基本不等式高考題練習(xí)-菁優(yōu)網(wǎng)

根本不等式高考題練習(xí)一．選擇題〔共15小題〕1．〔2023?重慶〕假設(shè)log4〔3a+4b〕=log2，那么a+b的最小值是〔〕A．6+2B．7+2C．6+4D．7+42．〔2023?福建〕假設(shè)2x+2y=1，那么x+y的取值范圍是〔〕A．[0，2]B．[﹣2，0]C．[﹣2，+∞〕D．〔﹣∞，﹣2]3．〔2023?山東〕設(shè)正實(shí)數(shù)x，y，z滿足x2﹣3xy+4y2﹣z=0．那么當(dāng)取得最大值時(shí)，的最大值為〔〕A．0B．1C．D．34．〔2023?陜西〕小王從甲地到乙地的往返時(shí)速分別為a和b〔a＜b〕，其全程的平均時(shí)速為v，那么〔〕A．a(chǎn)＜v＜B．v=C．＜v＜D．v=5．〔2023?重慶〕a＞0，b＞0，a+b=2，那么的最小值是〔〕A．B．4C．D．56．〔2023?重慶〕假設(shè)函數(shù)f〔x〕=x+〔x＞2〕，在x=a處取最小值，那么a=〔〕A．1+B．1+C．3D．47．〔2023?重慶〕x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，那么x+2y的最小值是〔〕A．3B．4C．D．8．〔2023?四川〕設(shè)a＞b＞c＞0，那么的最小值是〔〕A．2B．4C．D．59．〔2023?重慶〕a＞0，b＞0，那么的最小值是〔〕A．2B．C．4D．510．〔2006?浙江〕“a＞b＞0〞是“〞的〔〕A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不允分也不必要條件11．〔2005?福建〕以下結(jié)論正確的選項(xiàng)是〔〕A．當(dāng)x＞0且x≠1時(shí)，lgx+≥2B．當(dāng)x＞0時(shí)，+≥2C．當(dāng)x≥2時(shí)，x+的最小值為2D．當(dāng)0＜x≤2時(shí)，x﹣無(wú)最大值12．〔2005?福建〕設(shè)a，b∈R，a2+2b2=6，那么a+b的最小值是〔〕A．﹣2B．﹣C．﹣3D．﹣13．〔2004?湖北〕假設(shè)＜＜0，那么以下不等式①a+b＜ab；②|a|＞|b|；③a＜b；④+＞2中，正確的不等式有〔〕A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)14．〔2004?山東〕a2+b2=1，b2+c2=2，c2+a2=2，那么ab+bc+ca的最小值為〔〕A．﹣B．﹣C．﹣﹣D．+15．〔2003?北京〕函數(shù)f〔x〕=的最大值是〔〕A．B．C．D．填空題〔共14小題〕16．〔2023?陜西〕設(shè)a，b，m，n∈R，且a2+b2=5，ma+nb=5，那么的最小值為_(kāi)________17．〔2023?上?！臣僭O(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足xy=1，那么x2+2y2的最小值為_(kāi)________．18．〔2023?遼寧〕對(duì)于c＞0，當(dāng)非零實(shí)數(shù)a，b滿足4a2﹣2ab+4b2﹣c=0且使|2a+b|最大時(shí)，﹣+的最小值為_(kāi)________．19．〔2023?上?！吃O(shè)常數(shù)a＞0，假設(shè)9x+對(duì)一切正實(shí)數(shù)x成立，那么a的取值范圍為_(kāi)________．20．〔2023?天津〕設(shè)a+b=2，b＞0，那么當(dāng)a=_________時(shí)，取得最小值．21．〔2023?湖南〕設(shè)x，y∈R，且xy≠0，那么的最小值為_(kāi)________．22．〔2023?安徽〕假設(shè)a＞0，b＞0，a+b=2，那么以下不等式對(duì)一切滿足條件的a，b恒成立的是_________〔寫(xiě)出所有正確命題的編號(hào)〕．①ab≤1；②；③a2+b2≥2；④a3+b3≥3；⑤．23．〔2023?山東〕x，y∈R+，且滿足，那么xy的最大值為_(kāi)________．24．〔2023?江蘇〕設(shè)x，y，z為正實(shí)數(shù)，滿足x﹣2y+3z=0，那么的最小值是_________．