2023-2024學(xué)年函數(shù)全真試題專項解析-數(shù)學(xué)高一上期末學(xué)業(yè)水平測試試題含解析

2023-2024學(xué)年函數(shù)全真試題專項解析-數(shù)學(xué)高一上期末學(xué)業(yè)水平測試試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題（本大題共12小題，共60分）1．在中，，則的值為A. B.C. D.22．若不等式(>0,且≠1)在[1,2]上恒成立，則的取值范圍是A.(1,2) B.(2,)C.(0,1)(2,) D.(0,)3．甲、乙兩人在一次賽跑中，從同一地點出發(fā)，路程s與時間t的函數(shù)關(guān)系如圖所示，則下列說法正確的是（）A.甲比乙先出發(fā) B.乙比甲跑的路程多C.甲比乙先到達(dá)終點 D.甲、乙兩人的速度相同4．已知集合，集合B滿足，則滿足條件的集合B有（）個A.2 B.3C.4 D.15．已知集合A=，B=，則A.AB= B.ABC.AB D.AB=R6．土地沙漠化的治理，對中國乃至世界來說都是一個難題，我國創(chuàng)造了治沙成功案例——毛烏素沙漠.某沙漠經(jīng)過一段時間的治理，已有1000公頃植被，假設(shè)每年植被面積以20%的增長率呈指數(shù)增長，按這種規(guī)律發(fā)展下去，則植被面積達(dá)到4000公頃至少需要經(jīng)過的年數(shù)為（）（參考數(shù)據(jù)：?。〢.6 B.7C.8 D.97．已知函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，且f(x)在上是增函數(shù)，若，則不等式的解集為（）A.{x|x>2} B.C.{或x>2} D.{或x>2}8．非零向量，，若點關(guān)于所在直線的對稱點為，則向量為A. B.C. D.9．對于每個實數(shù)x，設(shè)取兩個函數(shù)中的較小值.若動直線y=m與函數(shù)的圖象有三個不同的交點，它們的橫坐標(biāo)分別為,則的取值范圍是（）A. B.C. D.10．若函數(shù)則下列說法錯誤的是（）A.是奇函數(shù)B.若在定義域上單調(diào)遞減，則或C.當(dāng)時，若，則D.若函數(shù)有2個零點，則11．把正方形沿對角線折起，當(dāng)以，，，四點為頂點的三棱錐體積最大時，直線和平面所成角的大小為（）A. B.C. D.12．已知扇形的圓心角為2弧度，其所對的弦長為2，則扇形的弧長等于A. B.C. D.二、填空題（本大題共4小題，共20分）13．若函數(shù)，則________14．若則函數(shù)的最小值為________15．若函數(shù)y=是函數(shù)的反函數(shù)，則_________________16．設(shè)函數(shù)，若實數(shù)滿足，且，則的取值范圍是_______________________三、解答題（本大題共6小題，共70分）17．已知函數(shù).（1）判斷的奇偶性并證明；（2）用函數(shù)單調(diào)性的定義證明在區(qū)間上單調(diào)遞增；（3）若對，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.18．已知函數(shù)，其定義域為D（1）求D；（2）設(shè)，若關(guān)于的方程在內(nèi)有唯一零點，求的取值范圍19．已知函數(shù)，圖象上相鄰的最高點與最低點的橫坐標(biāo)相差，______；（1）①的一條對稱軸且；②的一個對稱中心，且在上單調(diào)遞減；③向左平移個單位得到的圖象關(guān)于軸對稱且從以上三個條件中任選一個補(bǔ)充在上面空白橫線中，然后確定函數(shù)的解析式；（2）在（1）的情況下，令，，若存在使得成立，求實數(shù)的取值范圍.20．如圖，三棱錐中，平面平面，，，（1）求三棱錐的體積；（2）在平面內(nèi)經(jīng)過點，畫一條直線，使，請寫出作法，并說明理由21．某種商品在天內(nèi)每克的銷售價格(元)與時間的函數(shù)圖象是如圖所示的兩條線段（不包含兩點）；該商品在30天內(nèi)日銷售量(克)與時間(天)之間的函數(shù)關(guān)系如下表所示:第天5152030銷售量克35252010（1）根據(jù)提供的圖象，寫出該商品每克銷售的價格(元)與時間的函數(shù)關(guān)系式；（2）根據(jù)表中數(shù)據(jù)寫出一個反映日銷售量隨時間變化的函數(shù)關(guān)系式；（3）在（2）的基礎(chǔ)上求該商品的日銷售金額的最大值，并求出對應(yīng)的值.（注：日銷售金額=每克的銷售價格×日銷售量）22．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.（Ⅰ）求函數(shù)的解析式；（Ⅱ）若為第二象限角且，求的值.

