第19講一次函數(shù)與幾何圖形面積考點分類探究

第19講一次函數(shù)與幾何圖形面積考點分類探究考點一一次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸圍成圖形的面積【知識點睛】一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）與坐標(biāo)軸交點規(guī)律對于直線y=kx+b（k≠0）與x軸交點坐標(biāo)（，0）故：當(dāng)k、b同號時，直線交于x軸負(fù)半軸；當(dāng)k、b異號時，直線交于x軸正半軸與y軸交點坐標(biāo)（0，b）故：當(dāng)b＞0時，直線交于y軸正半軸；當(dāng)b＜0時，直線交于y軸負(fù)半軸求兩直線交點坐標(biāo)方法：聯(lián)立兩直線解析式，得二元一次方程組，解方程組得交點坐標(biāo)；求三角形面積時，三角形有邊在水平或者豎直邊上，常以這條邊為底，再由底所對頂點的坐標(biāo)確定高；類型一一條直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積解題步驟：①求出直線與x軸、y軸的交點坐標(biāo)，從而得出直線與坐標(biāo)軸圍成的直角三角形的兩條直角邊長；②利用三角形面積公式求出三角形的面積【類題訓(xùn)練】1．若一次函數(shù)y＝2x+b與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為9，則這個一次函數(shù)的解析式為y＝2x+6或y＝2x﹣6．【分析】先求出函數(shù)圖象與兩坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)，再根據(jù)三角形的面積公式求解即可得出答案．【解答】解：一次函數(shù)y＝2x+b中，令x＝0，則y＝b，令y＝0，則，∴，∴b＝±6，∴這個一次函數(shù)的解析式為y＝2x+6或y＝2x﹣6．2．已知一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）圖象經(jīng)過點（0，﹣2），且與兩坐標(biāo)軸圍成三角形的面積為3，則此一次函數(shù)解析式為y＝﹣x﹣2或y＝x﹣2．【分析】設(shè)一次函數(shù)與x軸的交點是（a，0），根據(jù)三角形的面積公式即可求得a的值，然后利用待定系數(shù)法即可求得函數(shù)解析式．【解答】解：∵一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）圖象過點（0，﹣2），∴b＝﹣2，設(shè)一次函數(shù)與x軸的交點是（a，0），則×2×|a|＝3，解得：a＝3或﹣3．把（3，0）代入y＝kx﹣2，3k﹣2＝0，解得：k＝，則函數(shù)的解析式是y＝x﹣2；把（﹣3，0）代入y＝kx﹣2，﹣3k﹣2＝0，得k＝﹣，則函數(shù)的解析式是y＝﹣x﹣2．故答案是：y＝﹣x﹣2或y＝x﹣2．3．已知，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點（﹣1，﹣8）和點（2，﹣2），且與x軸交于點A，與y軸交于點B．（1）求這個一次函數(shù)的解析式；（2）求這個一次函數(shù)的圖象與兩坐標(biāo)軸圍成的圖形的面積．【分析】（1）設(shè)這個函數(shù)的解析式是y＝kx+b，把點的坐標(biāo)代入，即可求出答案；（2）求出A、B的坐標(biāo)，再根據(jù)三角形面積公式求出即可．【解答】解：（1）設(shè)這個函數(shù)的解析式是y＝kx+b，∵一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點（﹣1，﹣8）和點（2，﹣2），∴，解得：，∴這個函數(shù)的解析式是y＝2x﹣6；（2）y＝2x﹣6，當(dāng)x＝0時，y＝﹣6，當(dāng)y＝0時，2x﹣6＝0，解得：x＝3，即A（3，0），B（0，﹣6），所以O(shè)A＝3，OB＝6，所以△AOB的面積是＝＝9．