25．〔2007?山東〕函數(shù)y=loga〔x﹣1〕+1〔a＞0，且a≠1〕的圖象恒過(guò)定點(diǎn)A，假設(shè)點(diǎn)A在一次函數(shù)y=mx+n的圖象上，其中最小值為_(kāi)________．26．〔2005?重慶〕假設(shè)x2+y2=4，那么x﹣y的最大值是_________．27．〔2001?北京〕sin2α+sin2β+sin2γ=1〔α、β、γ均為銳角〕，那么cosαcosβcosγ的最大值等于_________．28．實(shí)數(shù)a，b，c滿足a+b+c=0，a2+b2+c2=1，那么a的最大值是_________．29．〔2004?重慶〕，那么xy的最小值是_________．三．解答題〔共1小題〕30．〔2023?河南〕假設(shè)a＞0，b＞0，且+=．〔Ⅰ〕求a3+b3的最小值；〔Ⅱ〕是否存在a，b，使得2a+3b=6？并說(shuō)明理由．根本不等式高考題練習(xí)參考答案與試題解析一．選擇題〔共15小題〕1．〔2023?重慶〕假設(shè)log4〔3a+4b〕=log2，那么a+b的最小值是〔〕A．6+2B．7+2C．6+4D．7+4考點(diǎn)：根本不等式；對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)．專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析：利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法那么可得＞0，a＞4，再利用根本不等式即可得出解答：解：∵3a+4b＞0，ab＞0，∴a＞0．b＞0∵log4〔3a+4b〕=log2，∴l(xiāng)og4〔3a+4b〕=log4〔ab〕∴3a+4b=ab，a≠4，a＞0．b＞0∴＞0，∴a＞4，那么a+b=a+=a+=〔a﹣4〕++7+7=4+7，當(dāng)且僅當(dāng)a=4+2取等號(hào)．應(yīng)選：D．點(diǎn)評(píng)：此題考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算法那么、根本不等式的性質(zhì)，屬于中檔題．2．〔2023?福建〕假設(shè)2x+2y=1，那么x+y的取值范圍是〔〕A．[0，2]B．[﹣2，0]C．[﹣2，+∞〕D．〔﹣∞，﹣2]考點(diǎn)：根本不等式．專(zhuān)題：不等式的解法及應(yīng)用．分析：根據(jù)指數(shù)式的運(yùn)算性質(zhì)結(jié)合根本不等式可把條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于x+y的不等關(guān)系式，進(jìn)而可求出x+y的取值范圍．解答：解：∵1=2x+2y≥2?〔2x2y〕，變形為2x+y≤，即x+y≤﹣2，當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)取等號(hào)．那么x+y的取值范圍是〔﹣∞，﹣2]．應(yīng)選D．點(diǎn)評(píng)：利用根本不等式，構(gòu)造關(guān)于某個(gè)變量的不等式，解此不等式便可求出該變量的取值范圍，再驗(yàn)證等號(hào)是否成立，便可確定該變量的最值，這是解決最值問(wèn)題或范圍問(wèn)題的常用方法，應(yīng)熟練掌握．3．〔2023?山東〕設(shè)正實(shí)數(shù)x，y，z滿足x2﹣3xy+4y2﹣z=0．那么當(dāng)取得最大值時(shí)，的最大值為〔〕A．0B．1C．D．3考點(diǎn)：根本不等式．專(zhuān)題：計(jì)算題；壓軸題；不等式的解法及應(yīng)用．分析：依題意，當(dāng)取得最大值時(shí)x=2y，代入所求關(guān)系式f〔y〕=+﹣，利用配方法即可求得其最大值．解答：解：∵x2﹣3xy+4y2﹣z=0，∴z=x2﹣3xy+4y2，又x，y，z均為正實(shí)數(shù)，∴==≤=1〔當(dāng)且僅當(dāng)x=2y時(shí)取“=〞〕，∴=1，此時(shí)，x=2y．