高中數(shù)學培優(yōu)講義練習（選擇性必修一）：圓與圓的位置關(guān)系-重難點題型精講（教師版）

專題2.15圓與圓的位置關(guān)系-重難點題型精講1．圓與圓的位置關(guān)系及判斷方法(1)圓與圓的位置關(guān)系圓與圓有五種位置關(guān)系：外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含，其中外離和內(nèi)含統(tǒng)稱為相離，外切和內(nèi)切統(tǒng)稱為相切.(2)圓與圓的位置關(guān)系的判定方法

①利用圓心距和兩圓半徑比較大小(幾何法)：

設(shè)兩圓與的圓心距為d，則d=，兩圓的位置關(guān)系表示如下：②代數(shù)法：聯(lián)立兩圓方程，根據(jù)方程組解的個數(shù)即可作出判斷.

當>0時，兩圓有兩個公共點，相交；當=0時，兩圓只有一個公共點，包括內(nèi)切與外切；當<0時，兩圓無公共點，包括內(nèi)含與外離.2．兩圓的公切線(1)兩圓公切線的定義

兩圓的公切線是指與兩圓相切的直線，可分為外公切線和內(nèi)公切線.

(2)兩圓的公切線位置的5種情況①外離時，有4條公切線，分別是2條外公切線，2條內(nèi)公切線；

②外切時，有3條公切線，分別是2條外公切線，1條內(nèi)公切線；

③相交時，有2條公切線，都是外公切線；

④內(nèi)切時，有1條公切線；

⑤內(nèi)含時，無公切線.

判斷兩圓公切線的條數(shù),實質(zhì)就是判斷兩圓的位置關(guān)系。

(3)求兩圓公切線方程的方法

求兩圓的公切線方程時，首先要判斷兩圓的位置關(guān)系，從而確定公切線的條數(shù)，然后利用待定系數(shù)法，設(shè)公切線的方程為y=kx+b，最后根據(jù)相切的條件，得到關(guān)于k,b的方程組，求出k,b的值即可.要注意公切線的斜率可能不存在.3．兩圓的公共弦問題(1)求兩圓公共弦所在的直線的方程的常用方法兩圓相交時，有一條公共弦，如圖所示.

設(shè)圓:，①

圓:，②

①-②，得，③

若圓與圓相交，則③為兩圓公共弦所在的直線的方程.若為圓與圓的交點，則點滿足且，所以.即點適合直線方程，故在③所對應(yīng)的直線上，③表示過兩圓與交點的直線，即公共弦所在的直線的方程.(2)求兩圓公共弦長的方法

①代數(shù)法：將兩圓的方程聯(lián)立，解出兩交點的坐標，利用兩點間的距離公式求公共弦長.

②幾何法：求出公共弦所在直線的方程，利用圓的半徑、半弦長、弦心距構(gòu)成的直角三角形，由勾股定理求出公共弦長.4．圓系方程及其應(yīng)用技巧具有某些共同性質(zhì)的圓的集合稱為圓系，它們的方程叫作圓系方程.常見的圓系方程有以下幾種：

(1)以(a,b)為圓心的同心圓系方程是.

(2)與圓同心的圓系方程是.

(3)過同一定點(a,b)的圓系方程是.

(4)過直線Ax+By+C=0與圓的交點的圓系方程是.

(5)過兩圓:和:的交點的圓系方程是().(其中不含有圓:,注意檢驗是否滿足題意,以防漏解).

①當時，l:為兩圓公共弦所在的直線方程.

