浙江省溫州市2022-2023學(xué)年高一（下）數(shù)學(xué)期末試卷（A卷）

浙江省溫州市2022-2023學(xué)年高一（下）數(shù)學(xué)期末試卷（A卷）一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1．已知z∈C，i為虛數(shù)單位，若z?i=1?i，則z=（）A．1?i B．?1?i C．?1+i D．i2．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，已知b=2，A=45°，B=60°，則a=（）A．263 B．2 C．23．直線a，b互相平行的一個(gè)充分條件是（）A．a(chǎn)，b都平行于同一個(gè)平面 B．a(chǎn)，b與同一個(gè)平面所成角相等C．a(chǎn)，b都垂直于同一個(gè)平面 D．a(chǎn)平行于b所在平面4．在四邊形ABCD中，已知OA+OC=A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四邊形5．某同學(xué)投擲一枚骰子5次，分別記錄每次骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，已知這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為3，方差為0.4，則點(diǎn)數(shù)2出現(xiàn)的次數(shù)為（）A．0 B．1 C．2 D．36．下列正方體中，A，B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M，N，P分別為其所在棱的中點(diǎn)，則能滿足AB//平面MNPA． B．C． D．7．在一個(gè)盒子中有紅球和黃球共5個(gè)球，從中不放回的依次摸出兩個(gè)球，事件A=“第二次摸出的球是紅球”，事件B=“兩次摸出的球顏色相同”，事件C=“第二次摸出的球是黃球”，若P(A)=2A．P(B)=25 C．P(AB)=458．如圖，在長方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=AA1=6，AD=8，E為棱AD上一點(diǎn)，且AE=6，平面AA．34+26 B．34+22 C．二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）9．已知復(fù)數(shù)z，其共軛復(fù)數(shù)為z，下列結(jié)論正確的是（）A．z?z=|C．z+z=0 10．國家統(tǒng)計(jì)網(wǎng)最新公布的一年城市平均氣溫顯示昆明與鄭州年平均氣溫均為16.9攝氏度，該年月平均氣溫如下表所示，并繪制如圖所示的折線圖，則（）月份1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月昆明9.312.416.51921.621.521.321.220.416.812.410.5鄭州2.98.711.916.523.628.928.626.723.115.211.35.7A．昆明月平均氣溫的極差小于鄭州月平均氣溫的極差B．昆明月平均氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差大于鄭州月平均氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差C．鄭州月平均氣溫的中位數(shù)小于昆明月平均氣溫的中位數(shù)D．鄭州月平均氣溫的第一四分位數(shù)為1011．平面向量a，b，c滿足|a|=1，|b|=2，a與b夾角為A．|c|B．|a?C．|a?D．c?(b12．如圖，在長方形ABCD中，AB=1，AD=4，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為邊BC，AD的中點(diǎn)，將△ABF沿直線BF進(jìn)行翻折，將△CDE沿直線DE進(jìn)行翻折的過程中，則（）A．直線AB與直線CD可能垂直 B．直線AF與CE所成角可能為60°C．直線AF與平面CDE可能垂直 D．平面ABF與平面CDE可能垂直三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13．如圖，由A，B兩個(gè)元件組成并聯(lián)電路，觀察兩個(gè)元件正?；蚴У那闆r，則事件M=“電路是通路”包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為．14．已知平面向量a=(2，0)，b=(1，1)，則15．“阿基米德多面體”也稱為半正多面體，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面圍成的多面體，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美，如圖，將正方體沿交于一頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)截去一個(gè)三棱錐，共可截去八個(gè)三棱錐，得到八個(gè)面為正三角形，六個(gè)面為正方形的“阿基米德多面體”，則直線MN與平面ABCD所成角的正弦值為．16．如圖，四邊形ABCD為箏形(有一條對(duì)角線所在直線為對(duì)稱軸的四邊形)，滿足AO=3OC，AD的中點(diǎn)為E，BE=3，則箏形ABCD的面積取到最大值時(shí)，AB邊長為．四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17．關(guān)于x的一元二次方程x2+(a+1)x+4=0(a∈R)有兩個(gè)根x1，x（1）求a的值；（2）設(shè)x1，x2在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，求線段18．在菱形ABCD中，AE=13AD，BF=（1）用a，b表示EF；（2）若BD?EF=19．如圖，正方形ABCD是圓柱OO1的軸截面，EF是圓柱的母線，圓柱OO（1）求圓柱OO（2）若∠ABF=30°，求點(diǎn)F到平面BDE的距離．20．現(xiàn)行國家標(biāo)準(zhǔn)GB2762?2012中規(guī)定了10大類食品中重金屬汞的污染限量值，其中肉食性魚類及其制品中汞的最大殘留量為1.0mg/（1）求a的值，并估計(jì)這200條魚汞含量的樣本平均數(shù)；（2）用樣本估計(jì)總體的思想，估計(jì)進(jìn)口的這批魚中共有多少條魚汞含量超標(biāo)；（3）從這批魚中顧客甲購買了2條，顧客乙購買了1條，甲乙互不影響，求恰有一人購買的魚汞含量有超標(biāo)的概率．21．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，S為△ABC的面積，已知bcosC?ccosB=2a．（1）若c=a，求B的大?。唬?）若c≤2a，過B作AB的垂線交AC于D，求BC?BDS22．如圖，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，點(diǎn)E是邊AD上的動(dòng)點(diǎn)，沿BE將△ABE翻折至△A'BE（1）當(dāng)AE=3時(shí)，求證：A'（2）當(dāng)線段A'C的長度最小時(shí)，求二面角

