2016屆四川省成都市高三第二次診斷考試數(shù)學(xué)理試題（解析版）

2016屆四川省成都市高三第二次診斷考試數(shù)學(xué)理試題（解析版）一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.1．已知集合，，則 A. B. C. D.【答案】B【解析】，，故2.函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是 A. B. C. D.【答案】C【解析】，由零點(diǎn)存在定理知的零點(diǎn)所在的區(qū)間是3．復(fù)數(shù)（其中為虛數(shù)單位）的虛部為 A. B. C. D.【答案】D【解析】，故復(fù)數(shù)的虛部為24、已知某幾何體的正視圖和側(cè)視圖君如右圖所示，則該幾何體的俯視圖不可能為 A.B.C.D.【答案】A【解析】答案A的正視圖或者側(cè)視圖上半部分的三角形的底邊長應(yīng)該比下半部分的頂邊長短一些5、將函數(shù)圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖像，則函數(shù)的一個(gè)減區(qū)間是 A. B. C. D.【答案】D【解析】平移后的解析式為，令，解得，故D答案符合. 另解：平移后的周期為，單調(diào)減區(qū)間的區(qū)間長最多為半周期，只有D答案符合要求6．某校高三(1)班在一次單元測試中，每位同學(xué)的考試分?jǐn)?shù)都在區(qū)間內(nèi)，將該班所有同學(xué)的考試分?jǐn)?shù)分為七組：，繪制出頻率分布直方圖如圖所示.已知分?jǐn)?shù)低于112分的人有18人，則分?jǐn)?shù)不低于120分的人數(shù)為 A.10 B.12 C.20 D.40【答案】A【解析】分?jǐn)?shù)低于112分的人對(duì)應(yīng)的頻率/組距為0.09，分?jǐn)?shù)不低于120分的人數(shù)對(duì)應(yīng)的頻率/組距為0.05，故其人數(shù)為人7．某微信群中甲、乙、丙、丁、戊五名成員同時(shí)搶4個(gè)紅包，每人最多搶一個(gè)紅包，且紅包全被搶光，4個(gè)紅包中有兩個(gè)2元，兩個(gè)3元（紅包中金額相同視為相同的紅包），則甲乙兩人都搶到紅包的情況有 A.36種 B.24種 C.18種 D.9種【答案】C【解析】甲乙兩人都搶到紅包一共有三種情況：（1）都搶到2元的紅包，對(duì)應(yīng)人數(shù)為(從剩下的三個(gè)人中選兩個(gè)搶3元的紅包)；（2）都搶到3元的紅包，對(duì)應(yīng)人數(shù)為(從剩下的三個(gè)人中選兩個(gè)搶2元的紅包)；（3）一個(gè)搶到2元一個(gè)搶到3元，對(duì)應(yīng)人數(shù)為(由于紅包金額不一樣，所有甲乙之間有個(gè)排列，從剩下的三個(gè)人選兩個(gè)進(jìn)行排列，然后分別對(duì)應(yīng)一個(gè)2元和一個(gè)3元的紅包)，故總共的情況有18種.8．在三棱錐中，已知底面，，分別是線段上的動(dòng)點(diǎn).則下列說法錯(cuò)誤的是 A.當(dāng)時(shí)，一定為直角三角形 B.當(dāng)時(shí)，一定為直角三角形 C.當(dāng)平面時(shí)，一定為直角三角形 D.當(dāng)平面時(shí)，一定為直角三角形【答案】B【解析】底面，則，又，則平面當(dāng)時(shí)，，則平面，，A正確.當(dāng)平面時(shí)，又平面，平面平面，則，故平面，，故C正確當(dāng)平面時(shí)，，又，則平面，，故D正確.用排除法可選B.9．已知函數(shù)，則不等式的解集是 A. B. C. D.【答案】D【解析】利用特殊值法，當(dāng)時(shí)，原不等式化為，故0是原不等式的解，排除A，C兩個(gè)答案；在令，原不等式化為，故不是原不等式的解，排除C答案，故選D10．已知拋物線的焦點(diǎn)為，經(jīng)過軸正半軸上一點(diǎn)作直線與拋物線交于兩點(diǎn)，且（為坐標(biāo)原點(diǎn)），點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則四邊形面積的最小值為 A.3 B. C. D.【答案】A【解析】不妨設(shè)，即點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè).當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，不滿足題意，故可設(shè)直線方程為，聯(lián)立拋物線方程可得：，故，，，又，，第II卷（非選擇題，共100分）二、填空題：本大題共5個(gè)小題，每小題5分，共25分.11．雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則該雙曲線的離心率為____________.【答案】【解析】，故，離心率12．的展開式中，項(xiàng)的系數(shù)為__________.（用數(shù)字作答）【答案】【解析】的系數(shù)為13．已知實(shí)數(shù)滿足，則的取值范圍是_________.【答案】【解析】可行域?yàn)槿鐖D所示的三角形：目標(biāo)函數(shù)根據(jù)其幾何意義可看成與可行域內(nèi)的點(diǎn)到點(diǎn)的距離相關(guān)則最大值應(yīng)該在處取得，；過點(diǎn)做的垂線，垂足為，且點(diǎn)到直線的距離，則最小值應(yīng)該在點(diǎn)處取得，故最小值為14．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的的值為__________.【答案】【解析】15．已知函數(shù).給出以下四個(gè)命題：=1\*GB3①，不等式恒成立；=2\*GB3②，使方程有四個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；=3\*GB3③函數(shù)的圖象存在無數(shù)個(gè)對(duì)稱中心；=4\*GB3④若數(shù)列為等差數(shù)列，，則.其中正確的命題有_________.