多元函數(shù)極值的判定

目錄摘要......................................................................................................................1關(guān)鍵詞......................................................................................................................1Abstract..................................................................................................................1Keywords...............................................................................................................1引言.....................................................................................................................11定理中用到的定義..........................................................................................22函數(shù)極值的判定定理.....................................................................................53多元函數(shù)極值判定定理的應(yīng)用...................................................................7參考文獻(xiàn).................................................................................................................8多元函數(shù)極值的判定摘要：通過(guò)引入多元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，給出了多種方法來(lái)判定多元函數(shù)的極值.關(guān)鍵詞：極值；條件極值；偏導(dǎo)數(shù)；判定ThejudgementoftheextremumofthefunctionofmanyvariablesAbstract：Thispaperpassestoleadintothederivativeofthefunctionofmanyvariables,andgiveseveralmethodstojudgetheextremumofthefunctionofmanyvariablesandtheconditionalextremumofthefunctionofmanyvariables.Keywords:extremum;conditional;partialderivative引言在現(xiàn)行的數(shù)學(xué)分析教材中，關(guān)于多元函數(shù)的極值判定，一般只講到二元函數(shù)的極值判定，在參考文獻(xiàn)[1]和[3]中有關(guān)多元函數(shù)極值的判定是都是在實(shí)際情況中一定有極值的問(wèn)題，本文將引入多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)把二元函數(shù)的極值判定推廣到多元函數(shù)極值問(wèn)題中去.1定理中用到的定義定義1.1函數(shù)在點(diǎn)的某領(lǐng)域內(nèi)有定義.假設(shè)對(duì)于任何點(diǎn)，成立不等式〔或〕，那么稱函數(shù)在點(diǎn)取得極大值〔或極小值〕，點(diǎn)稱為的極大值〔或極小值〕點(diǎn).定義1.2設(shè)函數(shù)，.假設(shè),且在的某一領(lǐng)域內(nèi)有定義，那么當(dāng)極限存在時(shí)，稱這個(gè)極限為函數(shù)在點(diǎn)關(guān)于的偏導(dǎo)數(shù)，記作.定義1.3設(shè)為開(kāi)集，，，假設(shè)在某個(gè)矩陣，使當(dāng)時(shí)，有,那么稱元函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo).稱為在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，記為.注1：為維列向量.注2：.注3：在導(dǎo)數(shù)存在的條件下，可求得：,它是一個(gè)維向量函數(shù).定義1.4〔二階導(dǎo)數(shù)〕假設(shè)元函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)在〔或內(nèi)某一點(diǎn)〕上可微，那么稱在〔或內(nèi)某一點(diǎn)〕上二階可微，并定義維向量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為的二階導(dǎo)數(shù)，記作，并可求得此矩陣為在點(diǎn)的Hesse矩陣.在二階混合偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)的條件下，它是一個(gè)對(duì)稱矩陣.元函數(shù)在點(diǎn)的二階Taylor公式可簡(jiǎn)單地寫(xiě)成：.2函數(shù)極值的判定定理對(duì)于二元函數(shù)的無(wú)條件極值的判定，先給出數(shù)學(xué)分析教材中有的相應(yīng)的判定定理.定理2.1〔必要條件〕假設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某領(lǐng)域內(nèi)偏導(dǎo)數(shù)存在，切點(diǎn)是是其極值點(diǎn)，那么.