新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第1部分 專題6 第1講 直線與圓（含解析）

專題六

解析幾何第1講直線與圓考情分析KAOQINGFENXI1.和導(dǎo)數(shù)、圓錐曲線相結(jié)合，求直線的方程，考查點到直線的距離公

式，多以選擇題、填空題形式出現(xiàn)，中低難度.2.和圓錐曲線相結(jié)合，求圓的方程或弦長、面積等，中高難度.內(nèi)容索引考點一考點二考點三專題強化練1考點一直線的方程PARTONE核心提煉1.已知直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同時為零)，直線l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同時為零)，則l1∥l2?A1B2－A2B1＝0，且A1C2－A2C1≠0，l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0.例1

(1)若直線l1：x＋ay＋6＝0與l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，則l1與l2間的距離為解析

由l1∥l2得(a－2)a＝1×3，且a×2a≠3×6，√(2)直線ax＋y＋3a－1＝0恒過定點N，則直線2x＋3y－6＝0關(guān)于點N對稱的直線方程為A.2x＋3y－12＝0 B.2x＋3y＋12＝0C.2x－3y＋12＝0 D.2x－3y－12＝0√解析

由ax＋y＋3a－1＝0可得a(x＋3)＋y－1＝0，∴N(－3,1).設(shè)直線2x＋3y－6＝0關(guān)于點N對稱的直線方程為2x＋3y＋c＝0(c≠－6).解得c＝12或c＝－6(舍去).∴所求直線方程為2x＋3y＋12＝0.易錯提醒解決直線方程問題的三個注意點(1)求解兩條直線平行的問題時，在利用A1B2－A2B1＝0建立方程求出參數(shù)的值后，要注意代入檢驗，排除兩條直線重合的可能性.(2)要注意直線方程每種形式的局限性，點斜式、兩點式、斜截式要求直線不能與x軸垂直，而截距式方程即不能表示過原點的直線，也不能表示垂直于坐標軸的直線.(3)討論兩直線的位置關(guān)系時，要注意直線的斜率是否存在.A.－3x＋2y＋1＝0 B.3x－2y＋1＝0C.2x＋3y－5＝0 D.2x－3y＋1＝0√所以兩直線的交點為(1,1).即2x＋3y－5＝0.解析

由題意可知，直線l1：kx－y＋4＝0經(jīng)過定點A(0,4)，直線l2：x＋ky－3＝0經(jīng)過定點B(3,0).易知直線l1：kx－y＋4＝0和直線l2：x＋ky－3＝0始終垂直，又M是兩條直線的交點，所以MA⊥MB，(2)已知直線l1：kx－y＋4＝0與直線l2：x＋ky－3＝0(k≠0)分別過定點A，B，又l1，l2相交于點M，則|MA|·|MB|的最大值為________.2考點二圓的方程PARTTWO1.圓的標準方程當圓心為(a，b)，半徑為r時，其標準方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，特別地，當圓心在原點時，方程為x2＋y2＝r2.2.圓的一般方程核心提煉例2

(1)(2018·天津)在平面直角坐標系中，經(jīng)過三點(0,0)，(1,1)，(2,0)的圓的方程為_______________.x2＋y2－2x＝0解析

方法一

設(shè)圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.∵圓經(jīng)過點(0,0)，(1,1)，(2,0)，∴圓的方程為x2＋y2－2x＝0.方法二

畫出示意圖如圖所示，則△OAB為等腰直角三角形，故所求圓的圓心為(1,0)，半徑為1，∴所求圓的方程為(x－1)2＋y2＝1，即x2＋y2－2x＝0.(2)已知圓C與x軸相切于點T(1,0)，與y軸正半軸交于兩點A，B(B在A的上方)，且|AB|＝2.則圓C的標準方程為________________________.解析

設(shè)圓心C(a，b)，半徑為r，∵圓C與x軸相切于點T(1,0)，∴a＝1，r＝|b|.又圓C與y軸正半軸交于兩點，∴b>0，則b＝r，規(guī)律方法解決圓的方程問題一般有兩種方法(1)幾何法：通過研究圓的性質(zhì)、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系，進而求得圓的基本量和方程.(2)代數(shù)法：即用待定系數(shù)法先設(shè)出圓的方程，再由條件求得各系數(shù).√解析

