第四章+數(shù)列導(dǎo)學(xué)案 高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第二冊

第四章數(shù)列——高二數(shù)學(xué)人教A版(2019)期末復(fù)習(xí)敲重點學(xué)習(xí)目標(biāo)整合數(shù)列的概念和遞推公式（1）了解數(shù)列的概念及表示方法，理解數(shù)列的通項公式的意義.（2）理解數(shù)列的遞推公式，能根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項.（3）理解與的關(guān)系.等差數(shù)列（1）理解等差數(shù)列的概念和通項公式的意義.（2）掌握等差數(shù)列的前n項和公式，理解等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式的關(guān)系.（3）了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系.等比數(shù)列（1）理解等比數(shù)列的概念和通項公式的意義.（2）掌握等比數(shù)列的前n項和公式，理解等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式的關(guān)系.（3）了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.思維導(dǎo)圖回顧知識重難知識易混易錯重難知識點1.數(shù)列的通項公式：如果數(shù)列的第n項與它的序號n之間的對應(yīng)關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這個數(shù)列的通項公式.2.數(shù)列的前n項和：①數(shù)列的前n項和的定義：數(shù)列從第1項起到第項止的各項之和，稱為數(shù)列的前n項和，記作，即.②數(shù)列的前n項和公式：如果數(shù)列的前項和與它的序號之間的對應(yīng)關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這個數(shù)列的前項和公式.③由求通項公式：，，所以3.等差中項：由三個數(shù)a，A，b組成的等差數(shù)列可以看成是最簡單的等差數(shù)列.這時，A叫做a與b的等差中項.根據(jù)等差數(shù)列的定義可以知道，.4.等差數(shù)列的通項公式：首項為，公差為d的等差數(shù)列的通項公式為.5.等差數(shù)列前項和公式：，.6.等比中項：如果在a與b中間插入一個數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項.此時，.7.等比數(shù)列的通項公式：首項為，公比為q的等比數(shù)列的通項公式為.8.等比數(shù)列的前n項和公式：當(dāng)時，或.易混易錯例題1.數(shù)列的通項公式可能是().A. B. C. D.答案：C解析：根據(jù)題意，數(shù)列的前4項為，，，，則有，，，，故數(shù)列的通項公式可以為.故選C.2.已知數(shù)列中，，，若為等差數(shù)列，則().A.0 B. C. D.2答案：A解析：因為，，故，，所以，即.故選A.3.在等比數(shù)列中，若，，且公比為整數(shù)，則__________.答案：512解析：由得，，故.4.已知是等差數(shù)列，是其前n項和，，，則的值為___________.答案：168解析：數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d.由已知可得，，則，所以，即.5.已知數(shù)列的前n項和為，，數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列.(1)求的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和.答案：（1）（2）解析：（1），，又?jǐn)?shù)列為以2為公差的等差數(shù)列，，即，時，，時，符合上式，數(shù)列的通項公式為.（2）由（1）可得所以，數(shù)列的前項和.核心素養(yǎng)對接高考考情分析1.本專題內(nèi)容在高考試題中小題多以考查數(shù)列概念、性質(zhì)、通項公式、前n項和公式等內(nèi)容為主，屬中低檔題；解答題以考查等差（比）數(shù)列通項公式、求和公式，錯位相減求和、簡單遞推為主.2.本專題重點考查的學(xué)科核心素養(yǎng)為數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理.情境真題應(yīng)用1.【2023年新課標(biāo)Ⅱ卷】記為等比數(shù)列的前n項和，若，，則()A.120 B.85 C.-85 D.-120答案：C解析：法一：設(shè)等比數(shù)列的公比為，由題意易知，則，化簡整理得.所以.故選C.法二：易知，，，，……為等比數(shù)列，所以，解得或.當(dāng)時，由，解得；當(dāng)時，結(jié)合得，化簡可得，不成立，舍去.所以，故選C.2.【2023年新課標(biāo)Ⅰ卷】記為數(shù)列的前n項和，設(shè)甲：為等差數(shù)列；乙：為等差數(shù)列.則()A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件答案：C解析：若為等差數(shù)列，設(shè)其公差為d，則，所以，所以，所以，為常數(shù)，所以為等差數(shù)列，即甲乙；若為等差數(shù)列，設(shè)其公差為t，則，所以，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，也滿足上式，所以，所以，為常數(shù)，所以為等差數(shù)列，即甲乙.所以甲是乙的充要條件，故選C.3.我國古代名著《九章算術(shù)》中有這樣一段話：“今有金錘，長五尺，斬本一尺，重四斤，斬末一尺，重二斤.”意思是：“現(xiàn)有一根金錘，長5尺，頭部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤”，若該金錘從頭到尾，每一尺的重量構(gòu)成等差數(shù)列，該金錘共重多少斤？()A.6斤 B.7斤 C.9斤 D.15斤答案：D解析：因為每一尺的重量構(gòu)成等差數(shù)列，，，，數(shù)列的前5項和為.即金錘共重15斤，故選D.4.【2023年新課標(biāo)Ⅱ卷】已知為等差數(shù)列，.記，分別為數(shù)列，的前n項和，若，.(1)求的通項公式；(2)證明：當(dāng)時，.答案：(1)(2)證明見解析解析：(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為d.因為，所以，，.因為，，所以，整理，得，解得，所以的通項公式為.(2)由(1)知，所以.當(dāng)n為奇數(shù)時，.當(dāng)時，，所以.當(dāng)n為偶數(shù)時，.當(dāng)時，，所以.綜上.可知，當(dāng)時，.5.【2023年新課標(biāo)Ⅰ卷】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，且，令，記，分別為數(shù)列，的前n項和.(1)若，，求的通項公式；(2)若為等差數(shù)列，且，求d.答案：(1)(2)解析：(1)因為，所以，所以，所以，所以.因為，所以，所以，.因為，所