∴z=x2﹣3xy+4y2=〔2y〕2﹣3×2y×y+4y2=2y2，∴+﹣=+﹣=﹣+1≤1．∴的最大值為1．應(yīng)選B．點(diǎn)評(píng)：此題考查根本不等式，由取得最大值時(shí)得到x=2y是關(guān)鍵，考查配方法求最值，屬于中檔題．4．〔2023?陜西〕小王從甲地到乙地的往返時(shí)速分別為a和b〔a＜b〕，其全程的平均時(shí)速為v，那么〔〕A．a(chǎn)＜v＜B．v=C．＜v＜D．v=考點(diǎn)：根本不等式．專(zhuān)題：計(jì)算題；壓軸題．分析：設(shè)小王從甲地到乙地按時(shí)速分別為a和b，行駛的路程S，那么v==及0＜a＜b，利用根本不等式及作差法可比擬大小解答：解：設(shè)小王從甲地到乙地按時(shí)速分別為a和b，行駛的路程S那么v==∵0＜a＜b∴a+b＞0∴∵v﹣a===∴v＞a綜上可得，應(yīng)選A點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了根本不等式在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，比擬法中的比差法在比擬大小中的應(yīng)用．5．〔2023?重慶〕a＞0，b＞0，a+b=2，那么的最小值是〔〕A．B．4C．D．5考點(diǎn)：根本不等式．專(zhuān)題：計(jì)算題．分析：利用題設(shè)中的等式，把y的表達(dá)式轉(zhuǎn)化成〔〕〔〕展開(kāi)后，利用根本不等式求得y的最小值．解答：解：∵a+b=2，∴=1∴=〔〕〔〕=++≥+2=〔當(dāng)且僅當(dāng)b=2a時(shí)等號(hào)成立〕應(yīng)選C點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了根本不等式求最值．注意把握好一定，二正，三相等的原那么．6．〔2023?重慶〕假設(shè)函數(shù)f〔x〕=x+〔x＞2〕，在x=a處取最小值，那么a=〔〕A．1+B．1+C．3D．4考點(diǎn)：根本不等式．專(zhuān)題：計(jì)算題．分析：把函數(shù)解析式整理成根本不等式的形式，求得函數(shù)的最小值和此時(shí)x的取值．解答：解：f〔x〕=x+=x﹣2++2≥4當(dāng)x﹣2=1時(shí)，即x=3時(shí)等號(hào)成立．∵x=a處取最小值，∴a=3應(yīng)選C點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了根本不等式的應(yīng)用．考查了分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力．7．〔2023?重慶〕x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，那么x+2y的最小值是〔〕A．3B．4C．D．考點(diǎn)：根本不等式．專(zhuān)題：計(jì)算題．分析：首先分析題目由x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，求x+2y的最小值，猜測(cè)到根本不等式的用法，利用代入條件，化簡(jiǎn)為函數(shù)求最值．解答：解：考察根本不等式，整理得〔x+2y〕2+4〔x+2y〕﹣32≥0即〔x+2y﹣4〕〔x+2y+8〕≥0，又x+2y＞0，所以x+2y≥4應(yīng)選B．點(diǎn)評(píng)：此題主要考查根本不等式的用法，對(duì)于不等式在求最大值最小值的問(wèn)題中應(yīng)用非常廣泛，需要同學(xué)們多加注意．8．〔2023?四川〕設(shè)a＞b＞c＞0，那么的最小值是〔〕A．2B．4C．D．5考點(diǎn)：根本不等式．專(zhuān)題：計(jì)算題；壓軸題．分析：先把整理成，進(jìn)而利用均值不等式求得原式的最小值．解答：解：==≥0+2+2=4當(dāng)且僅當(dāng)a﹣5c=0，ab=1，a〔a﹣b〕=1時(shí)等號(hào)成立如取a=，b=，c=滿足條件．應(yīng)選B點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了根本不等式的應(yīng)用．