復(fù)化梯形求積公式

第二章復(fù)合梯形求積公式是復(fù)合求積法的一種，在本章中，將從其原理、概念等方面對它做一個詳細(xì)介紹。在本章的最后，會對復(fù)合梯形求積法進(jìn)行程序設(shè)計(jì)，使得可以從不同的方面對這種方法有更深的理解。1.1.1復(fù)合梯形求積公式的理論當(dāng)積分區(qū)間[a，b]的長度較大，而節(jié)點(diǎn)個數(shù)固定時，直接使用Newton-Cotes公式的余項(xiàng)將會較大。但是如果增加節(jié)點(diǎn)個數(shù)，即增加時，公式的舍入誤差又很難得到控制。為了提高公式的精度,又使算法簡單易行,往往使用復(fù)化方法。即將積分區(qū)間分成假設(shè)干子區(qū)間，然后在每個小區(qū)間上使用低階Newton-Cotes公，最后將每個小區(qū)間上的積分的近似值相加，這就叫做復(fù)合求積法。而復(fù)合梯形求積公式就是復(fù)合求積法的一種。將區(qū)間劃分為n等分，分點(diǎn)在每個子區(qū)間上采用梯形公式，那么得記，〔1.1〕稱為復(fù)合梯形公式，其余項(xiàng)可由得由于 且所以使于是復(fù)合梯形公式的余項(xiàng)為可以看出誤差是階，且由式立即得到，當(dāng)時，那么，那么可得收斂性，只要把改寫成為當(dāng)時，上式右端括號內(nèi)的兩個和式均收斂到積分，所以復(fù)合梯形公式〔1.1〕收斂.此外，的求積系數(shù)為正，由定理可知復(fù)合梯形公式是穩(wěn)定的。1.2復(fù)合梯形求積公式的實(shí)例如果在區(qū)間(a，b)上直接應(yīng)用梯形公式那么可得：假設(shè)在區(qū)間(，b)中，增加一個結(jié)點(diǎn)，那么把區(qū)間(分成兩個小區(qū)間與，在兩個小區(qū)間上分別應(yīng)用梯形公式，然后相加就會得出新的求積公式T2：(其中〕＝繼續(xù)增加結(jié)點(diǎn)，把區(qū)間分成4等分，在每個小區(qū)間上分別應(yīng)用梯形公式后再相加，就會得出新的求積公式：其中同理，把區(qū)間(a，b)分成8等分時，可得求積公式T8：上面我們將區(qū)間分成等分，是為了在計(jì)算后面的數(shù)值時，充分利用到前面的數(shù)據(jù)。在一般情況下，假設(shè)把區(qū)間(分成n等分，記結(jié)點(diǎn)為，在每一個小區(qū)間[xk，xk－1]上應(yīng)用梯形公式，那么有：就可導(dǎo)出復(fù)合梯形公式利用梯形公式的余項(xiàng)公式(5.2.3)，可得復(fù)合梯形公式的截?cái)嗾`差為：例1利用復(fù)合梯形公式計(jì)算積分：該積分的精確值是。此時,下面分別用T1、T2、T4、T8進(jìn)行計(jì)算。函數(shù)f(x)＝4/(1＋x2)在各結(jié)點(diǎn)上的值可列表如下：01/82/83/84/85/86/87/81T8與準(zhǔn)確值之間的誤差為：即T8只有三位有效數(shù)字。如果要求誤差不超過，就必須對函數(shù)f(x)＝4/(1＋x2)的二階導(dǎo)數(shù)在區(qū)間[0，1]上的最大值作出估計(jì)。因?yàn)椋?，，可見在區(qū)間[0，1]上是單調(diào)增函數(shù)，(0)＝－8，(1)＝0，因此，M＝＝8，那么Tn的截?cái)嗾`差為：R(Tn)＝＝假設(shè)要求≤，即，那么817。由這個例題可以看出，梯形公式的精確度比擬低，收斂也比擬慢，因此，梯形公式并不直接用來計(jì)算積分，而是為其它的積分法(如龍貝格積分法)提供初始數(shù)據(jù)，在那里，由梯形公式得出的這些不夠準(zhǔn)確的近似值，將被一些簡單的運(yùn)算加工后變得非常準(zhǔn)確。一實(shí)驗(yàn)內(nèi)容用復(fù)合梯形公式計(jì)算函數(shù)在區(qū)間[0,0.6]上的弧長s.二算法原理對于積分?jǐn)?shù)值方法的根本思想是用被積函數(shù)在某些節(jié)點(diǎn)處所對應(yīng)的函數(shù)值做線性組合來做近似。我們可以從不同角度來構(gòu)造就求積公式，常用的方法是利用插值多項(xiàng)式來獲得求積公式〔稱之為差值型求積〕。Newton-Cotes公式是在等距節(jié)點(diǎn)下的特殊插值型求積公式，但做實(shí)際計(jì)算時，往往出現(xiàn)數(shù)值不穩(wěn)定，精度難以保證，所以采用復(fù)合求積法。低級復(fù)合求積法是把積分區(qū)間分成假設(shè)干小區(qū)間，分別在每一個小區(qū)間上用根本公式〔如低階的N-C公式：梯形，Simpson，cotes公式等〕做近似，然后求和，從而導(dǎo)出求定積分的數(shù)值公式。一般在[a,b]上n等分，取步長，節(jié)點(diǎn)，每個小區(qū)間[,]上用梯形公式，根據(jù)積分區(qū)間的可加性的復(fù)合梯形求積公式為然后計(jì)算可得答案三變量說明a：存放區(qū)間下限b：存放區(qū)間上限f[x]：存放被積分函數(shù)h：存放節(jié)點(diǎn)步長n：存放復(fù)合梯形公式的節(jié)點(diǎn)等分次數(shù)s：存放弧長四源程序代碼#include"stdio.h"#include"math.h"main(){ intn=8,k; doublea=0,b=0.6; doublex,s; doubleh=(b-a)/8; doublef[9]; doubles1=0; for(k=0;k<=8;k++) { x=a+k*h;f[k]=sqrt(1+(2*x-3*x*x)*(2*