人教版九年級數(shù)學(xué)上冊 24.39 《圓》全章復(fù)習(xí)與鞏固（知識講解）

專題24.39《圓》全章復(fù)習(xí)與鞏固（知識講解）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】理解圓及其有關(guān)概念，理解弧、弦、圓心角的關(guān)系，探索并了解點與圓、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系，探索并掌握圓周角與圓心角的關(guān)系、直徑所對的圓周角的特征；2．了解切線的概念，探索并掌握切線與過切點的半徑之間的位置關(guān)系，能判定一條直線是否為圓的切線，會過圓上一點畫圓的切線；3．了解三角形的內(nèi)心和外心，探索如何過一點、兩點和不在同一直線上的三點作圓；4．了解正多邊形的概念，掌握用等分圓周畫圓的內(nèi)接正多邊形的方法；會計算弧長及扇形的面積、圓錐的側(cè)面積及全面積；5．結(jié)合相關(guān)圖形性質(zhì)的探索和證明，進一步培養(yǎng)合情推理能力，發(fā)展邏輯思維能力和推理論證的表達能力；通過這一章的學(xué)習(xí)，進一步培養(yǎng)綜合運用知識的能力，運用學(xué)過的知【要點梳理】要點一、圓的定義、性質(zhì)及與圓有關(guān)的角1．圓的定義(1)線段OA繞著它的一個端點O旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點A所形成的封閉曲線，叫做圓.(2)圓是到定點的距離等于定長的點的集合.特別說明：①圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大??；確定一個圓應(yīng)先確定圓心，再確定半徑，二者缺一不可；②圓是一條封閉曲線.2．圓的性質(zhì)(1)旋轉(zhuǎn)不變性：圓是旋轉(zhuǎn)對稱圖形，繞圓心旋轉(zhuǎn)任一角度都和原來圖形重合；圓是中心對稱圖形，對稱中心是圓心.在同圓或等圓中，兩個圓心角，兩條弧，兩條弦，兩條弦心距，這四組量中的任意一組相等，那么它所對應(yīng)的其他各組分別相等.(2)軸對稱：圓是軸對稱圖形，經(jīng)過圓心的任一直線都是它的對稱軸.(3)垂徑定理及推論：①垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.②平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.③弦的垂直平分線過圓心，且平分弦對的兩條弧.④平分一條弦所對的兩條弧的直線過圓心，且垂直平分此弦.⑤平行弦夾的弧相等.特別說明：在垂經(jīng)定理及其推論中：過圓心、垂直于弦、平分弦、平分弦所對的優(yōu)弧、平分弦所對的劣弧，在這五個條件中，知道任意兩個，就能推出其他三個結(jié)論.（注意：“過圓心、平分弦”作為題設(shè)時，平分的弦不能是直徑）3．與圓有關(guān)的角(1)圓心角：頂點在圓心的角叫圓心角.圓心角的性質(zhì)：圓心角的度數(shù)等于它所對的弧的度數(shù).(2)圓周角：頂點在圓上，兩邊都和圓相交的角叫做圓周角.圓周角的性質(zhì)：①圓周角等于它所對的弧所對的圓心角的一半.②同弧或等弧所對的圓周角相等；在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等.③90°的圓周角所對的弦為直徑；半圓或直徑所對的圓周角為直角.④如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形.⑤圓內(nèi)接四邊形的對角互補；外角等于它的內(nèi)對角.特別說明：(1)圓周角必須滿足兩個條件：①頂點在圓上；②角的兩邊都和圓相交.(2)圓周角定理成立的前提條件是在同圓或等圓中.要點二、與圓有關(guān)的位置關(guān)系1．判定一個點P是否在⊙O上設(shè)⊙O的半徑為，OP=，則有點P在⊙O外；點P在⊙O上；點P在⊙O內(nèi).特別說明：點和圓的位置關(guān)系和點到圓心的距離的數(shù)量關(guān)系是相對應(yīng)的，即知道位置關(guān)系就可以確定數(shù)量關(guān)系；知道數(shù)量關(guān)系也可以確定位置關(guān)系.當(dāng)時，在⊙O上.3．直線和圓的位置關(guān)系設(shè)⊙O半徑為R，點O到直線的距離為.(1)直線和⊙O沒有公共點直線和圓相離.(2)直線和⊙O有唯一公共點直線和⊙O相切.(3)直線和⊙O有兩個公共點直線和⊙O相交.4．