第十三講 一元二次方程的判別式與根系關(guān)系(教師版)

第十三講一元二次方程的判別式與根系關(guān)系一、一元二次方程的判別式1.知識(shí)導(dǎo)航根的判別式示例剖析設(shè)一元二次方程為，其根的判別式為：則①方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根②方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根③方程沒有實(shí)數(shù)根注：方程有實(shí)數(shù)根或有兩個(gè)實(shí)數(shù)根應(yīng)用一：不解方程，直接判斷方程根的情況不解方程，直接判斷下列方程的解的情況：①②③④（為常數(shù)）解：①，有兩個(gè)不相等實(shí)根②，有兩個(gè)相等實(shí)根③，無(wú)實(shí)根④，方程有兩個(gè)不相等實(shí)根應(yīng)用二：已知方程根的情況，求參數(shù)及參數(shù)的取值范圍1、關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍為.解：由題意，得，解之得且.2、已知關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根，則的取值范圍為.解：①當(dāng)時(shí)，原方程為有解，故符合題意；②當(dāng)時(shí)，由題意，得解之得且；綜上，應(yīng)用三：根的判別式在幾何中的應(yīng)用2.基礎(chǔ)熱身例題11.已知關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則的取值范圍為________.答案且解析由題知，，解之得且.2.若關(guān)于的一元二次方程有實(shí)根，則的取值范圍是________.答案且解析由題意可知一元二次方程中二次項(xiàng)系數(shù)，再因?yàn)橐辉畏匠逃袑?shí)根，所以，所以解得.所以綜上所述，且.3.若方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，試討論方程根的情況.答案有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根.解析方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，，得.方程，即為方程，.方程有2個(gè)相等的實(shí)數(shù)根.特別注意方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根.若，則方程要么有2個(gè)根（相等或不相等），要么沒有實(shí)數(shù)根.條件指明，該方程只有1個(gè)實(shí)數(shù)根，所以，且.4.當(dāng)為何值時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根？答案.解析原方程的判別式為原方程有實(shí)根，，根據(jù)平方的非負(fù)性得，且，例題21.已知為的三邊，請(qǐng)判斷關(guān)于的方程根的情況.答案方程無(wú)實(shí)根解析方程為一元二次方程方程無(wú)實(shí)根.2.已知是的三邊，且方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，試判斷這個(gè)三角形的形狀.答案為等邊三角形。解析方程有兩個(gè)相等實(shí)根，，即，即為等邊三角形。例題3已知關(guān)于的一元二次方程.（1）求證：不論取何實(shí)數(shù)，該方程總有實(shí)數(shù)根.（2）若等腰的一邊長(zhǎng)為2，另兩邊長(zhǎng)恰好是方程的兩個(gè)根，求的周長(zhǎng).答案（1）證明見解析.（2）的周長(zhǎng)為7或8.解析（1），故不論取何實(shí)數(shù)，該方程總有實(shí)數(shù)根.（2）當(dāng)?shù)牡走呴L(zhǎng)為2時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則，解得，方程為，解得，故的周長(zhǎng)為：2+3+3=8.當(dāng)?shù)囊谎L(zhǎng)為2時(shí)，方程有一根為2，方程為，解得，，故的周長(zhǎng)為：.綜上所述，的周長(zhǎng)為7或8.二、一元二次方程的根系關(guān)系1.知識(shí)導(dǎo)航一元二次方程的根系關(guān)系（韋達(dá)定理）韋達(dá)定理示例剖析若方程的兩根是、，則注意：隱含的條件應(yīng)用一：已知一根，求另一根1、已知是關(guān)于的一元二次方程的一個(gè)根，則方程的另一個(gè)根是多少？法1：將代入原方程得：法2：由題可得：應(yīng)用二、已知方程，求關(guān)于兩根的代數(shù)式已知實(shí)數(shù)是方程的兩根，求代數(shù)式的值.解：由題知：，應(yīng)用三：已知方程和兩根的關(guān)系求字母系數(shù)已知關(guān)于的方程的兩根、滿足條件，求的值.解：由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得：聯(lián)立方程組解得：2.基礎(chǔ)熱身例題41.已知方程的一個(gè)根是，求它的另一個(gè)根及的值.答案.解析方法一：設(shè)方程的另一根為，則由方程的根與系數(shù)關(guān)系得：，解得：.方法二：由題意：，解得：，根據(jù)韋達(dá)定理設(shè)另一根為，則，，故答案為：.2.已知關(guān)于的一元二次方程的一根，求方程的另一根.答案.解析由題知，.3.進(jìn)階練習(xí)例題5已知是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求下列代數(shù)式的值：（1）.（2）.（3）.（4）.答案（1）21.（2）-1.（3）.（4）.解析（1）由韋達(dá)定理知.于是.則.（2）由韋達(dá)定理知.于是.則.（3）由韋達(dá)定理知.于是.則.（4）由韋達(dá)定理知.于是.則.例題61.已知是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值為________.答案0解析，即，原式.2.已知是有理數(shù)，并且方程有一個(gè)根是，那么________.答案3解析方法一：由于是有理數(shù)，并且方程有一個(gè)根是，所以方程的另一個(gè)根是.由韋達(dá)定理知：，.方法二：由題得方程有2個(gè)實(shí)數(shù)根，，且..帶入②，.為有理數(shù)，.3.設(shè)是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則________.答案2015解析由已知可得：.，即.再結(jié)合..原式，由韋達(dá)定理即可得到.例題7已知關(guān)于的一元二次方程.（1）若方程有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.（2）若方程兩實(shí)數(shù)根分別為，且滿足，求實(shí)數(shù)的值.答案（1）.（2）解析（1）關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，，即，（2）根據(jù)題意得，，，即，解得（舍去），.三、課堂展示鞏固1若關(guān)于的方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則________.答案-1解析方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則，故.鞏固2關(guān)于的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是________.答案且解析方法一：由題知，，且.故答案為：且.方法二：方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，即，解得：且，故答案為：且.鞏固3若關(guān)于的方程無(wú)實(shí)根，則的取值范圍為________答案解析無(wú)實(shí)根，，.鞏固4如果關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)根，那么以正數(shù)為邊長(zhǎng)的三角形是（）.A.銳角三角形 B.鈍角三角形 C.直角三角形 D.任意三角形答案解析將方程化成一般形式：.，方程有兩個(gè)相等實(shí)根，.即為直角三角形，選C.鞏固5已知關(guān)于的一元二次方程.（1）如果此方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求的取值范圍；（2）在（1）中，若為符合條件的最大整數(shù)，求此時(shí)方程的根.答案（1）的取值范圍是（2）.解析（1）..該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，.解得.的取值范圍是.（2），符合條件的最大整數(shù)是.此時(shí)方程為解得.方程的根為.鞏固6關(guān)于的方程的一個(gè)根是-2，則方程的另一根是________________.答案1：2：-1解析設(shè)另一根為，由根與系數(shù)的關(guān)系可建立關(guān)于和的方程組，解之即得.鞏固7若方程的一個(gè)根為，則方程的另一個(gè)根為________，________.答案1：2：1解析設(shè)另一根為，則，鞏固8若，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值為________.答案2013解析是方程的根，，，，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，.故答案為：2013.鞏固9已知是關(guān)于的一元二