運(yùn)籌學(xué)課件：排隊(duì)論

排隊(duì)論8.0

概率論復(fù)習(xí)1. 概率計(jì)算規(guī)則

基本事件(元素)

{

}樣本空間A

(

A是

的一個(gè)子集,事件),事件A的概率:0

P(A)

1例：

{0,1},子集{0},{1},{0,1},

(正反樣本空間)如果P({0})

1

P,則P({1})

P計(jì)算規(guī)則：如果P(

Ai

)

P(Ai

),

Ai

Aj

(互不相容)i如果A

B(A

B),P(A)

P(B)

P(A)P(B)(A,B獨(dú)立)P(AB)=

P(A)條件概率：P(A

|

B)=

P(AB)(若A,B獨(dú)立則P(A

|

B)=P(A))P(B)乘法公式：P(A1A2...An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)...P(An|

A1A2...An

1)全概公式：P(A)=

P(A|Hi)P(Hi

)Hi

Hi

i

Hi

,Hi

08.1

引言在現(xiàn)實(shí)世界中，經(jīng)常會(huì)發(fā)生為了獲得某種服務(wù)而排隊(duì)等待的現(xiàn)象。當(dāng)要求服務(wù)的對(duì)象的數(shù)量超過服務(wù)機(jī)構(gòu)的容量就會(huì)出現(xiàn)排隊(duì)現(xiàn)象。各種排隊(duì)現(xiàn)象由于顧客到達(dá)人數(shù)（即顧客到達(dá)率）和服務(wù)時(shí)間的隨機(jī)性而不可避免，當(dāng)然增加服務(wù)設(shè)施能減少排隊(duì)現(xiàn)象，但這樣勢(shì)必增加投資且可能出現(xiàn)因供大于求而使設(shè)施經(jīng)常閑置、導(dǎo)致浪費(fèi)，這通常不是一個(gè)最經(jīng)濟(jì)的解決問題的辦法。作為管理人員來說，研究排隊(duì)問題，就是要把排隊(duì)的時(shí)間控制到一定的限度內(nèi)，在服務(wù)質(zhì)量的提高和成本的降低之間取得平衡，找到最適當(dāng)?shù)慕狻?.1

基本概念在排隊(duì)論中，為了敘述的方便，我們將要求服務(wù)的對(duì)象統(tǒng)稱為“

顧客”，

而將提供服務(wù)的服務(wù)者統(tǒng)稱為“服務(wù)臺(tái)”（或“服務(wù)員”）。因此顧客與服務(wù)臺(tái)的含義完全是廣義的，比如排隊(duì)等待服務(wù)的既可以是人，也可以是物；同樣，服務(wù)者也不一定是人，也可以是物等。8.1.1

排隊(duì)系統(tǒng)的分類1、按顧客到達(dá)的類型分類按顧客源顧客的數(shù)量，可分為有限顧客源和無限顧客源；按顧客到達(dá)的形式，可分為單個(gè)到達(dá)和成批到達(dá)；(3)按顧客相繼到達(dá)的時(shí)間間隔分布，可分為定長(zhǎng)分布和負(fù)指數(shù)分布；8.1.1

排隊(duì)系統(tǒng)的分類2、按排隊(duì)規(guī)則分類(1)等待制：顧客到達(dá)后，一直等到服務(wù)完畢以后才離去；(2)損失制：到達(dá)的顧客有一部分未接受服務(wù)就離去；例如：隊(duì)列容量有限的系統(tǒng)。設(shè)隊(duì)列容量為L(zhǎng)0，顧客到達(dá)時(shí)的隊(duì)長(zhǎng)為L(zhǎng)。若L<L0，則顧客進(jìn)入隊(duì)列等待服務(wù)；若L=L0，則顧客離去。顧客對(duì)等待時(shí)間具有不耐煩性的系統(tǒng)。設(shè)最長(zhǎng)等待時(shí)間是W0，某個(gè)顧客從進(jìn)入隊(duì)列后的等待時(shí)間為W。若W<W0，顧客繼續(xù)等待；若W=W0，則顧客脫離隊(duì)列而離去。8.1.1

排隊(duì)系統(tǒng)的分類3、按服務(wù)規(guī)則分類(1)先到先服務(wù)（FCFS，F(xiàn)irstCome

First

Serve）；(2)后到先服務(wù)（LCFS，Last

Come

First

Serve）；(3)有優(yōu)先權(quán)的服務(wù)（PR，Priority）；(4)隨機(jī)服務(wù)（SIRO，Service

inRandom

Order）；4、根據(jù)服務(wù)臺(tái)的數(shù)量及排隊(duì)方式，排隊(duì)系統(tǒng)可以分為(1)單服務(wù)臺(tái)單隊(duì)；(2)多服務(wù)臺(tái)單隊(duì)；(3)多隊(duì)多服務(wù)臺(tái)；(4)多服務(wù)臺(tái)串聯(lián)服務(wù)；8.1.2

排隊(duì)論中常用的記號(hào)及各類排隊(duì)系統(tǒng)的符號(hào)1、排隊(duì)論中常用的記號(hào)n

––

系統(tǒng)中的顧客數(shù)；

––

顧客到達(dá)的平均速率，即單位時(shí)間內(nèi)平均到達(dá)的顧客數(shù)；

––

平均服務(wù)速率，即單位時(shí)間內(nèi)服務(wù)完畢離去的顧客數(shù)；Pn(t)

––

時(shí)刻t系統(tǒng)中有n個(gè)顧客的概率；c

––

服務(wù)臺(tái)的個(gè)數(shù)；M

––

顧客相繼到達(dá)的時(shí)間間隔服從負(fù)指數(shù)分布；D

––

顧客相繼到達(dá)的時(shí)間間隔服從定長(zhǎng)分布；Ek

––

顧客相繼到達(dá)的時(shí)間間隔服從k階Erlang分布。2、排隊(duì)系統(tǒng)的描述符號(hào)通常采用如下的表達(dá)方式：A／B／C／D／E／FA：表示顧客到達(dá)間隔時(shí)間的分布；B：表示服務(wù)時(shí)間的分布；C：服務(wù)臺(tái)的數(shù)目；D：系統(tǒng)容量，即可容納的最多顧客數(shù)，缺省值∞；E：顧客源數(shù)目，缺省值為∞；F：服務(wù)規(guī)則，如 FCFS、 LCFS等，缺省值為 FCFS。例：M/M/1

