5.2.1三角函數(shù)的概念（解析版）

5．2．1三角函數(shù)的概念【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一：三角函數(shù)定義設(shè)是一個(gè)任意角，它的終邊與半徑是的圓交于點(diǎn)，則，那么：（1）做的正弦，記做，即；（2）叫做的余弦，記做，即；（3）叫做的正切，記做，即．知識(shí)點(diǎn)詮釋：（1）三角函數(shù)的值與點(diǎn)在終邊上的位置無關(guān)，僅與角的大小有關(guān)．我們只需計(jì)算點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，那么，，．（2）三角函數(shù)符號(hào)是一個(gè)整體，離開的、、等是沒有意義的，它們表示的是一個(gè)比值，而不是、、與的積．知識(shí)點(diǎn)二：三角函數(shù)在各象限的符號(hào)三角函數(shù)在各象限的符號(hào)：在記憶上述三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)時(shí)，有以下口訣：一全正，二正弦，三正切，四余弦．知識(shí)點(diǎn)詮釋：口訣的含義是在第一象限各三角函數(shù)值為正；在第二象限正弦值為正，在第三象限正切值為正，在第四象限余弦值為正．知識(shí)點(diǎn)三：誘導(dǎo)公式一由三角函數(shù)的定義，可以知道：終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等，由此得到誘導(dǎo)公式一：，其中注意：利用誘導(dǎo)公式一，可以把求任意角的三角函數(shù)值，轉(zhuǎn)化為求（或）范圍內(nèi)角的三角函數(shù)值．知識(shí)點(diǎn)四、特殊角的三角函數(shù)值0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°0010100010【題型歸納目錄】題型一：三角函數(shù)的定義題型二：判斷三角函數(shù)值的符號(hào)題型三：確定角所在象限題型四：誘導(dǎo)公式（一）的應(yīng)用題型五：圓上的動(dòng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)點(diǎn)【典型例題】題型一：三角函數(shù)的定義例1．（2022·陜西·蒲城縣蒲城中學(xué)高三階段練習(xí)（文））設(shè)是第二象限角，為其終邊上的一點(diǎn)，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)闉槠浣K邊上的一點(diǎn)，且，所以，解得，因?yàn)槭堑诙笙藿牵?，故選：C例2．（2022·北京市西城外國語學(xué)校高三階段練習(xí)）角的終邊上有一點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．1【答案】A【解析】角的終邊上點(diǎn)，則，所以.故選：A例3．（2022·河南·高三階段練習(xí)（文））已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則的值為（

）A． B． C．1或 D．或【答案】D【解析】由題意可得：點(diǎn)P與原點(diǎn)間的距離，∴.當(dāng)時(shí)，則，故；當(dāng)時(shí)，則，故.故選：D.變式1．（2022·山西大附中高三階段練習(xí)（文））已知角的終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)為，則角的最小正值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，角的終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)為，可得角為第四象限角，且，所以.故選：B變式2．（2022·江西·崇仁縣第二中學(xué)高三階段練習(xí)（文））已知點(diǎn)是角終邊上一點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】依題意點(diǎn)的坐標(biāo)為，故選：變式3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則的值為（

）A． B．1 C．2 D．3【答案】A【解析】由，得，，，代入原式得．故選：A變式4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，且，則（

）A． B．1 C．2 D．【答案】C【解析】由題意，解得．故選：C．變式5．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與軸非負(fù)半軸重合的角的終邊上有一點(diǎn)，且，求的值，并求與的值．【解析】，；當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，.變式6．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知角的終邊在函數(shù)的圖像上，求，的值．【解析】在函數(shù)的圖像上取一點(diǎn)，則，，即，．【方法技巧與總結(jié)】利用三角函數(shù)的定義求值的策略（1）已知角的終邊在直線上求的三角函數(shù)值時(shí)，常用的解題方法有以下兩種：方法一：先利用直線與單位圓相交，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，然后再利用正、余弦函數(shù)的定義求出相應(yīng)三角函數(shù)值．方法二：在的終邊上任選一點(diǎn)，P到原點(diǎn)的距離為（）．則，．已知的終邊求的三角函數(shù)值時(shí)，用這幾個(gè)公式更方便．（2）當(dāng)角的終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)以參數(shù)形式給出時(shí)，要根據(jù)問題的實(shí)際情況對參數(shù)進(jìn)行分類討論．（3）若終邊在直線上時(shí)，因?yàn)榻堑慕K邊是射線，應(yīng)分兩種情況處理．題型二：判斷三角函數(shù)值的符號(hào)例4．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知為第二象限角，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)闉榈诙笙藿牵?，故ABD錯(cuò)誤，C正確.故選：C例5．（2022·湖北·高一階段練習(xí)）下列各式的符號(hào)為正的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，故A錯(cuò)誤；因?yàn)?，，所以，，所以，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，所以，故C正確；因?yàn)?，所以，故D錯(cuò)誤.故選：C.例6．（2022·甘肅·靜寧縣第一中學(xué)高一階段練習(xí)（文））的值（

