1989年考研數(shù)學(xué)試題詳解及評分參考

年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題詳解及評分參考數(shù)學(xué)（試卷一一、填空題：（本題15分，每小3分f(3h)f(3) (1)f32,則【答】應(yīng)填limf(3h)f(3)=1lim年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題詳解及評分參考數(shù)學(xué)（試卷一一、填空題：（本題15分，每小3分f(3h)f(3) (1)f32,則【答】應(yīng)填limf(3h)f(3)=1limf(3h)f(3)=fx221(2)設(shè)f(x)是連續(xù)函數(shù)，且f(x)x f(t)dt，則f(x) 0【答】應(yīng)填x1111ftdtAfxx2A,于 fxdx x2Adx 22000A12AA1fxx22)1x,則曲線積分(xy) 2 L1x2x2y21y0)(x2y2ds1ds（L的弧長Lrrrr(4)向量場u(x,y,z)xy2iyezjxln(1z2)k在點P1,1,0處的散度divu [(xy2)(yez)[xln(1z2)]【解】010040A0,E0則逆矩陣(A2E)1 (5)1 【答】應(yīng)填11/ 1989年?第10200【解】A2E01A，A112A2101/01 A01/A10200【解】A2E01A，A112A2101/01 A01/A1， 1，所以(A 2 1202二、選擇題：（本題15分，每小3分(1)x0yxsinx(A)(C)1sin1【解】由limx 1知y1為曲線的水平漸近線又由limx 0xtx(2)z4x2y2P處的切平面平行于平面2x2yz10P的P點的坐標為(x0y0z02y0n2x0,2由于切平面與2x2yz10,.222P1,1,(3)y1y2y3yp(xyq(xyf(xc1,c2是任意常數(shù)，則該非齊次方程的通(A)c1y1c2y2(C)c1y1c2y2(1c1c2)(B)c1y1c2y2(1c1c2)(D)c1y1c2y2(1c1c2)因此c1y1y3c2y2y3為齊次方程的通解，從而所求非齊次方程的通解為c1y1y3c2y2y3y3，即c1y1c2y21c1c2y3，故(D1989年?第2(4)設(shè)函f(xx20x1,S(xbnsinnxx，其n11bn20f(xsinnxdx,(n1,2,L(4)設(shè)函f(xx20x1,S(xbnsinnxx，其n11bn20f(xsinnxdx,(n1,2,LS())2141224【解S(x是函數(shù)fx先作奇延拓，再作周期2的周期延拓所得函數(shù)的傅里1111級數(shù)的和函數(shù)，根據(jù)狄利克雷收斂定理，有S()S()f() ,故選(B)2224必有一列元素全為0AA注：選項(A)、(B)、(D)是A的列向量組線性相關(guān)（A(1)zf(2xyg(xxy,2.解 2fgyg ……222fxgxygv…5(2)設(shè)曲線積分xy2dxy(x)dy與路徑無關(guān)，其中(x0(0)=0.計 xydxy(x)dy的值2解：P(xy)xy2Q(x,y)y(xPQ……1 得2xyy(x),(xx2C.再由(00得C=0(xx2……31989年?第3(x)dy xydxxydy所 xydx22211(x)dy 2xdx ……5沿直線yx從點(0,0)到點(1,1)積分， xydx2320(3)計算三重積 (xz)dy，其中是由曲面 x2y2與z=1x2y21xdv(x)dy xydxxydy所 xydx22211(x)dy 2xdx ……5沿直線yx從點(0,0)到點(1,1)積分， xydx2320(3)計算三重積 (xz)dy，其中是由曲面 x2y2與z=1x2y21xdv rsincosrsin24解：利用球面坐標計……100044011 sind sin2]d 0……2 42 d111 rr2sin2zdv 44……42 0000所以(xz)dv ……58四、(本題滿分6f(x11 解：由f(x) (1)x (1x1n……22n得f(x)f(0) f(t)dt(1)nt2ndtxx2n100f(0)arctan14……5所以arctan1x2nx2n1……614五、(本題滿分7x設(shè)f(x)sinx (xt)f(t)dt,其中f(x0xxx解：f(x)sinx f(t)dt f(x)cosx f(t)dt,f(x)sinxf.000f(xf(xsinx……2f(00y|x0f(0)1.