎn)在第二象限，∴，設(shè)直線所在直線的解析式為，且，，∴，解得，，∴直線的解析式為，∵直線與拋物線交于點(diǎn)，∴，解得，（與點(diǎn)重合，不符合題意，舍去）或，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為；②如圖所示，連接，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，

∵，∴，同理可證，，∴，，∴，設(shè)直線所在直線解析式為，且，，∴，解得，，∴直線的解析式為，∴，解得，（舍去）或，當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，點(diǎn)在第四象限，∵，，∴，且，∴，∴當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)不符合題意，舍去；綜上所述，點(diǎn)坐標(biāo)為．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)圖像的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（21·22·模擬預(yù)測(cè)）問題提出：（1）如圖1，等邊的邊長(zhǎng)為1，是邊上的一點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為．設(shè)線段的長(zhǎng)度為，的面積為，求與的函數(shù)關(guān)系式．問題解決：（2）某路口拐角處有一個(gè)五邊形空地．為方便市民出行的需要，市政局準(zhǔn)備在這片空地上給廣大來往群眾搭建一個(gè)既能遮陽又能避雨的遮陽棚．經(jīng)過勘測(cè)發(fā)現(xiàn)，在如圖2所示的五邊形中，，，米，，根據(jù)該路口的實(shí)際條件限制，需將遮陽棚形狀設(shè)計(jì)為三角形，且的頂點(diǎn)、、分別在邊、、上，為的中點(diǎn)，，為進(jìn)一步提升市民的出行體驗(yàn)，想讓遮陽棚面積盡可能大．請(qǐng)問，是否存在符合設(shè)計(jì)要求