切線的判定、性質(zhì)(1)切線的判定：①經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.②到圓心的距離等于圓的半徑的直線是圓的切線.(2)切線的性質(zhì)：①圓的切線垂直于過切點的半徑.②經(jīng)過圓心作圓的切線的垂線經(jīng)過切點.③經(jīng)過切點作切線的垂線經(jīng)過圓心.(3)切線長：從圓外一點作圓的切線，這一點和切點之間的線段的長度叫做切線長.(4)切線長定理：從圓外一點作圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角.要點三、三角形的外接圓與內(nèi)切圓、圓內(nèi)接四邊形與外切四邊形1．三角形的內(nèi)心、外心、重心、垂心(1)三角形的內(nèi)心：是三角形三條角平分線的交點，它是三角形內(nèi)切圓的圓心，在三角形內(nèi)部，它到三角形三邊的距離相等，通常用“I”表示.(2)三角形的外心：是三角形三邊中垂線的交點，它是三角形外接圓的圓心，銳角三角形外心在三角形內(nèi)部，直角三角形的外心是斜邊中點，鈍角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三個頂點的距離相等，通常用O表示.(3)三角形重心：是三角形三邊中線的交點，在三角形內(nèi)部；它到頂點的距離是到對邊中點距離的2倍，通常用G表示.(4)垂心：是三角形三邊高線的交點.特別說明：(1)任何一個三角形都有且只有一個內(nèi)切圓，但任意一個圓都有無數(shù)個外切三角形；(2)解決三角形內(nèi)心的有關(guān)問題時，面積法是常用的，即三角形的面積等于周長與內(nèi)切圓半徑乘積的一半，即(S為三角形的面積，P為三角形的周長，r為內(nèi)切圓的半徑).(3)三角形的外心與內(nèi)心的區(qū)別：名稱確定方法圖形性質(zhì)外心(三角形外接圓的圓心)三角形三邊中垂線的交點(1)OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形內(nèi)部內(nèi)心(三角形內(nèi)切圓的圓心)三角形三條角平分線的交點(1)到三角形三邊距離相等；(2)OA、OB、OC分別平分∠BAC、∠ABC、∠ACB；(3)內(nèi)心在三角形內(nèi)部.2．圓內(nèi)接四邊形和外切四邊形(1)四個點都在圓上的四邊形叫圓的內(nèi)接四邊形，圓內(nèi)接四邊形對角互補，外角等于內(nèi)對角.(2)各邊都和圓相切的四邊形叫圓外切四邊形，圓外切四邊形對邊之和相等.要點四、圓中有關(guān)計算1．圓中有關(guān)計算圓的面積公式：，周長.圓心角為、半徑為R的弧長.圓心角為，半徑為R，弧長為的扇形的面積.弓形的面積要轉(zhuǎn)化為扇形和三角形的面積和、差來計算.圓柱的側(cè)面圖是一個矩形，底面半徑為R，母線長為的圓柱的體積為，側(cè)面積為，全面積為.圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，底面半徑為R，母線長為，高為的圓錐的側(cè)面積為，全面積為，母線長、圓錐高、底面圓的半徑之間有.特別說明：(1)對于扇形面積公式，關(guān)鍵要理解圓心角是1°的扇形面積是圓面積的，即；(2)在扇形面積公式中，涉及三個量：扇形面積S、扇形半徑R、扇形的圓心角，知道其中的兩個量就可以求出第三個量.(3)扇形面積公式，可根據(jù)題目條件靈活選擇使用，它與三角形面積公式有點類似，可類比記憶；(4)扇形兩個面積公式之間的聯(lián)系：【典型例題】類型一、圓的對稱性——垂徑定理1．如圖，在半徑為的扇形中，，點是上的一個動點不與點、重合，，，垂足分別為、．當(dāng)時，求線段的長；在中是否存在長度保持不變的邊？如果存在，請指出并求其長度；如果不存在，請說明理由．【答案】(1)；(2)存在，是不變的，【分析】（1）求出BD，根據(jù)勾股定理求出OD即可；（2）過點O作AB的垂直平分線，與AB交于點F，與弧AB交于點M，求出AF，得出AB長度，根據(jù)垂徑定理得出D、E分別是BC、AC中點，根據(jù)三角形中位線求出即可．(1)解：∵，∴，∴；解：存在，是不變的．理由是：如圖，連接，過點作的垂直平分線，與交于點，與弧交于點，則平分與弧，∴，在中，∵，，∴∠FAO=30°，∴，由勾股定理得：，∴，由垂徑定理可知，點、分別是和的中點，∴是的中位線，∴．【點撥】本題考查了三角形中位線、垂徑定理、勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練應(yīng)用相關(guān)定理，題目是一道比較典型的題目，難度適中．