由題意可知圓心在第一象限，設(shè)為(a，b).∵圓與兩坐標軸都相切，∴a＝b，且半徑r＝a，∴圓的標準方程為(x－a)2＋(y－a)2＝a2.∵點(2,1)在圓上，∴(2－a)2＋(1－a)2＝a2，∴a2－6a＋5＝0，解得a＝1或a＝5.當a＝1時，圓心坐標為(1,1)，此時圓心到直線2x－y－3＝0的距離為當a＝5時，圓心坐標為(5,5)，此時圓心到直線2x－y－3＝0的距離為x2＋(y－3)2＝10PB的中點坐標為(2,2)，令x＝0，則y＝3，設(shè)外接圓圓心為M(0，t)，∴△PAB外接圓的標準方程為x2＋(y－3)2＝10.3考點三直線、圓的位置關(guān)系PARTTHREE核心提煉1.直線與圓的位置關(guān)系：相交、相切和相離，判斷的方法(1)點線距離法.消去y，得到關(guān)于x的一元二次方程，其根的判別式為Δ，則直線與圓相離?Δ<0，直線與圓相切?Δ＝0，直線與圓相交?Δ>0.2.圓與圓的位置關(guān)系有五種，即內(nèi)含、內(nèi)切、相交、外切、外離.√解析

由題意，得圓C的標準方程為(x－2)2＋(y－1)2＝4，知圓C的圓心為C(2,1)，半徑為2.方法一

因為直線l為圓C的對稱軸，所以圓心在直線l上，則2＋a－1＝0，解得a＝－1，所以|AB|2＝|AC|2－|BC|2＝[(－4－2)2＋(－1－1)2]－4＝36，所以|AB|＝6.方法二

由題意知，圓心在直線l上，即2＋a－1＝0，解得a＝－1，再由圖知，|AB|＝6.(2)(2020·全國Ⅰ)已知⊙M：x2＋y2－2x－2y－2＝0，直線l：2x＋y＋2＝0，P為l上的動點，過點P作⊙M的切線PA，PB，切點為A，B，當|PM|·|AB|最小時，直線AB的方程為A.2x－y－1＝0 B.2x＋y－1＝0C.2x－y＋1＝0 D.2x＋y＋1＝0√解析

⊙M：(x－1)2＋(y－1)2＝4，則圓心M(1,1)，⊙M的半徑為2.如圖，由題意可知PM⊥AB，＝|PA|·|AM|＝2|PA|，∴|PM|·|AB|＝4|PA|當|PM|·|AB|最小時，|PM|最小，此時PM⊥l.即x－2y＋1＝0.∴P(－1,0).又∵直線x＝－1，即PA與⊙M相切，∴PA⊥x軸，PA⊥MA，∴A(－1,1).又直線AB與l平行，設(shè)直線AB的方程為2x＋y＋m＝0(m≠2)，將A(－1,1)的坐標代入2x＋y＋m＝0，得m＝1.∴直線AB的方程為2x＋y＋1＝0.規(guī)律方法直線與圓相切問題的解題策略直線與圓相切時利用“切線與過切點的半徑垂直，圓心到切線的距離等于半徑”建立關(guān)于切線斜率的等式，所以求切線方程時主要選擇點斜式.過圓外一點求解切線段長的問題，可先求出圓心到圓外點的距離，再結(jié)合半徑利用勾股定理計算.√∵圓M與x軸交于A，B兩點，可得公共弦所在直線方程為ax＋2ay－5＝0，故圓心(0,0)到直線ax＋2ay－5＝0的距離為4專題強化練PARTFOUR一、單項選擇題1.過點A(1,2)的直線在兩坐標軸上的截距之和為零，則該直線方程為A.y－x＝1 B.y＋x＝3C.2x－y＝0或x＋y＝3 D.2x－y＝0或y－x＝112345678910111213141516√12345678910111213141516故直線方程為y＝2x，即2x－y＝0，方程為x－y＋1＝0，故所求直線方程為2x－y＝0或y－x＝1.12345678910111213141516√解析

由兩直線平行的條件可得－2＋m＋m2＝0，∴m＝－2(舍)或m＝1.123456789101112131415163.已知圓x2＋y2＋2k2x＋2y＋4k＝0關(guān)于y＝x對稱，則k的值為A.－1B.1C.±1D.0解析

化圓x2＋y2＋2k2x＋2y＋4k＝0為(x＋k2)2＋(y＋1)2＝k4－4k＋1.則圓心坐標為(－k2，－1)，∵圓x2＋y2＋2k2x＋2y＋4k＝0關(guān)于y＝x對稱，∴直線y＝x經(jīng)過圓心，∴－k2＝－1，得k＝±1.當k＝1時，k4－4k＋1<0，不合題意，∴k＝－1.√12345678910111213141516√12345678910111213141516解析