表示顧客到達(dá)間隔時(shí)間為負(fù)指數(shù)分布、服務(wù)時(shí)間為負(fù)指數(shù)分布、單服務(wù)臺(tái)、系統(tǒng)容量為無限（等待制）、顧客源無限、采用先到先服務(wù)規(guī)則的排隊(duì)模型。M/M/1; M/M/1/N; M/M/S; M/M/S/N8.1.3

服務(wù)時(shí)間及間隔幾種常見的概率分布顧客的服務(wù)時(shí)間由于多種原因具有不確定性，最好的描述方法就是概率分布；同樣顧客到達(dá)的間隔時(shí)間也具有一定的概率分布服務(wù)時(shí)間和到達(dá)間隔時(shí)間服從什么分布？可以先通過統(tǒng)計(jì)得到經(jīng)驗(yàn)分布，然后再做理論假設(shè)和檢驗(yàn)經(jīng)驗(yàn)分布一般采用直方圖來表示，如下圖頻率%3020102 4 6 8通話分鐘若統(tǒng)計(jì)區(qū)間分得越細(xì)，樣本越多，則經(jīng)驗(yàn)分布的輪廓越接近曲線8.1.3

服務(wù)時(shí)間及間隔幾種常見的概率分布一般服務(wù)時(shí)間和間隔時(shí)間都是非負(fù)的連續(xù)實(shí)變量，令

h

代表服務(wù)時(shí)間，

代表間隔時(shí)間，t

為給定的時(shí)間，則它們的概率分布函數(shù)分別表示為F(t)=P{h

t} F(t)=P{

t}它們的概率密度函數(shù)為f(t)=F

(t)，具有性質(zhì)：f(t)

0，

f(t)dt=1服務(wù)時(shí)間落在區(qū)間(a,

c)的概率為f(t

)dt

caP

a

h

c

F

(c)

F

(a)P{t<h

t+

t}=

f(t)

t服務(wù)時(shí)間落在區(qū)間(t,

t+

t)的概率為平均服務(wù)時(shí)長(zhǎng)和平均間隔時(shí)長(zhǎng)h

E[h]

tf

(t

)dt

E[

]

tf(t

)dt0 0平均服務(wù)時(shí)長(zhǎng)的倒數(shù)為服務(wù)率，平均間隔時(shí)長(zhǎng)的倒數(shù)為到達(dá)率

1 h

1

8.1.3

服務(wù)時(shí)間及間隔幾種常見的概率分布1、定長(zhǎng)分布– 流水線的加工時(shí)間f(t)

F(t) t1tf(t)F(t)10l定長(zhǎng)分布0

負(fù)指數(shù)分布2、負(fù)指數(shù)分布– 一類最常用的分布，如上述通話時(shí)長(zhǎng)，可靠性F

(t

)

1

e

t

F

(t

)

0

1 當(dāng)t

l當(dāng)t

lt

e dt

1

/

f

(t

)

e

t h

t0

2D(T)

13、愛爾蘭分布–一種代表性更廣的分布

f

(t

)

t0

k=1 k=3k=2k=20–k

為整數(shù)，稱為

k

階愛爾蘭分布；當(dāng)

k=1

時(shí)，退化為負(fù)指數(shù)分布；k

時(shí)趨向定長(zhǎng)分布–愛爾蘭分布實(shí)際上是

k

個(gè)獨(dú)立同分布的負(fù)指數(shù)分布隨機(jī)變量的和的分布，即

k

個(gè)服務(wù)臺(tái)的串聯(lián)，每個(gè)服務(wù)臺(tái)的平均服務(wù)時(shí)長(zhǎng)為

1/k

f(t)

kt

k(

kt

)k

1e(k

1)!8.1.3

服務(wù)時(shí)間及間隔幾種常見的概率分布8.1.3

客戶到達(dá)的概率分布服務(wù)時(shí)間描述–服務(wù)時(shí)間服從定長(zhǎng)分布–服務(wù)時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布顧客到達(dá)的分布可用相繼到達(dá)顧客的間隔時(shí)間描述，也可以用單位時(shí)間內(nèi)到達(dá)的顧客數(shù)描述–間隔時(shí)間服從定長(zhǎng)分布–間隔時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布–單位時(shí)間內(nèi)到達(dá)的顧客數(shù)服從泊松分布(法國(guó)數(shù)學(xué)家Poisson,

1837)8.1.3

客戶到達(dá)的概率分布泊松過程（泊松流）(0, t)時(shí)間內(nèi)到達(dá) k

個(gè)顧客的概率服從以

為參數(shù)的泊松分布，若k!(

t)k

tPk(t

)

e–

是到達(dá)率–電話呼叫的到達(dá)，商店的顧客到達(dá)，十字路口的汽車流，港口到達(dá)的船只，機(jī)場(chǎng)到達(dá)的飛機(jī)等泊松過程（泊松流）特點(diǎn)

平穩(wěn)性：顧客到達(dá)數(shù)只與時(shí)間區(qū)間長(zhǎng)度有關(guān)無后效性：不相交的時(shí)間區(qū)間內(nèi)所到達(dá)的顧客數(shù)是獨(dú)立的普通性：在

t時(shí)間內(nèi)到達(dá)一個(gè)顧客的概率為

t+o(

t

)，到達(dá)兩個(gè)或兩個(gè)以上顧客的概率為

o(

t

)；即兩個(gè)顧客不可能同時(shí)到達(dá)有限性：任意有限個(gè)區(qū)間內(nèi)到達(dá)有限個(gè)顧客的概率等于1。

pk

(

t)

1k

08.1.3

客戶到達(dá)的概率分布12121 2121 2i!j

!(

t

)i(

t)

jj

!(

t)

j (

t)

t

tn

jn nn!(

)

t

t

te

(n

j)!

j

0e

e

(

)t

j

0,Pj

(t)

2 e設(shè)兩個(gè)泊松分布為: Pi(t

)

1 e令n

i

j, 在(0,

t

)內(nèi)來到

n

個(gè)顧客的概率為P

x1

x2

n

P

x1

j

P

x2

n

j

泊松過程具有可迭加性–即獨(dú)立的泊松分布變量的和仍為泊松分布泊松過程的到達(dá)間隔時(shí)間為負(fù)指數(shù)分布（第168頁定理8.3）–令