答案解析部分1．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算【解析】【解答】解：z=1?ii=2．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】正弦定理的應(yīng)用【解析】【解答】解：因?yàn)閎=2，A=45°，B=60°，，

由正弦定理asinA=bsinB可得a=3．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】空間中直線與直線之間的位置關(guān)系【解析】【解答】解：對(duì)于A：若a，b都平行于同一個(gè)平面，則a，b平行、相交或異面，錯(cuò)誤；

對(duì)于B：若a，b與同一個(gè)平面所成角相等，則a，b可平行，可相交，可異面，錯(cuò)誤；

對(duì)于C：若a，b都垂直于同一個(gè)平面，則a，b互相平行，正確；

對(duì)于D：若a平行于b所在平面，則a，b平行或異面，錯(cuò)誤；

故選：C.

【分析】根據(jù)各選項(xiàng)中的條件判斷直線a，b的位置關(guān)系，再結(jié)合充分條件的概念，可得出正確的答案.4．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】向量加減混合運(yùn)算【解析】【解答】解：∵OA+OC=OB+OD，

∴OA→?OB→=OD→?OC→，5．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)；極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差【解析】【解答】解：設(shè)五個(gè)數(shù)位x1，x2，x3，x4，x5，

則x1?32+x2?36．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】直線與平面平行的判定【解析】【解答】解：對(duì)于A：連接MB，NC，由圖可知，AB與平面MNP相交，故不滿足AB//平面MNP，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：如圖所示，G，H，F(xiàn)，E分別是所在棱的中點(diǎn)，連接NH，NG，GF，F(xiàn)M，EM，

則平面MNP和平面NGFMPH為同一平面，因?yàn)锳B//EM，

因?yàn)镋M與平面NGFMPH相交，所以不滿足AB//平面MNP，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C：連接AD，交MN與點(diǎn)O，連接PO，因?yàn)镺，P分別為AD，BD中點(diǎn)，

所以PO//AB，由線面平行的判定定理可知，AB//平面MNP，故C正確；

對(duì)于D：D，F(xiàn)，E分別是所在棱的中點(diǎn)，連接DN，NF，F(xiàn)M，ME，PE，DP，AC，

平面DNFMEP與平面MNP為同一平面，

取AC的中點(diǎn)為O，連接OM，由中位線定理可知，AB//OM，

因?yàn)镸O與平面MNP相交，所以不滿足AB//平面MNP，故D錯(cuò)誤；

故選：C.

【分析】由AB與平面MNP相交，判斷A；由AB//EM，結(jié)合E不在平面NGFMPH判斷B；由線面平行的判定判斷C；由中位線定理判斷D.7．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】互斥事件與對(duì)立事件【解析】【解答】解：由題意可得，事件A，C對(duì)立，P(A)+P(C)=1，故B正確；

設(shè)盒子中有m個(gè)紅球，5-m個(gè)黃球，

P(A)=m5×m?14+5?m5×m4=4m8．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】用空間向量求直線間的夾角、距離【解析】【解答】解：以C為原點(diǎn)，CA，CB，CC1所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)Q(x，y，z)，長方體外接球球心記為O.

