線性系統(tǒng)的時域分析法課件

第4章線性系統(tǒng)的時域分析法系統(tǒng)的時域性能指標一階系統(tǒng)的時域分析二階系統(tǒng)的時域分析高階系統(tǒng)的時域分析線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差計算4-1系統(tǒng)的時域性能指標1.典型輸入信號2.動態(tài)過程與穩(wěn)態(tài)過程1）動態(tài)過程動態(tài)過程又稱過渡過程或瞬態(tài)過程，指系統(tǒng)在典型輸入信號作用下，系統(tǒng)輸出量從初始狀態(tài)到最終狀態(tài)的響應過程。2）穩(wěn)態(tài)過程穩(wěn)態(tài)過程指系統(tǒng)在典型輸入信號作用下，當時間t趨于無窮大時，系統(tǒng)輸出量的表現(xiàn)方式。3.動態(tài)性能與穩(wěn)態(tài)性能1）動態(tài)性能及其指標描述穩(wěn)定的系統(tǒng)在單位階躍函數(shù)的作用下，動態(tài)過程隨時間t變化狀況的指標，稱為動態(tài)指標。動態(tài)性能指標有五項，分別是：延遲時間td上升時間tr調(diào)節(jié)時間ts峰值時間tp超調(diào)量σ%（1）延遲時間td第一次達到50%h(∞)的時間（2）上升時間tr到達10%h(∞)-90%h(∞)所需時間（3）峰值時間tp超過h(∞)到達第一個峰值所需時間（4）調(diào)節(jié)時間ts到達并保持在終值5％誤差內(nèi)所需時間（5）超調(diào)量σ%2）穩(wěn)態(tài)性能穩(wěn)態(tài)性能用穩(wěn)態(tài)誤差描述。穩(wěn)態(tài)誤差是時間趨于無窮時系統(tǒng)實際輸出與理想輸出之間的誤差，是系統(tǒng)控制精度或抗干擾能力的一種度量

通常用tr或tp評價系統(tǒng)的響應速度；用σ％評價系統(tǒng)的阻尼程度；而ts是同時反映響應速度和阻尼程度的綜合性指標4-2一階系統(tǒng)的時域分析1.一階系統(tǒng)的數(shù)學模型2.一階系統(tǒng)的單位階躍響應

設(shè)一階系統(tǒng)的輸入信號為單位階躍函數(shù)r(t)=1(t),則響應為：一階系統(tǒng)的單位階躍響應具有下列兩個重要特點：（1）可用時間常數(shù)T度量系統(tǒng)輸出的數(shù)值；（2）響應曲線的斜率初始值為1／T，并隨時間的推移而下降。一階系統(tǒng)的動態(tài)性能指標為：由于時間常數(shù)T反映系統(tǒng)的慣性，所以一階系統(tǒng)的慣性越小，其響應過程越快；反之，慣性越大，響應越慢。

3.一階系統(tǒng)的單位脈沖響應當輸入信號為理想單位脈沖函數(shù)時，由于R(s)=1,所以系統(tǒng)輸出的拉氏變換與系統(tǒng)的傳遞函數(shù)相同，即由圖可見，一階系統(tǒng)的脈沖響應位移單調(diào)下降的指數(shù)曲線。若定義該曲線衰減到其初始值的5％所需的時間為脈沖響應調(diào)節(jié)時間，則仍有ts=3T。故系統(tǒng)的慣性越小，響應過程越快。4.一階系統(tǒng)的單位斜坡響應單位斜坡函數(shù)可視為單位階躍函數(shù)的積分，即那么，系統(tǒng)的輸出應由積分的關(guān)系由此曲線可知，輸出量和輸入量之間的位置誤差隨時間而增大，最后趨于常值T，慣性越小跟蹤的準確度越高。在初始狀態(tài)下，輸出速度和輸入速度之間誤差最大。5.一階系統(tǒng)的加速度響應設(shè)加速度輸入函數(shù)為：則系統(tǒng)的響應函數(shù)為：系統(tǒng)的跟蹤誤差為：上式表明，跟蹤誤差隨時間的推移而增大，直至無限大。因此，一階系統(tǒng)不能實現(xiàn)對加速度輸入函數(shù)的跟蹤。

一階系統(tǒng)對典型輸入信號的響應歸納與下表中例4-1某溫度計插入溫度恒定的熱水中后，其顯示溫度隨時間變化的規(guī)律為

實驗測得當t＝60s時，溫度計讀數(shù)達到實際水溫的95％。試確定該溫度計的傳遞函數(shù)例4-2原系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：現(xiàn)采用如下圖所示的負反饋形式，與將反饋系統(tǒng)的的調(diào)節(jié)時間減小為原來的0.1，并保證原放大倍數(shù)不變，試確定參數(shù)K0與K1的取值。答案：K1=0.9,K0=102-2二階系統(tǒng)的時域分析1.二階系統(tǒng)的數(shù)學模型二階系統(tǒng)的特征方程為

其兩個特征根（閉環(huán)極點）為二階系統(tǒng)的時間響應取決ξ和ωn這兩個參數(shù)