代表間隔時(shí)間，則概率

P{

>

t}代表時(shí)間區(qū)間(0,t)內(nèi)沒有顧客來的概率；由泊松分布可知P0(t)= P{

> t}=e

t–故間隔時(shí)間

的分布為 P{

t}=1

e

t到達(dá)的顧客是一個(gè)以

為參數(shù)的泊松流顧客相繼到達(dá)的時(shí)間間隔服從以

為參數(shù)的負(fù)指數(shù)分布第172頁例8.1、第177頁例8.3、第182頁例8.48.1.3

客戶到達(dá)的概率分布馬爾科夫鏈(Markov

Chain)又簡(jiǎn)稱馬氏鏈，是一種離散事件隨機(jī)過程。用數(shù)學(xué)式表達(dá)為P{Xn+1=xn+1|X1=x1,X2=x2, ... , Xn=xn}= P{Xn+1=xn+1|Xn=xn}–Xn+1的狀態(tài)只與 Xn的狀態(tài)有關(guān)，與 Xn

前的狀態(tài)無關(guān)，具有無記憶性，或無后效性，又稱馬氏性–狀態(tài)轉(zhuǎn)移是一步一步發(fā)生的，一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率Pij(t)=P{Xn+1=j| Xn=i}8.1.3

客戶到達(dá)的概率分布8.1.4

生滅過程一種描述自然界生滅現(xiàn)象的數(shù)學(xué)方法，如細(xì)菌的繁殖和滅亡，人口的增減，生物種群的滅種現(xiàn)象等采用馬氏鏈–令 N(t)代表系統(tǒng)在時(shí)刻 t

的狀態(tài)，下一瞬間 t+

t

系統(tǒng)的狀態(tài)只能轉(zhuǎn)移到相鄰狀態(tài)，或維持不變，如圖所示jjj+1tj

1t+

t

j

t

j+

j)

t

j

t三種轉(zhuǎn)移是不相容的，三者必居其一只有具有無記憶性和普通性的過程(分布)才適用馬氏鏈令 Pj(t)=P{N(t)=j}代表系統(tǒng)在時(shí)刻 t

處于狀態(tài) j

的概率生滅過程的馬氏鏈01j+1njj

1...

0

t

j

t

j

t

1

t...

1

t

j

t

j

t

j

t

n

t

n

t

1+

1)

t

j-1+

j-1)

t

j+

j)

t

j+1+

j+1)

t根據(jù)馬氏鏈，應(yīng)用全概率公式，有狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率方程p

j

(t

t

)

p

j

1

(t

)

j

1

t

p

j

1

(t

)

j

1

t

p

j

(t

)(1

j

t

j

t

)

o(

t

) j

1,2,

,

n

1另有兩個(gè)邊界方程p0

(t

t

)

p1

(t

)

1

t

p0

(t

)(1

0

t

)

o(

t

)pn

(t

t

)

pn

1

(t

)

n

1

t

pn

(t

)(1

n

t

)

o(

t

)8.1.4

生滅過程將上述三個(gè)差分方程化為微分方程(t

)p

j

(t

t

)

p

j

(t

)

j

1 j

1lim j

1

p

j

1

(t

)

p

t

0

t

(

j

j)pj

(t

) j

1,2,

,

n

1即 p

j

(t

)

j

1

p

j

1

(t

)

j

1p

j

1

(t

)

(

j

j

)

p

j

(t

)同理有 p0

(t

)

1

p1

(t

)

0

p0

(t

)pn

(t

)

n

1pn

1

(t

)

n

pn

(t

)上述三個(gè)方程是動(dòng)態(tài)方程，當(dāng)系統(tǒng)處于穩(wěn)態(tài)時(shí)，系統(tǒng)處于統(tǒng)計(jì)平衡狀態(tài)，即狀態(tài)概率不隨時(shí)間變化，從而狀態(tài)概率導(dǎo)數(shù)為

0；令上三個(gè)方程左側(cè)為

0，得穩(wěn)態(tài)方程組

1

p1

0

p0

0 j

0 (1)j

n (3)

npn

n

1pn

1

01

j

n (2)

j

1

p

j

1

j

1

p

j

1

(

j

j

)

p

j

08.1.4

生滅過程生滅過程穩(wěn)態(tài)解01j+1njj

1

0

j

j

j

1

1...

j

n

...

nj

n (3)

j

方程(1),

(2),

(3)

有遞歸解

npn

n

1pn

1

01

j

n (2)

j

1

p

j

1

j

1

p

j

1

(

j

j

)

p

j

0

1

p1

0

p0

0 j

0 (1)0

1

00j

1

j

1 1 2

j

0

1

j

1

1, 得 p

1

nn

pjjpp

j

j

1

1

2

j

0

1

j

1

1

1

2依次遞推

,

得 pp1

0 p0 令 j

1,

將 p1

代入(

2)式得

: p2

0

1 p0由滿足生滅過程的條件：系統(tǒng)的輸入過程和服務(wù)過程應(yīng)具有無記憶性和普通性服務(wù)臺(tái)是獨(dú)立的、相同的、并聯(lián)的泊松輸入過程和負(fù)指數(shù)服務(wù)時(shí)長(zhǎng)就具有這些性質(zhì)–可以用馬氏鏈來描述系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移–這種系統(tǒng)稱為生滅服務(wù)系統(tǒng)，一般用 M/M/n

表示，又稱為標(biāo)準(zhǔn)服務(wù)系統(tǒng)；–標(biāo)準(zhǔn)服務(wù)系統(tǒng)的形式很多，但都是基于生滅方程，關(guān)鍵是找出

j,

j

的不同表達(dá)式，將它們代入生滅方程8.2.1 M/M/1排隊(duì)等待模型1. 隊(duì)長(zhǎng)分布設(shè)平均到達(dá)率為λ，平均服務(wù)率為u。并設(shè)λ＜u（否則隊(duì)列將排至無限遠(yuǎn)而使系統(tǒng)不能達(dá)到穩(wěn)態(tài)）。對(duì)于負(fù)指數(shù)分布系統(tǒng)可以通過下圖所示的狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖來求得系統(tǒng)處于穩(wěn)態(tài)時(shí)的狀態(tài)概率Pn（系統(tǒng)有n個(gè)顧客的概率）。當(dāng)系統(tǒng)處于穩(wěn)態(tài)時(shí)，對(duì)于每個(gè)狀態(tài)來說，轉(zhuǎn)入率應(yīng)該等于轉(zhuǎn)出率。8.2