則O3，4，3，A6，8，0，B0，8，0，E6，2，0，A16，8，6，

EQ→=x?6，y?2，z，AQ→=x?6，y?8，z，EB→=?6，6，0，EA1→=0，6，6，OQ→=x?3，y?4，z?3，

因?yàn)镋Q→·AQ→=0，所以x?62+y?2y?8+z2=0①.

又動(dòng)點(diǎn)Q在面A1BE上，所以可設(shè)EQ→=λEB→+μEA1→，

則x?6=?6λy?2=6λ+6μz=6μ?x=6?6λy=6λ+6μ+2z=6μ②.

將②代入①中整理得2λ2+2μ2+2λμ=λ+μ③.

在三棱錐A-A1BE中，AE=AB=AA1=6且AE，AB，AA1兩兩互相垂直，

所以三棱錐A-A1BE為正三棱錐且底邊BE=62.

當(dāng)AQ⊥面A-A1BE時(shí)，|AQ|最小，在正三棱錐A-A1BE中由等體積法有13×12×6×6×6=13×9．【答案】A,D【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)數(shù)的基本概念；復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算；復(fù)數(shù)的?！窘馕觥俊窘獯稹拷猓涸O(shè)z=a+bia，b∈R，則z=a?bi，

對(duì)于A，z·z=a+bia?bi=a2+b2，z2=a2+b22=a2+b2，則z?10．【答案】A,C,D【知識(shí)點(diǎn)】眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)；極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差【解析】【解答】解：對(duì)于A，昆明月平均氣溫的極差為21.6-9.3=12.3，

鄭州月平均氣溫的極差為28.9-2.9=26>12.3，故A正確；

對(duì)于B，由折線圖可知，昆明月平均氣溫相較于鄭州月平均氣溫更為集中，

所以昆明月平均氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差小于鄭州月平均氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C，昆明的月平均氣溫按從小到大的順序排列：9.3，10.5，12.4，12.4，16.5，23.1，23.6，26.7，28.6，28.9，

則昆明月平均氣溫的中位數(shù)為16.8+192=17.9，

鄭州的月平均氣溫按從小到大的順序排列：2.9，5.7，8.7，11.3，11.9，15.2，16.5，23.1，23.6，26.7，28.6，28.9，

則鄭州的月平均氣溫的中位數(shù)為15.2+16.52=15.85<17.9，

鄭州月平均氣溫的中位數(shù)小于昆明月平均氣溫的中位數(shù)，故C正確；

對(duì)于D，因?yàn)?2×14=3，所以鄭州月平均氣溫的第一四分位數(shù)為8.7+11.32=10，故D正確.

11．【答案】A,D【知識(shí)點(diǎn)】向量的模；平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算；平面向量數(shù)量積坐標(biāo)表示的應(yīng)用；向量在幾何中的應(yīng)用；平面向量的綜合題【解析】【解答】解：由題知，設(shè)a→=1，0，b→=m，n，c→=x，y，

因?yàn)閨b|=2，a與b夾角為π3，

所以b→=2cosπ3=a→·b→a→·b→?m2+n2=212=mm2+n2?m=1n=3或m=1n=?3，

即b→=1，3或b→=1，?3，

因?yàn)閨a?c|=|b?c|，

所以1?x，?y=1?x，3?y或1?x，?y=1?x，?3?y，

即1?x2+?y2=1?x2+3?y2或1?x2+?y2=1?x2+?3?y2，

則y=32或y=?32，即c→=x，32或c→=x，?32，

所以c→=x2+322≥32，A正確；

以a的起點(diǎn)為原點(diǎn)O，a的方向?yàn)閤軸正向建立平面直角坐標(biāo)系，

當(dāng)c→=x，32時(shí)，

則a的終點(diǎn)落在A上，c的終點(diǎn)落在y=32上，

作O點(diǎn)關(guān)于y=3212．【答案】A,D【知識(shí)點(diǎn)】空間中直線與直線之間的位置關(guān)系；空間中直線與平面之間的位置關(guān)系；平面與平面之間的位置關(guān)系【解析】【解答】解：如圖，將△ABF沿直線BF進(jìn)行翻折，得到以BF為軸，線段AF繞BF旋轉(zhuǎn)形成的一個(gè)圓錐，點(diǎn)A在圓錐的底面圓周上，

同理將△CDE沿直線DE進(jìn)行翻折的過程中，點(diǎn)C也在相應(yīng)的圓錐的底面圓周上.