4．已知函數(shù)y＝﹣2x+3，（1）畫出y＝﹣2x+3的圖象，圖象分別與x，y軸交于A，B兩點；（2）若O為坐標(biāo)原點，求△OAB的面積；（3）當(dāng)﹣1＜x≤2，y的取值范圍是﹣1≤y＜5；（4）在x滿足條件x＞1時，y＜1．【分析】（1）解出y＝﹣2x+3與x，y軸交于A，B兩點的坐標(biāo)，連接兩點即可；（2）理用三角形的面積公式解答即可；（3）根據(jù)圖象，寫出y的取值范圍；（4）根據(jù)圖象寫出范圍即可．【解答】解：（1）y＝﹣2x+3令x＝0，y＝3，∴B（0，3），令y＝0，∴0＝﹣2x+3，∴x＝，∴A（，0），（2）；（3）當(dāng)﹣1＜x≤2時，y隨x的增大而增大，∴x＝﹣1時，y最大，y＝﹣2×（﹣1）+3＝5，x＝2時，y最小，y＝﹣2×2+3＝﹣1，∴﹣1≤y＜5；故答案為：﹣1≤y＜5；（4）由圖象可知，x＞1時，y＜1．故答案為：x＞1．5．如圖，一次函數(shù)的圖象與x軸，y軸分別交于點A，B，過點B的直線平分△ABO的面積，則直線BC相應(yīng)的函數(shù)表達式為y＝x+6．【分析】由一次函數(shù)求得A、B的坐標(biāo)，根據(jù)題意求得C的坐標(biāo)，然后根據(jù)待定系數(shù)法即可求得．【解答】解：∵一次函數(shù)的圖象與x軸，y軸分別交于點A，B，∴令y＝0，則求得x＝﹣8，令x＝0，求得y＝6，∴A（﹣8，0），B（0，6），∵過點B的直線l平分△ABO的面積，∴AC＝OC，∴C（﹣4，0），設(shè)直線l的解析式為y＝kx+6，把C（﹣4，0）代入得﹣4k+6＝0，解得k＝，∴直線l的解析式為y＝x+6，故答案為y＝x+6．6．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）的圖象經(jīng)過A（﹣2，0），B（1，3）兩點．（1）求這個一次函數(shù)的解析式：（2）畫出一次函數(shù)y＝kx+b的圖象；（3）若點C是x軸上一點，△ABC的面積是6，求點C的坐標(biāo)．【分析】（1）把A與B的坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式求出k與b的值，即可確定出解析式；（2）描出A、B點的坐標(biāo)，然后作出直線AB即可；（3）設(shè)C（x，0），表示出AC＝|x+2|，進而表示出三角形ABC面積，根據(jù)已知面積求出x的值，即可確定出C坐標(biāo)．【解答】解：（1）把A（﹣2，0），B（1，3）兩點代入y＝kx+b得，解得，則一次函數(shù)解析式為y＝x+2；（2）畫出函數(shù)y＝x+2的圖象如圖：（3）設(shè)C（x，0），則有AC＝|x+2|，∵S△ABC＝AC?OB＝6，即|x+2|×3＝6，∴|x+2|＝4，解得：x＝2或x＝﹣6，則C的坐標(biāo)為（2，0）或（﹣6，0）．類型二兩條直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積解題標(biāo)準(zhǔn)：在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)求三角形的面積，通常以坐標(biāo)軸上的邊為底，高就是底所對的頂點到這條邊的距離【類題訓(xùn)練】7．直線y＝kx+4與y軸交于點A，直線y＝﹣2x+1與直線y＝kx+4交于點B與y軸交于點C，點B的橫坐標(biāo)為﹣1．（1）求點B坐標(biāo)及k的值；（2）求直線y＝﹣2x+1與直線y＝kx+4及y軸所圍成的△ABC的面積．【分析】（1）根據(jù)B點在直線y＝﹣2x+1上，且橫坐標(biāo)為﹣1，求出B點的坐標(biāo)，再根據(jù)直線y＝kx+4過B點，將（﹣1，3）代入直線y＝kx+4解析式，即可求出答案；（2）根據(jù)已知得出B點的坐標(biāo)，再根據(jù)直線y＝﹣2x+1和直線y＝x+4求得與y軸交點A和C點的坐標(biāo)，再根據(jù)三角形的面積公式得出S△ABC．