M/M/S排隊(duì)等待模型對(duì)于狀態(tài)n（n≥1），轉(zhuǎn)入率是λpn-1

+upn+1,轉(zhuǎn)出率是λpn+upn=(λ+u) pn,因此有λpn-1+uPn+1=(λ+u) pn，n≥1 （5）根據(jù)上述原理，我們可得到任一狀態(tài)下的平衡方程。對(duì)于狀態(tài)0，平衡方程為 Up1=λp0，從而得到p1=（λ/u）p0將它代入（5），令n=1，可得λp0+up2=(λ+u)（λ/u）p0因此有類似可得一般地p2=（λ/u）2p0p3=（λ/u）3p0pn =（λ/u）np0，n≥1（6）由概率的性質(zhì)知8.2.1 M/M/1排隊(duì)等待模型(7)

Pn

1n

0記

則0

1(

8

)1

n

p

np

0

1

(1

)

np0

p

0 1

1n

0最后有

Pn

nP0把代入（7）式得8.2.1 M/M/1排隊(duì)等待模型2. 幾個(gè)主要數(shù)量指標(biāo)以（8）式為基礎(chǔ)就可以算出系統(tǒng)的運(yùn)行指標(biāo)。系統(tǒng)中顧客的平均數(shù)（平均隊(duì)長(zhǎng)）

(

2

2

3

3

...)

(

2

2

3

3

4

...)

2

3

...

1

L

n

0 n

0nnnP

n(1

)

8.2.1 M/M/1排隊(duì)等待模型

2

2qL

n

1(n

1)

pn

L

(1

p0

)

L

1

(

)

平均排隊(duì)長(zhǎng)顧客在系統(tǒng)中的逗留時(shí)間T, 服從參數(shù)為

-

的負(fù)指數(shù)分布，即P{T

t}

e

(

)t t

01W

E(T)

顧客在系統(tǒng)中的逗留時(shí)間為等待時(shí)間和接受服務(wù)時(shí)間之和，即T

Tq

V平均逗留時(shí)間：8.2.1 M/M/1排隊(duì)等待模型

1W

E(T

)

E(Tq

)

E(V

)

Wq可得平均等待時(shí)間為：

(

)W

W

1

qLq

WqL

W其中v為服務(wù)時(shí)間，故由可得到平均隊(duì)長(zhǎng)L與平均逗留時(shí)間W具有關(guān)系：可得到平均排隊(duì)長(zhǎng)Lq與平均等待時(shí)間Wq具有關(guān)系：(Little

定理)(Little

定理)8.2.1 M/M/1排隊(duì)等待模型由(8.11)，(8.12)，(8.14)和(8.15)可以得到：L

WLq

WqL

Lq

1W

Wq雖然以上關(guān)系是對(duì)[M/M/1]:[

/

/FCFS]得到的，可以證明，在很寬的條件下，以上關(guān)系都是成立的。對(duì)于后面討論的系統(tǒng)，我們將用Little公式推出系統(tǒng)的運(yùn)行指標(biāo)。8.2.1 M/M/1排隊(duì)等待模型3. 忙期和閑期在平衡狀態(tài)下，忙期B和閑期I一般均為隨機(jī)變量，求它們的分布是比較麻煩。因此，我們來求平均忙期B和平均閑期I。忙期和閑期出現(xiàn)的概率分別為

和l-

，在一段時(shí)間內(nèi)可以認(rèn)為忙期和閑期的總長(zhǎng)度之比為

:(l-

)；忙期和閑期是交替出現(xiàn)的，所以在充分長(zhǎng)的時(shí)間里，忙期的平均長(zhǎng)度和閑期的平均長(zhǎng)度之比也應(yīng)是

:(l-

)

，即B

I 1

從系統(tǒng)空閑時(shí)刻、起到下一個(gè)顧客到達(dá)時(shí)刻止(即閑期)的時(shí)間間隔服從參數(shù)為

的負(fù)指數(shù)分布，且與到達(dá)時(shí)間間隔相互獨(dú)立。因此，平均閑期應(yīng)為1/

，平均忙期為：

1

11

B

8.2.1 M/M/1排隊(duì)等待模型

1

=15秒=2401

（小時(shí)/輛）,即

＝240（輛/小時(shí)）。例8.1

高速公路入口收費(fèi)處設(shè)有一個(gè)收費(fèi)通道，汽車到達(dá)服從Poisson分布，平均到達(dá)速率為100輛／小時(shí)，收費(fèi)時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，平均收費(fèi)時(shí)間為15秒／輛。求1、收費(fèi)處空閑的概率；2、收費(fèi)處忙的概率；3、系統(tǒng)中分別有1，2，3輛車的概率。根據(jù)題意,

=100輛/小時(shí)，因此

100

5

240 128.2.1 M/M/1排隊(duì)等待模型12 120P

1

1

5

7

0.5831201

P

1

(1

)

5

0.41712 12 1441P

(1

)

5

7

35

0.243系統(tǒng)空閑的概率為：系統(tǒng)忙的概率為：系統(tǒng)中有1輛車的概率為：8.2.1 M/M/1排隊(duì)等待模型

0.1017 17522

12

12 1728

5

2P

(1

)

0.042212

207367 87533P

(1

)

12

5

3系統(tǒng)中有2輛車的概率為：系統(tǒng)中有3輛車的概率為：8.2.1 M/M/1排隊(duì)等待模型例8.2 高速公路入口收費(fèi)處設(shè)有一個(gè)收費(fèi)通道，汽車到達(dá)服從Poisson分布，平均到達(dá)速率為200輛/小時(shí)，收費(fèi)時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，平均收費(fèi)時(shí)間為15秒/輛。求L、Lq、W和Wq。根據(jù)題意，

=200輛/小時(shí)，

=240輛/小時(shí)，

=

/

=5/6。1 1

0.025(小時(shí))

90(秒)

240

200W

L

6Wq

W

5

90

75(秒)6Lq

L

5

5

4.1765

6

51

1

5

8.2.1 M/M/1排隊(duì)等待模型例8.3

某修理店只有一個(gè)修理工，來修理的顧客到達(dá)過程為Poisson流，平均4人／小時(shí)；修理時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，平均需要6分鐘。試求：修理店空閑的概率；店內(nèi)恰有3個(gè)顧客的概率；(3)店內(nèi)至少有1個(gè)顧客的概率；(4)在店內(nèi)的平均顧客數(shù)；(5)每位顧客在店內(nèi)的平均逗留時(shí)間；(6)等待服務(wù)的平均顧客數(shù)；每位顧客平均等待服務(wù)時(shí)間；顧客在店內(nèi)等待時(shí)間超過l0分鐘的概率。8.2.1 M/M/1排隊(duì)等待模型解：本例可看成一個(gè)M／M／1／∞排隊(duì)問題，其中0.1