參考答案一、選擇題（本大題共12小題，共60分）1、C【解析】直接利用三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換和特殊角的三角函數(shù)的值求出結(jié)果【詳解】在中，，則，，，,故選C【點睛】本題考查的知識要點：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換和特殊角三角函數(shù)的值的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題型2、B【解析】分類討論：①若a>1,由題意可得：在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上恒成立，則，結(jié)合反比例函數(shù)的單調(diào)性可知當(dāng)時，，此時；②若0<a<1,由題意可得：在區(qū)間上恒成立，即，，函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)時，取得最大值1，此時要求，與矛盾.綜上可得：的取值范圍是(2,).本題選擇B選項.點睛：在解決與對數(shù)函數(shù)相關(guān)的比較大小或解不等式問題時，要優(yōu)先考慮利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來求解．在利用單調(diào)性時，一定要明確底數(shù)a的取值對函數(shù)增減性的影響，及真數(shù)必須為正的限制條件3、C【解析】結(jié)合圖像逐項求解即可.【詳解】結(jié)合已知條件可知，甲乙同時出發(fā)且跑的路程都為，故AB錯誤；且當(dāng)甲乙兩人跑的路程為時，甲所用時間比乙少，故甲先到達(dá)終點且甲的速度較大，故C正確，D錯誤.故選：C.4、C【解析】寫出滿足題意的集合B，即得解.【詳解】因為集合，集合B滿足，所以集合B={3},{1,3},{2,3},{1,2,3}.故選：C【點睛】本題主要考查集合的并集運算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.5、A【解析】由得，所以，選A點睛:對于集合的交、并、補(bǔ)運算問題，應(yīng)先把集合化簡再計算，常常借助數(shù)軸或韋恩圖處理6、C【解析】根據(jù)題意列出不等式，利用對數(shù)換底公式，計算出結(jié)果.【詳解】經(jīng)過年后，植被面積為公頃，由，得.因為，所以，又因為，故植被面積達(dá)到4000公頃至少需要經(jīng)過的年數(shù)為8.故選：C7、C【解析】利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性將不等式等價為，進(jìn)而可求得結(jié)果.詳解】依題意，不等式，又在上是增函數(shù)，所以，即或，解得或.故選：C.8、A【解析】如圖由題意點B關(guān)于所在直線的對稱點為B1，所以∠BOA=∠B1OA，所以又由平行四邊形法則知:,且向量的方向與向量的方向相同，由數(shù)量積的概念向量在向量方向上的投影是OM=，設(shè)與向量方向相同的單位向量為：，所以向量=2=2=，所以=.故選A.點睛：本題利用平行四邊形法則表示和向量，因為對稱，所以借助數(shù)量積定義中的投影及單位向量即可表示出和向量,解題時要善于借助圖像特征體現(xiàn)向量的工具作用.9、C【解析】如圖，作出函數(shù)的圖象，其中，設(shè)與動直線的交點的橫坐標(biāo)為，∵圖像關(guān)于對稱∴∵∴∴故選C點睛：本題首先考查新定義問題，首先從新定義理解函數(shù)，為此解方程，確定分界點，從而得函數(shù)的具體表達(dá)式，畫出函數(shù)圖象，通過圖象確定三個數(shù)中具有對稱關(guān)系，，因此只要確定的范圍就能得到的范圍.10、D【解析】A利用奇偶性定義判斷；B根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，列出分段函數(shù)在分段區(qū)間的界點上函數(shù)值的不等關(guān)系求參數(shù)范圍即可；C利用函數(shù)單調(diào)性求解集；D將問題轉(zhuǎn)化為與直線的交點個數(shù)求參數(shù)a的范圍.【詳解】由題設(shè)，當(dāng)時有，則；當(dāng)時有，則，故是奇函數(shù)，A正確因為在定義域上單調(diào)遞減，所以，得a≤－4或a≥－1，B正確當(dāng)a≥－1時，在定義域上單調(diào)遞減，由，得：x＞－1且x≠0，C正確的零點個數(shù)即為與直線的交點個數(shù)，由題意得，解得－3＜a＜-5+172，D錯誤故選：D11、C【解析】當(dāng)平面平面時，三棱錐體積最大，由此能求出結(jié)果【詳解】解：如圖，當(dāng)平面平面時，三棱錐體積最大取的中點，則平面，故直線和平面所成的角為，故選：【點睛】本題考查直線與平面所成角的求法，解題時要注意空間思維能力的培養(yǎng)，屬于中檔題12、A【解析】根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合圖形求出半徑r，再計算弧長【詳解】如圖所示，，，過點O作，C垂足，延長OC交于D，則，；中，，從而弧長為，故選A【點睛】本題考查了弧長公式的應(yīng)用問題，求出扇形的半徑是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題二、填空題（本大題共4小題，共20分）13、0【解析】令x=1代入即可求出結(jié)果.【詳解】令，則.【點睛】本題主要考查求函數(shù)的值，屬于基礎(chǔ)題型.14、1【解析】結(jié)合圖象可得答案.【詳解】如圖，函數(shù)在同一坐標(biāo)系中，且，所以在時有最小值，即.故答案為：1.15、0【解析】可得，再代值求解的值即可【詳解】的反函數(shù)為，則，則，則.