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高等數(shù)學(xué)函數(shù)與極限函數(shù)●函數(shù)基礎(chǔ)(高中函數(shù)部分相關(guān)知識)(▲▲▲)●鄰域(去心鄰域)(▲)數(shù)列的極限●數(shù)列極限的證明(▲)〖題型〗已知數(shù)列,證明〖證明〗語言1.由化簡得,∴2.即對,,當(dāng)時,始終有不等式成立,∴函數(shù)的極限●時函數(shù)極限的證明(▲)〖題型〗已知函數(shù),證明〖證明〗語言1.由化簡得,∴2.即對,,當(dāng)時,始終有不等式成立,∴●時函數(shù)極限的證明(▲)〖題型〗已知函數(shù),證明〖證明〗語言1.由化簡得,∴2.即對,,當(dāng)時,始終有不等式成立,∴無窮小與無窮大●無窮小與無窮大的本質(zhì)(▲)函數(shù)無窮小函數(shù)無窮大●無窮小與無窮大的相關(guān)定理與推論(▲▲)(定理三)假設(shè)為有界函數(shù),為無窮小,則(定理四)在自變量的某個變化過程中,若為無窮大,則為無窮小;反之,若為無窮小,且,則為無窮大〖題型〗計算:(或)1.∵≤∴函數(shù)在的任一去心鄰域內(nèi)是有界的;(∵≤,∴函數(shù)在上有界;)2.即函數(shù)是時的無窮??;(即函數(shù)是時的無窮小;)3.由定理可知()極限運(yùn)算法則●極限的四則運(yùn)算法則(▲▲)(定理一)加減法則(定理二)乘除法則關(guān)于多項式、商式的極限運(yùn)算設(shè):則有(特別地,當(dāng)(不定型)時,通常分子分母約去公因式即約去可去間斷點便可求解出極限值,也可以用羅比達(dá)法則求解)〖題型〗求值〖求解示例〗解:因為,從而可得,所以原式其中為函數(shù)的可去間斷點倘若運(yùn)用羅比達(dá)法則求解(詳見第三章第二節(jié)):解:●連續(xù)函數(shù)穿越定理(復(fù)合函數(shù)的極限求解)(▲▲)(定理五)若函數(shù)是定義域上的連續(xù)函數(shù),那么,〖題型〗求值:〖求解示例〗極限存在準(zhǔn)則及兩個重要極限●夾迫準(zhǔn)則(P53)(▲▲▲)第一個重要極限:∵,∴(特別地,)●單調(diào)有界收斂準(zhǔn)則(P57)(▲▲▲)第二個重要極限:(一般地,,其中)〖題型〗求值:〖求解示例〗無窮小量的階(無窮小的比較)●等價無窮?。ā?.2.(乘除可替,加減不行)〖題型〗求值:〖求解示例〗函數(shù)的連續(xù)性●函數(shù)連續(xù)的定義(▲)●間斷點的分類(P67)(▲)(特別地,可去間斷點能在分式中約去相應(yīng)公因式)〖題型〗設(shè)函數(shù),應(yīng)該怎樣選擇數(shù),使得成為在上的連續(xù)函數(shù)?〖求解示例〗1.∵2.由連續(xù)函數(shù)定義∴閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)●零點定理(▲)〖題型〗證明:方程至少有一個根介于與之間〖證明〗1.(建立輔助函數(shù))函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù);2.∵(端點異號)3.∴由零點定理,在開區(qū)間內(nèi)至少有一點,使得,即()4.這等式說明方程在開區(qū)間內(nèi)至少有一個根導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)概念●高等數(shù)學(xué)中導(dǎo)數(shù)的定義及幾何意義(P83)(▲▲)〖題型〗已知函數(shù),在處可導(dǎo),求,〖求解示例〗1.∵,2.由函數(shù)可導(dǎo)定義∴〖題型〗求在處的切線與法線方程(或:過圖像上點處的切線與法線方程)〖求解示例〗1.,2.切線方程:法線方程:函數(shù)的和(差)、積與商的求導(dǎo)法則●函數(shù)和(差)、積與商的求導(dǎo)法則(▲▲▲)1.線性組合(定理一):特別地,當(dāng)時,有2.函數(shù)積的求導(dǎo)法則(定理二):3.函數(shù)商的求導(dǎo)法則(定理三):反函數(shù)和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則●反函數(shù)的求導(dǎo)法則(▲)〖題型〗求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)〖求解示例〗由題可得為直接函數(shù),其在定于域上單調(diào)、可導(dǎo),且;∴●復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則(▲▲▲)〖題型〗設(shè),求〖求解示例〗高階導(dǎo)數(shù)●(或)(▲)〖題型〗求函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)〖求解示例〗,,……隱函數(shù)及參數(shù)方程型函數(shù)的導(dǎo)數(shù)●隱函數(shù)的求導(dǎo)(等式兩邊對求導(dǎo))(▲▲▲)〖題型〗試求:方程所給定的曲線:在點的切線方程與法線方程〖求解示例〗由兩邊對求導(dǎo)即化簡得∴∴切線方程:法線方程:●參數(shù)方程型函數(shù)的求導(dǎo)〖題型〗設(shè)參數(shù)方程,求〖求解示例〗1.2.