【變式1】如圖，為的直徑，為弦的中點，連接并延長與交于點，過點作的切線，交的延長線于點．（1）求證：；（2）連接，若，請求出四邊形的面積?！敬鸢浮?1)見分析；(2)18．【分析】（1）根據(jù)垂弦定理可得OD⊥AC，根據(jù)切線的定義可得OD⊥DE，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可解答；（2）連接CD，根據(jù)AC∥DE，OA＝AE，可得點F是OD的中點，然后可得AFO≌CFD(SAS)，所以S△AFO＝S△CFD，通過等量代換可得S四邊形ACDE＝S△ODE即可解答．解：(1)證明：∵F為弦AC的中點，∴OD⊥AC，∵DE切⊙O于點D，∴OD⊥DE，∴AC∥DE；(2)如圖，連接CD，∵AC∥DE，且OA＝AE，∴F為OD的中點，即OF＝FD，又∵AF＝CF，∠AFO＝∠CFD，∴AFO≌CFD(SAS)，∴S△AFO＝S△CFD，∴S四邊形ACDE＝S△ODE，在Rt△ODE中，OD＝OA＝AE＝6，∴OE＝12，∴DE＝＝＝6，∴S四邊形ACDE＝S△ODE＝×OD×DE＝×6×6＝18．【點撥】本題考查了垂弦定理、平行線的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)等知識，熟練掌握并靈活運用是解題的關(guān)鍵．【變式2】如圖，在中，是弦，是直徑，且經(jīng)過的中點，連接．（1）用尺規(guī)作圖作出弦的垂直平分線，并標(biāo)出與的交點（保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）在（1）的條件下，若的半徑為，，求的長．【答案】（1）詳見分析；（2）．【分析】（1）按照尺規(guī)作圖的步驟作OM⊥AE交AE于點F，OF即為所求；（2）連接OA，根據(jù)垂徑定理的的推論先得出OC⊥AB，在Rt△ACO中求出OC的長，從而得出CE的長，在Rt△ACE中求出AE的長，再根據(jù)垂徑定理得出AF的長，最后在Rt△AOF中，求出OF即可．解：（1）如圖所示，直線即為所求；（2）連接，是直徑，=4，，，，，，．【點撥】本題考查作圖-基本作圖，線段的垂直平分線，勾股定理，垂徑定理及其推論等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考常考題型．類型二、垂徑定理及弧、弦、圓心角的關(guān)系2．如圖，點C，D分別是以為直徑的半圓上的三等分點，，連接．(1)填空：_________；（填“>”“=”或“<”）(2)求圖中的面積．【答案】(1)<(2)【分析】（1）利用三等分可知DC=DB，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系即可求出結(jié)果；（2）由條件可知四邊形OBDC為菱形，據(jù)此即可求出三角形面積．(1)解：∵點C，D分別是以為直徑的半圓上的三等分點，∴，∴DC=DB，∵在中，，∴，故答案是：＜；(2)如圖所示，連接OC、OD，由（1）得：，∵OC=OD=OB=2，∴與均為等邊三角形且全等，∴四邊形OBDC為菱形，∴，∴的面積為：．【點撥】本題主要考查的是圓中等分性質(zhì)的應(yīng)用，掌握圓的性質(zhì)以及結(jié)合菱形的性質(zhì)進行求解是解題的關(guān)鍵．【變式1】如圖，在RtΔABC中，∠BAC=90°，以點A為圓心，AC長為半徑作圓，交BC于點D，交AB于點E，連接DE．（1）若∠ABC=20°，求∠DEA的度數(shù)；（2）若AC=3，AB=4，求CD的長．【答案】（1）65°；（2）．【分析】（1）連接AD，求出∠DAE，再利用等腰三角形的性質(zhì)解決問題即可；（2）如圖，過點A作AF⊥CD，垂足為F．利用面積法求出AF，再利用勾股定理求出CF，可得結(jié)論．解：（1）如圖，連接AD．∵∠BAC=90°，∠ABC=20°，∴∠ACD=70°．∵AC=AD，∴∠ACD=∠ADC=70°，∴∠CAD=180°-70°-70°=40°，∴∠DAE=90°-40°=50°．又∵AD=AE，∴∠DEA=∠ADE=(180°?50°)=65°；（2）如圖，過點A作AF⊥CD，垂足為F．∵∠BAC=90°，AC=3，AB=4，∴BC=5．又∵?AF?BC=?AC?AB，∴AF=，∴CF=．∵AC=AD，AF⊥CD，∴CD=2CF=．【點撥】本題考查了垂徑定理，圓心角，弧，弦之間的關(guān)系，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．