2023-2024學(xué)年湖南省長(zhǎng)沙市一中數(shù)學(xué)高一上期末聯(lián)考模擬試題含解析

2023-2024學(xué)年湖南省長(zhǎng)沙市一中數(shù)學(xué)高一上期末聯(lián)考模擬試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題（本大題共10小題；在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題意，請(qǐng)將正確選項(xiàng)填涂在答題卡上.）1．下列指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化不正確的一組是（）A.100=1與lg1=0 B.與C.log39=2與32=9 D.log55=1與51=52．已知是定義在上的單調(diào)函數(shù)，滿足，則函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為（）A. B.C. D.3．cos600°值等于A. B.C. D.4．高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào)，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，例如：，，已知函數(shù)，則函數(shù)的值域是A. B.C. D.5．已知函數(shù),若實(shí)數(shù),則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A.0 B.1C.2 D.36．正割及余割這兩個(gè)概念是由伊朗數(shù)學(xué)家阿布爾威發(fā)首先引入的．定義正割，余割．已知為正實(shí)數(shù)，且對(duì)任意的實(shí)數(shù)均成立，則的最小值為（）A. B.C. D.7．已知點(diǎn)是角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)，則（）A. B.C. D.8．如圖，一個(gè)空間幾何體的主視圖、左視圖、俯視圖為全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角邊長(zhǎng)為1，那么這個(gè)幾何體的體積為A.1 B.C. D.9．有三個(gè)函數(shù)：①，②，③，其中圖像是中心對(duì)稱圖形的函數(shù)共有（）.A.0個(gè) B.1個(gè)C.2個(gè) D.3個(gè)10．已知函數(shù)是上的偶函數(shù)，且在區(qū)間上是單調(diào)遞增的，，，是銳角三角形的三個(gè)內(nèi)角，則下列不等式中一定成立的是A. B.C. D.二、填空題（本大題共5小題，請(qǐng)把答案填在答題卡中相應(yīng)題中橫線上）11．已知冪函數(shù)f（x）=xa的圖象經(jīng)過點(diǎn)（8，2），則f（27）的值為____________12．已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則_____________13．若“”為假命題，則實(shí)數(shù)m最小值為___________.14．已知長(zhǎng)方體的8個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，若，，，則球的表面積為___________.15．已知正實(shí)數(shù)滿足，則當(dāng)__________時(shí)，的最小值是__________三、解答題（本大題共6小題.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）16．某種商品在天內(nèi)每克的銷售價(jià)格(元)與時(shí)間的函數(shù)圖象是如圖所示的兩條線段（不包含兩點(diǎn)）；該商品在30天內(nèi)日銷售量(克)與時(shí)間(天)之間的函數(shù)關(guān)系如下表所示:第天5152030銷售量克35252010（1）根據(jù)提供的圖象，寫出該商品每克銷售的價(jià)格(元)與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式；（2）根據(jù)表中數(shù)據(jù)寫出一個(gè)反映日銷售量隨時(shí)間變化的函數(shù)關(guān)系式；（3）在（2）的基礎(chǔ)上求該商品的日銷售金額的最大值，并求出對(duì)應(yīng)的值.（注：日銷售金額=每克的銷售價(jià)格×日銷售量）17．已知，，且，，求的值18．如圖，在四棱錐P-ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD=CD=1，BC=2，PD=（Ⅰ）求證：PD⊥平面PBC；（Ⅱ）求直線AB與平面PBC所成角的大??；（Ⅲ）求二面角P-AB-C的正切值19．已知的三個(gè)內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且.（1）角的大??；（2）若點(diǎn)在邊上，且，，求的面積；（3）在（2）的條件下，若，試求的長(zhǎng).20．求函數(shù)的定義域、值域與單調(diào)區(qū)間；21．已知對(duì)數(shù)函數(shù).（1）若函數(shù)，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）對(duì)于（1）中的函數(shù)，若，不等式的解集非空，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題（本大題共10小題；在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題意，請(qǐng)將正確選項(xiàng)填涂在答題卡上.）1、B【解析】根據(jù)指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化逐一判斷即可.【詳解】A.1對(duì)數(shù)等于0，即，可得到：100=1與lg1=0；故正確;B.對(duì)應(yīng)的對(duì)數(shù)式應(yīng)為,故不正確；C.；故正確，D.很明顯log55=1與51=5是正確的；故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化，考查基本分析判斷能力，屬基礎(chǔ)題.2、C【解析】設(shè)，即，再通過函數(shù)的單調(diào)性可知，即可求出的值，得到函數(shù)的解析式，然后根據(jù)零點(diǎn)存在性定理即可判斷零點(diǎn)所在區(qū)間【詳解】設(shè)，即，，因?yàn)槭嵌x在上的單調(diào)函數(shù)，所以由解析式可知，在上單調(diào)遞增而，，故，即因?yàn)?