②當兩圓相切(內(nèi)切或外切)時，l為過兩圓公共切點的直線方程.【題型1圓與圓的位置關(guān)系及判定】【方法點撥】判斷圓與圓的位置關(guān)系的一般步驟：①將兩圓的方程化為標準方程(若圓的方程已是標準形式，此步驟不需要);②分別求出兩圓的圓心坐標和半徑；③求兩圓的圓心距d；④比較d與的大小關(guān)系；⑤根據(jù)大小關(guān)系確定位置關(guān)系.【例1】（2022·河南·高二階段練習）圓(x+1)2+y2=4A．內(nèi)切 B．相交 C．外切 D．相離【解題思路】首先確定兩圓的圓心與半徑，再求出圓心距，即可判斷.【解答過程】解：由(x?2)2+(y?1)2=25由(x+1)2+y2=4∴AB=10，R+r=7，R?r=3，∴故選：B．【變式1-1】（2022·全國·高二課時練習）已知圓C1:x2+A．內(nèi)切 B．相交 C．外切 D．外離【解題思路】根據(jù)題意，由圓的方程求出兩個圓的圓心和半徑，求出圓心距，由圓與圓的位置關(guān)系分析可得答案.【解答過程】由題意，知圓C1的圓心C1(0,0)圓C2的方程可化為x?522+因為兩圓的圓心距C1故選：C.【變式1-2】（2022·全國·高二課時練習）已知圓C1:x2+y2?2x+my+1=0(m∈R)的面積被直線x+2y+1=0平分，圓A．外離 B．相交 C．內(nèi)切 D．外切【解題思路】由圓C1的面積被直線x+2y+1=0平分，可得圓心在直線上，求出m，進而利用圓心距與半徑和以及半徑差的關(guān)系可得圓C1與圓【解答過程】因為圓C1的面積被直線x+2y+1=0平分，所以圓C1的圓心1,?m所以1+2×?m2+1=0，解得m=2，所以圓C1因為圓C2的圓心為(?2,3)，半徑為5，所以C故5?1<C1C2<5+1故選：B．【變式1-3】（2022·安徽·高三開學考試）已知直線l:mx+y?3m?2=0與圓M:(x?5)2+(y?4)2=25交于A,B兩點，則當弦AB最短時，圓A．內(nèi)切 B．外離 C．外切 D．相交【解題思路】由直線l:mx+y?3m?2=0過定點P3,2且定點在圓M內(nèi)，當弦AB最短時直線l垂直PM，根據(jù)斜率乘積為?1求出m，進而求出圓N【解答過程】易知直線l:mx+y?3m?2=0即mx?3+y?2=0過定點P3,2，因為3?52+故弦AB最短時直線l垂直PM，又kPM=4?25?3=1此時圓N的方程是x+22兩圓圓心之間的距離MN=5+2又65>故選：B.【題型2由圓與圓的位置關(guān)系確定參數(shù)】【方法點撥】根據(jù)兩圓的位置關(guān)系，利用圓心距與半徑的和或差的絕對值的大小關(guān)系列出關(guān)系式，求出參數(shù)的值或取值范圍，注意相切和相離均包括兩種情況.【例2】（2022·全國·高二單元測試）已知圓C1(x?2)2+(y+2)2=r2(r>0)與圓A．7 B．3 C．3或7 D．5【解題思路】根據(jù)兩圓內(nèi)切或外切即可求解.【解答過程】C1因為圓C1與圓C所以圓C1與圓C所以r?2=5或r+2=5，所以r=7或r=3，故選：C．【變式2-1】（2022·全國·高二課時練習）已知圓C:x?32+y?42=25?m與圓A．1 B．9 C．10 D．16【解題思路】直接利用圓心距等于兩圓的半徑之和列方程即可求解.【解答過程】因為圓C與圓O外切，所以兩圓的圓心距等于兩圓的半徑之和，即3?02+4?0故選：B．【變式2-2】（2022·江蘇省高二階段練習）已知圓C1：x?32+y+22=1與圓C2：x?72+A．14 B．34 C．14或45 D．34或14【解題思路】根據(jù)兩圓內(nèi)切或外切可得圓心距，從而可求實數(shù)a.【解答過程】圓C1：x?32+圓C2：x?72+C1因為圓C1與圓C2有且僅有一個公共點，故圓C1故1?r2=5或r2+1=5所以r2=50?a=6或r2所以實數(shù)a等于34或14，故選：D.【變式2-3】（2022·全國·高三專題練習）若圓C1:x2+y2A．12 B．23 C．1 【解題思路】確定出兩圓的圓心和半徑，然后由兩圓的位置關(guān)系建立方程求解即可.【解答過程】由x2+y2?2ay=0a>0可得x2由x2+y2?4x+3=0可得x?22+因為兩圓相外切，所以4+a2=a+1故選：D.【題型3與兩圓相切有關(guān)問題】【方法點撥】處理兩圓相切問題，首先必須準確把握是內(nèi)切還是外切，若只是告訴兩圓相切，則必須分兩圓內(nèi)切和外切兩種情況討論；其次，將兩圓相切的問題轉(zhuǎn)化為兩圓的圓心距等于兩圓半徑之差的絕對值(內(nèi)切時)或兩圓半徑之和(外切時).【例3】（2022·全國·高二課時練習）設(shè)圓C1:x2+y2?2x+4y=4，圓A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【解題思路】先根據(jù)圓的方程求出圓心坐標和半徑，再根據(jù)圓心距與半徑的關(guān)系即可判斷出兩圓的位置關(guān)系，從而得解．【解答過程】由題意，得圓C1:x?12+y+22=32，圓心C11,?2，圓故選：B．