）A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．不大于0【答案】B【解析】∵4在第三象限，∴，∵7在第一象限，∴，∴，故選：B.變式7．（2022·江西省萬載中學(xué)高一期中）設(shè)，如果且，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】，，則，所以，，則，所以．故選：D．【方法技巧與總結(jié)】三角函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號(hào)也可以用下面的口訣記憶：“一全正二正弦，三正切四余弦”，意為：第一象限各個(gè)三角函數(shù)均為正；第二象限只有正弦為正，其余兩個(gè)為負(fù)；第三象限正切為正，其余兩個(gè)為負(fù)；第四象限余弦為正，其余兩個(gè)為負(fù)．題型三：確定角所在象限例7．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）點(diǎn)所在的象限是（

）A．一 B．二 C．三 D．四【答案】C【解析】在第三象限，，點(diǎn)在第三象限.故選：C.例8．（2022·福建·莆田二中高三階段練習(xí)）設(shè)角屬于第二象限，且，則角屬于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】C【解析】為第二象限角，，；當(dāng)時(shí)，為第一象限角；當(dāng)時(shí)，為第三象限角；為第一或第三象限角；，，為第三象限角.故選：C.例9．（2022·陜西漢中·高一期中）若，且，則是（

）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角【答案】D【解析】因?yàn)?，，所以，且，故a是第四象限角．故選：D變式8．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若且，則角所在的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】，則角在第三，四象限，，則角在第二，四象限，所以滿足且，角在第四象限.故選：D變式9．（2022·江蘇·無錫市教育科學(xué)研究院高一期末）已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為x軸的非負(fù)半軸，若點(diǎn)在第四象限，則角的終邊在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【解析】由點(diǎn)在第四象限，可知，則角的終邊在第二象限.故選：B變式10．（2022·遼寧·高一期末）坐標(biāo)平面內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)位于第（