主要口考查了運(yùn)用根本不等式求最值的問(wèn)題．9．〔2023?重慶〕a＞0，b＞0，那么的最小值是〔〕A．2B．C．4D．5考點(diǎn)：根本不等式．分析：a＞0，b＞0，即，給出了根本不等式使用的第一個(gè)條件，而使用后得到的式子恰好可以再次使用根本不等式．解答：解：因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)，且，即a=b時(shí)，取“=〞號(hào)．應(yīng)選C．點(diǎn)評(píng)：根本不等式a+b，〔當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=〞〕的必須具備得使用條件：一正〔即a，b都需要是正數(shù)〕二定〔求和時(shí)，積是定值；求積時(shí)，和是定值．〕三等〔當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，才能取等號(hào)〕10．〔2006?浙江〕“a＞b＞0〞是“〞的〔〕A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不允分也不必要條件考點(diǎn)：根本不等式；必要條件、充分條件與充要條件的判斷．分析：為根本的不等式，成立的充要條件為a，b∈R且a≠b，故只要判“a＞b＞0〞和“a，b∈R且a≠b〞的關(guān)系即可．解答：解：由a＞b＞0能推出；但反之不然，因此平方不等式的條件是a，b∈R且a≠b．應(yīng)選A點(diǎn)評(píng)：此題考查平方不等式和充要條件，屬根底題．11．〔2005?福建〕以下結(jié)論正確的選項(xiàng)是〔〕A．當(dāng)x＞0且x≠1時(shí)，lgx+≥2B．當(dāng)x＞0時(shí)，+≥2C．當(dāng)x≥2時(shí)，x+的最小值為2D．當(dāng)0＜x≤2時(shí)，x﹣無(wú)最大值考點(diǎn)：根本不等式．分析：此題中各選項(xiàng)都是利用根本不等式求最值，注意驗(yàn)證一正、二定、三相等條件是否滿足即可．A中不滿足“正數(shù)〞，C中“=〞取不到．解答：解：A中，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，lgx＜0，lgx+≥2不成立；由根本不等式B正確；C中“=〞取不到；D中x﹣在0＜x≤2時(shí)單調(diào)遞增，當(dāng)x=2時(shí)取最大值．應(yīng)選B點(diǎn)評(píng)：此題主要考查利用根本不等式求最值的三個(gè)條件，一正、二定、三相等，在解題中要牢記．12．〔2005?福建〕設(shè)a，b∈R，a2+2b2=6，那么a+b的最小值是〔〕A．﹣2B．﹣C．﹣3D．﹣考點(diǎn)：根本不等式．專(zhuān)題：計(jì)算題；壓軸題；函數(shù)思想．分析：首先分析由式子a2+2b2=6，可以考慮設(shè)成包含三角函數(shù)的參數(shù)方程，然后代入a+b化簡(jiǎn)求值，再根據(jù)三角函數(shù)的最值問(wèn)題求解即可得到答案．解答：解：因?yàn)閍，b∈R，a2+2b2=6故可設(shè)．θ?R．那么：a+b=，再根據(jù)三角函數(shù)最值的求法可直接得到a+b的最小值是﹣3．應(yīng)選C．點(diǎn)評(píng)：此題主要考查參數(shù)方程求最值的思想．對(duì)于此類(lèi)題目如果應(yīng)用根本不等式行不通的時(shí)候，可以考慮參數(shù)方程的方法，有一定的技巧性，屬于中檔題目．13．〔2004?湖北〕假設(shè)＜＜0，那么以下不等式①a+b＜ab；②|a|＞|b|；③a＜b；④+＞2中，正確的不等式有〔〕A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)考點(diǎn)：根本不等式．分析：由＜＜0，判斷出a，b的符號(hào)和大小，再利用不等式的性質(zhì)及重要不等式判斷命題的正誤．解答：解：∵＜＜0，∴b＜a＜0，∴a+b＜0＜ab，故①正確．∴﹣b＞﹣a＞0，那么|b|＞|a|，故②錯(cuò)誤．③顯然錯(cuò)誤．由于，，∴+＞2=2，故④正確．