新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)考點突破課件 第1部分 專題突破 專題2　微重點8　平面向量的最值與范圍問題（含解析）

微重點8平面向量的最值與范圍問題專題二

三角函數(shù)與解三角形平面向量中的最值與范圍問題，是高考的熱點與難點問題，主要考查求向量的模、數(shù)量積、夾角及向量的系數(shù)等的最值、范圍.解決這類問題的一般思路是建立求解目標(biāo)的函數(shù)關(guān)系，通過函數(shù)的值域解決問題，同時，平面向量兼具“數(shù)”與“形”的雙重身份，數(shù)形結(jié)合也是解決平面向量中的最值與范圍問題的重要方法.考點一求參數(shù)的最值(范圍)考點二求向量模、夾角的最值(范圍)考點三求數(shù)量積的最值(范圍)專題強化練內(nèi)容索引求參數(shù)的最值(范圍)考點一例1[1,4](2)設(shè)非零向量a，b的夾角為θ，若|a|＝2|b|，且不等式|2a＋b|≥|a＋λb|對任意θ恒成立，則實數(shù)λ的取值范圍為A.[－1,3] B.[－1,5]

C.[－7,3] D.[5,7]√∵非零向量a，b的夾角為θ，若|a|＝2|b|，a·b＝|a||b|cos

θ＝2|b|2cosθ，不等式|2a＋b|≥|a＋λb|對任意θ恒成立，∴(2a＋b)2≥(a＋λb)2，∴4a2＋4a·b＋b2≥a2＋2λa·b＋λ2b2，整理可得(13－λ2)＋(8－4λ)cos

θ≥0恒成立，∵cos

θ∈[－1,1]，規(guī)律方法利用共線向量定理及推論(1)a∥b?a＝λb(b≠0).√跟蹤演練1所以λ＝μ＝0，從而有λ＋μ＝0；因為M，B，C三點共線，綜上，λ＋μ的取值范圍是[0,1].求向量模、夾角的最值(范圍)考點二(1)已知e為單位向量，向量a滿足：(a－e)·(a－5e)＝0，則|a＋e|的最大值為A.4 B.5 C.6 D.7例2√可設(shè)e＝(1,0)，a＝(x，y)，則(a－e)·(a－5e)＝(x－1，y)·(x－5，y)＝x2－6x＋5＋y2＝0，即(x－3)2＋y2＝4，則1≤x≤5，－2≤y≤2，即|a＋e|的最大值為6.找兩向量的夾角時，要注意“共起點”以及向量夾角的取值范圍是[0，π]；若向量a，b的夾角為銳角，包括a·b>0和a，b不共線，同理若向量a，b的夾角為鈍角，包括a·b<0和a，b不共線.易錯提醒(2022·馬鞍山模擬)已知向量a，b滿足|a－3b|＝|a＋3b|，|a＋b|＝4，若向量c＝λa＋μb(λ＋μ＝1，λ，μ∈R)，且a·c＝b·c，則|c|的最大值為A.1 B.2 C.3 D.4跟蹤演練2√由|a－3b|＝|a＋3b|得a·b＝0，所以a⊥b.如圖，由a⊥b可知OA⊥OB，即m2＋n2＝16，所以2mn≤16，則mn≤8，當(dāng)且僅當(dāng)m＝n時取得等號.由c＝λa＋μb(λ＋μ＝1)，可知A，B，C三點共線，由a·c＝b·c可知(a－b)·c＝0，所以O(shè)C⊥AB，所以|c|的最大值為2.求數(shù)量積的最值(范圍)考點三(1)(2022·福州質(zhì)檢)已知平面向量a，b，c均為單位向量，且|a－b|＝1，則(a－b)·(b－c)的最大值為例3√∵|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝2－2a·b＝1，∴(a－b)·(b－c)＝a·b－a·c－b2＋b·c∵cos〈a－b，c〉∈[－1,1]，[－2,2]因為菱形ABCD的邊長為2，∠ABC＝60°，因為點P在BC邊上(包括端點)，所以設(shè)P(t，0)，其中t∈[－2,0].向量數(shù)量積最值(范圍)問題的解題策略(1)形化：利用平面向量的幾何意義將問題轉(zhuǎn)化為平面幾何中的最值或范圍問題，然后根據(jù)平面圖形的特征直接進行判斷.(2)數(shù)化：利用平面向量的坐標(biāo)運算，把問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的函數(shù)最值與值域、不等式的解集、方程有解等問題，然后利用函數(shù)、不等式、方程的有關(guān)知識來解決.規(guī)律方法跟蹤演練3√以點O為原點，AB為x軸，垂直于AB的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)P(cosα，sinα)(α∈[0，π])，專題強化練√123456781234567812345678√123456781234567812345678√1234567812345678因為〈a，b〉＝θ，θ∈[0，π]，12345678√如圖，以點B為坐標(biāo)原點，BC，BA所在直線為x軸、y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)AB＝a，BP＝x(0≤x≤a)，因為AD＝1，BC＝2，所以P(0，x)，C(2,0)，D(1，a)，12345678123456785.(多選)已知向量a，b，單位向量e，若a·e＝1，b·e＝2，a·b＝3，則|a＋b|的可能取值為√√設(shè)e＝(1,0)，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，由a·e＝1得x1＝1，由b·e＝2得x2＝2，由a·b＝x1x2＋y1y2＝3，可得y1y2＝1，12345678當(dāng)且僅當(dāng)y1＝y(tǒng)2＝1時取等號.12345678√√√12345678如圖，以AB的中點O為原點建立平面直角坐標(biāo)系，則A(－1,0)，D(－1,2)，E(1,1)，連接OP，設(shè)∠BOP＝α(α∈[0，π])，則P(cos

α，sinα)，得2μ＝cosα＋1且2λ＋μ＝sinα，α∈[0，π]，12345678當(dāng)α＝0時，μmax＝1，故B正確；12345678方法一連接AC，BD交于點O，以點O為坐標(biāo)原點，以BD所在直線為x軸，AC所在直線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)F(x0，y0)，1234567812345678因為－1≤x≤0，連接AC(圖略)，因為E為CD的中點，1234567812345678123456788.已知向量a，b滿足|a|＝1，|b|＝3，則|2a＋b|＋|2a－b|的最小值是____，最大值是_______.123456786∵|2a＋b|＋|2a－b|≥|2a＋b＋2a－b|