1

2

5

4

1

10

修理店空閑的概率p0

1

1

25

0.6店內(nèi)恰有3個(gè)顧客的概率8.2.1 M/M/1排隊(duì)等待模型(3)店內(nèi)至少有1個(gè)顧客的概率：P{N

1}

1

p0

25

0.45 5233)3

(1

2 )

0.038p

(1

)

(每位顧客在店內(nèi)的平均逗留時(shí)間W

L

0.67

10(min)

4等待服務(wù)的平均顧客數(shù)8.2.1 M/M/1排隊(duì)等待模型(4)在店內(nèi)的平均顧客數(shù)525

L

0.67(人)1

1

2

0.267(人)51

2

5

2

2

21

L

L

q(7)每位顧客平均等待服務(wù)時(shí)間(8)顧客在店內(nèi)逗留時(shí)間超過10分鐘的概率

0.267

4(min)

4qqW

L15

1

6

10

1

1

P{T

10}

e

e

0.36798.2.1 M/M/1排隊(duì)等待模型例8.4 考慮一個(gè)鐵路列車編組站，設(shè)待編列車到達(dá)時(shí)間間隔服從負(fù)指數(shù)分布，平均到達(dá)2列／小時(shí)；服務(wù)臺(tái)是編組站，編組時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，平均每20分鐘可編一組。已知編組站上共有2股道，當(dāng)均被占用時(shí)，不能接車，再來的列車只能停在站外或前方站。求：(1)在平穩(wěn)狀態(tài)下系統(tǒng)中列車的平均數(shù)；(2)每一列車的平均停留時(shí)間；等待編組的列車的平均數(shù)；列車在系統(tǒng)中的平均等待編組時(shí)間。如果列車因站中的2股道均被占用而停在站外或前方站時(shí)，每列車的費(fèi)用為a元／小時(shí)，求每天由于列車在站外等待而造成的損失。8.2.1 M/M/1排隊(duì)等待模型

2(列)323

(1)系統(tǒng)中列車的平均數(shù) ：

L

1

1

2(2)列車在系統(tǒng)中的平均停留時(shí)間W

L

2

1(h)

2(3)系統(tǒng)內(nèi)等待編組的列車平均數(shù)為：Lq

L

2

23

43

(列)8.2.1 M/M/1排隊(duì)等待模型解：本例可看成一個(gè)M／M／1／∞排隊(duì)問題，其中

2

3

2

1

3(4)列車在系統(tǒng)中的平均等待編組時(shí)間LqqW

4

1

2

(h)

3 2 3(5)記列車平均延誤為W0

0.296(h)233

3

W0

WP{N

2}

W(1

p0

p1

p2)

故每天列車由于等待而支出的平均費(fèi)用E為E

24

W0a

24

2

0.296

a

14.2a(元)8.2.1 M/M/1排隊(duì)等待模型8.2.1 M/M/1排隊(duì)等待模型練習(xí)：在某單人理發(fā)店，顧客到達(dá)為Poisson流，平均到達(dá)間隔為20分鐘，理發(fā)時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，平均時(shí)間為15分鐘。求：(1)顧客來理發(fā)不必等待的概率；(2)理發(fā)店內(nèi)顧客平均數(shù)；顧客在理發(fā)館內(nèi)平均等待時(shí)間；顧客在店內(nèi)逗留時(shí)間不超過30分鐘的概率；如果顧客在店內(nèi)平均逗留時(shí)間超過1.25小時(shí)，則店主將考慮增加設(shè)備及人員。問平均到達(dá)率提高到多少時(shí)店主才能做這種考慮呢？04 4(1)顧客來理發(fā)不必等待的概率：P

1

1

3

1

0.2534

3人4

(2)理發(fā)店內(nèi)顧客平均數(shù)：L

1

1

3(3)在理發(fā)館內(nèi)平均等待時(shí)間：qL-

33-

34W

小時(shí)=45分鐘3 4

8.2.1 M/M/1排隊(duì)等待模型解：本例可看成一個(gè)M／M／1／∞排隊(duì)問題，其中

3人/小時(shí)

4人/小時(shí)

3

1

48.2.1 M/M/1排隊(duì)等待模型(5)顧客在理發(fā)館內(nèi)平均等待時(shí)間：W

1 1

-

4-

1.25小時(shí)解得：

3.2人/

小時(shí)(4)顧客在店內(nèi)逗留時(shí)間不超過30分鐘的概率：2

4

3

1

12P{T

30}

1-P{T

30}

1

e

1

e

0.3938.2.2 M/M/s 多服務(wù)臺(tái)排隊(duì)等待模型設(shè)顧客單個(gè)到達(dá)，相繼到達(dá)時(shí)間間隔服從參數(shù)為λ的負(fù)指數(shù)分布，系統(tǒng)中共有s個(gè)服務(wù)器，每個(gè)服務(wù)臺(tái)的服務(wù)時(shí)間相互獨(dú)立，且服從參數(shù)為u的負(fù)指數(shù)分布。當(dāng)顧客到達(dá)時(shí)，若有空閑的服務(wù)臺(tái)則可以馬上接受服務(wù)，否則便排成一個(gè)隊(duì)列等待，等待空間為無限。服務(wù)臺(tái)服務(wù)臺(tái)服務(wù)臺(tái)顧客到達(dá)顧客離去顧客離去顧客離去隊(duì)列8.2.2 M/M/s 多服務(wù)臺(tái)排隊(duì)等待模型當(dāng)系統(tǒng)中的顧客數(shù)不大于服務(wù)臺(tái)個(gè)數(shù)，即1≤n≤s時(shí)，系統(tǒng)中的顧客全部在服務(wù)臺(tái)中，這時(shí)系統(tǒng)的服務(wù)速率為nμ；當(dāng)系統(tǒng)中的顧客數(shù)n＞s時(shí)，服務(wù)臺(tái)中正在接受服務(wù)的顧客數(shù)仍為s個(gè)，其余顧客在隊(duì)列中等待服務(wù)，這時(shí)系統(tǒng)的服務(wù)速率為sμ。排隊(duì)系統(tǒng)的平穩(wěn)分布：記Pn＝P{N=n} (n＝0，1，2，…)為系統(tǒng)達(dá)到平穩(wěn)狀態(tài)后隊(duì)長(zhǎng)N的概率分布，注意到對(duì)個(gè)數(shù)為s的多服務(wù)臺(tái)系統(tǒng)，有0101

0

1201 2np0=Cn

p01 2 n

0

1

n

1p

ppp

p

n

s

n

n

1,2,

,

s

s

nC

s!sn

s

n!