【解答】解：（1）∵B點在直線y＝﹣2x+1上，且橫坐標(biāo)為﹣1，∴y＝﹣2×（﹣1）+1＝3，即B點的坐標(biāo)為（﹣1，3）又直線y＝kx+4過B點，將（﹣1，3）代入直線y＝kx+4得：3＝﹣k+4，解得k＝1；（2）∵k＝1，∴直線AB的解析式為y＝x+4，∴直線AB與y軸交點A的坐標(biāo)為（0，4），∵直線y＝﹣2x+1與y軸交點C的坐標(biāo)為（0，1），∴AC＝4﹣1＝3，∴S△ABC＝AC?|xB|＝×3×1＝．8．如圖，正比例函數(shù)y＝2x的圖象與一次函數(shù)y＝kx+b的圖象交于點A（m，2），一次函數(shù)圖象經(jīng)過點B（﹣2，﹣1），且與y軸的交點為C，與x軸的交點為D．（1）求一次函數(shù)表達式；（2）求C點的坐標(biāo)；（3）求△AOD的面積．【分析】（1）分析題意，先將點A的坐標(biāo)代入正比例函數(shù)，求出A點的坐標(biāo)，又可知一次函數(shù)經(jīng)過A，B兩點，將A，B兩點的坐標(biāo)代入一次函數(shù)的解析式中，利用待定系數(shù)法求得解析式；（2）由于點C為一次函數(shù)與y軸的交點，接下來只需將x＝0代入一次函數(shù)解析式中求出相應(yīng)的y的值，就能得到點C的坐標(biāo)；（3）要求三角形的面積，只要找準(zhǔn)相應(yīng)的底邊和高即可．觀察圖形，通過求出點D的坐標(biāo)，可得△AOD的邊OD的長．根據(jù)點A的縱坐標(biāo)，還可得到OD邊上的高．【解答】解：（1）將點A（m，2）代入正比例函數(shù)y＝2x，得2m＝2，解得m＝1，故點A的坐標(biāo)為（1，2）．把（1，2），（﹣2，﹣1）代入y＝kx+b，得，解得，故一次函數(shù)表達式是y＝x+1．（2）令y＝x+1中x＝0，得y＝1．故點C的坐標(biāo)是（0，1）．（3）令y＝x+1中y＝0，則x＝﹣1．故點D的坐標(biāo)是（﹣1，0）．∵點A（1，2），點D（﹣1，0），∴DO＝1，△AOD的OD邊上的高為2．∴S△ADO＝×1×2＝1．9．如圖，直線l1：y1＝x和直線l2：y2＝kx+b相交于點A（2，2），直線l2與y軸交于C（0，6）與x軸交于點B，動點P在直線AB上運動．（1）求l2的解析式及點B的坐標(biāo)；（2）求△AOB的面積；（3）當(dāng)△POB的面積是△AOB的面積的時，直接寫出這時點P的坐標(biāo)．【分析】（1）利用待定系數(shù)法求直線l2解析式，再令y＝0，求直線l2與x軸的交點即可；（2）過點A作AD⊥OB，根據(jù)A（2，2）、B（3，0），可得AD＝2，OB＝3，即可求得結(jié)果；（3）設(shè)點P的坐標(biāo)為（m，﹣2m+6），由，可得，解得或，再把m的值代入直線l2的解析式即可求出點的坐標(biāo)．【解答】解：（1）設(shè)直線l2的解析式為y2＝kx+b，∵直線l2過點A（2，2），C（0，6），把點A（2，2），C（0，6）代入解析式得：，解得：，∴直線l2的解析式為：y＝﹣2x+6，當(dāng)y＝0時，﹣2x+6＝0，解得：x＝3，∴點B的坐標(biāo)為：（3，0）；（2）過點A作AD⊥OB，∵A（2，2）、B（3，0），∴AD＝2，OB＝3，∴；（3）直線AB的解析式為：y2＝﹣2x+6，動點P在直線AB上運動，設(shè)點P的坐標(biāo)為（m，﹣2m+6），∵S△AOB＝3，∴，∵OB＝3，點P到x軸的距離為|﹣2m+6|，∴，∴，∴或，∴或，∴當(dāng)時，點，當(dāng)時，點，∴點P的坐標(biāo)為或．類型三三條直線圍成的三角形面積解題標(biāo)準(zhǔn)：在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)求三角形的面積，通常以坐標(biāo)軸上的邊為底，高就是底所對的頂點到這條邊的距離【類題訓(xùn)練】10．如圖，已知點A（0，4），B（1，1）．C（4，0），求三角形ABC的面積．【分析】把三角形的面積看成大三角形面積減去周圍2個小三角形面積即可．