綜上，①④正確，②③錯(cuò)誤，應(yīng)選C．點(diǎn)評(píng)：此題考查不等式的性質(zhì)，根本不等式的應(yīng)用，判斷b＜a＜0是解題的關(guān)鍵．14．〔2004?山東〕a2+b2=1，b2+c2=2，c2+a2=2，那么ab+bc+ca的最小值為〔〕A．﹣B．﹣C．﹣﹣D．+考點(diǎn)：根本不等式．專(zhuān)題：計(jì)算題；壓軸題．分析：先把題設(shè)中的三個(gè)等式聯(lián)立可求得a，b和c，再把它們的值代入所求代數(shù)式，即可得解．解答：解：∵b2+c2=2，c2+a2=2，∴b2+c2=c2+a2∴b2=a2又a2+b2=1，所以當(dāng)a=b=，c=﹣時(shí)ab+bc+ca有最小值為：×+×〔﹣〕+×〔﹣〕=﹣，ab+bc+ca的最小值為﹣，應(yīng)選B．點(diǎn)評(píng)：此題解題的關(guān)鍵是通過(guò)條件求得a，b和c值，然后代入即可．15．〔2003?北京〕函數(shù)f〔x〕=的最大值是〔〕A．B．C．D．考點(diǎn)：根本不等式；函數(shù)的最值及其幾何意義．專(zhuān)題：計(jì)算題．分析：把分母整理成=〔x﹣〕2+進(jìn)而根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得其最小值，那么函數(shù)f〔x〕的最大值可求．解答：解：∵1﹣x〔1﹣x〕=1﹣x+x2=〔x﹣〕2+≥，∴f〔x〕=≤，f〔x〕max=．應(yīng)選D點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了根本不等式的應(yīng)用，二次函數(shù)的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵把分母配方成一元二次函數(shù)的形式．二．填空題〔共14小題〕16．〔2023?陜西〕設(shè)a，b，m，n∈R，且a2+b2=5，ma+nb=5，那么的最小值為．考點(diǎn)：根本不等式．專(zhuān)題：不等式的解法及應(yīng)用．分析：根據(jù)柯西不等式〔a2+b2〕〔c2+d2〕≥〔ac+bd〕2當(dāng)且僅當(dāng)ad=bc取等號(hào)，問(wèn)題即可解決．解答：解：由柯西不等式得，〔ma+nb〕2≤〔m2+n2〕〔a2+b2〕∵a2+b2=5，ma+nb=5，∴〔m2+n2〕≥5∴的最小值為故答案為：點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了柯西不等式，屬于中檔題．17．〔2023?上?！臣僭O(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足xy=1，那么x2+2y2的最小值為2．考點(diǎn)：根本不等式．專(zhuān)題：不等式的解法及應(yīng)用．分析：由可得y=，代入要求的式子，由根本不等式可得．解答：解：∵xy=1，∴y=∴x2+2y2=x2+≥2=2，當(dāng)且僅當(dāng)x2=，即x=±時(shí)取等號(hào)，故答案為：2點(diǎn)評(píng)：此題考查根本不等式，屬根底題．18．〔2023?遼寧〕對(duì)于c＞0，當(dāng)非零實(shí)數(shù)a，b滿足4a2﹣2ab+4b2﹣c=0且使|2a+b|最大時(shí)，﹣+的最小值為﹣2．考點(diǎn)：根本不等式．專(zhuān)題：不等式的解法及應(yīng)用．分析：首先把：4a2﹣2ab+4b2﹣c=0，轉(zhuǎn)化為=，再由柯西不等式得到|2a+b|2，分別用b表示a，c，在代入到﹣+得到關(guān)于b的二次函數(shù)，求出最小值即可．解答：解：∵4a2﹣2ab+4b2﹣c=0，∴=由柯西不等式得，[][]=|2a+b|2故當(dāng)|2a+b|最大時(shí)，有∴∴﹣+===，當(dāng)b=時(shí)，取得最小值為﹣2．故答案為：﹣2點(diǎn)評(píng)：此題考查了柯西不等式，以及二次函數(shù)的最值問(wèn)題，屬于難題．19．〔2023?上海〕設(shè)常數(shù)a＞0，假設(shè)9x+對(duì)一切正實(shí)數(shù)x成立，那么a的取值范圍為[，+∞〕．