圓C：x2＋y2－4x＝0可化為(x－2)2＋y2＝4，則圓心C(2,0)，∵l⊥PC，則直線l的斜率為12345678910111213141516√解析

直線l的方程為y＝x－a，即x－y－a＝0.圓上恰有三個點到直線l的距離為1，可知圓心到直線的距離等于半徑的一半，12345678910111213141516√12345678910111213141516解析

取AB的中點D(2，－3)，又由題意知，圓C的圓心C的坐標為(1,2)，半徑為2，123456789101112131415167.(2020·北京市陳經(jīng)綸中學(xué)月考)古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯的著作《圓錐曲線論》中給出了圓的另一種定義：平面內(nèi)，到兩個定點A，B距離之比是常數(shù)λ(λ>0，λ≠1)的點M的軌跡是圓，若兩定點A，B的距離為3，動點M滿足|MA|＝2|MB|，則M點的軌跡圍成區(qū)域的面積為A.πB.2πC.3πD.4π√12345678910111213141516解析

以A為原點，直線AB為x軸建立平面直角坐標系(圖略)，則B(3,0).設(shè)M(x，y)，化簡整理得，x2＋y2－8x＋12＝0，即(x－4)2＋y2＝4，則M點的軌跡圍成區(qū)域的面積為4π.123456789101112131415168.(2020·遼寧省大連一中模擬)已知圓C：x2＋y2＝4，直線l：x－y＋6＝0，在直線l上任取一點P向圓C作切線，切點為A，B，連接AB，則直線AB一定過定點√12345678910111213141516解析

設(shè)點P(x0，y0)，則x0－y0＋6＝0.過點P向圓C作切線，切點為A，B，連接AB，以CP為直徑的圓的方程為x(x－x0)＋y(y－y0)＝0，又圓C：x2＋y2＝4，作差可得直線AB的方程為xx0＋yy0＝4，將y0＝x0＋6，代入可得12345678910111213141516二、多項選擇題9.集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝4}，B＝{(x，y)|(x－3)2＋(y－4)2＝r2}，其中r>0，若A∩B中有且僅有一個元素，則r的值是A.3B.5C.7D.9√√解析

圓x2＋y2＝4的圓心是O(0,0)，半徑為R＝2，圓(x－3)2＋(y－4)2＝r2的圓心是C(3,4)，半徑為r，|OC|＝5，當2＋r＝5，r＝3時，兩圓外切，當|r－2|＝5，r＝7時，兩圓內(nèi)切，它們都只有一個公共點，即集合A∩B中只有一個元素.12345678910111213141516√√12345678910111213141516解析

選項A中直線x－y－2＝0在兩坐標軸上的截距分別為2，－2，所以圍成的三角形的面積是2，所以A正確；選項C中需要條件y2≠y1，x2≠x1，所以C錯誤；選項D中還有一條截距都為0的直線y＝x，所以D錯誤.1234567891011121314151611.已知圓C1：(x＋6)2＋(y－5)2＝4，圓C2：(x－2)2＋(y－1)2＝1，M，N分別為圓C1和C2上的動點，P為x軸上的動點，則|PM|＋|PN|的值可以是A.6B.7C.10D.15√√√解析

圓C2關(guān)于x軸的對稱圓C3為(x－2)2＋(y＋1)2＝1，圓心C3(2，－1)，r3＝1，點N關(guān)于x軸的對稱點N′在圓C3上，又圓C1的圓心C1(－6,5)，r1＝2，∴|PM|＋|PN|＝|PM|＋|PN′|≥|PC1|－r1＋|PC3|－r3∴|PM|＋|PN|的取值范圍是[7，＋∞).12345678910111213141516√√12345678910111213141516則直線l與圓x2＋y2＝1相切，由圖可知，當AP，AQ均為圓x2＋y2＝1的切線時，∠PAQ取得最大值，連接OP，OQ，由于∠PAQ的最大值為90°，且∠APO＝∠AQO＝90°，|OP|＝|OQ|＝1，1234567891011121314151614.已知⊙O：x2＋y2＝1.若直線y＝kx＋2上總存在點P，使得過點P的⊙O的兩條切線互相垂直，則實數(shù)k的取值范圍是______________________.解析

∵⊙O的圓心為(0,0)，半徑r＝1，設(shè)兩個切點分別為A，B，則由題意可得四邊形PAOB為正方形，12345678910111213141516(－∞，－1]∪[1，＋∞)即1＋k2≥2，解得k≥1或k≤－1.15.(2020·石家莊長安區(qū)期末)直線l：y＝kx＋1與圓O：x2＋y2＝1相交于A，B兩點，