【解答】解：S△ABC＝4×4÷2﹣4×1÷2×2＝8﹣4＝4．故三角形ABC的面積是4．11．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線l1、l2、l3所對應(yīng)的函數(shù)表達式分別為y1＝x+2、y2＝x﹣3、y3＝kx﹣2k+4（k≠0且k≠1），若l1與x軸相交于點A，l3與l1、l2分別相交于點P、Q，則△APQ的面積為10．【分析】1設(shè)直線l1，l2分別與y軸交于點C，D，過點C作CB⊥l2于點B，先求出點C的坐標(biāo)可得△AOC是等腰直角三角形，進而得到△BCD是等腰直角三角形，可求出，即直線l1，l2的距離為，再求出點P的坐標(biāo)，可得到AP的長，再由三角形的面積公式計算，即可求解．【解答】解：如圖，設(shè)直線l1，l2分別與y軸交于點C，D，過點C作CB⊥l2于點B，∵直線l1，l2所對應(yīng)的函數(shù)表達式分別為y1＝x+2、y2＝x﹣3，∴l(xiāng)1∥l2，∴CB⊥l1，即∠ACB＝90°，對于y1＝x+2，當(dāng)x＝0時，y1＝2，當(dāng)y1＝0時，x＝﹣2，∴點C（0，2），A（﹣2，0），∴OA＝OC＝2，∵∠AOC＝90°，∴△AOC是等腰直角三角形，∴∠ACO＝∠OAC＝45°，∴∠BCD＝45°，∴△BCD是等腰直角三角形，∴，對于y2＝x﹣3，當(dāng)x＝0時，y2＝﹣3，∴點D（0，﹣3），∴OD＝3，∴CD＝5，∴，即，即直線l1，l2的距離為，聯(lián)立，解得：，∴點P的坐標(biāo)為（2，4），∴，∴△APQ的面積為．故答案為：1012．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y＝x+4與x軸、y軸分別交于點A、點B，點D（0，﹣6）在y軸的負(fù)半軸上，若將△DAB沿直線AD折疊，點B恰好落在x軸正半軸上的點C處，直線CD交AB于點E．（1）求點A、B、C的坐標(biāo)；（2）求△ADE的面積；（3）y軸上是否存在一點P，使得S△PAD＝，若存在，請直接寫出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【分析】（1）直線y＝x+4中，分別令x＝0、y＝0，確定B、A坐標(biāo)，運用勾股定理計算AB，根據(jù)折疊性質(zhì)，AC＝AB，確定OC的長即可確定點C的坐標(biāo)；（2）證明Rt△AOD≌Rt△AED，根據(jù)S△ADE＝S△AOD計算即可；（3）設(shè)點P的坐標(biāo)為（0，m），則DP＝|m+6|．根據(jù)，計算m的值即可．【解答】解：（1）當(dāng)x＝0時，y＝x+4＝4，∴點B的坐標(biāo)為（0，4）；當(dāng)y＝0時，x+4＝0，解得：x＝3，∴點A的坐標(biāo)為（3，0）．在Rt△AOB中，OA＝3，OB＝4，∴AB＝＝5．由折疊的性質(zhì)，可知：∠BDA＝∠CDA，∠D＝∠C，AC＝AB＝5，∴OC＝OA+AC＝8，∴點C的坐標(biāo)為（8，0）．（2）∵∠B＝∠C，∠OAB＝∠EAC，∠B+∠AOB+∠OAB＝180°，∠C+∠AEC+∠EAC＝180°，∴∠AEC＝∠AOB＝90°＝∠AED＝∠AOD．又∵∠BDA＝∠CDA，在Rt△AOD和Rt△AED中，，∴Rt△AOD≌Rt△AED（AAS），∴．（3）存在點P，且坐標(biāo)為（0，﹣3）或（0，﹣9），理由如下：設(shè)點P的坐標(biāo)為（0，m），則DP＝|m+6|．∵S△PAD＝，∴，∴|m+6|＝3，解得：m＝﹣3或m＝﹣9，∴y軸上存在點P（0，﹣3）或（0，﹣9），使得S△PAD＝．考點二一次函數(shù)圖象與幾何圖形動點面積【知識點睛】此類問題需要將動點所在幾何圖形與一次函數(shù)圖象同時分析，對照一次函數(shù)圖象得出動點所在幾何圖形的邊長信息對函數(shù)圖象的分析重點抓住以下兩點：①分清坐標(biāo)系的x軸、y軸的具體意義②特別分析圖象的拐點——拐點一般表示動點運動到幾何圖形的一個頂點動點所在幾何圖形如果是特殊圖形，如等腰三角形、等腰直角三角形、含30°的直角三角形，注意對應(yīng)圖形性質(zhì)與輔助線的應(yīng)用?！