對(duì)于A，如圖，在長方形ABCD中，AB//CD.CD旋轉(zhuǎn)形成的圓錐的軸截面張角∠CDC'最大，

由AB=1，AD=4，則CE=2，tan∠EDC=ECCD=2>1，

所以∠EDC>π4，則∠CDC'>π2，

假設(shè)△ABF不做旋轉(zhuǎn)，CD在旋轉(zhuǎn)過程中可以與旋轉(zhuǎn)前的初始位置CD垂直，即CD在旋轉(zhuǎn)過程中可以與AB垂直，故A正確.

對(duì)于B，由選項(xiàng)A同理可得tan∠DEC=CDEC=12<33，∠DEC<π6，軸截面張角∠CEC'<π313．【答案】3【知識(shí)點(diǎn)】用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征【解析】【解答】解：設(shè)元件正常為1，失效為0，

由A，B兩個(gè)元件組成并聯(lián)電路，

則至少有一個(gè)元件正常，

故事件M=“電路是通路”包含的樣本點(diǎn)為（1，1），（1，0），（0，1）共3個(gè).

故答案為：3.

【分析】由A，B兩個(gè)元件組成并聯(lián)電路，至少有一個(gè)元件正常，列舉出所有的樣本點(diǎn)即可得解.14．【答案】1【知識(shí)點(diǎn)】空間向量的投影向量【解析】【解答】解：因?yàn)閍=(2，0)，b=(1，1)，

所以b=(1，1)15．【答案】6【知識(shí)點(diǎn)】直線與平面所成的角【解析】【解答】解：如圖所示：將多面體放置于正方體中，連接MC，設(shè)MC的中點(diǎn)為E，連接EF，CF

因?yàn)镸，C分別為中點(diǎn)，

所以MC//NF，且ME=NF=12MC，

則四邊形MEFN為平行四邊形，

所以MN//EF，

所以直線MN與平面ABCD所成角即為直線EF與平面ABCD所成角，

又MC⊥平面ABCD，

所以直線EF與平面ABCD所成角即為∠EFC，

設(shè)正方體的棱長為，

則EC=1，CF=22+12=5，EF=EC2+CF2=6，

所以sin∠EFC=16．【答案】2【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式在最值問題中的應(yīng)用；向量在幾何中的應(yīng)用【解析】【解答】解：以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如下圖所示的直角坐標(biāo)系.

設(shè)BD=2a，AC=4ta>0，t>0，

則A0，?3t，Ba，0，C0，t，D?a，0，E?a2，?32t.

因?yàn)锽E→=?3a2，?32t，所以94a2+t17．【答案】（1）解：因?yàn)殛P(guān)于x的一元二次方程x2+(a+1)x+4=0有兩個(gè)復(fù)數(shù)根x1所以復(fù)數(shù)x1，x則x2所以x1+x（2）解：因?yàn)閤1，x2在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A，所以A(1，所以線段AB的長度為23【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)數(shù)的基本概念；復(fù)數(shù)在復(fù)平面中的表示【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可得復(fù)數(shù)x1，x2互為共軛復(fù)數(shù)，再利用韋達(dá)定理即可求出a；

（2）根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義求出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可得答案.18．【答案】（1）解：如圖，∵在菱形ABCD中，AE=13AD，BF=∴EF（2）解：∵BD∴(AD∴(b∴23a∴5∴a∴cosA=cos<a，b【知識(shí)點(diǎn)】平面向量的線性運(yùn)算；數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角【解析】【分析】（1）由向量的加法和數(shù)乘運(yùn)算求解即可；

（2）根據(jù)向量的運(yùn)算對(duì)BD?EF=AB?DA，化簡可得19．【答案】（1）解：設(shè)圓柱OO1的底面半徑為r，則πr則圓柱OO1的表面積為（2）解：連接AF，因?yàn)锳F⊥BF，AF//DE，所以設(shè)點(diǎn)F到平面BDE的距離為?，易知DE⊥EF，DE⊥EF，EF，BF?平面BEF，EFBF=F所以DE⊥平面BEF，因?yàn)镋B?平面BEF，所以DE⊥EB，所以BF=AB?cos30°=3EF=2r，BE=4因?yàn)閂D?BEF=V即23r3【知識(shí)點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)體（圓柱/圓錐/圓臺(tái)/球）的結(jié)構(gòu)特征；點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算【解析】【分析】（1）由圓柱的體積公式計(jì)算底面半徑，再根據(jù)表面積公式求解；