【變式3-1】（2022·全國·高二專題練習）下列方程中，圓C1:x2?2x+A．x+3y+3=0 C．3x+y+3=0 D．【解題思路】設(shè)公切線l與圓C1，圓C2分別相切于第一象限的A，B兩點，由幾何關(guān)系求出P3,0【解答過程】根據(jù)題意可知C1:x?1如圖，設(shè)公切線l與圓C1，圓C2分別相切于第一象限的A，B兩點，與x軸相交于點由幾何關(guān)系可知C1A=1，OB=3所以O(shè)P=3，P3,0，sin∠OPB=12，∠OPB=則l的方程為y=?33x?3根據(jù)對稱可得出另一條公切線方程為x?3故選：B．【變式3-2】（2022·全國·高二專題練習）圓x2+y?22=4與圓xA．?∞,?5C．?5,5【解題思路】由題知兩圓的位置關(guān)系為外切或相離，進而根據(jù)圓心距與半徑和的關(guān)系求解即可.【解答過程】解：將x2+2mx+y2+m2圓x2+y?22=4因為圓x2+y?2所以兩圓的位置關(guān)系為外切或相離，所以m2+4≥2+1，即m故選：D.【變式3-3】（2022·江蘇·高二課時練習）若直線l與圓C1:x+12+y2=1，圓C2A．1 B．2 C．3 D．2【解題思路】設(shè)直線l交x軸于點M，推導(dǎo)出C1為MC2的中點，A為BM【解答過程】如下圖所示，設(shè)直線l交x軸于點M，由于直線l與圓C1:x+12+y2則AC1⊥l，B∵BC2=2=2AC1，∴C1由勾股定理可得AB=故選：C.【題型4兩圓的公共弦問題】【方法點撥】解決兩圓公共弦問題的一般步驟：第一步：判斷兩圓有沒有公共弦；第二步：如果存在公共弦，那么只需要將兩圓的方程相減，即可求得公共弦所在直線的方程；第三步：求出其中一個圓的圓心到公共弦的距離；第四步：利用勾股定理求出公共弦長.【例4】（2022·全國·高二專題練習）圓x2+y2=4A．x?y+2=0 B．x?y?2=0C．x+y+2=0 D．x+y?2=0【解題思路】將兩圓方程作差可得出兩圓相交弦所在直線的方程.【解答過程】圓x2+y2=4圓x2+y2?4x+4y?12=0的標準方程為x?2因為AB=22所以，圓x2+y將兩圓方程作差得4x?4y+8=0，即x?y+2=0.因此，兩圓的相交弦所在直線的方程為x?y+2=0.故選：A.【變式4-1】（2022·全國·高二課時練習）圓C1:x2+A．6 B．210 C．4 D．【解題思路】根據(jù)圓C1與圓C【解答過程】圓C1與圓C2的方程相減得?10y=?10，即又C20,0到直線所以公共弦長為210?1故選：A.【變式4-2】（2022·全國·高二專題練習）已知圓C1:x2+A．2 B．22 C．2 【解題思路】圓方程相減得到公共弦方程，計算圓心到直線的距離，計算弦長得到答案.【解答過程】由題意知C1:x將兩圓的方程相減得x+y?3=0，所以兩圓的公共弦所在直線的方程為x+y?3=0.又因為圓C1：x+22+y?12所以圓C1的圓心到直線x+y?3=0的距離d=所以這兩圓的公共弦的弦長為2r故選：C.【變式4-3】（2022·江蘇·高二開學考試）若圓C1:x2+y2A．a(chǎn)B．a(chǎn)C．AB中點的軌跡方程為xD．AB中點的軌跡方程為x【解題思路】兩圓方程相減求出直線AB的方程，進而根據(jù)弦長求得a2+b2=3，即可判斷A、B選項；由圓的性質(zhì)可知直線C1C2垂直平分線段AB，進而可得【解答過程】兩圓方程相減可得直線AB的方程為a2即2ax+2by?a因為圓C1的圓心為C1且公共弦AB的長為1，則C10,02ax+2by?a2?所以a2+b故A、B錯誤；由圓的性質(zhì)可知直線C1C2所以C10,0到直線2ax+2by?即為AB中點與點C1的距離，設(shè)AB中點坐標為x,y因此x?02即x2故選：C.【題型5圓系方程及其應(yīng)用】【方法點撥】求過兩圓交點的圓的方程，一般用代數(shù)法，即先求出兩圓的交點，再利用圓的幾何性質(zhì)確定圓心的坐標和半徑；也可由題意設(shè)出所求圓的方程，再根據(jù)條件建立方程組，最后求出圓的方程，或直接用圓系方程求解，這樣會使運算簡捷.【例5】（2022·江西省高一階段練習（理））求過兩圓x2+y2?2y?4=0和xA．x2+yC．x2+y【解題思路】先計算出兩圓的交點A,B所在直線，進而求出線段AB的垂直平分線，與2x+4y?1=0聯(lián)立求出圓心坐標，再求出半徑，寫出圓的標準方程，從而求出圓的一般方程.【解答過程】x2+y2?2y?4=0將y=x?1代入x2+y即2x設(shè)兩圓x2+y2?2y?4=0則x=1±62，x1不妨設(shè)A1+所以線段AB的中點坐標為x1因為直線AB的斜率為1，所以線段AB的垂直平分線的斜率為-1，所以線段AB的垂直平分線為y=?x?1y=?x+1與2x+4y?1=0聯(lián)立得：x=3故圓心坐標為32,?1所以圓的方程為x?3整理得：x2故選：D.【變式5-1】（2021·全國·高二課時練習）圓心在直線x﹣y﹣4＝0上，且經(jīng)過兩圓x2+y2﹣4x﹣3＝0，x2+y2﹣4y﹣3＝0的交點的圓的方程為（