（寫出所有正確命題的序號(hào)）【答案】=3\*GB3③=4\*GB3④【解析】，則有無數(shù)個(gè)解，在結(jié)合是奇函數(shù)，且總體上呈上升趨勢，可畫出的大致圖像為令，則，令，則，則，即存在使得，故=1\*GB3①錯(cuò)誤由圖像知不存在的直線和的圖像有四個(gè)不同的交點(diǎn)；故=2\*GB3②錯(cuò)誤，令，則，即，其中均是函數(shù)的對(duì)稱中心，故=3\*GB3③正確，則，即，則問題轉(zhuǎn)化為與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)如果直線要與有除之外的交點(diǎn)，則斜率的范圍在，而直線的斜率的取值范圍為，故不存在除之外的交點(diǎn)，故，=4\*GB3④正確三、解答題：本大題共6個(gè)小題，共75分.16．（本小題滿分12分）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，已知，且. （=1\*ROMANI）求角的大小；（=2\*ROMANII）求的最大值.【答案】（=1\*ROMANI）；（=2\*ROMANII）【解析】（=1\*ROMANI），又是的內(nèi)角故（=2\*ROMANII），，故故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最大值17．（本小題滿分12分） 已知數(shù)列滿足，. （=1\*ROMANI）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （=2\*ROMANII）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.【答案】（=1\*ROMANI）；（=2\*ROMANII）見解析【解析】（=1\*ROMANI），故即，又故（=2\*ROMANII）18．（本小題滿分12分） 某商場舉行購物抽獎(jiǎng)活動(dòng)，抽獎(jiǎng)箱中放有除編號(hào)不同外，其余均相同的20個(gè)小球，這20個(gè)小球編號(hào)的莖葉圖如圖所示. 活動(dòng)規(guī)則如下：從抽獎(jiǎng)箱中隨機(jī)抽取一球，若抽取的小球編號(hào)是十位數(shù)字為1的奇數(shù)，則為一等獎(jiǎng)，獎(jiǎng)金100元；若抽取小球的編號(hào)是十位數(shù)字為2的奇數(shù)，則為二等獎(jiǎng)，獎(jiǎng)金為50元；若抽取的小球是其余編號(hào)則不中獎(jiǎng). 現(xiàn)某顧客有放回的抽獎(jiǎng)兩次，兩次抽獎(jiǎng)相互獨(dú)立. （=1\*ROMANI）求該顧客在兩次抽獎(jiǎng)中恰有一次中獎(jiǎng)的概率； （=2\*ROMANII）記該顧客兩次抽獎(jiǎng)后的獎(jiǎng)金之和為隨機(jī)變量，求得分布列和數(shù)學(xué)期望【答案】（=1\*ROMANI）；（=2\*ROMANII）【解析】（=1\*ROMANI）記中一等獎(jiǎng)為事件，中二等獎(jiǎng)為事件，不中獎(jiǎng)為事件；由莖葉圖知，，，則中獎(jiǎng)的概率為故兩次抽獎(jiǎng)中恰有一次中獎(jiǎng)的概率為： （=2\*ROMANII）可能的取值為0，50，100，150，200 的分布列為元19．（本小題滿分12分） 如圖，在三棱柱中，已知側(cè)棱與底面垂直，，且，，為的中點(diǎn)，為上一點(diǎn)，.（=1\*ROMANI）證明：平面； （=2\*ROMANII）若二面角的余弦值為，求的長度.【答案】（=1\*ROMANI）（=2\*ROMANII）【解析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，并設(shè)，則，，，，，，，（=1\*ROMANI），，故平面的一個(gè)法向量為，故，即平面（=2\*ROMANII），，故平面的一個(gè)法向量為，平面的一個(gè)法向量為，即，解得，（舍去）故的長度為PS：第一問可以連接交于點(diǎn)，連接，可證20．（本小題滿分13分） 已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，拋物線與橢圓有相同的焦點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線與橢圓在第一象限的交點(diǎn)，且.（=1\*ROMANI）求橢圓的方程； （=2\*ROMANII）與拋物線相切于第一象限的直線，與橢圓相交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，線段的垂直平分線與軸交于點(diǎn)，求直線斜率的最小值.【答案】（=1\*ROMANI）；（=2\*ROMANII）【解析】（=1\*ROMANI）解法一：可設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，解得，（舍去），將點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線方程式可得，又，聯(lián)立可解得，，所以橢圓的方程為解法二：拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故設(shè)，由拋物線定義，得點(diǎn)到直線的距離為..又由余弦定理可得，，即解得或（舍去）由橢圓定義，得，故橢圓方程為（=2\*ROMANII）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則整理，得.聯(lián)立直線方程和橢圓方程可得設(shè)，，的中點(diǎn)坐標(biāo)為的垂直平分線方程為即21．（本小題滿分14分） 設(shè)函數(shù)（=1\*ROMANI）求函數(shù)的極小值； （=2\*ROMANII）若關(guān)于的不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍. （=3\*ROMANIII）已知，試比較與的大小，并說明理由.【答案】（=1\*ROMANI）；（=2\*ROMANII）；（=3\*ROMANIII）見解析【解析】（