绢愵}訓(xùn)練】1．如圖1，在矩形ABCD中，動點P從點B出發(fā)，沿BC、CD、DA運動至點A停止，設(shè)點P運動的路程為x，△ABP的面積為y，如果y關(guān)于x的函數(shù)圖象如圖2所示，則矩形ABCD的周長是（）A．18 B．20 C．26 D．36【分析】根據(jù)函數(shù)的圖象、結(jié)合圖形求出AB、BC的值，即可得出矩形ABCD的周長．【解答】解：∵動點P從點B出發(fā)，沿BC、CD、DA運動至點A停止，而當(dāng)點P運動到點C，D之間時，△ABP的面積不變，函數(shù)圖象上橫軸表示點P運動的路程，x＝4時，y開始不變，說明BC＝4，x＝9時，接著變化，說明CD＝9﹣4＝5，∴AB＝5，BC＝4，∴矩形ABCD的周長＝2（AB+BC）＝18．故選：A．2．如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，動點P沿折線BCD從點B開始運動到點D，設(shè)點P運動的路程為x，△ADP的面積為y，那么y與x之間的函數(shù)關(guān)系的圖象大致是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)題意可知，當(dāng)0≤x≤4時，y＝6，當(dāng)4＜x＜7時，△ADP的面積逐漸減小，據(jù)此對圖象進行判斷，即可得到答案．【解答】解：當(dāng)點P在線段BC上運動時，△ADP的面積不變，∴當(dāng)0≤x≤4時，，當(dāng)點P在線段CD上運動時，△ADP的面積逐漸減小，此時4＜x＜7，綜上可知，當(dāng)0≤x≤4時，y＝6不變，當(dāng)4＜x＜7時，△ADP的面積逐漸減小，故選：C．3．如圖1，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，DE是△ABC的中位線，動點P從點A出發(fā)，以每秒1cm的速度沿A→B→D→E的方向運動，到達點E時停止．設(shè)點P運動x（秒）時，△APE的面積為y（cm2），如圖2是y關(guān)于x的函數(shù)圖象，則圖2中m，n的值分別是（）A．， B．，7 C．， D．4，【分析】由圖2得，當(dāng)點P運動到B時的路程為3，即AB＝3，當(dāng)點P運動到點D時的路程為6，即BD＝3，由中位線得DE＝，再三角形ADE的面積求出m即可．【解答】解：由圖2得，當(dāng)點P運動到B時的路程為3，即AB＝3，當(dāng)點P運動到點D時的路程為6，即BD＝3，∵DE是△ABC的中位線，∴DE＝AB＝，∴n＝＝，當(dāng)點P運動到點D時，此時S△AEP＝DE?BD＝，即m＝．故選：A．4．如圖1，四邊形ABCD中，AB∥CD，∠D＝90°，CA＝CB，動點E從點D出發(fā)，沿折線D﹣C﹣B﹣A方向以1單位/秒的速度勻速運動，在整個運動過程中，△ADE的面積S與運動時間t（秒）的函數(shù)圖象如圖2所示，則四邊形ABCD的面積是（）A．15 B．16 C．17 D．18【分析】由圖1和圖2可得當(dāng)t＝3時，點E到達點C處，即CD＝3，過點C作CF⊥AB于點F，由矩形的性質(zhì)可得AF＝CD＝3，由等腰三角形三線合一，求得AB，當(dāng)S＝12時，點E到達點B處，根據(jù)三角形面積公式求得AD，再根據(jù)梯形的面積公式即可求解．【解答】解：當(dāng)t＝3時，點E到達點C處，即CD＝3，如圖，過點C作CF⊥AB于點F，則四邊形AFCD為矩形，∴AF＝CD＝3，∵CA＝CB，∴AB＝2AF＝6，當(dāng)S＝12時，點E到達點B處，∴S＝AB?AD＝×2AF?AD＝3AD＝12，∴AD＝4，∴四邊形ABCD的面積：（CD+AB）?AD＝×（3+6）×4＝18，故選：D．5．