福建省福州市八縣（市）協(xié)作校2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1福建省福州市八縣（市）協(xié)作校2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題完卷時(shí)間：120分鐘：滿分：150分一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.復(fù)數(shù)z滿足，則z的虛部為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意，，故，則z的虛部為.故選：D2.已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗，故.又，故.，，故選：A3.若向量，滿足，，且，則與的夾角為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗∵，,∴，即，設(shè)向量與夾角為，∵，∴，又∵，∴．故選：B．4.1748年，瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)了復(fù)指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的關(guān)系，并寫出以下公式，這個(gè)公式在復(fù)變論中占有非常重要的地位，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”，根據(jù)此公式可知，當(dāng)時(shí)，表示的復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面中位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?，所以，所以，所以對?yīng)點(diǎn)位于復(fù)平面的第三象限.故選：C5.函數(shù)在圖象大致為（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗，，定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，，是奇函數(shù)，排除A；當(dāng)時(shí)，，排除C；當(dāng)時(shí)，中，故，排除B.故選：D6.平行四邊形ABCD中，，點(diǎn)F為線段AE的中點(diǎn)，則=（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，，即①，，，即②，由①②得，，故選：A．7.的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，則的形狀是（）A.等腰非直角三角形 B.直角非等腰三角形C.等邊三角形 D.等腰直角三角形〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?，所以，整理得，又，所以，即，即，又，所以，得，因?yàn)?，所以，所以，，故為等腰直角三角?故選：D8.在中，，，是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，，則等于（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由，可得，因?yàn)?，可得，所以，又因?yàn)?，所?故選：A.二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對的得2分.）9.下列命題正確的有（）A.若復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)在虛軸上，則B.復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為，則的一個(gè)充要條件是C.若，（）是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)D.關(guān)于x的方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的兩個(gè)根互為共軛復(fù)數(shù)〖答案〗ABD〖解析〗對于A中，若復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)為，要使得在復(fù)平面的虛軸上，則滿足，所以A正確；對于B中，復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為，若，則，即充分性成立；設(shè)，則，若，可得，即，此時(shí)，即必要性成立，所以B正確；對于C中，若是純虛數(shù)，則滿足，解得，所以C不正確；對于D中，由方程，可得，所以方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的兩個(gè)根互為共軛復(fù)數(shù)，所以D正確.故選：ABD.10.對函數(shù)，下列判斷正確的是（）A. B.函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)C.函數(shù)的值域?yàn)?D.函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是〖答案〗ABC〖解析〗對A，，故A正確；對B，令可得，解得，故B正確；對C，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，此時(shí)又由A可得為奇函數(shù)，故當(dāng)時(shí).綜上有函數(shù)的值域?yàn)?，故C正確；對D，，，，故D錯(cuò)誤.故選：ABC11.已知函數(shù)的定義域?yàn)椋涤驗(yàn)?，則的值可能為（）A B. C. D.〖答案〗ABC〖解析〗函數(shù)．由于函數(shù)值域?yàn)?，則，所以，，故，，所以，故的最大值為，當(dāng)最小時(shí)，，，，此時(shí)的最小值為，故．故選：ABC．12.若的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，的面積，，則（）A. B.C.若，則 D.〖答案〗AB〖解析〗由題意可得：，可得，由正弦定理可得：，，，可得；故A正確，又，所以,由于,所以,則，故B正確，對于C，若，則,故C錯(cuò)誤，對于D，,故D錯(cuò)誤，故選：AB三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分.）13.已知向量，，若，則______．〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，則，即，整理可得，又因?yàn)橄蛄?，，則，解得.故〖答案〗為：.14.已知，，則的值是______．〖答案〗〖解析〗由可得，由于，所以，故，故，故〖答案〗為：15.已知復(fù)數(shù)z滿足：（i為虛數(shù)單位），寫出一個(gè)滿足條件的z為______．〖答案〗（或）〖解析〗設(shè)，則，即，故，即，，，解得或，故或.故或.故〖答案〗為：（或）16.在中，已知，P為線段AD上的一點(diǎn)，且滿足．若的面積為，，則線段CP長度的最小值為______．〖答案〗〖解析〗∵，且，所以，∵A，P，D三點(diǎn)共線，∴，即．∴，又∵，且．∴，即．∴.∴．故〖答案〗為：．四、解答題（本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17.