（2）證明DE⊥平面BEF，再根據(jù)等體積法由VD?BEF20．【答案】（1）解：由0.4×(0.則這200條魚汞含量的樣本平均數(shù)為0.（2）解：樣本中汞含量在[1.0，則估計(jì)進(jìn)口的這批魚中共有0.（3）解：由題意可知，樣本中汞含量在[1.0，則顧客甲購買的魚汞含量有超標(biāo)的概率為1?1顧客乙購買的魚汞含量有超標(biāo)的概率為12則恰有一人購買的魚汞含量有超標(biāo)的概率為34【知識(shí)點(diǎn)】頻率分布直方圖；相互獨(dú)立事件的概率乘法公式【解析】【分析】（1）由頻率之和等于1得出a，進(jìn)而由平均數(shù)的公式求解即可；

（2）求出樣本中汞含量在[1.0，21．【答案】（1）解：∵bcosC?ccosB=2a，由余弦定理得b?a化簡得b2又c=a，則b2?a則cosB=a又B∈(0，π)，則（2）解：在Rt△ABD中，BD=ctanA，則BC?BDS又由(1)得b2則BC?BDS∵c≤2a，∴c又b<a+c，b2則c2+2a∴c∴1令t=∴f(t)在(12，∴f(又f(12)=3∴22≤f(t)≤9故BC?BDS的取值范圍為[【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式在最值問題中的應(yīng)用；余弦定理的應(yīng)用；三角形中的幾何計(jì)算【解析】【分析】（1）利用余弦定理化角為邊，求出b=3a，再利用余弦定理即可得解；

（2）先求得BD=ctanA，再根據(jù)三角形的面積公式結(jié)合22．【答案】（1）證明：當(dāng)AE=3時(shí)，ED=AD?AE=4?3=1，又AB=3在Rt△BAE中，BE在Rt△CDE中，CE所以BE所以CE⊥BE，因?yàn)槎娼茿'所以面A'BE⊥面又面A'BE面由上知CE⊥BE，CE?面CBE，所以CE⊥面A'又因?yàn)锳'B?面所以CE⊥A'（2）解：在圖二中過點(diǎn)A'作A'M⊥BE，垂足為M因?yàn)槎娼茿'所以面A'BE⊥面又面A'BE面由上知A'所以A'M⊥面又因?yàn)镸C?面BCE，所以A'設(shè)A'E=x，則BE=BA所以A'CG=BC×CD所以A'因?yàn)?<x≤4，所以當(dāng)x=4時(shí)，A'在矩形ABCD中，過點(diǎn)C作CG⊥BD，垂足為G，再過點(diǎn)G作GH⊥AB，因?yàn)槎娼茿'所以面A'BE⊥面又面A'BE面由上知CG⊥BD，所以CG⊥面BCE，由三垂線定理可得CH⊥A'所以二面角C?A'B?E的平面角為BD=ACG=BC?CDGD=C所以BG=BD?GD=19由△BHG∽△BAD得，BGBD=HG所以HG=64所以tan∠GHC=CG所以sin∠GHC=777【知識(shí)點(diǎn)】直線與平面垂直的判定；平面與平面垂直的性質(zhì)；用空間向量研究二面角【解析】【分析】（1）由面面垂直的性質(zhì)定理得CE⊥面A'BE，再由線面垂直判定定理證明即可；

（2）根據(jù)題意先證得二面角C?A'B?E的平面角為∠CHG，再利用相似三角形的性質(zhì)求得HG=64

試題分析部分1、試卷總體分布分析總分：150分分值分布客觀題（占比）65.0(43.3%)主觀題（占比）85.0(56.7%)題量分布客觀題（占比）13(59.1%)主觀題（占比）9(40.9%)2、試卷題量分布分析大題題型題目量（占比）分值（占比）解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）6(27.3%)70.0(46.7%)填空題（本大題共4小題，共20.0分）4(18.2%)20.0(13.3%)單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）8(36.4%)40.0(26.7%)多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）4(18.2%)20.0(13.3%)3、試卷難度結(jié)構(gòu)分析序號(hào)難易度占比1普通(50.0