）象限.A．一 B．二 C．三 D．四【答案】B【解析】，，則點(diǎn)位于第二象限，故選：B【方法技巧與總結(jié)】確定角所在象限的步驟（1）判斷該角的某些三角函數(shù)值的符號(hào)；（2）根據(jù)角的三角函數(shù)值的符號(hào)，確定角所在象限．題型四：誘導(dǎo)公式（一）的應(yīng)用例10．（2022·天津市紅橋區(qū)教師發(fā)展中心高一期末）____________．【答案】【解析】故答案為：例11．（2022·廣西·桂林十八中高一開學(xué)考試）_________.【答案】【解析】因?yàn)?故答案為：.例12．（2022·湖南·高一課時(shí)練習(xí)）＝______.【答案】【解析】.故答案為：.變式11．（2022·云南民族大學(xué)附屬中學(xué)模擬預(yù)測（理））______．【答案】【解析】故答案為：變式12．（2022·湖南·高一課時(shí)練習(xí)）求值：．【解析】【方法技巧與總結(jié)】利用誘導(dǎo)公式一化簡或求值的步驟（1）將已知角化為（為整數(shù)，）或（為整數(shù)，）的形式．（2）將原三角函數(shù)值化為角的同名三角函數(shù)值．（3）借助特殊角的三角函數(shù)值或任意角的三角函數(shù)的定義達(dá)到化簡求值的目的．題型五：圓上的動(dòng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)點(diǎn)例13．（2022·湖南益陽·高一期末）在直角坐標(biāo)系中，一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在半徑為2的圓O上，以圓O與x正半軸的交點(diǎn)為起點(diǎn)，沿逆時(shí)針方向勻速運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)，每轉(zhuǎn)一圈，則后的長為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由題意可知，一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在圓O上每逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)一圈，那么后，到達(dá)P點(diǎn)，所以，而在中，且為圓的半徑，取的中點(diǎn)T，如圖，則，所以，則，所以故選：C例14．（2022·全國·高一專題練習(xí)）點(diǎn)P從出發(fā)，沿單位圓按逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)弧長到達(dá)Q點(diǎn)，則Q的坐標(biāo)為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】點(diǎn)P從出發(fā)，沿單位圓逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)弧長到達(dá)Q點(diǎn)，所以點(diǎn)Q是角的終邊與單位圓的交點(diǎn)，所以Q，又角的終邊與的終邊是相同的，所以，，所以.故答案為：A例15．（2022·江西師大附中高一期末）在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)P從出發(fā)，沿圓心在原點(diǎn)，半徑為2的圓按逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)弧長到達(dá)點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖，作出半徑為的圓，由題意，，過作軸于點(diǎn)，則故選：B變式13．（2022·江西·模擬預(yù)測（文））已知單位圓上第一象限一點(diǎn)沿圓周逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)，若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由單位圓上第一象限一點(diǎn)沿圓周逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，所以，即，所以，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則.故選：B變式14．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示，滾珠，同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)沿圓形軌道勻速運(yùn)動(dòng)，滾珠按逆時(shí)針方向每秒鐘轉(zhuǎn)弧度，滾珠按順時(shí)針方向每秒鐘轉(zhuǎn)弧度，相遇后發(fā)生碰撞，各自按照原來的速度大小反向運(yùn)動(dòng)．(1)求滾珠，第一次相遇時(shí)所用的時(shí)間及相遇點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求從出發(fā)到第二次相遇滾珠，各自滾動(dòng)的路程．【解析】（1）設(shè)、第一次相遇時(shí)所用的時(shí)間是，則，（秒，即第一次相遇的時(shí)間為4秒．設(shè)第一次相遇點(diǎn)為，則，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，（2）第一次相遇時(shí)，點(diǎn)滾動(dòng)的路程為，點(diǎn)滾動(dòng)的路程為，故第二次相遇時(shí)，點(diǎn)滾動(dòng)的路程為，點(diǎn)滾動(dòng)的路程為．【方法技巧與總結(jié)】利用三角函數(shù)的定義求解【同步練習(xí)】一、單選題1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知角的終邊與單位圓交于點(diǎn)，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)榻堑慕K邊與單位圓交于點(diǎn)，所以根據(jù)三角函數(shù)的定義可知，．故選：C．2．（2022·江西贛州·高一期末）在3世紀(jì)中期，我國古代數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中提出了割圓術(shù)：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無所失矣”這可視為中國古代極限觀念的佳作．割圓術(shù)可以視為將一個(gè)圓內(nèi)接正邊形等分成個(gè)等腰三角形（如圖所示），當(dāng)越大，等腰三角形的面積之和越近似等于圓的面積．運(yùn)用割圓術(shù)的思想，可得到的近似值為（取近似值3.14）（

）A．0.039 B．0.157 C．0.314 D．0.079【答案】B【解析】假設(shè)圓的半徑為，此圓內(nèi)接正二十邊形等分成20個(gè)等腰三角形，則每個(gè)等腰三角形的頂角為18°，選取其中一個(gè)小等腰三角形，過等腰三角形頂點(diǎn)O向底邊AB作垂線OC，垂足為C，延長OC交圓O于點(diǎn)D，則由三線合一可知：，則，其中，，所以故選：B3．（2022·四川省平昌中學(xué)高一階段練習(xí)）如圖，角的終邊與單位圓O的交點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)榻堑慕K邊與單位圓O的交點(diǎn)，,故，所以，故選：A4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知角的終邊與單位圓交于點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】在單位圓中，，解得，故.故選：C.5．（2022·江西上饒·高一階段練習(xí)）趙爽是我國古代數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，約公元222年，趙爽在注解《周髀算經(jīng)》一書時(shí)介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”，它是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的大正方形．如圖所示的是一張弦圖，已知大正方形的面積為100，小正方形的面積為20，若直角三角形較小的銳角為，則sincos的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)直角三角形的短邊為，一個(gè)直角三角形的面積為，小正方形的面積為20，則邊長為.大正方形的面積為100，則邊長為10.直角三角形的面積為.則直角三角形的長邊為.