【變式2】如圖，已知在⊙O中，，OC與AD相交于點E．求證：（1）AD∥BC（2）四邊形BCDE為菱形．【答案】（1）見分析；（2）見分析【分析】（1）連接BD，根據(jù)圓周角定理可得∠ADB=∠CBD，根據(jù)平行線的判定可得結(jié)論；（2）證明△DEF≌△BCF，得到DE=BC，證明四邊形BCDE為平行四邊形，再根據(jù)得到BC=CD，從而證明菱形．解：（1）連接BD，∵，∴∠ADB=∠CBD，∴AD∥BC；（2）連接CD，∵AD∥BC，∴∠EDF=∠CBF，∵，∴BC=CD，∴BF=DF，又∠DFE=∠BFC，∴△DEF≌△BCF（ASA），∴DE=BC，∴四邊形BCDE是平行四邊形，又BC=CD，∴四邊形BCDE是菱形．【點撥】本題考查了垂徑定理，圓周角定理，弧、弦、圓心角的關(guān)系，全等三角形的判定和性質(zhì)，菱形的判定，解題的關(guān)鍵是合理運用垂徑定理得到BF=DF．類型三、圓周角3．如圖，四邊形內(nèi)接于，為的直徑，．試判斷的形狀，并給出證明；若，，求的長度．【答案】(1)△ABC是等腰直角三角形；證明見分析；(2)；【分析】（1）根據(jù)圓周角定理可得∠ABC=90°，由∠ADB=∠CDB根據(jù)等弧對等角可得∠ACB=∠CAB，即可證明；（2）Rt△ABC中由勾股定理可得AC，Rt△ADC中由勾股定理求得CD即可；（1）證明：∵AC是圓的直徑，則∠ABC=∠ADC=90°，∵∠ADB=∠CDB，∠ADB=∠ACB，∠CDB=∠CAB，∴∠ACB=∠CAB，∴△ABC是等腰直角三角形；（2）解：∵△ABC是等腰直角三角形，∴BC=AB=，∴AC=，Rt△ADC中，∠ADC=90°，AD=1，則CD=，∴CD=．【點撥】本題考查了圓周角定理，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識；掌握等弧對等角是解題關(guān)鍵．【變式1】如圖，已知等腰直角三角形ABC，點P是斜邊BC上一點（不與B，C重合），PE是△ABP的外接圓⊙O的直徑．（1）求證：△APE是等腰直角三角形；（2）若⊙O的直徑為2，求PC2+PB2的值．【答案】（1）證明見分析；（2）【分析】（1）只要證明，即可解決問題；（2）證明，推出，利用勾股定理即可解決問題．解：（1）證明：，，，，是直徑，，，，是等腰直角三角形．（2）．，，，，，，，．【點撥】本題考查三角形的外接圓與外心、圓周角，勾股定理、等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是掌握等腰直角三角形的性質(zhì)，屬于中考常考題型．【變式2】已知：如圖，ABC為銳角三角形，AB=AC，CD∥AB．求作：線段BP，使得點P在直線CD上，且∠ABP=．作法：①以點A為圓心，AC長為半徑畫圓，交直線CD于C，P兩點；②連接BP．線段BP就是所求作線段．（1）使用直尺和圓規(guī)，依作法補全圖形（保留作圖痕跡）（2）完成下面的證明．證明：∵CD∥AB，∴∠ABP=．∵AB=AC，∴點B在⊙A上．又∵∠BPC=∠BAC（）（填推理依據(jù)）∴∠ABP=∠BAC【答案】（1）見分析；（2）∠BPC，在同圓或等圓中同弧所對的圓周角等于它所對圓心角的一半【分析】（1）按照作法的提示，逐步作圖即可；（2）利用平行線的性質(zhì)證明：再利用圓的性質(zhì)得到：∠BPC=∠BAC，從而可得答案．解：（1）依據(jù)作圖提示作圖如下：（2）證明：∵CD∥AB，∴∠ABP=．∵AB=AC，∴點B在⊙A上．又∵∠BPC=∠BAC（在同圓或等圓中同弧所對的圓周角等于它所對圓心角的一半．）（填推理依據(jù)）∴∠ABP=∠BAC故答案為：∠BPC；在同圓或等圓中同弧所對的圓周角等于它所對圓心角的一半．【點撥】本題考查的是作圖中復(fù)雜作圖，同時考查了平行線的性質(zhì)，圓的基本性質(zhì)：在同圓或等圓中同弧所對的圓周角等于它所對圓心角的一半．掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．類型四、切線的性質(zhì)與判定4．如圖，PA與⊙O相切于點A，點B在⊙O上，且PA=PB．求證：PB與⊙O相切；點Q在劣弧AB上運動，過點Q作⊙O的切線分別交PA，PB于點M，N．若PA=6，則△PMN的周長為______．【答案】(1)見分析；(2)12【分析】（1）連接OB，證明△APO≌△BPO（SSS），由全等三角形的判定與性質(zhì)得出∠PAO=∠PBO=90°，得出OB⊥PB，則可得出結(jié)論；（2）由切線長定理可得出答案．