……3……4這是二階常系數(shù)非齊次線性微分方程,初始條件為y|x01989年?第4設(shè)非齊次方程的特y*x(asinxbcosx,可得a0,b1y*xcosx……522x因此非齊次方程的通解為yC1sinxC2cosx2cosx……611x又由初始條件定出C12設(shè)非齊次方程的特y*x(asinxbcosx,可得a0,b1y*xcosx……522x因此非齊次方程的通解為yC1sinxC2cosx2cosx……611x又由初始條件定出C12C20f(x2sinx2cosx六、(本題滿分7……7x證明方程 1cos2xdx在區(qū)間(0，)內(nèi)有且僅有兩個不同實根e001cos2xdx22……2F(xxlnx22F(x11F(e0e 因當0xeF(x0F(x遞減；當exF(x0F(x遞增F(x在區(qū)間(0e)和(e，)內(nèi)分別至多一個零點……5F(e220F(e30,F(e40.由零點定理F(x在區(qū)間(e3e)和(ee4分別有一個零點.故方程lnx 01cos2xdx在(0,)內(nèi)有且僅有兩個實根.……7e七、(本題滿分6xx3x1問為何值時，線性方程組f(x) 4xx2x2有解，并求出解的一般形式1 6x1x24x32解：對方程組的增廣矩陣進行初等行變換 01101110101 232……3 431 2當10，即1時，方程組有解……4x3x3這時方程組為4xx2x3，1為其同解方程組……5 2x 6xx4x 1……6131989年?第5(1)1A-1(2|A|AA*的特征值A(chǔ)1，得A1……2……3因為非零向量，故0A111A(1)1A-1(2|A|AA*的特征值A(chǔ)1，得A1……2……3因為非零向量，故0A111A1的特征值……41 A*|A……5 A*11……7|A……8九、(本題滿分9R的圓面x2y2z2a2a0上，問當R取何值時，球面在定球面內(nèi)部的那部分的面積最大？解：設(shè)球面x2y2za)2R22 (4a2R)2xoy面上的投影為……2R2x2y2R1 2 dxdy2……4xyR2x2yR dr2R24a2.……6a00R23S(R4R0R10(舍去R2，……8a由于S(4a40.故當R 時，球面在定球面內(nèi)的部分的面積最大)……9331989年?第6P(B|A)0.8，則和事件AB的概率P(B|A)0.8，則和事件AB的概率P(AB) 【答】應(yīng)填0.7【解】PABPAP(BPABPAP(BPA)P(B|0.50.60.50.80.7甲乙兩人獨立的對同一目標射擊一次,其命中率分別為0.6和0.5.現(xiàn)已知目標被命中， 【解】應(yīng)填0.75A{甲命中目標}B{乙命中目標}C{目標被命中}AB相互獨立PA0.6,PB0.5,CAB,于是P(C)P(AB)P(A)P(B)P(A)P(B)0.60.50.60.5 16) 【答】應(yīng)填0.81,1x(16)，0,14 6P{0}PP2P2 dx 24 25X與YX服從均值為1，標準差(均方差)為2的正態(tài)分布，而Y服從標準正態(tài)分布，試求隨機變量Z2XY3的概率密度函數(shù).Z……1……3……5解：因相互獨立的正態(tài)隨機變量的線性組合仍然服從正態(tài)分布，故只需確E(Z2EXE(Y35D(Z)22D(X)D(Y)9(z1Zfz(ze.……631989年?第7數(shù)學(xué)（卷二一、填空數(shù)一二、選擇數(shù)二【同數(shù)學(xué)一第三題】(1)第四（1）題(2)求八分x2y2z2R2，x0,y0,z解數(shù)學(xué)（卷二一、填空數(shù)一二、選擇數(shù)二【同數(shù)學(xué)一第三題】(1)第四（1）題(2)求八分x2y2z2R2，x0,y0,z解：設(shè)曲線在XOY，YOZ，ZOX坐標平面內(nèi)的弧段分別為L1L2L3(如圖ds32R3R則曲線質(zhì)量為m……2 記曲線重心為(x,y,z)，x……3mL1+L2 xdsxdsm2R mdxR2mxds mxds0 L.……5mL104R4R由對稱性知yzx ，即所求重心為 ，，)……633)面的外側(cè)為S，的體積為V，求證 xyzdydzxyzdzdx222xyz)dxdyV……2S證：由高斯公式知原式 ……4因XOZ坐標平面對稱xyz是上關(guān)y的奇函數(shù),xyzdxdydz0.