變化率問題舉例及相關(guān)變化率(不作要求)函數(shù)的微分●基本初等函數(shù)微分公式與微分運(yùn)算法則(▲▲▲)中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用中值定理●引理(費(fèi)馬引理)(▲)●羅爾定理(▲▲▲)〖題型〗現(xiàn)假設(shè)函數(shù)在上連續(xù),在上可導(dǎo),試證明:,使得成立〖證明〗1.(建立輔助函數(shù))令顯然函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù),在開區(qū)間上可導(dǎo);2.又∵即3.∴由羅爾定理知,使得成立●拉格朗日中值定理(▲)〖題型〗證明不等式:當(dāng)時,〖證明〗1.(建立輔助函數(shù))令函數(shù),則對,顯然函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù),在開區(qū)間上可導(dǎo),并且;2.由拉格朗日中值定理可得,使得等式成立,又∵,∴,化簡得,即證得:當(dāng)時,〖題型〗證明不等式:當(dāng)時,〖證明〗1.(建立輔助函數(shù))令函數(shù),則對,函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù),在開區(qū)間上可導(dǎo),并且;2.由拉格朗日中值定理可得,使得等式成立,化簡得,又∵,∴,∴,即證得:當(dāng)時,羅比達(dá)法則●運(yùn)用羅比達(dá)法則進(jìn)行極限運(yùn)算的基本步驟(▲▲)1.☆等價無窮小的替換(以簡化運(yùn)算)2.判斷極限不定型的所屬類型及是否滿足運(yùn)用羅比達(dá)法則的三個前提條件A.屬于兩大基本不定型()且滿足條件,則進(jìn)行運(yùn)算:(再進(jìn)行1、2步驟,反復(fù)直到結(jié)果得出)B.☆不屬于兩大基本不定型(轉(zhuǎn)化為基本不定型)⑴型(轉(zhuǎn)乘為除,構(gòu)造分式)〖題型〗求值:〖求解示例〗(一般地,,其中)⑵型(通分構(gòu)造分式,觀察分母)〖題型〗求值:〖求解示例〗⑶型(對數(shù)求極限法)〖題型〗求值:〖求解示例〗⑷型(對數(shù)求極限法)〖題型〗求值:〖求解示例〗⑸型(對數(shù)求極限法)〖題型〗求值:〖求解示例〗●運(yùn)用羅比達(dá)法則進(jìn)行極限運(yùn)算的基本思路(▲▲)⑴通分獲得分式(通常伴有等價無窮小的替換)⑵取倒數(shù)獲得分式(將乘積形式轉(zhuǎn)化為分式形式)⑶取對數(shù)獲得乘積式(通過對數(shù)運(yùn)算將指數(shù)提前)泰勒中值定理(不作要求)函數(shù)的單調(diào)性和曲線的凹凸性●連續(xù)函數(shù)單調(diào)性(單調(diào)區(qū)間)(▲▲▲)〖題型〗試確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間〖求解示例〗1.∵函數(shù)在其定義域上連續(xù),且可導(dǎo)∴2.令,解得:3.(三行表)極大值極小值4.∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為;單調(diào)遞減區(qū)間為〖題型〗證明:當(dāng)時,〖證明〗1.(構(gòu)建輔助函數(shù))設(shè),()2.,()∴3.既證:當(dāng)時,〖題型〗證明:當(dāng)時,〖證明〗1.(構(gòu)建輔助函數(shù))設(shè),()2.,()∴3.既證:當(dāng)時,●連續(xù)函數(shù)凹凸性(▲▲▲)〖題型〗試討論函數(shù)的單調(diào)性、極值、凹凸性及拐點〖證明〗1.2.令解得:3.(四行表)4.⑴函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為,;⑵函數(shù)的極小值在時取到,為,極大值在時取到,為;⑶函數(shù)在區(qū)間,上凹,在區(qū)間,上凸;⑷函數(shù)的拐點坐標(biāo)為函數(shù)的極值和最大、最小值●函數(shù)的極值與最值的關(guān)系(▲▲▲)⑴設(shè)函數(shù)的定義域為,如果的某個鄰域,使得對,都適合不等式,我們則稱函數(shù)在點處有極大值;令則函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值滿足:;⑵設(shè)函數(shù)的定義域為,如果的某個鄰域,使得對,都適合不等式,我們則稱函數(shù)在點處有極小值;令則函數(shù)在閉區(qū)間上的最小值滿足:;〖題型〗求函數(shù)在上的最值〖求解示例〗1.