新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第1部分 專(zhuān)題2 第1講 平面向量（含解析）

專(zhuān)題二三角函數(shù)與解三角形第1講平面向量考情分析KAOQINGFENXI1.平面向量是高考的熱點(diǎn)和重點(diǎn)，命題突出向量的基本運(yùn)算與工具性，

在解答題中常與三角函數(shù)、直線和圓錐曲線的位置關(guān)系問(wèn)題相結(jié)合，

主要以條件的形式出現(xiàn)，涉及向量共線、數(shù)量積等.2.常以選擇題、填空題形式考查平面向量的基本運(yùn)算，中低等難度；

平面向量在解答題中一般為中等難度.內(nèi)容索引考點(diǎn)一考點(diǎn)二專(zhuān)題強(qiáng)化練1考點(diǎn)一平面向量的線性運(yùn)算PARTONE核心提煉1.平面向量加減法求解的關(guān)鍵是：對(duì)平面向量加法抓住“共起點(diǎn)”或“首尾相連”.對(duì)平面向量減法應(yīng)抓住“共起點(diǎn)，連兩終點(diǎn)，指向被減向量的終點(diǎn)”，再觀察圖形對(duì)向量進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，即可快速得到結(jié)果.2.在一般向量的線性運(yùn)算中，只要把其中的向量當(dāng)作一個(gè)字母看待即可，其運(yùn)算方法類(lèi)似于代數(shù)中合并同類(lèi)項(xiàng)的運(yùn)算，在計(jì)算時(shí)可以進(jìn)行類(lèi)比.√－2(1，＋∞)即λ＋μ的取值范圍是(1，＋∞).易錯(cuò)提醒在平面向量的化簡(jiǎn)或運(yùn)算中，要根據(jù)平面向量基本定理恰當(dāng)?shù)剡x取基底，變形要有方向，不能盲目轉(zhuǎn)化.[1,3]解析設(shè)扇形的半徑為1，以O(shè)B所在直線為x軸，O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系(圖略)，故當(dāng)θ＝0時(shí)，g(θ)取得最大值為3，故x＋3y的取值范圍為[1,3].2考點(diǎn)二平面向量的數(shù)量積PARTTWO核心提煉例2

(1)(2020·全國(guó)Ⅲ)已知向量a，b滿足|a|＝5，|b|＝6，a·b＝－6，則cos〈a，a＋b〉等于√解析∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝25－12＋36＝49，∴|a＋b|＝7，√解析如圖，連接CO，∵點(diǎn)C是弧AB的中點(diǎn)，∴CO⊥AB，解析以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD所在直線分別為x軸，y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則A(0,0)，B(2,0)，C(1,2)，D(0,2)，易錯(cuò)提醒兩個(gè)向量的夾角的范圍是[0，π]，在使用平面向量解決問(wèn)題時(shí)要特別注意兩個(gè)向量的夾角可能是0或π的情況，如已知兩個(gè)向量的夾角為鈍角時(shí)，不僅要求其數(shù)量積小于零，還要求不能反向共線.跟蹤演練2

(1)(2019·全國(guó)Ⅰ)已知非零向量a，b滿足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，則a與b的夾角為√解析方法一

設(shè)a與b的夾角為θ，因?yàn)?a－b)⊥b，所以(a－b)·b＝a·b－|b|2＝0，又因?yàn)閨a|＝2|b|，所以2|b|2cosθ－|b|2＝0，√解析如圖，取A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，√由圖可知，當(dāng)點(diǎn)C在OD的反向延長(zhǎng)線與圓O的交點(diǎn)處時(shí)，3專(zhuān)題強(qiáng)化練PARTTHREE12345678910111213141516√2.(2020·廣州模擬)加強(qiáng)體育鍛煉是青少年生活學(xué)習(xí)中非常重要的組成部分，某學(xué)生做引體向上運(yùn)動(dòng)，處于如圖所示的平衡狀態(tài)時(shí)，若兩只胳膊的夾角為

，每只胳膊的拉力大小均為400N，則該學(xué)生的體重(單位：kg)約為(參考數(shù)據(jù)：取重力加速度大小為g＝10m/s2，

≈1.732)A.63B.69C.75D.81678910111213141516√解析設(shè)該學(xué)生的體重為m，重力為G，兩臂的合力為F′，則|G|＝|F′|，12345678910111213141516√3.已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(λ，－1)，若c∥(2a＋b)，則λ等于解析∵a＝(1,2)，b＝(2，－2)，∴2a＋b＝(4,2)，又c＝(λ，－1)，c∥(2a＋b)，∴2λ＋4＝0，解得λ＝－2，故選A.12345678910111213141516√1234567891011121314151612345678910111213141516√A.0

B.1

C.2

D.312345678910111213141516∵M(jìn)，O，N三點(diǎn)共線，∴m＋n＝2.12345678910111213141516√12345678910111213141516√∴△ABC為直角三角形.故選C.12345√67891011121314151612345678910111213141516解析設(shè)△ABC的外接圓的圓心為O，12345678910111213141516√12345678910111213141516解析方法一

如圖，連接DA，以D點(diǎn)為原點(diǎn)，BC所在直線為x軸，DA所在直線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.設(shè)內(nèi)切圓的半徑為r，則圓心為坐標(biāo)(0，r)，根據(jù)三角形面積公式，設(shè)M(cosθ，1＋sinθ)，θ∈[0,2π)，1234567891011121314151612345678910111213141516由題意知，x≥0，y≥0，當(dāng)且僅當(dāng)2x＝y(tǒng)＝1時(shí)取等號(hào).12345二、多項(xiàng)選擇題10.(2020·長(zhǎng)沙模擬)已知a，b是單位向量，且a＋b＝(1，－1)，則A.|a＋b|＝2B.a與b垂直C.a與a－b的夾角為D.|a－b|＝1678910111213141516√√12345678910111213141516因?yàn)閍，b是單位向量，所以|a|2＋|b|2＋2a·b＝1＋1＋2a·b＝2，得a·b＝0，a與b垂直，故B正確；1234567891011121314151611.設(shè)向量a＝(k,2)，b＝(1，－1)，則下列敘述錯(cuò)誤的是A.若k<－2，則a與b的夾角為鈍角B.|a|的最小值為2√√12345678910111213141516解析對(duì)于A選項(xiàng)，若a與b的夾角為鈍角，則a·b<0且a與b不共線，則k－2<0且k≠－2，解得k<2且k≠－2，A選項(xiàng)正確；12345678910111213141516√√√1234567891011121314151612345678910111213141516所以選項(xiàng)C正確；所以選項(xiàng)D正確.12345678910111213141516三、填空題13.(2020·全國(guó)Ⅱ)已知單位向量a，b的夾角為45°，ka－b與a垂直，則k＝________.解析由題意知(ka－b)·a＝0，即ka2－b·a＝0.因?yàn)閍，b為單位向量，且?jiàn)A角為45°，12345678910111213141516512345678910111213141516解析如圖所示，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系.∵AB＝1，∠ABC＝60°，12345678910111213141516∵O是△ABC的重心，延長(zhǎng)BO交AC于點(diǎn)D，1234567891011121314151612345678910111213141516解析∵△ABC是銳角三角形，∴O在△ABC的內(nèi)部，∴0<λ<1,0<μ<1.12345678910111213141516∴(1－λ－μ)2＝λ2＋μ2－λμ，∴1＋3λμ＝2(λ＋μ)，1234567891011121314151612345678910111213141516解析