，，由于，即有，所以故，即的零點(diǎn)所在區(qū)間為故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，零點(diǎn)存在性定理的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，屬于較難題3、B【解析】利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)即可得到結(jié)果.【詳解】cos600°故選B【點(diǎn)睛】本題考查利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值，考查特殊角的三角函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題.4、D【解析】化簡(jiǎn)函數(shù)，根據(jù)表示不超過的最大整數(shù)，可得結(jié)果.【詳解】函數(shù)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的值域是，故選D.【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)的運(yùn)算、函數(shù)的值域以及新定義問題，屬于難題.新定義題型的特點(diǎn)是：通過給出一個(gè)新概念，或約定一種新運(yùn)算，或給出幾個(gè)新模型來創(chuàng)設(shè)全新的問題情景，要求考生在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識(shí)和方法，實(shí)現(xiàn)信息的遷移，達(dá)到靈活解題的目的.遇到新定義問題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點(diǎn)，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、驗(yàn)證、運(yùn)算，使問題得以解決.5、D【解析】根據(jù)分段函數(shù)做出函數(shù)的圖象，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想可求出函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，得出選項(xiàng).【詳解】令，得，根據(jù)分段函數(shù)的解析式，做出函數(shù)的圖象，如下圖所示，因?yàn)?，由圖象可得出函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3個(gè)，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)零點(diǎn),考查學(xué)生分析解決問題的能力,關(guān)鍵在于做出函數(shù)的圖象，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想得出零點(diǎn)個(gè)數(shù)，屬于中檔題.多選題6、D【解析】由參變量分離法可得出，利用基本不等式可求得取值范圍，即可得解.【詳解】由已知可得，可得，因?yàn)?，則，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故.故選：D.7、B【解析】根據(jù)余弦函數(shù)的定義直接進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)是角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)，所以，故選：B8、D【解析】由三視圖可知：此立體圖形是一個(gè)底面為等腰直角三角形，一條棱垂直于底面的三棱錐；所以其體積為.故選D.考點(diǎn)：三視圖和立體圖形的轉(zhuǎn)化；三棱錐的體積.9、C【解析】根據(jù)反比例函數(shù)的對(duì)稱性，圖象變換，然后結(jié)合中心對(duì)稱圖形的定義判斷【詳解】，顯然函數(shù)的圖象是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心是，而的圖形是由的圖象向左平行3個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位得到的，對(duì)稱中心是，由得，于是不是中心對(duì)稱圖形，，中間是一條線段，它關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，因此有兩個(gè)中心對(duì)稱圖形故選：C10、C【解析】因?yàn)槭卿J角的三個(gè)內(nèi)角，所以，得，兩邊同取余弦函數(shù)，可得，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且是偶函數(shù)，所以在上減函數(shù)，由，可得，故選C.點(diǎn)睛：本題考查了比較大小問題，解答中熟練推導(dǎo)抽象函數(shù)的圖象與性質(zhì)，合理利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較大小是解答的關(guān)鍵，著重考查學(xué)生的推理與運(yùn)算能力，本題的解答中，根據(jù)銳角三角形，得出與的大小關(guān)系是解答的一個(gè)難點(diǎn).二、填空題（本大題共5小題，請(qǐng)把答案填在答題卡中相應(yīng)題中橫線上）11、3【解析】根據(jù)冪函數(shù)f（x）=xa的圖象經(jīng)過點(diǎn)（8，2）求出a的值，再求f（27）的值.【詳解】?jī)绾瘮?shù)f（x）=xa的圖象經(jīng)過點(diǎn)（8，2），則8α=2，∴α=，∴f（x）=，∴f（27）==3．故答案為3【點(diǎn)睛】本題主要考查冪函數(shù)的概念和解析式的求法，考查冪函數(shù)的圖像和性質(zhì)，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.12、##【解析】設(shè)出冪函數(shù)解析式，代入已知點(diǎn)坐標(biāo)求解【詳解】設(shè)，由已知得，所以，故答案為：13、【解析】寫出該命題的否定命題，根據(jù)否定命題求出的取值范圍即可【詳解】解：命題“，有”是假命題，它否定命題是“，有”，是真命題，即，恒成立，所以，因?yàn)?，在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，又，，所以所以，的最小值為，故答案為：14、【解析】求得長(zhǎng)方體外接球的半徑，從而求得球的表面積.【詳解】由題知，球O的半徑為，則球O的表面積為故答案為：15、①.