如圖1中，Rt△ABC，∠C＝90°，點D為AB的中點，動點P從A點出發(fā)沿AC→CB運動到點B，設(shè)點P的運動路程為x，△APD的面積為y，y與x的函數(shù)圖象如圖2所示，則AB的長為（）A．10 B．12 C．14 D．16【分析】由圖象可知：當(dāng)x＝14時，AC+BC＝14，面積最大時，S等于12，再根據(jù)三角形的面積計算公式可得關(guān)于AC的方程，解得AC的值，最后由勾股定理可得AB的值．【解答】解：由圖象可知：當(dāng)x＝14時，AC+BC＝14，∴BC＝14﹣AC；面積最大時，S＝S△ACD＝S△ABC＝AC×BC＝12，∴AC×（14﹣AC）＝12，解得AC＝6或AC＝8，由圖象可知AC＞BC，故AC＝8，BC＝6，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB＝＝＝10．故選：A．6．如圖1，四邊形ABCD中，AB∥CD，∠ADC＝90°，點P從A點出發(fā)，以每秒兩個單位長度的速度，按A﹣B﹣C﹣D的順序在邊上勻速運動，設(shè)P點的運動時間為t秒，三角形PAD的面積為S，S關(guān)于t的函數(shù)圖象如圖所示，當(dāng)P運動或秒時，三角形APD的面積為36．【分析】根據(jù)函數(shù)圖象得出AB＝3×2＝6，，BC＝2t﹣6，CD＝14×2﹣2t＝28﹣2t，當(dāng)P運動到點C時得出CD＝12，進而求得函數(shù)圖象中t＝8，設(shè)PM⊥DA與點M，過點B作BN⊥CD于點N，根據(jù)三角形APD的面積為36，分兩種情況討論，結(jié)合圖形即可求解．【解答】解：根據(jù)函數(shù)圖象可得AB＝3×2＝6，，∵當(dāng)P運動到點C時，AB+BC＝2t，∴BC＝2t﹣AB＝2t﹣6，∵總時間為14秒，速度為每秒兩個單位長度，∴CD＝14×2﹣2t＝28﹣2t，∵當(dāng)P運動到點C時三角形APD的面積取得最大值為48，∴，∴CD＝12，∴28﹣2t＝12，解得：t＝8，∴BC＝2t﹣6＝10，設(shè)PM⊥DA與點M，過點B作BN⊥CD于點N，如圖1，當(dāng)P運動到BC上，三角形APD的面積為36，∴，解得：，如圖2，過點P作FG∥BN交DC于點G，延長AB交FG于點F，則BF⊥FG，F(xiàn)G⊥DC，則AF＝PM＝9，F(xiàn)B＝9﹣AB＝3，GC＝CD﹣DG＝3，∴BF＝CG，又∠FPB＝∠CPG，∠F＝∠CGP＝90°，∴△FPB≌△CPG（AAS），∴BP＝PC，∴，∴AB+BP＝6+5＝11，∴運動時間為秒；當(dāng)P在CD上時，，∴PD＝9，∴AB+BC+CP＝6+10+（12﹣9）＝19，∴運動時間為，綜上所述，當(dāng)P運動或秒時，三角形APD的面積為36．故答案為：或．7．已知：如圖（1），長方形ABCD中，E是邊AD上一點，且AE＝6cm，AB＝8cm，點P從B出發(fā)，沿折線BE﹣ED﹣DC勻速運動，運動到點C停止．P的運動速度為2cm/s，運動時間為t（s），△BPC的面積為y（cm2）．y與t的函數(shù)關(guān)系式圖象如圖（2），則下列結(jié)論：①a＝7；②b＝10；③BE＝BC；④當(dāng)t＝3時，△PCD為等腰三角形；⑤當(dāng)t＝10s時，y＝12cm2．其中正確的是①③④．【分析】先通過t＝5，y＝40計算出AB長度和BC長度，則DE長度可求，根據(jù)BE+DE長計算a的值，b的值是整個運動路程除以速度即可，當(dāng)t＝10時找到P點位置計算△BPC面積即可判斷y值．【解答】解：①當(dāng)P點運動到E點時，△BPC面積最大，結(jié)合函數(shù)圖象可知當(dāng)t＝5時，△BPC面積最大為40，∴BE＝5×2＝10．∵?BC?AB＝40，∴BC＝10．則ED＝10﹣6＝4．當(dāng)P點從E點到D點時，所用時間為4÷2＝2（s），∴a＝5+2＝7．