）A．x2+y2﹣6x+2y﹣3＝0 B．x2+y2+6x+2y﹣3＝0C．x2+y2﹣6x﹣2y﹣3＝0 D．x2+y2+6x﹣2y﹣3＝0【解題思路】求出兩個圓的交點，再求出中垂線方程，然后求出圓心坐標，求出半徑，即可得到圓的方程．【解答過程】由x2解得兩圓交點為M2+102因為kMN=1，所以線段MN的垂直平分線斜率k2=?1；所以垂直平分線為y＝﹣x+2，由y=?x+2x?y?4=0解得x＝3，y＝﹣1，所以圓心O點坐標為（3，﹣1），所以r=3?所以所求圓的方程為（x﹣3）2+（y+1）2＝13，即：x2+y2﹣6x+2y﹣3＝0，故選：A.【變式5-2】（2021·全國·高二專題練習）過點M(2,?2)以及圓x2+y2?5x=0A．x2+yC．x2+y【解題思路】根據(jù)過兩圓交點的圓系方程可設(shè)所求圓的方程為x2+y2?5x+λ【解答過程】設(shè)所求的圓的方程為x2把點M(2,?2)代入可得,4+4?5×2+λ4+4?2解得λ=13,所以所求圓的方程為故選:A.【變式5-3】（2021·江蘇·高二專題練習）若圓C的圓心在直線x?y?4=0上，且經(jīng)過兩圓x2+y2?4x?6=0和x2+A．0 B．85 C．2 D．【解題思路】求出過AB兩點的垂直平分線方程，再聯(lián)立直線x?y?4=0，求得圓心，結(jié)合點到直線距離公式即可求解【解答過程】設(shè)兩圓交點為A,B，聯(lián)立x2得x1=?1y1=?1則AB中點為1,1，過AB兩點的垂直平分線方程為y=?x?1聯(lián)立y=?x+2x?y?4=0得x=3y=?1，故圓心為3,?1由點到直線距離公式得d=故選：C.【題型6直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用】【方法點撥】對于實際生活中直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系的問題，通常采用建立平面直角坐標系來解決，一般步驟如下：第一步：認真審題，理解題意，把題中的實際問題轉(zhuǎn)化為直線與圓、圓與圓的有關(guān)問題；第二步：建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，用坐標和方程表示問題中的幾何元素，將實際問題轉(zhuǎn)化為解析幾何問題；第三步：通過點的坐標及方程的有關(guān)運算解決問題；第四步：將運算結(jié)果“翻譯”成實際問題中的結(jié)論；第五步：檢驗與作答.【例6】（2021秋?濮陽期末）如圖所示，一隧道內(nèi)設(shè)雙行線公路，其截面由一段圓弧和一個長方形構(gòu)成．已知隧道總寬度AD為63m，行車道總寬度BC為211m，側(cè)墻EA、FD高為2m，弧頂高MN為5（1）建立直角坐標系，求圓弧所在的圓的方程；（2）為保證安全，要求行駛車輛頂部（設(shè)為平頂）與隧道頂部在豎直方向上的高度之差至少要有0.5m．請計算車輛通過隧道的限制高度是多少．【解題思路】（1）以EF所在直線為x軸，以MN所在直線為y軸，以1m為單位長度建立直角坐標系．設(shè)圓的方程為（x﹣0）2+（y﹣b）2＝r2，通過F，M在圓上，求出變量的值，得到圓的方程．（2）設(shè)限高為h，作CP⊥AD，交圓弧于點P，則|CP|＝h+0.5，將P的橫坐標x=11代入圓的方程，求出y【解答過程】解：（1）以EF所在直線為x軸，以MN所在直線為y軸，以1m為單位長度建立直角坐標系．