適用于新高考新教材2024版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)上篇六大核心專題主攻專題2數(shù)列培優(yōu)拓展二數(shù)列中的情境創(chuàng)新與數(shù)學(xué)文化課件

培優(yōu)拓展(二)數(shù)列中的情境創(chuàng)新與數(shù)學(xué)文化現(xiàn)在高考越來(lái)越重視情境命題,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)應(yīng)用的重要性.目前更是提出了數(shù)學(xué)要增加復(fù)雜情境的命題說(shuō)法.數(shù)列與現(xiàn)實(shí)生活聯(lián)系密切,也成為情境問(wèn)題的常見(jiàn)命題背景.特別是數(shù)學(xué)文化問(wèn)題是近年來(lái)高考命題的亮點(diǎn),此類問(wèn)題把數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)之美、文字之美與數(shù)學(xué)思維及數(shù)學(xué)方法結(jié)合起來(lái),可有效考查我們?cè)谛虑榫持袑?duì)數(shù)學(xué)文化的鑒賞、對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和對(duì)數(shù)學(xué)方法的遷移,因此備受命題者青睞.世界數(shù)學(xué)歷史上,尤其是我國(guó)浩瀚的傳統(tǒng)文化中,有豐富的與數(shù)列有關(guān)的數(shù)學(xué)文化背景知識(shí),這也成為命題的考點(diǎn).解決數(shù)列與數(shù)學(xué)文化相交匯問(wèn)題的關(guān)鍵例1《九章算術(shù)》“竹九節(jié)”問(wèn)題:現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子,自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列,上面4節(jié)的容積共3升,下面3節(jié)的容積共4升,則第五節(jié)的容積為(

)B解析

設(shè)竹子自上而下各節(jié)的容積分別為a1,a2,…,a9,且為等差數(shù)列,根據(jù)題意得a1+a2+a3+a4=3,a7+a8+a9=4,即4a1+6d=3,①3a1+21d=4,②例2(多選題)(2023湖南長(zhǎng)沙雅禮中學(xué)模擬)在《算法統(tǒng)宗》中有這樣一則故事:“三百七十八里關(guān),初行健步不為難;次日腳痛減一半,六朝才得到其關(guān).”則下列說(shuō)法正確的是(

)A.此人第二天走了九十六里路B.此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里C.此人第三天走的路程占全程的D.此人后三天共走了四十二里路ABD增分技巧本題只給出了原文,需認(rèn)真閱讀,先理解題意,轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列問(wèn)題,再結(jié)合選項(xiàng)進(jìn)行基本量的運(yùn)算.BCD解析

對(duì)于A,a2=a1+1+1=2,a3=a2+2=4,a4=a3+3+1=8,A錯(cuò)誤;對(duì)于B,當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),n+1為偶數(shù),則an+2=an+1+n+1,an+1=an+n+1,可得an+2=an+2(n+1),當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),n+1為奇數(shù),則an+2=an+1+n+1+1,an+1=an+n,可得an+2=an+2(n+1),B正確;對(duì)于C,當(dāng)n為奇數(shù)且n≥2時(shí),a2=a1+1+1,a3=a2+2,a4=a3+3+1,…,an-1=an-2+n-2+1,an=an-1+n-1,累加可得an=a1+1+1+2+3+1+…+n-2+1+n-1=(1+1+3+1+…+n-2+1)+(2+4+…+n-1)當(dāng)n=1時(shí)也符合,當(dāng)n為偶數(shù)且n≥2時(shí),a2=a1+1+1,a3=a2+2,a4=a3+3+1,…,an-1=an-2+n-2,an=an-1+n-1+1,累加可得an=a1+1+1+2+3+1+…+n-2+n-1+1=(1+1+3+1+…+n-1+1)+(2+4+…+n-2)增分技巧對(duì)于數(shù)學(xué)文化中涉及的數(shù)列模型,解題時(shí)應(yīng)認(rèn)真審題,從問(wèn)題背景中提取相關(guān)信息并分析歸納,然后構(gòu)造恰當(dāng)?shù)臄?shù)列模型,再利用數(shù)列的相關(guān)知識(shí)解答,最后對(duì)實(shí)際問(wèn)題作出解釋,必要時(shí)進(jìn)行檢驗(yàn).對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練(1)(多選題)(2023遼寧大連模擬)南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中出現(xiàn)了如圖所示的形狀,后人稱為“三角垛”.“三角垛”的最上層有1個(gè)球,第二層有3個(gè)球,第三層有6個(gè)球……設(shè)各層球數(shù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)列{an},且a1=1,數(shù)列

的前n項(xiàng)和為Sn,則(

)A.a4=12 B.an+1=an+n+1C. D.a100=4950BC解析

各層球數(shù)為1,3,6,10,15,21,…,所以a2-a1=2,a3-a2=3,a4-a3=4,an-an-1=n(n≥2,n∈N*),顯然可得an+1=an+n+1,因此選項(xiàng)A不正確,選項(xiàng)B正確;當(dāng)n≥2,n∈N*時(shí),an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1BD(3)2022年北京冬奧會(huì)開(kāi)幕式始于24節(jié)氣倒計(jì)時(shí),它將中國(guó)人的物候文明、傳承久遠(yuǎn)的詩(shī)歌、現(xiàn)代生活的畫面和諧統(tǒng)一起來(lái).我國(guó)古人將一年分為24個(gè)節(jié)氣,如圖所示,相鄰兩個(gè)節(jié)氣的日晷長(zhǎng)變化量相同,冬至日晷長(zhǎng)最長(zhǎng),夏至日晷長(zhǎng)最短,周而復(fù)始.已知冬至日晷長(zhǎng)為13.5尺,芒種日晷長(zhǎng)為2.5尺,則一年中夏至到大雪的日晷長(zhǎng)的和為_(kāi)_________尺.84解析

依題意,冬至日晷長(zhǎng)為13.5尺,記為a1=13.5,芒種日晷長(zhǎng)為2.5尺,記為a12=2.5,因相鄰兩個(gè)節(jié)氣的日晷長(zhǎng)變化量相同,則從冬至日晷長(zhǎng)到芒種日晷長(zhǎng)的各數(shù)據(jù)依次排成一列得等差數(shù)列{an},n∈N*,n≤12,因夏至與芒種相鄰,且夏至日晷長(zhǎng)最短,則夏至日晷長(zhǎng)為a12+