北京市交通大學(xué)附屬中學(xué)2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)

北京交大附中20232024學(xué)年第一學(xué)期期中練習(xí)高一數(shù)學(xué)說明：本試卷共4頁，共120分.考試時(shí)長90分鐘.一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2.命題“，”的否定為A.， B.，C.， D.，3.已知關(guān)于x的方程的兩根同號(hào)，則m的取值范圍是（）A.B.C.D.4.已知函數(shù)，則的值為（）A.3 B.0 C. D.5.已知，則“”是“”的（）．A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件6.下列函數(shù)中，在區(qū)間上單調(diào)遞增且是奇函數(shù)的是（）A. B.C. D.7.已知實(shí)數(shù)a，b，c在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)如圖所示，則下列式子中正確的是（）A. B. C. D.8.設(shè)為上奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則（）A.12 B. C.13 D.9.已知當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A B. C. D.10.對(duì)于全集子集定義函數(shù)為的特征函數(shù),設(shè)為全集的子集,下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是()A.若則 B.C. D.二、填空題（本大題共5小題，每小題4分，共20分，把答案填在題中橫線上）11.函數(shù)的定義域?yàn)開_________．12.如圖，函數(shù)的圖象是折線段，其中的坐標(biāo)分別為,，則的解集為________.13.定義在上的函數(shù)，給出下列三個(gè)論斷：①在上單調(diào)遞增；②；③.以其中的兩個(gè)論斷為條件，余下的一個(gè)論斷為結(jié)論，寫出一個(gè)正確的命題：__________，_________推出___________.（把序號(hào)寫在橫線上）14.了保護(hù)水資源，提倡節(jié)約用水，某城市對(duì)居民生活用水，實(shí)行“階梯水價(jià)”.計(jì)算方法如下表：每戶每月用水量水價(jià)不超過的部分3元/超過但不超過的部分6元/超過的部分9元/若某戶居民本月交納的水費(fèi)為90元，則此戶居民本月用水量為___________.15.設(shè)函數(shù).給出下列四個(gè)結(jié)論：①函數(shù)的值域是；②，有；③，使得；④若互不相等的實(shí)數(shù)滿足，則的取值范圍是.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是_________.三、解答題（本大題共5小題，共60分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）16.設(shè)關(guān)于x的不等式的解集為A，不等式的解集為B.（1）求集合A，B；（2）若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.17.已知函數(shù).（1）用函數(shù)單調(diào)性的定義證明：在上是增函數(shù)；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的值域.18.已知二次函數(shù)的最小值為1，且.（1）求的解析式；（2）在區(qū)間上，的圖象恒在的圖象上方，確定實(shí)數(shù)m的取值范圍.19.為了減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻通常需要建造隔熱層，某地正在建設(shè)一座購物中心，現(xiàn)在計(jì)劃對(duì)其建筑物建造可使用40年的隔熱層，已知每厘米厚的隔熱層建造成本為8萬元．該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用P（單位：萬元）與隔熱層厚度x（單位：cm）滿足關(guān)系：．若不建隔熱層，每年能源消耗費(fèi)用為9萬元．設(shè)S為隔熱層建造費(fèi)用與40年的能源消耗費(fèi)用之和．（1）求m的值及用x表示S；（2）當(dāng)隔熱層的厚度為多少時(shí)，總費(fèi)用S達(dá)到最小，并求最小值．20.已知是定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，若對(duì)任意，，均有，則稱是S關(guān)聯(lián).（1）判斷和證明函數(shù)是否是關(guān)聯(lián)?是否是關(guān)聯(lián)?（2）若關(guān)聯(lián)，當(dāng)時(shí)，，解不等式：.