則E（﹣33，0），F(xiàn)（33，0），M（0，3），由于所求圓的圓心在y軸上，所以設(shè)圓的方程為（x﹣0）2+（y﹣b）2＝r2，因為F，M在圓上，所以(33解得b＝﹣3，r2＝36．所以圓的方程為x2+（y+3）2＝36．（2）設(shè)限高為h，作CP⊥AD，交圓弧于點P，則|CP|＝h+0.5，將P的橫坐標x=11得(11得y＝2或y＝﹣8（舍），所以h＝|CP|﹣0.5＝（y+|DF|）﹣0.5＝（2+2）﹣0.5＝3.5（m）．答：車輛通過隧道的限制高度是3.5米．【變式6-1】（2021·全國·高二專題練習）某品牌的logo是用一系列1，2，3，5，8，13，??為半徑的圓截得的，如圖所示，右上方是三個半徑為8的圓，自上而下依次為圓A，圓B，圓C，已知它們的圓心在斜率為?1的同一直線上，已知圓A與x軸相切于坐標原點O，且圓A的圓心在x軸上方，圓B與y軸相切，且圓心在y軸右側(cè)，圓C與圓B外切．（1）求圓B的方程；（2）求圓A與圓B的公共弦所在直線方程；（3）寫出圓C的標準方程（不用寫過程）．【解題思路】如圖建立平面直角坐標系，（1）由于圓A與x軸相切于坐標原點O，所以可得圓A的圓心和半徑，由于圓B與y軸相切且rB=8．圓心B在y軸右側(cè)，可得圓心為(8,0)，從而可求出圓（2）兩圓方程相減可得公共弦的方程；（3）圓C與圓B外切，可得圓C的圓心為(8+82,?82【解答過程】解：由已知：可建立如下平面直角坐標系，（1）∵圓A與x軸相切于O點，圓心A在x軸上方且rA∴圓A：x2而A，B，C三點共線且其斜率為?1，∴l(xiāng)又∵圓B與y軸相切且rB=8．圓心B在∴圓心B應(yīng)在x=8上，∴{y=?x+8∴圓B:(x?8)2（2）由（1）問知：將兩圓方程作差得：16x?16y=0，即圓A與圓B的公共弦所在直線方程為：y=x，（3）圓C:[x?(8+8【變式6-2】如圖：為了保護河上古橋OA，規(guī)劃建一座新橋BC，同時設(shè)立一個圓形保護區(qū)．經(jīng)測量，點A位于點O正北方向60m處，點C位于點O正東方向170m處（OC為河岸）．規(guī)劃要求：新橋BC與河岸AB垂直，保護區(qū)的邊界為圓心M（在線段OA上）與BC相切的圓．建立如圖所示的直角坐標系，已知新橋BC所在直線的方程為：4x+3y﹣680＝0．（1）求新橋端點B的坐標；（2）當圓形保護區(qū)的圓心M在古橋OA所在線段上（含端點）運動時，求圓形保護區(qū)的面積的最小值，并指出此時圓心M的位置．【解題思路】（1）設(shè)出B的坐標，利用AB和BC垂直，利用待定系數(shù)法即可得到結(jié)論．（2）要求圓面積的最小值，則只需求得圓半徑的最小值即可得到結(jié)論．【解答過程】解：（1）設(shè)B（a，b），由題意可知A（0，60），直線BC的斜率k=?則滿足條件4a+3b?680=0b?60解得a=80b=120，即B（2）要使圓形保護區(qū)的面積的最小，則只需求得圓半徑最小即可，∵AB⊥BC，∴設(shè)M（0，t），0≤t≤60，則M到直線4x+3y﹣680＝0的距離d=|3t?680|∴當t＝60時，距離d最小，即當M位于點A（0，60）時，此時圓的半徑最小，此時半徑r＝AB=8圓心M（0，60）．則圓的