∵函數(shù)在其定義域上連續(xù),且可導(dǎo)∴2.令,解得:3.(三行表)極小值極大值4.又∵∴函數(shù)圖形的描繪(不作要求)曲率(不作要求)方程的近似解(不作要求)不定積分不定積分的概念與性質(zhì)●原函數(shù)與不定積分的概念(▲▲)⑴原函數(shù)的概念:假設(shè)在定義區(qū)間上,可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為,即當(dāng)自變量時,有或成立,則稱為的一個原函數(shù)⑵原函數(shù)存在定理:(▲▲)如果函數(shù)在定義區(qū)間上連續(xù),則在上必存在可導(dǎo)函數(shù)使得,也就是說:連續(xù)函數(shù)一定存在原函數(shù)(可導(dǎo)必連續(xù))⑶不定積分的概念(▲▲)在定義區(qū)間上,函數(shù)的帶有任意常數(shù)項的原函數(shù)稱為在定義區(qū)間上的不定積分,即表示為:(稱為積分號,稱為被積函數(shù),稱為積分表達(dá)式,則稱為積分變量)●基本積分表(▲▲▲)●不定積分的線性性質(zhì)(分項積分公式)(▲▲▲)換元積分法●第一類換元法(湊微分)(▲▲▲)(的逆向應(yīng)用)〖題型〗求〖求解示例〗〖題型〗求〖求解示例〗●第二類換元法(去根式)(▲▲)(的正向應(yīng)用)⑴對于一次根式()::令,于是,則原式可化為⑵對于根號下平方和的形式()::令(),于是,則原式可化為;⑶對于根號下平方差的形式():a.:令(),于是,則原式可化為;b.:令(),于是,則原式可化為;〖題型〗求(一次根式)〖求解示例〗〖題型〗求(三角換元)〖求解示例〗分部積分法●分部積分法(▲▲)⑴設(shè)函數(shù),具有連續(xù)導(dǎo)數(shù),則其分部積分公式可表示為:⑵分部積分法函數(shù)排序次序:“反、對、冪、三、指”●運(yùn)用分部積分法計算不定積分的基本步驟:⑴遵照分部積分法函數(shù)排序次序?qū)Ρ环e函數(shù)排序;⑵就近湊微分:()⑶使用分部積分公式:⑷展開尾項,判斷a.若是容易求解的不定積分,則直接計算出答案(容易表示使用基本積分表、換元法與有理函數(shù)積分可以輕易求解出結(jié)果);b.若依舊是相當(dāng)復(fù)雜,無法通過a中方法求解的不定積分,則重復(fù)⑵、⑶,直至出現(xiàn)容易求解的不定積分;若重復(fù)過程中出現(xiàn)循環(huán),則聯(lián)立方程求解,但是最后要注意添上常數(shù)〖題型〗求〖求解示例〗〖題型〗求〖求解示例〗∴有理函數(shù)的不定積分●有理函數(shù)(▲)設(shè):對于有理函數(shù),當(dāng)?shù)拇螖?shù)小于的次數(shù)時,有理函數(shù)是真分式;當(dāng)?shù)拇螖?shù)大于的次數(shù)時,有理函數(shù)是假分式●有理函數(shù)(真分式)不定積分的求解思路(▲)⑴將有理函數(shù)的分母分拆成兩個沒有公因式的多項式的乘積:其中一個多項式可以表示為一次因式;而另一個多項式可以表示為二次質(zhì)因式,();即:一般地:,則參數(shù)則參數(shù)⑵則設(shè)有理函數(shù)的分拆和式為:其中參數(shù)由待定系數(shù)法(比較法)求出⑶得到分拆式后分項積分即可求解〖題型〗求(構(gòu)造法)〖求解示例〗積分表的使用(不作要求)定積分極其應(yīng)用定積分的概念與性質(zhì)●定積分的定義(▲)(稱為被積函數(shù),稱為被積表達(dá)式,則稱為積分變量,稱為積分下限,稱為積分上限,稱為積分區(qū)間)●定積分的性質(zhì)(▲▲▲)⑴⑵⑶⑷(線性性質(zhì))⑸(積分區(qū)間的可加性)⑹若函數(shù)在積分區(qū)間上滿足,則;(推論一)若函數(shù)、函數(shù)在積分區(qū)間上滿足,則;(推論二)●積分中值定理(不作要求)微積分基本公式●牛頓-萊布尼茲公式(▲▲▲)(定理三)若果函數(shù)是連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的一個原函數(shù),則●變限積分的導(dǎo)數(shù)公式(▲▲▲)(上上導(dǎo)―下下導(dǎo))〖題型〗求〖求解示例〗定積分的換元法及分部積分法●定積分的換元法(▲▲▲)⑴(第一換元法)〖題型
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