（1）證明：連接OB，∵PA與⊙O相切于點A，∴∠PAO=90°，在△APO和△BPO中，，∴△APO≌△BPO（SSS），∴∠PAO=∠PBO=90°，∴OB⊥PB，∴PB與⊙O相切；（2）解：∵PA，PB是⊙O的切線，過點Q作⊙O的切線，PA=6，∴MA=MQ，NQ=NB，PA=PB=6，∴△PMN的周長=PM+MQ+NQ+PN=PA+PB=12；故答案為：12．【點撥】本題考查了切線的判定與性質(zhì)，切線長定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式】如圖，已知是的直徑，是的切線，點是切點，弦于點，連接．求證：平分；(2)若，，，求的長．【答案】(1)見分析(2)8【分析】（1）連接，根據(jù)切線的性質(zhì)得到，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)等角的余角相等可得出結(jié)論．（2）根據(jù)垂徑定理得到，根據(jù)勾股定理求出的半徑，根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理解答即可．(1)證明：連接，相切于點，，，，，，，，，∴平分．(2)由可知，，，，，設(shè)的半徑為r，則，在中，，即，解得：，，，，，．【點撥】本題考查的是切線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理以及角平分線的判定及性質(zhì)，掌握圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑是解題的關(guān)鍵．類型五、正多邊形與圓5．請用圓規(guī)和直尺作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡．已知：⊙O，點A在圓上．求作：以A為一頂點作圓內(nèi)接正方形ABCD．【分析】作直徑AC，過點O作BD⊥AC交⊙O于B，D，連接AB，BC，CD，AD即可．解：如圖，四邊形ABCD即為所求作．【點撥】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖：復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法．解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．【變式】已知正六邊形ABCDEF，請僅用無刻度直尺，按要求畫圖：在圖1中，畫出CD的中點G；在圖2中，點G為CD中點以G為頂點畫出一個菱形．【答案】(1)見分析(2)見分析【分析】（1）如圖1，分別連接AD、CF交于點H，分別延長線段BC、線段ED于點I，連接HI與線段CD交于點G，點G即為所求；（2）如圖2，延長線段IH與線段AF交于點J，連接BG、GE、EJ、JB，四邊形BGEJ即為所求．(1)如圖1，分別連接AD、CF交于點H，分別延長線段BC、線段ED于點I，連接HI與線段CD交于點G，點G即為所求；(2)如圖2，延長線段IH與線段AF交于點J，連接BG、GE、EJ、JB，四邊形BGEJ即為所求．【點撥】本題考查了無刻度直尺作圖的問題，掌握正六邊形的性質(zhì)、中線的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．類型六、弧長及扇形、弓形面積6．如圖，在Rt△ABC中，點O在斜邊AB上，以點O為圓心，OB為半徑作圓，分別與BC，AB相交于點D、E，連接AD，已知∠CAD＝∠ABC．求證：AD是⊙O的切線：若∠ABC＝30°，AC＝3，求陰影部分的面積．【答案】(1)見分析(2)陰影部分的面積4【分析】（1）連接OD，由OD=OB，利用等邊對等角得到一對角相等，再由已知角相等，等量代換得到∠CAD=∠ODB，求出∠ADO為90°，即可證AD是⊙O的切線；（2）連接OD，作OF⊥BD于F，由直角三角形的性質(zhì)得出CD=AC=3，BC=9，得出BD=BC-CD=6，由直角三角形的性質(zhì)得出DF=BF，OF=，得出OB=2OF=2，由扇形面積公式和三角形面積公式即可得出結(jié)果．（1）證明：連接OD，如圖1所示：∵OB＝OD，∴∠ODB＝∠B，∵∠B＝∠CAD，∴∠CAD＝∠ODB，在Rt△ACD中，∠CAD+∠CDA＝90°，∴∠ADO＝180°﹣(∠ADC+∠ODB)＝90°，∴OD⊥AD，∵OD是半徑，∴AD為⊙O的切線；（2）解：連接OD，作OF⊥BD于F，如圖2所示：∵OB＝OD，∠B＝30°，∴∠ODB＝∠B＝30°，