……6分五、(本題滿分7六、(本題滿分7七、(本題滿分6八、(本題滿分8九、(本題滿分9】】】同數(shù)學(xué)同數(shù)學(xué)第八第九1989年?第8數(shù)學(xué)（試卷三一、填空題：（本題21分，每小3分(1)limxcot2x 1【答】應(yīng)填 【解】limxcot2xlimlim sin 數(shù)學(xué)（試卷三一、填空題：（本題21分，每小3分(1)limxcot2x 1【答】應(yīng)填 【解】limxcot2xlimlim sin (2)0tsintdt 0costdtsint【解 tsintdt tdcos0000x(3)曲線y (t1)(t2)dt點(0,0)處的切線方程 0【答】應(yīng)填y2y(4)設(shè)f(x)x(x1)(x2)L(xn)，則f(0) 【答】應(yīng)填f(0)limf(x)flim[(x1)(x2)(xn)]【解】x)(6)f(xsin在x0處連續(xù)，則常數(shù)a與b應(yīng)滿足的關(guān)系 ,xx【答】應(yīng)填a亦即ab.limf(xlimf(x，即lim(abx2limsinbxx(7)設(shè)tanyxy，則dy 【答】應(yīng)填cot2sec2ydydxdy即dycot2sec2y tan21989年?第9yarcsinex(exx(x)1ey.……42(1.x(1xx(1x 求xln2解……2xln2 ln21 Cln……41求yarcsinex(exx(x)1ey.……42(1.x(1xx(1x 求xln2解……2xln2 ln21 Cln……41求lim(2sinxcosxx解：lny1ln(2sinxcosx……22cosxsin利用羅比塔法則，有l(wèi)imlny2……3x02sinxcos1故lim(2sinxcosxxe2……4xln(1t2 d2求及 .y111t解，……21td211 2t.……41tf(2)1,f(2)21 f(x)dx1，2xf2解：設(shè)t2x，002 12xf(2x)dx2f……1 001[t2f2 tf20……28012 tdf……3801989年?第1011220[tf f(t)dt] 1]0……4440(1)(1)(2)若3a25b0x52ax11220[tf f(t)dt] 1]0……4440(1)(1)(2)若3a25b0x52ax33bx4c(A)無實 (B)有唯一實(C)(D)f(xx52ax33bx4cfx0至少有一個實根；f(x5x46ax23bx2的一元二次多項式，而由3a25b0別式6a)260b12(3a25b0f(x0f(xf(x0f(x0(B)(3)ycosxx)x22 /2 2/21!!【解】因Vcosxdx22cosxdx2 22222!!20(4)f(xg(x都在xa處取得極大值，則函數(shù)F(xf(x)g(xx(A)(C)不可能取極值f(xg(x)(B)必取極小值(D)是否取極值不能確定x0F(x)f(x)g(x)x01,xf(x1,xf(xg(x)1x0Fx0,xf0,x排除選項(B)；因此只能選(D).(5)yyex1的一個特解應(yīng)具有形式（式中ab為常數(shù)(A)aexaxex(C)aex(D)axex198911210，故相應(yīng)的特征根為1,21因此yyex的特axex，而方程yy1的特解可設(shè)為y*b12yyex1y*y*y*axex210，故相應(yīng)的特征根為1,21因此yyex的特axex，而方程yy1的特解可設(shè)為y*b12yyex1y*y*y*axexb(B (6)f(xxa1f(a2h)f(a(A)limhf(a f(ahf(ah)f(ahf(a)f(a hf(ax)f(a)(A)limhf(a1f(af(a存在hxx x對于選項(D)，由limf(af(alimf(ax)f(a)hhxf(af(a)h四、(本題滿分61xe2yy (0xy(1)0x解：xy1xye2x(0x1e2x.yedxx……2e2y……4xy(10，得Ce……5ex(ex.……6x七、(本題滿分111989年?第12解八、(本題滿分10yax2bxc過原點，當0x1y0x軸及直3積V最小解：因曲線過原點，故c0……1ab121由題設(shè)有(axbx)dx ，即b 2a)……332330解八、(本題滿分10yax2bxc過原點，當0x1y0x軸及直3積V最小解：因曲線過原點，故c0……1ab121由題設(shè)有(axbx)dx ，即b 2a)……3323301又V(axbx)dx(1 ab ) 22……5011將b的表達式代入上式得V a(1a) (1a)]2……6 3令V a (1a)]0，解得a5 ……8a 43代入b的表達式得b……92０a5b3c0時，體積最?。