snss!

s

n

s

s

,則當(dāng)

1時(shí),

有s記

nn

1,2,

,

sn

sn

s

s!s

n! p0pn

np00

1

p

n

0s

sn! s!(1

)

s

1

n故其中上式給出了在平衡條件下系統(tǒng)中顧客數(shù)為n的概率，當(dāng)n≥s時(shí)，即系統(tǒng)中顧客數(shù)大于或等于服務(wù)臺(tái)個(gè)數(shù)，這時(shí)再來的顧客必須等待，因此記稱這為厄朗等待公式0c(s,

)

s

ss!(1

)Pn

P

n

s它給出了顧客到達(dá)系統(tǒng)時(shí)需要等待的概率8.2.2 M/M/s 多服務(wù)臺(tái)排隊(duì)等待模型

nn

1,2,

,

sn

sn

s

s!s

n! p0pn

np0 0 01nn

s

1sn

s(n

s)

sp

ss!(1

)n0 sss

c(s,

)

sss sL

(n

s)

p

q

s!

d

平均排隊(duì)長(zhǎng)為：

n

s

p

s

p

d

s!(1

)2 1

n

或 Lq8.2.2 M/M/s 多服務(wù)臺(tái)排隊(duì)等待模型0 0nsn!

s

s

1

s

1

n

nn

0n

s

n

1

s

1s

1p

p

ps!(1

)

p

=

0

(n

1)! (s

1)!(1

)

n

1s

s

npn

s

n

0

記系統(tǒng)中正在接受服務(wù)的顧客的平均數(shù)為s

，顯然；也是正在忙的服務(wù)臺(tái)的平均數(shù)，故平均在忙的服務(wù)臺(tái)個(gè)數(shù)不依賴于服務(wù)臺(tái)個(gè)數(shù)。平均隊(duì)長(zhǎng)L為：L

平均排隊(duì)長(zhǎng)

正在接受服務(wù)的顧客的平均數(shù)=Lq

q

W

L

W

Lq

W

18.2.2 M/M/s 多服務(wù)臺(tái)排隊(duì)等待模型8.2.2 M/M/s 多服務(wù)臺(tái)排隊(duì)等待模型例4

某售票處有三個(gè)窗口，顧客的到達(dá)為Poisson流，平均到達(dá)率為λ ＝0.9人／分鐘；服務(wù)(售票)時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，平均服務(wù)率

＝0.4人／分鐘?，F(xiàn)設(shè)顧客到達(dá)后排成一個(gè)隊(duì)列，依次向空閑的窗口購(gòu)票，這一排隊(duì)系統(tǒng)可看成是一個(gè)M／M／s系統(tǒng)，其中

2.25

1

s

3s

3

2.25s由多服務(wù)臺(tái)等待制系統(tǒng)的有關(guān)公式，可得到(1)整個(gè)售票處空閑的概率

0.0748(2.25)33

0!

1!

2!

3!(1

2.25 )

1

(2.25)0 (2.25)1 (2.25)2

p0

32.2523!

1

Lq

1.70(人)8.2.2 M/M/s 多服務(wù)臺(tái)排隊(duì)等待模型(2)平均排隊(duì)長(zhǎng)0.0748

(2.25)2

2.253平均逗留時(shí)間

1.70

1.89(min)

0.9qqW

L平均隊(duì)長(zhǎng)L

Lq

1.70

2.25

3.95(人)(3)平均等待時(shí)間

0.9W

L

3.95

4.39(min)8.2.2 M/M/s 多服務(wù)臺(tái)排隊(duì)等待模型(4)顧客到達(dá)時(shí)必須排隊(duì)等待的概率

0.0748

0.57(2.25)33!

1

2.253

c(3, 2.25)

在本例中，如果顧客的排隊(duì)方式變?yōu)榈竭_(dá)售票處后可到任一窗口前排隊(duì)，且入隊(duì)后不再換隊(duì)，即可形成3個(gè)隊(duì)列。這時(shí)，原來的M／M／3／

系統(tǒng)實(shí)際上變成丁由3個(gè)M／M／1子系統(tǒng)組成的排隊(duì)系統(tǒng)，且每個(gè)系統(tǒng)的平均到達(dá)率為：λ1 = λ2 = λ3 =0.9/3 = 0.3(人／min)8.2.2 M/M/s 多服務(wù)臺(tái)排隊(duì)等待模型比較M／M／3系統(tǒng)和3個(gè)M／M／1子系統(tǒng)組成的排隊(duì)系統(tǒng)，不難看出一個(gè)M／M／3系統(tǒng)比由3個(gè)M／M／1系統(tǒng)組成的排隊(duì)系統(tǒng)具有顯著的優(yōu)越性。即在服務(wù)臺(tái)個(gè)數(shù)和服務(wù)率都不變的條件下，單隊(duì)排隊(duì)方式比多隊(duì)排隊(duì)方式要優(yōu)越，這是在對(duì)排隊(duì)系統(tǒng)進(jìn)行設(shè)計(jì)和管理的時(shí)候應(yīng)注意的地方。8.3 M/M/S混合制排隊(duì)模型8.3.1 M／M／l／K單服務(wù)臺(tái)混合制模型單服務(wù)臺(tái)混合制模型M／M／l／K是指：顧客的相繼到達(dá)時(shí)間服從參數(shù)為λ的負(fù)指數(shù)分布(即顧客的到達(dá)過程為Poisson流)，服務(wù)臺(tái)個(gè)數(shù)為l，服務(wù)時(shí)間服從參數(shù)為

的負(fù)指數(shù)分布，系統(tǒng)的空間為K。顧客到達(dá)因隊(duì)列滿而離去進(jìn)入隊(duì)列接受服務(wù)服務(wù)完畢后離去8.3 M/M/S混合制排隊(duì)模型8.3.1 M／M／l／K單服務(wù)臺(tái)混合制模型首先，仍來求平穩(wěn)狀態(tài)下隊(duì)長(zhǎng)N的分布Pn＝P{N=n}

(n＝0，1，2，…)。由于所考慮的排隊(duì)系統(tǒng)中最多只能容納K個(gè)顧客(等待位置只有K一1個(gè))，因而有n

0,1,

,

k

1n

kn

1,

,

k0n

n

n

1,2,

,

k

n

n

0pn

p0nC

n

1

1(1

)n

kn

1,2,

,

k

1

1

k

1

1

k

1

1 0p

kn

1

n故其中8.3.1 M／M／l／K單服務(wù)臺(tái)混合制模型由平衡方程可得：n1 2 n

0

1

n

1C

允許

>1n

100

d

(1

k)

d

(1

)[1

k

(1

)k

k]p0

(1

)2

(k

1)

k1

k

1(1

)k kn 0n

0

knL

np

p

n

p

p

dd

n

1

n

18.3.1 M／M／l／K單服務(wù)臺(tái)混合制模型當(dāng)

≠1時(shí)平均隊(duì)長(zhǎng)：當(dāng)