考點(diǎn)：根本不等式．專(zhuān)題：綜合題；壓軸題；轉(zhuǎn)化思想．分析：由題設(shè)數(shù)a＞0，假設(shè)9x+對(duì)一切正實(shí)數(shù)x成立可轉(zhuǎn)化為〔9x+〕min≥a+1，利用根本不等式判斷出9x+≥6a，由此可得到關(guān)于a的不等式，解之即可得到所求的范圍解答：解：常數(shù)a＞0，假設(shè)9x+≥a+1對(duì)一切正實(shí)數(shù)x成立，故〔9x+〕min≥a+1，9x+≥6a又9x+≥6a，當(dāng)且僅當(dāng)9x=，即x=時(shí)，等號(hào)成立故6a≥a+1，解得a≥故答案為[，+∞〕點(diǎn)評(píng)：此題考查函數(shù)的最值及利用根本不等式求最值，此題是根本不等式應(yīng)用的一個(gè)很典型的例子20．〔2023?天津〕設(shè)a+b=2，b＞0，那么當(dāng)a=﹣2時(shí)，取得最小值．考點(diǎn)：根本不等式．專(zhuān)題：壓軸題；數(shù)形結(jié)合；不等式的解法及應(yīng)用．分析：由于a+b=2，b＞0，從而=，〔a＜2〕，設(shè)f〔a〕=，〔a＜2〕，畫(huà)出此函數(shù)的圖象，結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，即可得出答案．解答：解：∵a+b=2，b＞0，∴=，〔a＜2〕設(shè)f〔a〕=，〔a＜2〕，畫(huà)出此函數(shù)的圖象，如下圖．利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性得，當(dāng)a＜0時(shí)，f〔a〕=﹣+，f′〔a〕==，當(dāng)a＜﹣2時(shí)，f′〔a〕＜0，當(dāng)﹣2＜a＜0時(shí)，f′〔a〕＞0，故函數(shù)在〔﹣∞，﹣2〕上是減函數(shù)，在〔﹣2，0〕上是增函數(shù)，∴當(dāng)a=﹣2時(shí)，取得最小值．同樣地，當(dāng)0＜a＜2時(shí)，得到當(dāng)a=時(shí)，取得最小值．綜合，那么當(dāng)a=﹣2時(shí)，取得最小值．故答案為：﹣2．點(diǎn)評(píng)：此題考查導(dǎo)數(shù)在最值問(wèn)題的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．21．〔2023?湖南〕設(shè)x，y∈R，且xy≠0，那么的最小值為9．考點(diǎn)：根本不等式．專(zhuān)題：計(jì)算題．分析：對(duì)展開(kāi)，利用根本不等式即可求得其最小值．解答：解：∵x，y∈R，且xy≠0，∴=1+4+≥5+2=9當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，∴的最小值為9．故答案為9．點(diǎn)評(píng)：此題是個(gè)根底題．考查利用根本不等式求最值，注意正、定、等，考查學(xué)生利用知識(shí)分析解決問(wèn)題的能力和計(jì)算能力．22．〔2023?安徽〕假設(shè)a＞0，b＞0，a+b=2，那么以下不等式對(duì)一切滿足條件的a，b恒成立的是①，③，⑤〔寫(xiě)出所有正確命題的編號(hào)〕．①ab≤1；②；③a2+b2≥2；④a3+b3≥3；⑤．考點(diǎn)：根本不等式．專(zhuān)題：壓軸題；分析法．分析：首先對(duì)于此類(lèi)填空題需要一個(gè)一個(gè)判斷，用排除法求解，對(duì)于命題②④直接用特殊值法代入排除，其他命題用根本不等式代入求解即可判斷．解答：解：對(duì)于命題①ab≤1：由，命題①正確；對(duì)于命題②：令a=1，b=1時(shí)候不成立，所以命題②錯(cuò)誤；對(duì)于命題③a2+b2≥2：a2+b2=〔a+b〕2﹣2ab=4﹣2ab≥2，命題③正確；對(duì)于命題④a3+b3≥3：令a=1，b=1時(shí)候不成立，所以命題④錯(cuò)誤；對(duì)于命題⑤：，命題⑤正確．所以答案為①，③，⑤．