狄颍?042４1989年?第13(,2),(0,(2,1/4(,（9分x0和y極值 凹區(qū)凸區(qū) 漸近數(shù)學(xué)（試卷四一、填空題：(本題滿分15分，每小題3曲線yxsin2x在點(,1)處的切線方程 【答】應(yīng)填yx【解】y1sin2x，故曲線在點(,1數(shù)學(xué)（試卷四一、填空題：(本題滿分15分，每小題3曲線yxsin2x在點(,1)處的切線方程 【答】應(yīng)填yx【解】y1sin2x，故曲線在點(,1處的切線處切線的斜率y()2 )x ，即yx22(2)冪級數(shù) nn11R1.x1n收斂，故級數(shù)的收斂域為nnx1x2x3(3)齊次線性方程組0只有零解，則應(yīng)滿足的條件 x xx A11111112，所以有而若x若0x/2,則A ；0(4)XFx)Asin x/2} 61121989年?第14【解】因分布函數(shù)是右連續(xù)的，所以limF(x)F()，即1 22x21 } X }F 【解】因分布函數(shù)是右連續(xù)的，所以limF(x)F()，即1 22x21 } X }F 0)F )lim1sinx0 666662x6(5)XEXDX2，則由切比雪夫(chebyshev)PX3 1【答】應(yīng) 9EXDXPX32.9二、選擇題：（本題15分，每小3分(A)f(xx(C)f(xx(B)f(xx(D)f(xx2x3x2xln23xfln2ln3ln6【解】因xx1(2)(A)f(x)dxf(B)df(x)f(D)df(x)dxff(x)dxf【解】對于選項(A)f(x)dxf(xcf(x對于選項(B)df(xf(x)dxf(xcf(x對于選項(C)F(xf(x的一個原函數(shù)F(xf(xfxdxFxCdxf(x)dxdx[F(xCF(x0f(x(C對于選項(D)，因df(x)dxdx[f(x)dx]dxf(x)dxf(x，故應(yīng)排除(5)AB均為nnd1989年?第15AA(B)AB(D)(ABA1B【解】根據(jù)行列式的拆和定理，可排除選項(A)；BABBABA)((B)D)ABCBCAA(B)AB(D)(ABA1B【解】根據(jù)行列式的拆和定理，可排除選項(A)；BABBABA)((B)D)ABCBC{甲種產(chǎn)品滯銷或乙種產(chǎn)品暢銷求極限lim(sin1cos)1xxx解：設(shè)u1，則xu0x limln(sinucosu原式lim(sinucos .……1ucosusin而……4ｕ0sinucoszf(uv)uxyvxyf(uv的二階偏導(dǎo)數(shù)都連續(xù)……52.求zfufvfy……2 u v2z2fu2vy(2u2fv)……4 uvvu 2x2fy2fxy2 2(xy)2fxy2f……5 1989年?第16(3)求微分方程y5y6y2ex解：由特征方程為r25r6r2)(r3)0，知特征根為2,3(3)求微分方程y5y6y2ex解：由特征方程為r25r6r2)(r3)0，知特征根為2,3其中C1C2為任意常數(shù).y*(xAexy*(x)代入原方程，可得A1，故所給非齊次微分方程的特解為y*(x)ex（本題滿分9分……1……2……3……4……5xpp(x) 2求使收益最大時的產(chǎn)量，最大收益和相應(yīng)價格.（4分x解：(1)R(xpx邊際收益函數(shù)為MR 5(2x)e20x2……1x……2x(2)由R5(2 0，得駐點x022x5 (x4)e2R5e10……4x12.于是當產(chǎn)量為２時，收益取最大值20e1，而相應(yīng)的價格為(3)……6……91989年?第17x2[2,4[4,00Re(4,)（本題滿分9分若0x若1x2 f(x)224(1)S0f(x)exdx（4分；(2)S 102SSnf(x dx(n23,)（1分x(3).（2分12S0xexdx（本題滿分9分若0x若1x2 f(x)224(1)S0f(x)exdx（4分；(2)S 102SSnf(x dx(n23,)（1分x(3).（2分12S0xexdx(2x)exdx解……101111xxx其中xedx edx12e……20002221xxx(2x)edx(2e ……3……411 1S01 (1e)42(2)令tx2，則S f(x2)edx f(t)et2dtS0e2……61202(3)令tx2nSnf(t)et2ndtS0e2n……70(4)S(e2 S ……8n00 e1……91 e（本題滿分6分f(x在[ab上連續(xù)，在(abf(x)0x1F(x)(abFx)0f(t)dtxa證：f(x在[ab上連續(xù)，在(ab1111xx2F(x)f(x)f(t)dt[f(x)f(t)dt]……2x(xxxaa1989年?