=1時(shí)平均隊(duì)長(zhǎng)：0n

k2kn

1nn

1 k

1k kL

np

n

p

n

0 n

1

(1

)

2(k

1)Lq

k(k

1)

1

11

k

1

(1

k

k )kLq

(n

1)

pn

L

(1

p0

)n

1或類似地可得到平均排隊(duì)長(zhǎng)為：

e

(1

pk)

(1

p0

)1

e

(1

pk

)平均逗留時(shí)間：

W

L

kLqeqW

Lq

(1

p

)

1qW

W假設(shè)顧客的到達(dá)率為λ，則當(dāng)系統(tǒng)處于狀態(tài)K時(shí)，顧客不能進(jìn)入系統(tǒng)，即顧客可進(jìn)入系統(tǒng)的概率是

1

pk

。因此，單位時(shí)間內(nèi)實(shí)際可進(jìn)入系統(tǒng)的顧客的平均數(shù)為：平均等待時(shí)間且仍有：有效到達(dá)率pk顧客損失率，表示不能進(jìn)入系統(tǒng)的顧客比例在M/M/1/K系統(tǒng)中，如果考慮有效到達(dá)速率

e，M/M/1/K系統(tǒng)和M/M/1系統(tǒng)的運(yùn)行指標(biāo)的形式是相同的。1

1

11

當(dāng)k

1

時(shí)1L

p

1p

0p

W

L

1

e

Lq

0 Wq

0e 1 01

(1

p)

P

8.3.1 M／M／l／K單服務(wù)臺(tái)混合制模型8.3.1 M／M／l／K單服務(wù)臺(tái)混合制模型例6 某修理站只有一個(gè)修理工，且站內(nèi)最多只能停放4臺(tái)待修的機(jī)器。設(shè)待修機(jī)器按Poisson流到達(dá)修理站，平均每分鐘到達(dá)1臺(tái)；修理時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，平均每l.25分鐘可修理1臺(tái)，試求該系統(tǒng)的有關(guān)指標(biāo)。解:

該系統(tǒng)可看成是一個(gè)M／M／l／4排隊(duì)系統(tǒng)，其中1 11.25

0.8

1

0.8

1.25 K

41

1.2551

k

1p

1

1

1.25

0.1220p

4

p

1.254

0.122

0.2984 0

e

(1

p4

)

1

(1

0.298)

0.702顧客損失率為:有效到達(dá)率為：8.3.1 M／M／l／K單服務(wù)臺(tái)混合制模型Lq

L

(1

p0

)

2.44

(1

0.122)

1.56(臺(tái))

2.44(臺(tái))1.25 (4

1)

1.255L

1

1.25 1

1.255W

L

2.44

3.48(min)

e 0.702

W

W

1

3.48

0.8

2.68(min)q平均逗留時(shí)間:平均隊(duì)長(zhǎng):平均排隊(duì)長(zhǎng):平均等待時(shí)間:例8.3

一個(gè)單人理發(fā)店，除理發(fā)椅外，還有4把椅子可供顧客等候。顧客到達(dá)發(fā)現(xiàn)沒有座位空閑，就不再等待而離去。顧客到達(dá)的平均速率為4人/小時(shí)，理發(fā)的平均時(shí)間為10分鐘/人。顧客到達(dá)服從Poisson流，理發(fā)時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布。求：1、顧客到達(dá)不用等待就可理發(fā)的概率；2、理發(fā)店里的平均顧客數(shù)以及等待理發(fā)的平均顧客數(shù)；3、顧客來店理發(fā)一次平均花費(fèi)的時(shí)間以及平均等待的時(shí)間；4、顧客到達(dá)后因客滿而離去的概率；5、增加一張椅子可以減少的顧客損失率。這是一個(gè)M/M/1/K系統(tǒng)，其中K=4+1=5，

=4人/小時(shí)，

=6人/小時(shí)，

=2/3。

0.3561

1

N

1632 3 21

1

0P

5Ke K023

(1

P )

(1

3.808

P

)

4

1

0.356

(N

1)

K

126233(5

1)

2

6

3

3

2

0.577

1.4231

21

1

L

1

K

1q

6L

L

e

1.423

3.808

0.788

e 3.808W

L

1.423

0.374(小時(shí))

22.4(分)eq

3.808W

L

0.788

0.207(小時(shí))

12.4(分)5

0.356

0.0482355 0P

P

因客滿而離去的概率為0.048。當(dāng)K=6時(shí)

071

1

K

1231

2

3

0.3541

P

62366 0P

P

0.354

0.0311P5-P6=0.0480-0.0311=0.0169=1.69%即增加一張椅子可以減少顧客損失率1.69%。

nn

n

0n

0,1,

,

k

1n

k0

n

s

s

s

n

k本系統(tǒng)中，8.3 M/M/S混合制排隊(duì)模型8.3.2 M／M／s／K多服務(wù)臺(tái)混合制模型多服務(wù)臺(tái)混合制模型M／M／s／K是指顧客的相繼到達(dá)時(shí)間服從參數(shù)為λ的負(fù)指數(shù)分布(即顧客的到達(dá)過程為Poisson流)，服務(wù)臺(tái)個(gè)數(shù)為s，每個(gè)服務(wù)臺(tái)服務(wù)時(shí)間相互獨(dú)立，且服從參數(shù)為

的負(fù)指數(shù)分布，系統(tǒng)的空間為k。

p

p0 s

n

k0

n

sn

sn

s!sn!

n0

p

s

1

1

1

s s!sn

s

s

(1

k

s

1

)

s

1

(k

s

1)

p0

s!n

0

n!n

0

n!p0

0p

s

1

s

s

1

則其中8.3.2 M/M/s/K多服務(wù)臺(tái)混合制模型2

12s!kssk

s

]