點(diǎn)評(píng)：此題主要考查根本不等式的求解問(wèn)題，對(duì)于此類(lèi)判斷命題真假的題目，包含知識(shí)點(diǎn)較多需要一個(gè)一個(gè)分析，容易出錯(cuò)，屬于中檔題目．23．〔2023?山東〕x，y∈R+，且滿足，那么xy的最大值為3．考點(diǎn)：根本不等式．專(zhuān)題：壓軸題．分析：此題為利用根本不等式求最值，可直接由條件出發(fā)，求解．解答：解：因?yàn)閤＞0，y＞0，所以〔當(dāng)且僅當(dāng)，即x=，y=2時(shí)取等號(hào)〕，于是，，xy≤3．故答案為：3點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了用根本不等式解決最值問(wèn)題的能力，屬基此題．24．〔2023?江蘇〕設(shè)x，y，z為正實(shí)數(shù)，滿足x﹣2y+3z=0，那么的最小值是3．考點(diǎn)：根本不等式．分析：由x﹣2y+3z=0可推出，代入中，消去y，再利用均值不等式求解即可．解答：解：∵x﹣2y+3z=0，∴，∴=，當(dāng)且僅當(dāng)x=3z時(shí)取“=〞．故答案為3．點(diǎn)評(píng)：本小題考查了二元根本不等式，運(yùn)用了消元的思想，是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容．25．〔2007?山東〕函數(shù)y=loga〔x﹣1〕+1〔a＞0，且a≠1〕的圖象恒過(guò)定點(diǎn)A，假設(shè)點(diǎn)A在一次函數(shù)y=mx+n的圖象上，其中最小值為8．考點(diǎn)：根本不等式；根本不等式在最值問(wèn)題中的應(yīng)用．專(zhuān)題：壓軸題．分析：根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可以求出A點(diǎn)，把A點(diǎn)代入一次函數(shù)y=mx+n，得出2m+n=1，然后利用不等式的性質(zhì)進(jìn)行求解．解答：解：∵函數(shù)y=loga〔x﹣1〕+1〔a＞0，且a≠1〕的圖象恒過(guò)定點(diǎn)A，可得A〔2，1〕，∵點(diǎn)A在一次函數(shù)y=mx+n的圖象上，∴2m+n=1，∵m，n＞0，∴2m+n=1≥2，∴mn≤，∴〔〕==≥8〔當(dāng)且僅當(dāng)n=，m=時(shí)等號(hào)成立〕，故答案為8．點(diǎn)評(píng)：此題主要考查的對(duì)數(shù)函數(shù)和一次函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用，還考查的均值不等式的性質(zhì)，把不等式和函數(shù)聯(lián)系起來(lái)進(jìn)行出題，是一種常見(jiàn)的題型．26．〔2005?重慶〕假設(shè)x2+y2=4，那么x﹣y的最大值是．考點(diǎn)：根本不等式．專(zhuān)題：數(shù)形結(jié)合．分析：因?yàn)閤2+y2=4表示圓心在原點(diǎn)，半徑為2的圓，令x﹣y=b，那么可表示直線，數(shù)形結(jié)合可使問(wèn)題得到解決．解答：解：令b=x﹣y，那么b是直線y=x﹣b在y軸上的截距的相反數(shù)，∵該直線與圓x2+y2=4有公共點(diǎn)，∴當(dāng)直線與圓相切于第四象限時(shí)，截距取到最小值，∵，∴b=2或b=﹣2〔舍去〕，∴b的最大值為2．故答案為2．點(diǎn)評(píng)：以圓方程為條件，求關(guān)于Ax+By的一次式的最值可轉(zhuǎn)化為求直線b=Ax+By的截距的最值．27．〔2001?北京〕sin2α+sin2β+sin2γ=1〔α、β、γ均為銳角〕，那么cosαcosβcosγ的最大值等于．考點(diǎn)：根本不等式．專(zhuān)題：計(jì)算題；壓軸題．分析：根據(jù)同角三角函數(shù)根本關(guān)系，sin2α+sin2β+sin2γ=1?cos2α+cos2β+cos2γ=2；進(jìn)而由根本不等式的性質(zhì)，可得cos2α+cos2β+cos2γ≥3，將cos2α+cos2β+cos2γ=2代入，化簡(jiǎn)可得答案．解答：解：∵sin2