第18f()x由積分中值定理知，存在 ax，f(t)dtxa1F(x[f(x)f(……4xff()x由積分中值定理知，存在 ax，f(t)dtxa1F(x[f(x)f(……4xff(x0f(x在(abxf(x10，故由此可知F(x0因……6x（本題滿分5分 01100XAXBA1B 0X 解E表示3XAXB，有(EAXB……1 0EA100……2202/2/1/2/2/1/其逆矩陣為(EA)11/3……41/01/ 0XEA)1B1/3 0……5 1/3 0（本題滿分6分設(shè)1(1,1,1)，2(1,2,3)，3(1,3,t為何值時，向量組1,2,3線性無關(guān)為何值時，向量組1,2,3線性相關(guān)問當問當分分(3)當向量組1,2,3線性相關(guān)時，將3表示為1和2的線性組合.（2分解：設(shè)有實數(shù)k1k2k3，使k1a1k2a2k3a30，則得方程組k1k2k31112312k3k3t5……2 k13k2tk3t(1當t5時，D0，方程組（*）只有零解：k1k2k30.這時，向量組a1a2,1989年?第19……3(2)當t5D0，方程組（*）0的常數(shù)k1k2k3k1a1k2a2k3a30，這時，向量a1a2,……3(2)當t5D0，方程組（*）0的常數(shù)k1k2k3k1a1k2a2k3a30，這時，向量a1a2,a3線性相關(guān)……4 1 1kk(3)設(shè)t5.由 3 2知方程組（*）. 5 0k22k330k31，得k11,k22.因此，有a12a2a30.從而a3可以通過a1a2,a3a12a2（本題滿分5分……622A22. 解：（1）A的特征方程為|EA2(1)2(5)05因此，有|EA1|0|1)EA1|0.由此可見|11)EEA1|05……2……3|(11)E(EA1)|0，即|2E(EA1)|0， E(EA1)|0455十、(本題滿分75……5e(xy若0x,0yX和Yf(xy，0試求：(1)P{X(5分)（2）EXY)(2分解：(1)P{XY} f(x,……2X1989年?第201y dxdy e edy (xyyxy )dy y……52 000 (2)E(XY) dxdy xe yedy1(xyx1y dxdy e edy (xyyxy )dy y……52 000 (2)E(XY) dxdy xe yedy1(xyxy……7 00十一、(本題滿分8測.試求至少有兩次觀測值大于3的概率.52若2xf(x)3，P(A)P{X3} dx ……432u3服從參數(shù)為n3p3221 2320P{u2}C323C3(……83 數(shù)學(xué)（卷五一、填空題：（本題5小題，每小315分(1)某商品的需求量Q與價格P的函數(shù)關(guān)系為Qapb，其中a和b為常數(shù)，且a0，則需求量對價格P的彈性是 【答】應(yīng)填pdQabpb1Q pQ xx1x11 (3)x1989年?第21【答】應(yīng)填x4xxxx11111100x00x00x000【答】應(yīng)填x4xxxx11111100x00x00x000xxx11111原式x210x0x00x3 xx4 )N(0,22),X服從參數(shù)為3的泊松分布.記YX2X3X，則DY 3【答】應(yīng)填46123(60)222，D(X2【解】X1~U[06，X2~N(02)，X3~P(3. D(X12X 3X3 (2)2D(X 32D(X23(4)二、選擇題：（本題5小題，每小315分【題】【【題題】】設(shè)nAx0A的秩為rAx0有非零解的充分必要(A)r(B)r(C)r(D)rAx0有非零解的充要條件是rArn(B(5)(5)1(1)limxexx1989年?第22ln(xex 解：原.……1ln(xex1……2xxxx……3x1xe1……4x1limxexxe……52x(2)z，其中a0,a1,dzln(xex 解：原.……1ln(xex1……2xxxx……3x1xe1……4x1limxexxe……52x(2)z，其中a0,a1,dz解xx2lna，……2x2x2lna yzlna.x2……4x2x2dzzdxzdydxdy(xdxydy)……5x2x2x2)11x……11