2.二階系統(tǒng)的單位階躍響應在單位階躍輸入信號作用下，輸出的拉氏變換為：系統(tǒng)在單位階躍輸入下的響應，主要取決于ξ的大小，根據(jù)的ξ大小分5種情況討論1)當ξ＜0時，稱為負阻尼狀態(tài)，特征根的分布有兩種狀況

在此種情況下，單位階躍響應為：由于ξ＜0，動態(tài)過程為發(fā)散的正弦振蕩或單調(diào)的發(fā)散形式。從而表明ξ＜0的二階系統(tǒng)是不穩(wěn)定的2)無阻尼狀態(tài)（ξ＝0）單位階躍響應為：系統(tǒng)為等幅振蕩狀態(tài)，視為不穩(wěn)定狀態(tài)。3）欠阻尼狀態(tài)（0＜ξ＜1）特征根的分布如圖4）臨界阻尼狀態(tài)（ξ＝1）

在臨界阻尼狀態(tài)下，特征方程的根是二重負實根。如圖。其輸出的拉氏變換為5）過阻尼狀態(tài)（ξ＞1）令過阻尼二階系統(tǒng)的極點為：

過阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應與一階系統(tǒng)的單位階躍響應相似。是一無振蕩的單調(diào)上升曲線。其穩(wěn)態(tài)值為13.欠阻尼的動態(tài)性能指標1）延遲時間2）上升時間3）峰值時間4）調(diào)節(jié)時間

5）超調(diào)量4.過阻尼的動態(tài)性能指標在過阻尼的二階系統(tǒng)中，只有延遲時間、上升時間和調(diào)節(jié)時間，而沒有峰值時間和超調(diào)量1）延遲時間

2）上升時間3）調(diào)節(jié)時間3-3高階系統(tǒng)的時域分析在控制工程中，幾乎所有的控制系統(tǒng)都是高階系統(tǒng)，即用高階微分方程描述的系統(tǒng)。對于不能用一、二階系統(tǒng)近似的高階系統(tǒng)來說，其動態(tài)性能的確定是比較復雜的。工程上采用閉環(huán)主導極點的概念對高階系統(tǒng)近似分析，從而得到高階系統(tǒng)動態(tài)指標的估計公式。1.高階系統(tǒng)的單位階躍響應

對于單輸入單輸出的線性定常系統(tǒng)，其閉環(huán)傳遞函數(shù)一般可表示為：對上式進行拉氏反變換，并設(shè)初始條件為零，可得高階系統(tǒng)的單位階躍響應為：下面分析高階系統(tǒng)單位階躍響應的特點1)高階系統(tǒng)的時間響應，是由一階系統(tǒng)和二階系統(tǒng)的時間響應函數(shù)相組成的2)如果閉環(huán)極點都在s平面左半平面，則隨著時間t趨于無窮大，指數(shù)項分量和阻尼指數(shù)項分量都將趨于零，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的，其穩(wěn)態(tài)分量c(∞)=a3)高階系統(tǒng)的各個閉環(huán)極點對系統(tǒng)時間響應的影響程度是不同的。4)閉環(huán)零點影響時間響應的形狀。2.閉環(huán)主導極點

對于穩(wěn)定的高階系統(tǒng)而言，其閉環(huán)極點和零點在s左半開平面雖有各種分布模式，但就據(jù)虛軸的距離來說，卻只有遠近之別。如果在所有的閉環(huán)極點中，距虛軸最近的極點周圍沒有閉環(huán)零點，而其它閉環(huán)極點又遠離虛軸，那么距虛軸最近的閉環(huán)極點所對應的相應分量，隨時間推移衰減緩慢，無論從指數(shù)還是從系數(shù)來看，在系統(tǒng)的時間響應過程中起主導作用，這樣的閉環(huán)極點就稱為閉環(huán)主導極點。應用閉環(huán)主導極點的概念，可導出高階系統(tǒng)單位階躍響應的近似表達式設(shè)單位反饋高階系統(tǒng)具有一對共軛復數(shù)閉環(huán)主導極點，s1,2=-σ±jωd,0<ξ<1,則在單位階躍函數(shù)的作用下，系統(tǒng)輸出的拉氏變換的近似表達式為對上式取反拉氏變換，得高階系統(tǒng)單位階躍響應的近似表達式3-5線性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析1.穩(wěn)定性的基本概念任何系統(tǒng)在擾動作用下都偏離原平衡位置，產(chǎn)生初始偏差。所謂穩(wěn)定性，是指系統(tǒng)在擾動消失后由初始偏差狀態(tài)恢復原平衡位置的性能。單擺的的這種穩(wěn)定的概念，可以推廣于控制系統(tǒng)

2.線性系統(tǒng)穩(wěn)定性定義

1892年俄國數(shù)學家Lyapunov首先提出了穩(wěn)定性理論。根據(jù)他的理論，線性控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性可敘述如下：