②.6【解析】利用基本不等式可知，當(dāng)且僅當(dāng)“”時(shí)取等號(hào).而運(yùn)用基本不等式后，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可知恰在時(shí)取得最小值，由此得解.【詳解】解：由題意可知：，即，當(dāng)且僅當(dāng)“”時(shí)取等號(hào)，，當(dāng)且僅當(dāng)“”時(shí)取等號(hào).故答案為：，6.【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式的應(yīng)用，同時(shí)也考查了配方法及二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題（本大題共6小題.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）16、（1）；（2）；（3）25.【解析】（1）設(shè)AB所在的直線方程為P=kt+20，將B點(diǎn)代入可得k值，由CD兩點(diǎn)坐標(biāo)可得直線CD所在的兩點(diǎn)式方程，進(jìn)而可得銷售價(jià)格P（元）與時(shí)間t的分段函數(shù)關(guān)系式（2）設(shè)Q=k1t+b，把兩點(diǎn)（5，35），（15，25）的坐標(biāo)代入，可得日銷售量Q隨時(shí)間t變化的函數(shù)的解析式（3）設(shè)日銷售金額為y，根據(jù)銷售金額=銷售價(jià)格×日銷售量，結(jié)合（1）（2）的結(jié)論得到答案【詳解】（1）由圖可知，，，，設(shè)所在直線方程為，把代入得，所以.，由兩點(diǎn)式得所在的直線方程為，整理得，，，所以，（2）由題意，設(shè)，把兩點(diǎn)，代入得，解得所以把點(diǎn)，代入也適合，即對(duì)應(yīng)的四點(diǎn)都在同一條直線上，所以.（本題若把四點(diǎn)中的任意兩點(diǎn)代入中求出，，再驗(yàn)證也可以）（3）設(shè)日銷售金額為，依題意得，當(dāng)時(shí)，配方整理得，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上的最大值為900當(dāng)時(shí)，，配方整理得，所以當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上的最大值為1125.綜上可知日銷售金額最大值為1125元，此時(shí).【點(diǎn)睛】本小題主要考查具體的函數(shù)模型在實(shí)際問題中的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合、化歸轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及應(yīng)用意識(shí)和運(yùn)算求解能力17、【解析】先利用同角三角函數(shù)關(guān)系式分別求出sinα、cosβ，再由兩角差余弦函數(shù)公式能求出β﹣α的值【詳解】因?yàn)?，，所以又，，所以，所以，所以【點(diǎn)睛】本題考查兩角差的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意同角三角函數(shù)關(guān)系式和兩角差余弦函數(shù)公式的合理運(yùn)用18、（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）30°；（Ⅲ）.【解析】（Ⅰ）證明，則，又PD⊥PB即可證明平面（Ⅱ）過點(diǎn)D作AB的平行線交BC于點(diǎn)F，連結(jié)PF，DF與平面所成的角等于AB與平面所成的角，為直線DF和平面所成的角，在中，求解即可（Ⅲ）說明是二面角的平面角，在直角梯形ABCD內(nèi)可求得，而，在中，求解即可【詳解】（Ⅰ）因?yàn)锳D⊥平面PDC，直線PD?平面PDC，所以AD⊥PD又因?yàn)锽C∥AD，所以PD⊥BC，又PD⊥PB，PB與BC相交于點(diǎn)B，所以，PD⊥平面PBC.（Ⅱ）過點(diǎn)D作AB的平行線交BC于點(diǎn)F，連結(jié)PF，則DF與平面PBC所成的角等于AB與平面PBC所成的角因?yàn)镻D⊥平面PBC，故PF為DF在平面PBC上的射影，所以∠DFP為直線DF和平面PBC所成的角．由于AD∥BC，DF∥AB，故BF=AD=CF=1又AD⊥DC，故BC⊥DC，ABCD為直角梯形，所以，DF=.

在Rt△DPF中，PD=，DF=，sin∠DFP==所以，直線AB與平面PBC所成角為30°.（Ⅲ）設(shè)E是CD的中點(diǎn)，則PE⊥CD，又AD⊥平面PDC，所以PE⊥平面ABCD.

在平面ABCD內(nèi)作EG⊥AB交AB的延長(zhǎng)線于G，連EG，則∠PGE是二面角P-AB-C的平面角．在直角梯形ABCD內(nèi)可求得EG=，而PE=，所以，在Rt△PEG中，tan∠PGE==所以，二面角P-AB-C的正切值為【點(diǎn)睛】本題考查二面角的平面角以及直線與平面所成角的求法，直線與平面垂直的判斷定理的應(yīng)用,要正確地找出線面角及二面角的平面角，然后解三角形即可.19、(1)；(2)；(3).【解析】（1）由條件知，結(jié)合正弦定理得，整理得，可得，從而得．（2）由，得．在中，由正弦定理得．在中，由余弦定理可得．所以．（3）由，可得．在中，由余弦定理得試題解析：（1），由正弦定理得，∴，∴，∵，∴，∵，∴.（2）由，得，在中，由正弦定理知，∴，解得，設(shè)，在中，由余弦定理得，∴，整理得解得，∴；（3）∵，∴，在中，由余弦定理得∴.20、定義域?yàn)?，值域?yàn)?，遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為.【解析】由函數(shù)的解析式有意義列出不等式，可求得其定義域，由，結(jié)合基本不等式，可求得函數(shù)的值域，令，根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判定方法，可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【詳解】由題意，函數(shù)有意義，則滿足且，因?yàn)榉匠?，所以，解得，所以函?shù)的定義域?yàn)橛钟桑驗(yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以，所以函數(shù)的值域?yàn)?，令，根?jù)對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)，可得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判定方法，可得在上單