福建省泉州市三校2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1福建省泉州市三校2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分）一、單選題(5×8=40）1.已知復(fù)數(shù)z滿足，則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?，以z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（7，-1），位于第四象限．故選：D.2.已知兩個(gè)向量，，若，則x的值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗若，則，解得.故選：A.3.在下列區(qū)間中，函數(shù)在其中單調(diào)遞減的區(qū)間是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由得，，的減區(qū)間是，，只有選項(xiàng)B的區(qū)間，故選：B．4.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c.已知A=45°，a=6，b=3，則B的大小為（）A.30° B.60°C.30°或150° D.60°或120°〖答案〗A〖解析〗由正弦定理得，即，解得sinB=，又B為三角形內(nèi)角，所以B=30°或B=150°，又因?yàn)閍>b，所以A>B，即B=30°.故選：A.5.已知，是同一平面內(nèi)互相垂直的兩單位向量，且，則與夾角的余弦值為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意，，，故與夾角的余弦值故選：D6.已知，且，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，所以，所以，則.因?yàn)?，則，故，所以.故選：A7.在中，，點(diǎn)D為邊BC上靠近B的三等分點(diǎn)，則的值為（）A. B. C. D.4〖答案〗B〖解析〗如下圖所示：，由平面向量數(shù)量積的定義可得，因此，故選：B.8.函數(shù)，已知為圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，直線為圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸，且在上單調(diào)遞減．記滿足條件的所有的值的和為，則的值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意知：或∴或∴或∵在上單調(diào)遞減，∴∴①當(dāng)時(shí)，取知此時(shí)，當(dāng)時(shí)，滿足在上單調(diào)遞減，∴符合取時(shí)，，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，滿足在上單調(diào)遞減，∴符合當(dāng)時(shí)，，舍去，當(dāng)時(shí)，也舍去②當(dāng)時(shí)，取知此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞增，舍去當(dāng)時(shí)，，舍去，當(dāng)時(shí)，也舍去綜上：或2，.故選：A.二、多選題(5×4=20)9.若，，則（）A. B.C.與的夾角為 D.在方向上的投影向量為〖答案〗AD〖解析〗因?yàn)?，，所以，，，所以，，則，，故A正確，B錯(cuò)誤；設(shè)與的夾角為，則，因?yàn)?，所以，故C錯(cuò)誤；在方向上的投影向量為，故D正確；故選：AD10.把函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍（縱坐標(biāo)不變）得到函數(shù)的圖象，下列關(guān)于函數(shù)的說(shuō)法正確的是（）A.最小正周期為 B.圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸為直線C.圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為 D.在區(qū)間上的最小值為〖答案〗AB〖解析〗把函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得，再把橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍（縱坐標(biāo)不變）得，則函數(shù)的最小正周期，故A正確；因?yàn)?，所以圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸為直線，故B正確因?yàn)?，所以不是函?shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，故C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，，所以，故D錯(cuò)誤；故選：AB.11.如圖，的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，且，D是外一點(diǎn)，，，則下列說(shuō)法正確的是（）A.是等邊三角形B.若，則A，B，C，D四點(diǎn)共圓C.四邊形ABCD面積最小值為D.四邊形ABCD面積最大值為〖答案〗AD〖解析〗已知，由正弦定理得，，即，因?yàn)?，所以，又，且，所以．所以是等邊三角形，A選項(xiàng)正確；在中，由余弦定理得，，則，即，所以A，B，C，D四點(diǎn)不共圓，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；設(shè)，，由余弦定理得：，所以四邊形ABCD面積，即，因?yàn)?，所以，所以?dāng)，即時(shí)，S取得最大值，無(wú)最小值，C選項(xiàng)不正確，D選項(xiàng)正確；故選：AD.12.設(shè)，函數(shù)，則下列命題正確的是（）A.若，則B.若的值域?yàn)?，則C.若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有唯一零點(diǎn)，則D.若對(duì)任意的，且都有恒成立，則〖答案〗BCD〖解析〗因?yàn)?，?duì)于A：，所以或，，解得或，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：若的值域?yàn)?，?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)且，所以，解得，故B正確；對(duì)于C：若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有唯一零點(diǎn)，①又，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，當(dāng)時(shí)且，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，此時(shí)函數(shù)必有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，符合題意；②，即，則當(dāng)時(shí)且即函數(shù)在上單調(diào)遞增，即在上不存在零點(diǎn)，要使函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，故，解得，綜上可得，故C正確；對(duì)于D：對(duì)任意的，且都有恒成立，即對(duì)任意的，且都有恒成立，即在上單調(diào)遞增，所以，解得，故D正確；故選：BCD三、填空題(共20分)13.