定理2.2〔充分條件〕設(shè)點(diǎn)是函數(shù)的駐點(diǎn)，且在點(diǎn)的某領(lǐng)域內(nèi)有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)存在.記那么1〕當(dāng)時(shí)，點(diǎn)不是函數(shù)的極值點(diǎn);2〕當(dāng)是，假設(shè),那么點(diǎn)是函數(shù)的極小值點(diǎn)，假設(shè),那么點(diǎn)是函數(shù)的極大指點(diǎn)；3)當(dāng)時(shí)，該方法不能判斷其是不是極值點(diǎn).注3：對(duì)于二階導(dǎo)數(shù)存在的二元函數(shù)的極值，這兩個(gè)定理能解決絕大多數(shù)的我們碰到的問(wèn)題〔除了的情形〕.利用定義1.3和定義1.4，我們可以將這定理2.1和定理2.2推廣到二元以上的函數(shù)中去.定理2.3〔必要條件〕設(shè)為開(kāi)集，n元實(shí)值函數(shù)在點(diǎn)可微，且在該點(diǎn)取得極值，那么〔此0表示n維向量〕.證明由費(fèi)馬定理知當(dāng)在點(diǎn)取得極值時(shí)，.定理2.4〔充分條件〕設(shè)為開(kāi)集，n元實(shí)函數(shù)在上存在二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且，那么當(dāng)為正定或半正定時(shí)，在點(diǎn)取得極小值，當(dāng)為負(fù)定或半負(fù)定時(shí)，在點(diǎn)取得極大值.證明，點(diǎn)坐標(biāo)分別滿足與，且,，當(dāng)時(shí)，由Taylor公式，有當(dāng)充分小時(shí),只要，那么該式子的符號(hào)由確定.當(dāng)為正定時(shí)，二次型，當(dāng)為半正定時(shí)，二次型.故當(dāng)為正定或半正定時(shí)，，所以，故點(diǎn)是的極小值點(diǎn).同理可證，當(dāng)為負(fù)定或半負(fù)定時(shí)，點(diǎn)是的極大值點(diǎn).定理2.5設(shè)在條件的限制下，求函數(shù)的極值問(wèn)題，其中與在區(qū)域內(nèi)有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù).假設(shè)的內(nèi)點(diǎn)是上述問(wèn)題的極值點(diǎn)，且雅可比矩陣的秩為，那么存在個(gè)常數(shù)，使得為拉格朗日函數(shù)的穩(wěn)定點(diǎn)，即為下述個(gè)方程：的解.此定理的證明可參閱文獻(xiàn)[1]第二十三章的定理23.19的證明.由定理5可見(jiàn)條件極值的問(wèn)題都可以通過(guò)拉格朗日數(shù)乘法轉(zhuǎn)化為無(wú)條件極值的形式來(lái)求解，即上述判定無(wú)條件極值的定理都可以用來(lái)判定條件極值.除此之外，我們用二階全微分的符號(hào)來(lái)判定其是極大值還是極小值.定理2.6設(shè)為開(kāi)集，元實(shí)值函數(shù)在存在二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且,那么當(dāng)時(shí)，在點(diǎn)取得極小值；時(shí)，在點(diǎn)取得極大值.證明，.又因?yàn)?，固由定?知當(dāng)正定，即時(shí)，為的極小值點(diǎn)，當(dāng)負(fù)定，即時(shí)，為的極小值點(diǎn).3多元函數(shù)極值判定定理的應(yīng)用由于函數(shù)的條件極值都可以通過(guò)定理5轉(zhuǎn)化成無(wú)條件極值，也就是說(shuō)在條件極值的判定中能充分表達(dá)無(wú)條件極值的判定.例3.1求三元函數(shù)在受約束條件限制下的極值.解設(shè)，由有：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，現(xiàn)判斷是極大值還是極小值.方法1：對(duì)函數(shù)用定理2，其中視為的函數(shù)，即，它由決定?？汕蟮茫缓?，可求得：當(dāng)時(shí)，，故是極大值點(diǎn).同理可知，當(dāng)時(shí)，，其是極小植點(diǎn)所以：注4：利用約束條件把其中的某些變量視為另一些變量的函數(shù)，對(duì)目標(biāo)函數(shù)直接用極值的必要條件來(lái)判定.方法2：用二階微分的符號(hào)來(lái)判定，此時(shí)應(yīng)視為常數(shù)，即把前面所求的的值代入，當(dāng)時(shí)，，該點(diǎn)是極大值點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，該點(diǎn)是極小值點(diǎn)，注5：利用拉格朗日函數(shù)的二階全微分的符號(hào)來(lái)判定〔其中應(yīng)視為常數(shù)〕.方法3：利用Hesse的正定或負(fù)定性來(lái)判定.可求得：，，當(dāng)時(shí)，是負(fù)定陣，是極大值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，是正定陣，是極小值點(diǎn).注6：利用本文所引入的多元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與二階導(dǎo)數(shù)的定義，由拉格朗日函數(shù)的Hesse陣的定性來(lái)判定〔其中應(yīng)視為常數(shù)〕.例3.2求函數(shù)的極值，假設(shè).解設(shè),由，可求得：,,又由，有，代入中，有,,,,所以該點(diǎn)是極大值點(diǎn)，且.注7：直接從約束條件中解出某些變量來(lái)，再代入函數(shù)中去，一般有個(gè)約束條件，就可以解出個(gè)變量來(lái)，這樣，可是目標(biāo)函數(shù)減少個(gè)自變量，到達(dá)減員的目的.除了這幾種方法外，還可以利用極值的定義來(lái)直接判定，某些實(shí)際問(wèn)題利用實(shí)際意義來(lái)判定極值.這些方法在現(xiàn)行的數(shù)學(xué)分析或高等數(shù)學(xué)教材