(1

s

)(k

s

1)

s

1s 0 s [1

s!(1

)

p

s

k

s

1

p0

(k

s)(k

s

1)s

8.3.2 M/M/s/K多服務(wù)臺(tái)混合制模型平均排隊(duì)長(zhǎng)為：Lq

(n

s)

pnn

sk s

1 s

1

npn

npn

s(1

pn

)n

0 n

0 n

0s

1n

0

L

(n

s)

pn

sn!L

Lq

s

p0

n

0s

1(n

s)

nkn

ss

pnk kLq

(n

s)

pn

npnn

s n

s得到為求平均隊(duì)長(zhǎng)，由平均排隊(duì)長(zhǎng)：顧客的有效到達(dá)率：

e

(1

pk

)qee

再利用little公式，得到：W

L W

Lq

w

1s!ss!sn!00k

sn

ss!sn

sk

nk

nks!ss!s

p

s

n

s

p0

(1

pk

)

1

s

1

n

1

n

s

p

pk

s

s

1

n

1

n

0

s

1n

0

n!

k

n 0

n

1

s

kk

n

s

n

n

1n

s

n

1(n

1)!

p

s

1

n

n平均被占用服務(wù)臺(tái)數(shù): s

npn

s(也是正在接受服務(wù)顧客的平均數(shù))

s

Lq

(1

pk

)因此，又有：L

Lq8.3.2 M/M/s/K多服務(wù)臺(tái)混合制模型例8.6

某旅館有8個(gè)單人房間，旅客到達(dá)服從Poisson流，平均速率為6人／天，旅客平均逗留時(shí)間為2天，求：旅館客滿的概率；每天客房平均占用數(shù)。解：這是一個(gè)即時(shí)制的M/M/s/K系統(tǒng)，其中K

s

8,

6,

1

2,s

60.5

12

3.963

10

5

P0

0!

(12)0 (12)1 (12)2 (12)3 (12)4 (12)5 (12)6 (12)7(12)8

11! 2! 3! 4! 5! 6! 7! 8!

(12)8

0.423K! 8!(s

)K

5P8

P0

3.963

10旅館8個(gè)房間全滿的概率為0.423.L

s

(1

Ps

)

12

(1

0.423)

6.924平均占用客房數(shù)為6.9間?？头空加寐蕿?6.6%。8.3.2 M/M/s/K多服務(wù)臺(tái)混合制模型例7

某汽車加油站設(shè)有兩個(gè)加油機(jī)，汽車按Poisson流到達(dá)，平均每分鐘到達(dá)2輛；汽車加油時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，平均加油時(shí)間為2分鐘。又知加油站上最多只能停放3輛等待加油的汽車，汽車到達(dá)時(shí)，若已滿員，則必須開到別的加油站去，試對(duì)該系統(tǒng)進(jìn)行分析。解： 可將該系統(tǒng)看作一個(gè)M／M／2／5排隊(duì)系統(tǒng)，其中

2

0.5

4 s

2 K

5

0.00822

4

10

2!

1

4

2

4

1

5

2

1p

1

4

45

0.0082!

25

2

0.512p5

系統(tǒng)空閑的概率：顧客損失率：8.3.2 M/M/s/K多服務(wù)臺(tái)混合制模型

2.18(輛)L

Lq

(1

p5

)

2.18

4(1

0.512)

4.13(輛)2

442

424

2

2(5

2

1)

1

5

2

1

2!

1

0.008

42

42

5

2

1Lq

2(1

0.512)

4.23(min)L 4.13W

L

e

(1

P5

)

W

W

1

4.23

2

2.32(min)qs

L

Lq

4.13

2.18

1.95(個(gè))加油站內(nèi)在等待的平均汽車數(shù)：8.3.2 M/M/s/K多服務(wù)臺(tái)混合制模型

n

1

n

1

npn

n! p0s!B

(

s,

)

ps

n!

n!

s

n

0

ss

n

0p0

L

(1

B(s,

))

1

e

(1

B

(

s

,

))

n

1n

nn!p0n!W

(1

B

(

s

,

))L

s

(1

B

(

s

,

))n!

s!ss

n

0

n

0

n

ssn

0

ss

n

pn

n

0s

s8.3.2 M/M/s/K多服務(wù)臺(tái)混合制模型8.4排隊(duì)系統(tǒng)的優(yōu)化在一般情形下，提高服務(wù)水平(數(shù)量、質(zhì)量)可減少顧客的等待費(fèi)用(損失)，但卻常常增加了服務(wù)機(jī)構(gòu)的成本。優(yōu)化的目標(biāo)之一就是使服務(wù)費(fèi)用和等待費(fèi)用之和為最小，并確定達(dá)到最優(yōu)目標(biāo)值的服務(wù)水平，如圖所示。在穩(wěn)態(tài)情形下，各種費(fèi)用都是按單位時(shí)間來考慮的。通常，服務(wù)費(fèi)用（成本）比較容易確定，而顧客的等待費(fèi)用就有多種不同情況。服務(wù)水平也具有不同的表現(xiàn)形式，主要有平均服務(wù)率μ，其次是服務(wù)設(shè)備，如服務(wù)臺(tái)的個(gè)數(shù)S，以及系統(tǒng)的容量等。服務(wù)水平也可以通過服務(wù)強(qiáng)度ρ來表示。8.4.1 M/M/1單服務(wù)臺(tái)模型中的最優(yōu)服務(wù)率1. M/M/1系統(tǒng)單位時(shí)間的總費(fèi)用的期望值為z=Cs·μ

+Cw·LCs是μ=1時(shí)單位時(shí)間的成本，Cw為每個(gè)顧客在系統(tǒng)中逗留的單位時(shí)間的費(fèi)用，L是平均隊(duì)長(zhǎng)。由于Cs和Cw是給定的，L的值與μ有關(guān)，因此z是μ的函數(shù)，記為z(

μ

)。我們求最優(yōu)解μ，使z(

μ

)為最小。1(

)2

0sswz

c

cw

dz

cc

d

令最優(yōu)服務(wù)率

*

CsCw

例8.9設(shè)貨船按泊松流到達(dá)某一港口，平均到達(dá)率為每天50艘。港口的卸貨時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，平均卸貨率為μ，每天的卸貨費(fèi)用為1000元。又知貨船在港口停泊一天的滯期費(fèi)為500元。求港口的最優(yōu)卸貨率。解：將λ=50，

Cw

=500，Cs=1000代入（9-38）式。可求得最優(yōu)平均卸貨率。例8.10某設(shè)備修理站打算在甲、乙和丙三名工人中聘用一人。甲要求工資每小時(shí)15元，他每小時(shí)平均能修理4臺(tái)設(shè)備；乙要求工資每小時(shí)12元，他每小時(shí)平均能修理3臺(tái)設(shè)備；丙要求工資每