若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)m=____.〖答案〗2〖解析〗由題意，，解得故〖答案〗為：2.14.已知，與的夾角為，則______.〖答案〗〖解析〗因?yàn)椋c夾角為，所以.故〖答案〗為：15.海洋藍(lán)洞是地球罕見(jiàn)的自然地理現(xiàn)象，被喻為“地球留給人類(lèi)保留宇宙秘密的最后遺產(chǎn)”，我國(guó)擁有世界上最深的海洋藍(lán)洞，若要測(cè)量如圖所示的藍(lán)洞的口徑A，B兩點(diǎn)間的距離，現(xiàn)在珊瑚群島_上取兩點(diǎn)C，D，測(cè)得，，，，則A、B兩點(diǎn)的距離為_(kāi)_____m．〖答案〗〖解析〗因?yàn)椋?，所以，，所以，又因?yàn)?，所以，，在中，由正弦定理得，即，解得，在中，由余弦定理得，所以，解得．故〖答案〗為?16.記銳角的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且，若，是的兩條高，則的取值范圍是______.〖答案〗〖解析〗由，得，再由正弦定理得，故，所以，故，又為銳角三角形，故，即，，故，故〖答案〗為：.四、解答題(共10+12+12+12+12+12=70分)17.已知平面向量，，.（1）若，求；（2）若與的夾角為銳角，求的取值范圍.解：（1），，解得：或，當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，；綜上所述：或10（2）若共線，則，解得：或，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)同向；當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)反向；若與的夾角為銳角，則，解得：且，的取值范圍為.18.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值；（2）若，求的值．解：（1）依題意，，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)，即時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，.（2）因?yàn)?，則由（1）知，，即，所以.19.在平面四邊形ABCD中，，，.（1）若△ABC的面積為，求AC；（2）若，，求.解：（1）在△中，，，∴，可得，在△中，由余弦定理得，.（2）設(shè)，則，在中，，易知：，在△中，由正弦定理得，即，，可得，即.20.如圖，在中，點(diǎn)在線段上，且滿足，過(guò)點(diǎn)的直線分別交直線于不同的兩點(diǎn)，若.（1），求的值；（2）求證：，并求的最小值.解：（1），故，（2），三點(diǎn)共線，故，即，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為.21.銳角的三個(gè)內(nèi)角是、、，滿足．（1）求角的大小及角的取值范圍；（2）若的外接圓圓心為，且，求的取值范圍．解：（1）設(shè)的三個(gè)內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻?，所以，故，所以為銳角，所以，因?yàn)闉殇J角三角形，則，解得，所以，角的取值范圍是.（2）設(shè)的外接圓半徑為，所以，，設(shè)，則，則，所以，因?yàn)?，所以，所以所以，所以，所以的取值范圍?22.為響應(yīng)國(guó)家“鄉(xiāng)村振興”號(hào)召，農(nóng)民王大伯?dāng)M將自家一塊直角三角形地按如圖規(guī)劃成3個(gè)功能區(qū)：△BNC區(qū)域?yàn)槔笾α趾头硼B(yǎng)走地雞，△CMA區(qū)域規(guī)劃為“民宿”供游客住宿及餐飲，△MNC區(qū)域規(guī)劃為小型魚(yú)塘養(yǎng)魚(yú)供休閑垂釣.為安全起見(jiàn)，在魚(yú)塘△MNC周?chē)鹱o(hù)欄.已知，，，.（1）若時(shí)，求護(hù)欄的長(zhǎng)度（△MNC的周長(zhǎng)）；（2）當(dāng)為何值時(shí)，魚(yú)塘△MNC的面積最小，最小面積是多少？解：（1）由，，，則，所以，，則，在△ACM中，由余弦定理得，則，所以，即，又，所以，則，綜上，護(hù)欄的長(zhǎng)度（△MNC的周長(zhǎng)）為.（2）設(shè)，在△BCN中，由，得，在△ACM中，由，得，所以，而，所以，僅當(dāng)，即時(shí)，有最大值為，此時(shí)△CMN的面積取最小值為.福建省泉州市三校2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分）一、單選題(5×8=40）1.已知復(fù)數(shù)z滿足，則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?，以z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（7，-1），位于第四象限．故選：D.2.已知兩個(gè)向量，，若，則x的值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗若，則，解得.故選：A.3.在下列區(qū)間中，函數(shù)在其中單調(diào)遞減的區(qū)間是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由得，，的減區(qū)間是，，只有選項(xiàng)B的區(qū)間，故選：B．4.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c.已知A=45°，a=6，b=3，則B的大小為（）A.30° B.60°C.30°或150° D.60°或120°〖答案〗A〖解析〗由正弦定理得，即，解得sinB=，又B為三角形內(nèi)角，所以B=30°或B=150°，又因?yàn)閍>b，所以A>B，即B=30°.故選：A.5.已知，是同一平面內(nèi)互相垂直的兩單位向量，且，則與夾角的余弦值為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意，，，故與夾角的余弦值故選：D6.已知，且，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，所以，所以，則.因?yàn)?，則，故，所以.故選：A7.在中，，點(diǎn)D為邊BC上靠近B的三等分點(diǎn)，則的值為（）A. B. C. D.4〖答案〗B〖解析〗如下圖所示：，由平面向量數(shù)量積的定義可得，因此，故選：B.8.函數(shù)，已知為圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，直線為圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸，且在上單調(diào)遞減．