故.即.故選：B.6．（2022·北京市第五中學(xué)高一期末）在直角坐標(biāo)系中，已知，那么角的終邊與單位圓坐標(biāo)為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，所以角的終邊與單位圓坐標(biāo)為，故選：A7．（2022·江西·景德鎮(zhèn)一中高一期中）已知是第二象限角，則（

）A．是第一象限角 B．C． D．是第三或第四象限角【答案】C【解析】∵是第二象限角，∴，，即，，∴是第一象限或第三象限角，故A錯(cuò)誤；由是第一象限或第三象限角，或，故B錯(cuò)誤；∵是第二象限角，∴，，∴，，∴是第三象限，第四象限角或終邊在軸非正半軸，，故C正確，D錯(cuò)誤.故選：C．8．（2022·四川省內(nèi)江市第六中學(xué)高一階段練習(xí)（理））在平面直角坐標(biāo)系xOy中，P（x，y）（xy≠0）是角α終邊上一點(diǎn)，P與原點(diǎn)O之間距離為r，比值叫做角α的正割，記作secα；比值叫做角α的余割，記作cscα；比值叫做角α的余切，記作cotα．四名同學(xué)計(jì)算同一個(gè)角β的不同三角函數(shù)值如下：甲：；乙：；丙：；?。海绻挥幸幻瑢W(xué)的結(jié)果是錯(cuò)誤的，則錯(cuò)誤的同學(xué)是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】D【解析】當(dāng)甲：錯(cuò)誤時(shí)，乙：正確，此時(shí)，r＝5k，y＝3k，則|x|＝4k，（k＞0），或，∴丙：不正確，?。翰徽_，故錯(cuò)誤的同學(xué)不是甲；甲：，從而r＝5k，x＝﹣4k，|y|＝3k，（k＞0），此時(shí)，乙：；丙：；?。罕赜袃蓚€(gè)正確，一個(gè)錯(cuò)誤，∵丙和丁應(yīng)該同號(hào)，∴乙正確，丙和丁中必有一個(gè)正確，一個(gè)錯(cuò)誤，∴y＝3k＞0，x＝﹣4k＜0，，故丙正確，丁錯(cuò)誤，綜上錯(cuò)誤的同學(xué)是?。蔬x：D．二、多選題9．（2022·江蘇·南京市第一中學(xué)高一階段練習(xí)）已知是第一象限角，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B． C． D．【答案】AD【解析】已知是第一象限角，∴由，角的終邊在一、二象限或y軸非負(fù)半軸上，成立，A正確；不一定成立，B錯(cuò)誤；由，角的終邊在第一象限或第三象限，不一定成立，C錯(cuò)誤；成立，D正確.故選：AD．10．（2022·全國·高一單元測試）下列結(jié)論正確的是（

）A．是第三象限角B．若圓心角為的扇形的弧長為，則該扇形的面積為C．若角的終邊上有一點(diǎn)，則D．若角為銳角，則角為鈍角【答案】BC【解析】選項(xiàng)A中，，是第二象限角，故A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B中，設(shè)該扇形的半徑為，則，∴，∴，故B正確；選項(xiàng)C中，，，故C正確；選項(xiàng)D中，取，則是銳角，但不是鈍角，故D錯(cuò)誤．故選：BC．11．（2022·遼寧朝陽·高一階段練習(xí)）已知角θ的終邊經(jīng)過點(diǎn)，且θ與α的終邊關(guān)于x軸對稱，則（

）A． B．α為鈍角C． D．點(diǎn)(tanθ，tanα)在第四象限【答案】ACD【解析】角θ的終邊經(jīng)過點(diǎn)，，A正確．θ與α的終邊關(guān)于x軸對稱，由題意得α的終邊經(jīng)過點(diǎn)，α為第二象限角，不一定為鈍角，，B錯(cuò)誤，C正確．因?yàn)閠anθ=>0，，所以點(diǎn)(tanθ，tanα)在第四象限，D正確．故選：ACD12．（2022·全國·高一）以原點(diǎn)為圓心的單位圓上一點(diǎn)從出發(fā)，沿逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)弧長到達(dá)點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)不可能的是（

）A． B． C． D．【答案】ABD【解析】以原點(diǎn)為圓心的單位圓上一點(diǎn)從出發(fā)，沿逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)弧長到達(dá)點(diǎn)，則設(shè)運(yùn)動(dòng)過程中弧長對應(yīng)的角為，則，根據(jù)三角函數(shù)的定義可得，即.故選：ABD.三、填空題13．（2022·上海理工大學(xué)附屬中學(xué)高一期中）角的終邊上有一點(diǎn)，則的值為______；【答案】【解析】由題意，所以．故答案為：．14．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知角的終邊在射線上，則角的正弦值為______，余弦值為______．【答案】

【解析】設(shè)角的終邊與單位