平行四邊形的頂點(diǎn)、、對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為、、．（1）求點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)：（2）在中，求邊上的高．解：（1）因?yàn)槠叫兴倪呅蔚捻旤c(diǎn)、、對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為、、，由復(fù)數(shù)的幾何意義可得、、，由平面向量加法的平行四邊形法則可得，故點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)為.（2）因?yàn)?，，所以，，所以，，因此，的邊上的高?18.如圖，設(shè)Ox，Oy是平面內(nèi)相交成θ角的兩條數(shù)軸，，分別是與x軸、y軸同方向的單位向量，則稱平面坐標(biāo)系xOy為θ仿射坐標(biāo)系．若，則把有序數(shù)對叫做向量的仿射坐標(biāo)，記為．（1）在θ仿射坐標(biāo)系中，若，，，求t．（2）在的仿射坐標(biāo)系中，，求在上的投影向量仿射坐標(biāo)．解：（1），，，即；（2），，，，，在上的投影向量為，即在上的投影向量斜坐標(biāo)為；19.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的對稱中心；（2）先將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位長度，再將所得圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖像，設(shè)函數(shù)，試討論函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．解：（1），由得，所以的對稱中心為（2）將的圖像向右平移個(gè)單位長度，得的圖像，再將該圖像所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的(縱坐標(biāo)不變)，得到的圖像，故，作函數(shù)在區(qū)間的圖像如圖：由圖可知，當(dāng)或時(shí)，在區(qū)間內(nèi)一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間內(nèi)兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，在區(qū)間內(nèi)沒有零點(diǎn).20.在四邊形ABCD中，，．（1）求的長：（2）若，求四邊形的面積．解：（1）因?yàn)榍?，可得，在中，，所?（2）因?yàn)?，可得，又因?yàn)榍?，可得由正弦定理，可得，所以，由，可得，又因?yàn)?，所以四邊形的面積為.21.我們知道，函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)，有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)（1）設(shè)函數(shù)（ⅰ）求函數(shù)圖象對稱中心，并求的值；（ⅱ）若函數(shù)與函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，若點(diǎn)C坐標(biāo)為，求的值．（2）類比上述推廣結(jié)論，寫出“函數(shù)的圖象關(guān)于y軸成軸對稱圖形的充要條件是函數(shù)為偶函數(shù)”的一個(gè)推廣結(jié)論．解：（1）（?。┮?yàn)?，記，因?yàn)椋詾槠婧瘮?shù)，即為奇函數(shù)，由題知，的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱.由上可知，，則，同理可得，，，所以.（ⅱ）因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱,故交點(diǎn)A，B的中點(diǎn)為,所以，因?yàn)?，所?（2）其推廣結(jié)論為：函數(shù)的圖象關(guān)于直線成軸對稱圖形的充要條件是函數(shù)為偶函數(shù).若函數(shù)的圖象關(guān)于直線成軸對稱圖形，則將函數(shù)圖象向左平移個(gè)單位長度后的圖象關(guān)于y軸對稱，即為偶函數(shù)；反之亦然.22.如圖，A，B是單位圓（圓心為O）上兩動(dòng)點(diǎn)，C是劣?。ê它c(diǎn)）上的動(dòng)點(diǎn)．記（λ，μ均為實(shí)數(shù)）．（1）若時(shí)，當(dāng)點(diǎn)C恰好運(yùn)動(dòng)到劣弧的中點(diǎn)時(shí)，求的值.（2）若時(shí)，求的取值范圍;（3）若，記向量和向量的夾角為θ，求的最小值．解：（1）若，且點(diǎn)C恰好運(yùn)動(dòng)到劣弧的中點(diǎn)，則此時(shí)互相垂直且平分，則四邊形為菱形，即故.（2）記劣弧的中點(diǎn)為，且，①②①+②得進(jìn)一步得：，其中，所以故的取值范圍為：（3）記，由兩邊平方，得，又，∴∴，故，又和向量的夾角為，記，顯然關(guān)于單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，.福建省福州市八縣（市）協(xié)作校2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題完卷時(shí)間：120分鐘：滿分：150分一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.復(fù)數(shù)z滿足，則z的虛部為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意，，故，則z的虛部為.故選：D2.已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗，故.又，故.，，故選：A3.若向量，滿足，，且，則與的夾角為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗∵，,∴，即，設(shè)向量與夾角為，∵，∴，又∵，∴．故選：B．4.1748年，瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)了復(fù)指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的關(guān)系，并寫出以下公式，這個(gè)公式在復(fù)變論中占有非常重要的地位，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”，根據(jù)此公式可知，當(dāng)時(shí)，表示的復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面中位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?，所以，所以，所以對?yīng)點(diǎn)位于復(fù)平面的第三象限.故選：C5.函數(shù)在圖象大致為（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗，，定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，，是奇函數(shù)，排除A；當(dāng)時(shí)，，排除C；當(dāng)時(shí)，中，故，排除B.故選：D6.平行四邊形ABCD中，，點(diǎn)F為線段AE的中點(diǎn)，則=（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，，即①，，，即②，由①②得，，故選：A．