故①正確，符合題意；②P點運動完整個過程需要時間t＝（10+4+8）÷2＝11s，即b＝11，②錯誤，不符合題意；③由題意得，BE＝＝＝10＝CB，故③正確，符合題意；④當(dāng)t＝3時，BP＝AE＝6，又BC＝BE＝10，∠AEB＝∠EBC，∴△BPC≌△EAB（AAS），∴CP＝AB＝8，∴CP＝CD＝8，∴△PCD是等腰三角形，故④正確，符合題意；⑤當(dāng)t＝10時，P點運動的路程為10×2＝20（cm），此時PC＝22﹣20＝2，△BPC面積為×10×2＝10（cm2），故⑤錯誤，不符合題意．故答案為：①③④．8．如圖①，四邊形ABCD中，AB∥CD，∠ADC＝90°．（1）動點M從A出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿路線A→B→C→D運動到點D停止．設(shè)運動時間為a，△AMD的面積為S，S關(guān)于a的函數(shù)圖象如圖②所示，求AD、CD的長．（2）如圖③，動點P從點A出發(fā)，以每秒2個單位的速度沿路線A→D→C運動到點C停止．同時，動點Q從點C出發(fā)，以每秒5個單位的速度沿路線C→D→A運動到點A停止．設(shè)運動時間為t，當(dāng)Q點運動到AD邊上時，連接CP、CQ、PQ，當(dāng)△CPQ的面積為8時，求t的值．【分析】（1）由函數(shù)圖象可知，點M從A出發(fā)，從點C到D耗時16秒，即CD＝16，再由S＝CD?AD＝96，即可求解；（2）由題意得，當(dāng)Q運動到A停止的時間為，而點P運動到D的時間為＝6，故只能有點P、Q都在AD邊上，此時有以PQ為底邊，CD為高的三角形CPQ，再分按點P在Q上方、點P在點Q下方兩種情況，分別求解即可．【解答】解：（1）由函數(shù)圖象可知，點M從A出發(fā)，從點C到D耗時16秒，即CD＝16，此時S＝CD?AD＝16×AD＝96，解得：AD＝12，∴AD＝12，CD＝16；（2）由題意得，當(dāng)Q運動到A停止的時間為，而點P運動到D的時間為＝6，當(dāng)點P、Q都在AD邊上，此時有以PQ為底邊，CD為高的三角形CPQ，設(shè)運動的時間為t，則AP＝2t，DQ＝5t﹣16，而≤t＜，當(dāng)點P在Q上方時，則PQ＝AD﹣AP﹣QD＝12﹣2t﹣5t+16＝28﹣7t，△CPQ的面積＝PQ×CD＝（28﹣7t）×16＝8，解得：t＝（滿足條件）；當(dāng)點P在點Q下方時，PQ＝DQ﹣（AD﹣AP）＝5t﹣16﹣（12﹣2t）＝7t﹣28，△CPQ的面積＝PQ×CD＝（7t﹣28）×16＝8，解得：t＝（滿足條件）；當(dāng)點P在CD上時，點Q運動到A時，×（28﹣2t）×12＝8，解得t＝，綜上，t＝或或．考點三一次函數(shù)圖象與網(wǎng)格圖形的面積【知識點睛】解題步驟：①確定題中所給正方形的個數(shù)，算成平分后一半圖形的面積②根據(jù)直線所過另一點，將圖形的其中一半加上個別正方形，湊成直角三角形③由湊成的直角三角形的面積求出直線另一點的坐標(biāo)④根據(jù)待定系數(shù)法求出直線解析式【類題訓(xùn)練】1．八個邊長為1的正方形如圖擺放在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過原點的一條直線l將這八個正方形分成面積相等的兩部分，則該直線l的解析式為（）A．y＝﹣x B．y＝﹣x C．y＝﹣x D．y＝﹣x【分析】設(shè)直線l和八個正方形的最上面交點為A，過A作AB⊥OB于B，B過A作AC⊥OC于C，易知OB＝3，利用三角形的面積公式和已知條件求出A的坐標(biāo)即可得到該直線l的解析式．【解答】解：設(shè)直線l和八個正方形的最上面交點為A，過A作AB⊥OB于B，B過A作AC⊥OC于C，∵正方形的邊長為1，∴OB＝3，∵經(jīng)過原點的一條直線l將這八個正方形分成面積相等的兩部分，∴S△AOB＝4+1＝5，∴OB?AB＝5，∴AB＝，∴OC＝，由此可知直線l經(jīng)過（﹣，3），設(shè)直線方程為y＝kx，則3＝﹣k，k＝﹣，∴直線l解析式為y＝﹣x，故選：D．2．八個邊長為1的正方形如圖擺放在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過原點的一條直線l將這八個正方形分成面積相等的兩部分，則該直線l的解析式為（）A．y