故答案為：016、【解析】結(jié)合圖象確定a，b，c的關(guān)系，由此可得，再利用基本不等式求其最值.【詳解】解：因為函數(shù)，若實數(shù)a，b，c滿足，且，；如圖：，且；令；因為；，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號；，；故答案為：三、解答題（本大題共6小題，共70分）17、（1）為奇函數(shù)，證明見解析（2）證明見解析（3）【解析】（1）求出函數(shù)的定義域，然后驗證、之間的關(guān)系，即可證得函數(shù)為奇函數(shù)；（2）任取、，且，作差，因式分解后判斷差值的符號，即可證得結(jié)論成立；（3）由參變量分離法可得出，令，求出函數(shù)在上的最大值，即可得出實數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】證明：函數(shù)為奇函數(shù)，理由如下：函數(shù)的定義域為，，所以為奇函數(shù).【小問2詳解】證明：任取、，且，則，，，所以，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增.【小問3詳解】解：不等式在上恒成立等價于在上恒成立，令，因為，所以，則有在恒成立，令，，則，所以，所以實數(shù)的取值范圍為.18、（1）（2）【解析】（1）由可求出結(jié)果；（2）由求出或，根據(jù)方程在內(nèi)有唯一零點，得到，解得結(jié)果即可.【小問1詳解】由得，得，得，所以函數(shù)的定義域為，即.【小問2詳解】因為，所以，所以或，因為關(guān)于的方程在內(nèi)有唯一零點，且，所以，解得.19、（1）選①②③，；（2）.【解析】（1）根據(jù)題意可得出函數(shù)的最小正周期，可求得的值，根據(jù)所選的條件得出關(guān)于的表達(dá)式，然后結(jié)合所選條件進(jìn)行檢驗，求出的值，綜合可得出函數(shù)的解析式；（2）求得，由可計算得出，進(jìn)而可得出，由參變量分離法得出，利用基本不等式求得的最小值，由此可得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）由題意可知，函數(shù)的最小正周期為，.選①，因為函數(shù)的一條對稱軸，則，解得，，所以，的可能取值為、.若，則，則，不合乎題意；若，則，則，合乎題意.所以，；選②，因為函數(shù)的一個對稱中心，則，解得，，所以，的可能取值為、.若，則，當(dāng)時，，此時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，不合乎題意；若，則，當(dāng)時，，此時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，合乎題意；所以，；選③，將函數(shù)向左平移個單位得到的圖象關(guān)于軸對稱，所得函數(shù)為，由于函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，可得，解得，，所以，的可能取值為、.若，則，，不合乎題意；若，則，，合乎題意.所以，；（2）由（1）可知，所以，，當(dāng)時，，，所以，，所以，，，，，則，由可得，所以，，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以，.【點睛】結(jié)論點睛：利用參變量分離法求解函數(shù)不等式恒（能）成立，可根據(jù)以下原則進(jìn)行求解：（1），；（2），；（3），；（4），.20、（1）見解析（2）見解析【解析】（1）取的中點，連接，因為，所以，由面面垂直的性質(zhì)可得平面，求出的值，利用三角形面積公式求出底面積，從而根據(jù)棱錐的條件公式可得三棱錐的體積；（2）在平面中，過點作，交于點，在平面中，過點作，交于點，連結(jié)，則直線就是所求的直線，根據(jù)作法，利用線面垂直的判定定理與性質(zhì)可證明.試題解析：（1）取的中點，連接，因為，所以，又因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，因為，，所以，因為，所以的面積，所以三棱錐的體積（2）在平面中，過點作，交于點，在平面中，過點作，交于點，連結(jié)，則直線就是所求的直線，由作法可知，，又因為，所以平面，所以，即21、（1）；（2）；（3）25.【解析】（1）設(shè)AB所在的直線方程為P=kt+20，將B點代入可得k值，由CD兩點坐標(biāo)可得直線CD所在的兩點式方程，進(jìn)而可得銷售價格P（元）與時間t的分段函數(shù)關(guān)系式（2）設(shè)Q=k1t+b，把兩點（5，35），（15，25）的坐標(biāo)代入，可得日銷售量Q隨時間t變化的函數(shù)的解析式（3）設(shè)日銷售金額為y，根據(jù)銷售金額=銷售價格×日銷售量，結(jié)合（1）（2）的結(jié)論得到答案【詳解】（1）由圖可知，，，，設(shè)所在直線方程為，把代入得，所以.，由兩點式得所在的直線方程為，整理得，，，所以，（2）由題意，設(shè)，把兩點，代入得，解得所以把點，代入也適合，即對應(yīng)的四點都在同一條直線上，所以.（本題若把四點中的任意兩點代入中求出，，再驗證也可以）（3）設(shè)日銷售金額為，依題意得，當(dāng)時，配方整理得，當(dāng)時，在區(qū)間上的最大值為900當(dāng)時，，配方整理得，所以當(dāng)時，在區(qū)間上的最大值為1125.綜上可知日銷售金額最大值為1125元，此時.【點睛】本小題主要考查具體的函數(shù)模型在實際問題中的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合、化歸轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及應(yīng)用意識和運算求解能力22、(1);(2).【解析】（1）根據(jù)圖象可得周期，故．再根據(jù)圖