記滿足條件的所有的值的和為，則的值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意知：或∴或∴或∵在上單調(diào)遞減，∴∴①當(dāng)時(shí)，取知此時(shí)，當(dāng)時(shí)，滿足在上單調(diào)遞減，∴符合取時(shí)，，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，滿足在上單調(diào)遞減，∴符合當(dāng)時(shí)，，舍去，當(dāng)時(shí)，也舍去②當(dāng)時(shí)，取知此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞增，舍去當(dāng)時(shí)，，舍去，當(dāng)時(shí)，也舍去綜上：或2，.故選：A.二、多選題(5×4=20)9.若，，則（）A. B.C.與的夾角為 D.在方向上的投影向量為〖答案〗AD〖解析〗因?yàn)?，，所以，，，所以，，則，，故A正確，B錯(cuò)誤；設(shè)與的夾角為，則，因?yàn)椋?，故C錯(cuò)誤；在方向上的投影向量為，故D正確；故選：AD10.把函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍（縱坐標(biāo)不變）得到函數(shù)的圖象，下列關(guān)于函數(shù)的說(shuō)法正確的是（）A.最小正周期為 B.圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸為直線C.圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為 D.在區(qū)間上的最小值為〖答案〗AB〖解析〗把函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得，再把橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍（縱坐標(biāo)不變）得，則函數(shù)的最小正周期，故A正確；因?yàn)?，所以圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸為直線，故B正確因?yàn)?，所以不是函?shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，故C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，，所以，故D錯(cuò)誤；故選：AB.11.如圖，的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，且，D是外一點(diǎn)，，，則下列說(shuō)法正確的是（）A.是等邊三角形B.若，則A，B，C，D四點(diǎn)共圓C.四邊形ABCD面積最小值為D.四邊形ABCD面積最大值為〖答案〗AD〖解析〗已知，由正弦定理得，，即，因?yàn)?，所以，又，且，所以．所以是等邊三角形，A選項(xiàng)正確；在中，由余弦定理得，，則，即，所以A，B，C，D四點(diǎn)不共圓，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；設(shè)，，由余弦定理得：，所以四邊形ABCD面積，即，因?yàn)?，所以，所以?dāng)，即時(shí)，S取得最大值，無(wú)最小值，C選項(xiàng)不正確，D選項(xiàng)正確；故選：AD.12.設(shè)，函數(shù)，則下列命題正確的是（）A.若，則B.若的值域?yàn)?，則C.若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有唯一零點(diǎn)，則D.若對(duì)任意的，且都有恒成立，則〖答案〗BCD〖解析〗因?yàn)?，?duì)于A：，所以或，，解得或，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：若的值域?yàn)?，?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)且，所以，解得，故B正確；對(duì)于C：若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有唯一零點(diǎn)，①又，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，當(dāng)時(shí)且，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，此時(shí)函數(shù)必有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，符合題意；②，即，則當(dāng)時(shí)且即函數(shù)在上單調(diào)遞增，即在上不存在零點(diǎn)，要使函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，故，解得，綜上可得，故C正確；對(duì)于D：對(duì)任意的，且都有恒成立，即對(duì)任意的，且都有恒成立，即在上單調(diào)遞增，所以，解得，故D正確；故選：BCD三、填空題(共20分)13.若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)m=____.〖答案〗2〖解析〗由題意，，解得故〖答案〗為：2.14.已知，與的夾角為，則______.〖答案〗〖解析〗因?yàn)椋c夾角為，所以.故〖答案〗為：15.海洋藍(lán)洞是地球罕見(jiàn)的自然地理現(xiàn)象，被喻為“地球留給人類(lèi)保留宇宙秘密的最后遺產(chǎn)”，我國(guó)擁有世界上最深的海洋藍(lán)洞，若要測(cè)量如圖所示的藍(lán)洞的口徑A，B兩點(diǎn)間的距離，現(xiàn)在珊瑚群島_上取兩點(diǎn)C，D，測(cè)得，，，，則A、B兩點(diǎn)的距離為_(kāi)_____m．〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，，所以，，所以，又因?yàn)?，所以，，在中，由正弦定理得，即，解得，在中，由余弦定理得，所以，解得．故〖答案〗為?16.記銳角的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且，若，是的兩條高，則的取值范圍是______.〖答案〗〖解析〗由，得，再由正弦定理得，故，所以，故，又為銳角三角形，故，即，，故，故〖答案〗為：.四、解答題(共10+12+12+12+12+12=70分)17.已知平面向量，，.（1）若，求；（2）若與的夾角為銳角，求的取值范圍.解：（1），，解得：或，當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，；綜上所述：或10（2）若共線，則，解得：或，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)同向；當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)反向；若與的夾角為銳角，則，解得：且，的取值范圍為.18.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值；（2）若，求的值．解：（1）依題意，，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)，即時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，.（2）因?yàn)?，則由（1）知，，即，所以.19.在平面四邊形ABCD中，，，.（1）若△ABC的面積為，求AC；（2）若，，