湖北省十一校2024屆高三第一次聯(lián)考數(shù)學試卷

鄂南高中黃岡中學黃石二中荊州中學龍泉中學武漢二中孝感高中襄陽四中襄陽五中宜昌一中夷陵中學2024屆高三湖北十一校第一次聯(lián)考數(shù)學試題命題學校：龍泉中學命題人：張建軍審題人：鄭勝一、選擇題：本大題共8小題，每一小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知全集，集合，，則圖中陰影部分所表示的集合為（）A. B. C. D.2.已知復數(shù)在復平面內(nèi)的對應點為，則的虛部為（）A. B. C. D.3.已知，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4.某地投資億元進行基礎(chǔ)建設，年后產(chǎn)生的社會經(jīng)濟效益為億元，若該地投資基礎(chǔ)建設4年后產(chǎn)生的社會經(jīng)濟效益是投資額的2倍，且再過年，該項投資產(chǎn)生的社會經(jīng)濟效益是投資額的8倍，則（）A.4 B.8 C.12 D.165.如圖，是邊長2的正方形，為半圓弧上的動點（含端點）則的取值范圍為（）A. B. C. D.6.已知函數(shù)，則關(guān)于的不等式的解集為（）A. B. C. D.7.從集合中任取3個不同的數(shù)，它們的和能被3整除的概率為（）A. B. C. D.8.的零點的個數(shù)為（）A.0 B.1 C.2 D.3二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.國際跳水比賽一共有八個評委現(xiàn)場打分，若八位評委給某個選手的打分分別為，記這組數(shù)據(jù)的平均分，中位數(shù)，方差，極差分別為、、、，去掉這組數(shù)據(jù)的一個最高分和一個最低分后，其平均數(shù)，中位數(shù)，方差，極差分別為、、、，則下列判斷中一定正確的是（）A. B. C. D.10.在平面直角坐標系中，已知角的頂點與坐標原點重合，始邊與軸的非負半軸重合，終邊經(jīng)過點，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.是的一條對稱軸C.將函數(shù)圖象上的所有點向左平移個單位長度，所得到的函數(shù)解析式為D.在內(nèi)恰有3個零點11.如圖，已知二面角的棱上有，兩點，，，，，且，則下列說法正確的是（）A.B.當二面角的大小為60°時，與平面所成的角為30°C.若，則四面體的體積為D.若，則二面角的余弦值為12.如圖，雙曲線的左右頂點為，，為右支上一點（不包含頂點），，，，直線與的漸近線交于、，為線段的中點，則（）A.雙曲線的離心率為 B.到兩條漸近線的距離之積為C. D.若直線與的斜率分別為，，則三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上.13.展開式中項的系數(shù)是______.14.已知，，，則的最小值為______.15.已知是拋物線的焦點，過拋物線上一點作其準線的垂線，垂足為，若，則點的橫坐標為______.16.對，，當時，則的范圍為______.四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.（10分）已知，，分別是三角形三個內(nèi)角，，的對邊，已知，，（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的周長.18.（12分）已知為等差數(shù)列，公差，中的部分項恰為等比數(shù)列，且公比為，若，，（Ⅰ）求；（Ⅱ）求數(shù)列的通項公式及其前項之和.19.（12分）如圖，平面平面，點為半圓弧上異于，的點，在矩形中，，設平面與平面的交線為.（Ⅰ）證明：平面；（Ⅱ）當與半圓弧相切時，求平面與平面的夾角的余弦值.20.（12分）如圖，某人設計了一個類似于高爾頓板的游戲：將一個半徑適當?shù)男∏蚍湃肴鐖D所示的容器最上方的中間入口處，小球?qū)⒆杂上侣洌∏蛟谙侣涞倪^程中，將3次遇到黑色障礙物，已知小球每次遇到黑色障礙物時，向左、右兩邊下落的概率都是，最后落入袋或袋中.