北京交大附中20232024學(xué)年第一學(xué)期期中練習(xí)高一數(shù)學(xué)說明：本試卷共4頁，共120分.考試時(shí)長90分鐘.一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用交集的定義可求得集合.【詳解】因?yàn)榧希?，則.故選：D.2.命題“，”的否定為A.， B.，C.， D.，【答案】A【解析】【分析】特稱命題的否定是全稱命題，并將結(jié)論否定，即可得答案.【詳解】命題“，”的否定為“，”.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查特稱命題的否定的書寫，是基礎(chǔ)題.3.已知關(guān)于x的方程的兩根同號(hào)，則m的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用判別式和韋達(dá)定理解決.【詳解】關(guān)于x的方程的兩根同號(hào)，則判別式大于等于0且兩根之積大于零，則有，解得故選：C4.已知函數(shù)，則的值為（）A.3 B.0 C. D.【答案】D【解析】【分析】先求，進(jìn)而求出.【詳解】由題意得，，則.故選：D.5.已知，則“”是“”的（）．A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】A【解析】【分析】先求的解集，再利用充分必要條件的概念即可判斷.【詳解】由得，此不等式與不等式同解，解得或.所以，當(dāng)時(shí)，一定成立，故充分性成立；當(dāng)即或時(shí)，不一定成立，故必要性不成立.綜上所述，“”是“”的充分不必要條件.故選：A.6.下列函數(shù)中，在區(qū)間上單調(diào)遞增且是奇函數(shù)的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的定義即可得到答案.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，所以不是奇函數(shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)榈亩x域?yàn)?，又，所以為奇函?shù)，因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)榈亩x域?yàn)?，又，所以為偶函?shù)，故C錯(cuò)誤.對(duì)于D，因?yàn)榈亩x域?yàn)?，又，所以為偶函?shù)，故D錯(cuò)誤.故選：B.7.已知實(shí)數(shù)a，b，c在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)如圖所示，則下列式子中正確的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由數(shù)軸知，不妨取檢驗(yàn)選項(xiàng)得解.【詳解】由數(shù)軸知，不妨取，對(duì)于A，，不成立.對(duì)于B，，不成立.對(duì)于C，，不成立.對(duì)于D，，因此成立.故選：D．【點(diǎn)睛】利用不等式性質(zhì)比較大?。⒁獠坏仁叫再|(zhì)成立的前提條件．解決此類問題除根據(jù)不等式的性質(zhì)求解外，還經(jīng)常采用特殊值驗(yàn)證的方法．8.設(shè)為上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則（）A.12 B. C.13 D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)為上的奇函數(shù)，求出.【詳解】因?yàn)闉樯系钠婧瘮?shù)，所以，，所以.故選：C9.已知當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】將參數(shù)與自變量分離，利用基本不等式求得最值即可得出實(shí)數(shù)m的取值范圍.【詳解】根據(jù)題意當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則恒成立，只需即可；易知當(dāng)時(shí)，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)；所以，即，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是.故選：A10.對(duì)于全集子集定義函數(shù)為的特征函數(shù),設(shè)為全集的子集,下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是()A.若則 B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù),逐項(xiàng)分析,即可求得答案.【詳解】對(duì)于A,,分類討論：①當(dāng),則此時(shí)②當(dāng)且,即,此時(shí)，③當(dāng)且,即時(shí),,此時(shí)綜合所述,有,故A正確;對(duì)于B,,故(2)正確；對(duì)于C,,故C正確;對(duì)于D,,故D錯(cuò)誤.故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)新定義和集合運(yùn)算,解題關(guān)鍵是充分理解新定義和掌握函數(shù),集合基礎(chǔ)知識(shí),考查了分析能力和計(jì)算能力,屬于難題.二、填空題（本大題共5小題，每小題4分，共20分，把答案填在題中橫線上）11.函數(shù)的定義域?yàn)開_________．【答案】【解析】【詳解】依題意，.12.如圖，函數(shù)的圖象是折線段，其中的坐標(biāo)分別為,，則的解集為________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的圖象，觀察即可得出答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，由圖象可知，即的解集為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的圖象，屬于中檔題.13.定義在上的函數(shù)，給出下列三個(gè)論斷：①在上單調(diào)遞增；②；③.以其中的兩個(gè)論斷為條件，余下的一個(gè)論斷為結(jié)論，寫出一個(gè)正確的命題：__________，_________推出___________.（把序號(hào)寫在橫線上）【答案】①.①（答案不唯一）②.②（答案不唯一）③.③（答案不唯一）【解析】【分析】根據(jù)單調(diào)性和范圍即可推出不等式.【詳解】①②推出③；證明：當(dāng)在單調(diào)遞增且當(dāng)時(shí)，有，得證.①③推出②；證明：當(dāng)在單調(diào)遞增且當(dāng)時(shí)，有，得證.