7.的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，則的形狀是（）A.等腰非直角三角形 B.直角非等腰三角形C.等邊三角形 D.等腰直角三角形〖答案〗D〖解析〗因?yàn)椋?，整理得，又，所以，即，即，又，所以，得，因?yàn)?，所以，所以，，故為等腰直角三角?故選：D8.在中，，，是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，，則等于（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由，可得，因?yàn)?，可得，所以，又因?yàn)椋?故選：A.二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對的得2分.）9.下列命題正確的有（）A.若復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)在虛軸上，則B.復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為，則的一個(gè)充要條件是C.若，（）是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)D.關(guān)于x的方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的兩個(gè)根互為共軛復(fù)數(shù)〖答案〗ABD〖解析〗對于A中，若復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)為，要使得在復(fù)平面的虛軸上，則滿足，所以A正確；對于B中，復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為，若，則，即充分性成立；設(shè)，則，若，可得，即，此時(shí)，即必要性成立，所以B正確；對于C中，若是純虛數(shù)，則滿足，解得，所以C不正確；對于D中，由方程，可得，所以方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的兩個(gè)根互為共軛復(fù)數(shù)，所以D正確.故選：ABD.10.對函數(shù)，下列判斷正確的是（）A. B.函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)C.函數(shù)的值域?yàn)?D.函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是〖答案〗ABC〖解析〗對A，，故A正確；對B，令可得，解得，故B正確；對C，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，此時(shí)又由A可得為奇函數(shù)，故當(dāng)時(shí).綜上有函數(shù)的值域?yàn)?，故C正確；對D，，，，故D錯(cuò)誤.故選：ABC11.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)椋瑒t的值可能為（）A B. C. D.〖答案〗ABC〖解析〗函數(shù)．由于函數(shù)值域?yàn)?，則，所以，，故，，所以，故的最大值為，當(dāng)最小時(shí)，，，，此時(shí)的最小值為，故．故選：ABC．12.若的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，的面積，，則（）A. B.C.若，則 D.〖答案〗AB〖解析〗由題意可得：，可得，由正弦定理可得：，，，可得；故A正確，又，所以,由于,所以,則，故B正確，對于C，若，則,故C錯(cuò)誤，對于D，,故D錯(cuò)誤，故選：AB三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分.）13.已知向量，，若，則______．〖答案〗〖解析〗因?yàn)椋瑒t，即，整理可得，又因?yàn)橄蛄?，，則，解得.故〖答案〗為：.14.已知，，則的值是______．〖答案〗〖解析〗由可得，由于，所以，故，故，故〖答案〗為：15.已知復(fù)數(shù)z滿足：（i為虛數(shù)單位），寫出一個(gè)滿足條件的z為______．〖答案〗（或）〖解析〗設(shè)，則，即，故，即，，，解得或，故或.故或.故〖答案〗為：（或）16.在中，已知，P為線段AD上的一點(diǎn)，且滿足．若的面積為，，則線段CP長度的最小值為______．〖答案〗〖解析〗∵，且，所以，∵A，P，D三點(diǎn)共線，∴，即．∴，又∵，且．∴，即．∴.∴．故〖答案〗為：．四、解答題（本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17.平行四邊形的頂點(diǎn)、、對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為、、．（1）求點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)：（2）在中，求邊上的高．解：（1）因?yàn)槠叫兴倪呅蔚捻旤c(diǎn)、、對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為、、，由復(fù)數(shù)的幾何意義可得、、，由平面向量加法的平行四邊形法則可得，故點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)為.（2）因?yàn)椋?，所以，，所以，，因此，的邊上的高?18.如圖，設(shè)Ox，Oy是平面內(nèi)相交成θ角的兩條數(shù)軸，，分別是與x軸、y軸同方向的單位向量，則稱平面坐標(biāo)系xOy為θ仿射坐標(biāo)系．若，則把有序數(shù)對叫做向量的仿射坐標(biāo)，記為．（1）在θ仿射坐標(biāo)系中，若，，，求t．（2）在的仿射坐標(biāo)系中，，求在上的投影向量仿射坐標(biāo)．解：（1），，，即；（2），，，，，在上的投影向量為，即在上的投影向量斜坐標(biāo)為；19.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的對稱中心；（2）先將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位長度，再將所得圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖像，設(shè)函數(shù)，試討論函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．解：（1），由得，所以的對稱中心為（2）將的圖像向右平移個(gè)單位長度，得的圖像，再將該圖像所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的(縱坐標(biāo)不變)，得到的圖像，故，作函數(shù)在區(qū)間的圖像如圖：由圖可知，當(dāng)或時(shí)，在區(qū)間內(nèi)一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間內(nèi)兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，在區(qū)間內(nèi)沒有零點(diǎn).20.在四邊形ABCD中，，．（1）求的長：（2）若，求四邊形的面積．解：（1）因?yàn)榍?，可得，在中，，所?/p>