若線性系統(tǒng)在初始擾動的影響下，其動態(tài)過程隨時間推移逐漸衰減并趨于零（原平衡工作點），則稱系統(tǒng)逐漸穩(wěn)定，簡稱穩(wěn)定；反之，若在初始擾動效應下，系統(tǒng)的動態(tài)過程隨時間的推移而發(fā)散，則稱系統(tǒng)不穩(wěn)定。3.線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件設(shè)線性系統(tǒng)在初始條件為零時，作用一個理想的單位脈沖函數(shù)δ(t),這是系統(tǒng)的輸出增量位脈沖響應c(t)。那么系統(tǒng)穩(wěn)定的必要充分條件是：limc(t)=0設(shè)閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)如下式且設(shè)si(i=1,2,…,n)為特征方程D(s)=0的根，而且彼此不等。那么由于δ(t)的拉氏變換為1，所以系統(tǒng)輸出增量的拉氏變換為：于是系統(tǒng)的脈沖響應為

上式表明，當且僅當系統(tǒng)的的特征根全部具有負實部時，才能使limc(t)=0成立；若特征根中有一個或一個以上的正實部根，則limc(t)→∞,表明系統(tǒng)不穩(wěn)定。若特征根中具有一個或一個以上正零實部根，而其余的特征根均具有負實部，則脈沖響應c(t)趨于常數(shù)，或趨于等幅正弦振蕩，按照穩(wěn)定性定義，此時系統(tǒng)不是漸進穩(wěn)定的。順便使出，最后一種情況稱為臨界穩(wěn)定情況。由此可見，線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的所有根均具有負實部；或者說，閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點均嚴格位于左半s平面3.勞斯穩(wěn)定判據(jù)根據(jù)穩(wěn)定性的充分必要條件判別線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性，需要求出系統(tǒng)的全部特征根。對于高階系統(tǒng)，求根的工作量很大，并非易事。1877年勞斯提出了根據(jù)線性系統(tǒng)特征方程的系數(shù)判定系統(tǒng)穩(wěn)定性的判據(jù)。稱為勞斯判據(jù)。設(shè)線性系統(tǒng)的特征方程為

線性系統(tǒng)穩(wěn)定的必要的條件是：在上列方程中，各項系數(shù)為正數(shù)。這一條件是必要的，但不充分。

勞思表（勞斯陣列）勞思表（勞斯陣列）線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件

勞思表中第一列各值為正。如果勞思表中第一列中出現(xiàn)負數(shù)，系統(tǒng)就不穩(wěn)定，且第一列中各系數(shù)符號改變的次數(shù)，代表特征方程的正實部根的數(shù)目。例4-3設(shè)系統(tǒng)特征方程為試用勞斯穩(wěn)定判據(jù)判別該系統(tǒng)的穩(wěn)定性。4.勞斯穩(wěn)定判據(jù)的特殊情況

1）勞思表中某行的第一列為零，而其余各項不為零，或不全為零此時，計算勞思表下一行的第一個元素時，將出現(xiàn)無窮大，是勞斯穩(wěn)定判據(jù)的運用失效。例如此時用一個很小的正數(shù)ε代替第一列的零元素參與計算，表格計算完成后再令ε→0。2）勞思表中出現(xiàn)全零行此時，可用上一行的元素構(gòu)造一個輔助方程F(s)=0,并對輔助方程求導得到新的方程，用新方程的系數(shù)代替該行的零元素繼續(xù)計算。由上述勞斯陣列的第一列可以看出，第一列中元素的符號全為正，說明系統(tǒng)的特征方程沒有正實部的根。但是，由于行的元素全為零，則說明在虛軸上有共軛虛根，該根可由輔助方程來求得5.勞斯穩(wěn)定判據(jù)的應用例4-5設(shè)比例－積分（PI）控制系統(tǒng)如下圖所示。其中，K1為與積分器有關(guān)的的待定參數(shù)。已知參數(shù)ξ＝0.2及ωn＝86.6，試用勞斯穩(wěn)定判據(jù)確定使閉環(huán)穩(wěn)定的K1取值范圍。如果要求閉環(huán)系統(tǒng)的極點全部位于s=-1垂線之左，問K1值范圍又應該取多大？

3-6線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差計算

1.誤差與穩(wěn)態(tài)誤差1）誤差的定義①按輸入端定義的誤差，即把偏差定義為誤差

②按輸出端定義的誤差兩者之間的關(guān)系2）穩(wěn)態(tài)誤差誤差本身是時間的函數(shù)，其時域表達式為系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為

2.計算穩(wěn)態(tài)誤差的一般方法1）判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性2）求誤差傳遞函數(shù)3）用終值定理求穩(wěn)態(tài)誤差例4-6控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如下圖所示。已知r(t)=n(t)=t,求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。3.系統(tǒng)類型與穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)1）系統(tǒng)類型對于一個典型的閉環(huán)控制系統(tǒng)，其開環(huán)傳遞函數(shù)一般可寫成時間常數(shù)乘積形式，即根據(jù)ν＝0，1，2，3等分別稱0型、Ⅰ型、Ⅱ型和Ⅲ三型系統(tǒng)等

為了便于討論,令