①②無法推出③；取，此時(shí)滿足且，但不滿足在單調(diào)遞增.故答案為：①；②；③.（答案不唯一）14.為了保護(hù)水資源，提倡節(jié)約用水，某城市對(duì)居民生活用水，實(shí)行“階梯水價(jià)”.計(jì)算方法如下表：每戶每月用水量水價(jià)不超過的部分3元/超過但不超過的部分6元/超過的部分9元/若某戶居民本月交納的水費(fèi)為90元，則此戶居民本月用水量為___________.【答案】##20立方米【解析】【分析】根據(jù)題設(shè)條件可得水費(fèi)與水價(jià)的關(guān)系式，根據(jù)該關(guān)系式可求用水量.【詳解】設(shè)用水量為立方米，水價(jià)為元，則，整理得到：，當(dāng)時(shí)，；時(shí)，；故某戶居民本月交納的水費(fèi)為90元，則用水量大于18立方米，令，則（立方米），故答案為：.15.設(shè)函數(shù).給出下列四個(gè)結(jié)論：①函數(shù)的值域是；②，有；③，使得；④若互不相等的實(shí)數(shù)滿足，則的取值范圍是.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是_________.【答案】①③④【解析】【分析】對(duì)于①，利用二次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖像性質(zhì)畫出函數(shù)圖1，結(jié)合圖像即可判斷；對(duì)于②，舉反例排除即可；對(duì)于③，將問題轉(zhuǎn)化為與有交點(diǎn)，作出圖2即可判斷；對(duì)于④，結(jié)合圖1對(duì)進(jìn)行分析即可.【詳解】對(duì)于①，因?yàn)?，所以由二次函?shù)與反比例函數(shù)的圖像性質(zhì)可畫出函數(shù)圖象，如圖1，由的圖像易知的值域是，故①正確；對(duì)于②，易得，，顯然在上并不單調(diào)遞增，所以②說法不成立，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，假設(shè)存在，，則，即，即與有交點(diǎn)，作出圖像，如圖2，顯然假設(shè)成立，故③正確；對(duì)于④，由圖1易知，則，因?yàn)?，所以，即，解得，所以，即的取值范圍是，故④正確；綜上：①③④正確.故答案：①③④.三、解答題（本大題共5小題，共60分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）16.設(shè)關(guān)于x的不等式的解集為A，不等式的解集為B.（1）求集合A，B；（2）若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）解絕對(duì)值不等式和二次不等式即可得解；（2）利用集合的包含關(guān)系得到關(guān)于的不等式組，解之即可得解.【小問1詳解】因?yàn)?，所以，則，所以，因?yàn)椋?，解得，所以【小?詳解】因?yàn)?，因?yàn)楹愠闪?，所以，所以，解得，故a取值范圍為.17.已知函數(shù).（1）用函數(shù)單調(diào)性的定義證明：在上是增函數(shù)；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的值域.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）任取，且，通過計(jì)算的正負(fù)來判斷單調(diào)性；（2）由函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)性求出最值即可.【小問1詳解】任取，且，則，因?yàn)?，，所以，，，所以，即，所以在上是增函?shù).【小問2詳解】由（1）知在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，，所以函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?18.已知二次函數(shù)的最小值為1，且.（1）求的解析式；（2）在區(qū)間上，圖象恒在的圖象上方，確定實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）利用二次函數(shù)解析式的頂點(diǎn)式、待定系數(shù)法分析運(yùn)算即可得解.（2）由題意將圖象的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為不等式，利用分離參數(shù)法、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)分析運(yùn)算即可得解.【小問1詳解】解：由題意，設(shè)二次函數(shù)，，∵，∴，解得：，∴，.【小問2詳解】解：∵在區(qū)間上，的圖象恒在的圖象上方，∴在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上恒成立，令，則區(qū)間上恒成立，∴，∵函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為，開口向上，∴函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，∴，則，∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是.19.為了減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻通常需要建造隔熱層，某地正在建設(shè)一座購物中心，現(xiàn)在計(jì)劃對(duì)其建筑物建造可使用40年的隔熱層，已知每厘米厚的隔熱層建造成本為8萬元．該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用P（單位：萬元）與隔熱層厚度x（單位：cm）滿足關(guān)系：．若不建隔熱層，每年能源消耗費(fèi)用為9萬元．設(shè)S為隔熱層建造費(fèi)用與40年的能源消耗費(fèi)用之和．（1）求m的值及用x表示S；（2）當(dāng)隔熱層的厚度為多少時(shí)，總費(fèi)用S達(dá)到最小，并求最小值．【答案】（1），（）；（2）當(dāng)隔熱層的厚度為時(shí)，總費(fèi)用取得最小值110萬元.【解析】【分析】（1）利用給定條件，求出的值，進(jìn)而可得能源消耗費(fèi)用與隔熱層建造成本之和.（2）利用基本不等式即可求最值，根據(jù)等號(hào)成立的條件可得隔熱層厚度.【小問1詳解】設(shè)隔熱層厚度x，依題意，每年的能源消耗費(fèi)用為：，而當(dāng)時(shí)，，則，解得，顯然建造費(fèi)用為，所以隔熱層建造費(fèi)用與40年的能源消耗費(fèi)用之和為：（）.【小問2詳解】由（1）知，當(dāng)且僅當(dāng)，即