一次游戲中小球落入袋記1分，落入袋記2分，游戲可以重復進行.游戲過程中累計得分的概率為.（Ⅰ）求，，.（Ⅱ）寫出與之間的遞推關(guān)系，并求出的通項公式.21.（12分）設動圓與圓外切，與圓內(nèi)切.（Ⅰ）求點的軌跡的方程；（Ⅱ）過點且不與軸垂直的直線交軌跡于，兩點，點關(guān)于軸的對稱點為，為的外心，試探究是否為定值，若是，求出該定值；若不是，請說明理由.22.（12分）已知函數(shù)，是大于0的常數(shù).記曲線在點處的切線為，在軸上的截距為，（Ⅰ）當，時求切線的方程；（Ⅱ）證明：.2024屆高三湖北十一校第一次聯(lián)考參考答案一、選擇題題號123456789101112答案ACABCCDDBCDABADACD1.A【解析】，∴2.C【解析】∴虛部為3.A【解析】，或，前面可以推導后面，后面不能推導前面4.B【解析】時，∴，再過年，5.C【解析】，由投影的定義知∴6.C【解析】，∴為奇函數(shù)，，，∴∴為減函數(shù)，或7.D【解析】將按3同余分類得到：，，，∴.8.D【解析】由得，構(gòu)造函數(shù)，求導得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，且，及時，的圖像如圖，得到有3個解.9.BCD10.AB【解析】由三角函數(shù)的定義的，取，∴，∴A正確.B：時，正確，C：平移后應為所以C錯.D：由得，僅，1符合，恰有兩個零點，所以D錯.11.AD【解析】A：，故A正確；B：如圖，過作，且，連接，，則為正方形，為二面角的平面角，當時，易得為正三角形，過作，則平面，故即為與平面所成的角.在中，，故B錯誤；C：時，到面的距離為1，所以四面體的體積為，所以C錯D：由可得如圖，取的中點，的中點，連接，，則二面角的平面角為，，，所以.12.ACD【解析】等軸雙曲線的離心率為所以A正確，B：設，所以B錯.C：，所以，C正確.D：方法1：設與雙曲線及其漸近線依次交于，，，由得中點的橫坐標為由得中點的橫坐標為，所以和的中點重合，即為雙曲線弦的中點，由點差法得，所以D正確.方法2：設，，由∴，所以D正確.三.填空題：13.14.2515.616.13.【解析】14.25【解析】，15.6【解析】由拋物線的定義知，所以，，，，所以.16.【解析】兩邊取對數(shù)所以在上單調(diào)遞減，所以在上恒成立，解出四.解答題：17.解：（1）由得：……2分∴∵，故為銳角，∴……4分∴……6分（2）由（1）知：，由正弦定理得：……10分∴故的周長為14.……12分18.解：（1）由，，成等比數(shù)列，故，即即，又故，……2分故等比數(shù)列的公比……4分（2）在等差數(shù)列中，……6分在等比數(shù)列中，故，即……9分……12分19.解：（1）證明：∵四邊形為矩形，∴，∵平面，平面，∴平面……2分又平面，平面平面，∴，……4分∵平面，∴平面.……6分（2）取，的中點分別為，，連接，，則，∵平面平面，且交線為，∴平面，又平面，，當與半圓弧相切時，，即，以，，所在的直線分別為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，……7分不妨設，易得，，，，則，，，設為平面的一個法向量，則，即，∴，令，則……9分設為平面的一個法向量，則，即令，則……11分∴，所以兩平面的夾角的余弦值為.……12分20.解：（1）小球三次碰撞全部向左偏或者全部向右偏落入袋，故概率小球落入袋中的概率……2分故，，……5分（2）法1：游戲過程中累計得不到分，只可能在得到分后的一次游戲中小球落入袋（分）故即……8分法2：游戲過程中累計得分可以分為兩種情況：得到分后的一次游戲小球落入袋中（分），或得到分后的一次游戲中小球落入袋中（）分，故故為常數(shù)數(shù)列且，故即……8分由……10分故為等比數(shù)列且首項為，公比為故，故……12分21.解：（1）設動圓半徑為，由圓與圓外切得：，由圓與圓內(nèi)切得：故，……2分故點的軌跡是以，為焦點的橢圓，且，，故∴點的軌跡的方程為：……4分（2）設，，由……6分故，，的中點故的中垂線的方程為：…