(精校版)2018年北京理數(shù)高考試題文檔版(含答案)

第第頁(yè)絕密★啟用前2018年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（理）（北京卷）本試卷共5頁(yè)，150分。考試時(shí)長(zhǎng)120分鐘。考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。（1）已知集合A={x||x|<2}，B={–2，0，1，2}，則AB=（A）{0，1} （B）{–1，0，1}（C）{–2，0，1，2} （D）{–1，0，1，2}（2）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（A）第一象限 （B）第二象限（C）第三象限 （D）第四象限（3）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的s值為（A） （B）（C） （D）（4）“十二平均律”是通用的音律體系，明代朱載堉最早用數(shù)學(xué)方法計(jì)算出半音比例，為這個(gè)理論的發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn)．十二平均律將一個(gè)純八度音程分成十二份，依次得到十三個(gè)單音，從第二個(gè)單音起，每一個(gè)單音的頻率與它的前一個(gè)單音的頻率的比都等于．若第一個(gè)單音的頻率為f，則第八個(gè)單音的頻率為（A） （B）（C） （D）（5）某四棱錐的三視圖如圖所示，在此四棱錐的側(cè)面中，直角三角形的個(gè)數(shù)為（A）1 （B）2（C）3 （D）4（6）設(shè)a，b均為單位向量，則“”是“a⊥b”的（A）充分而不必要條件 （B）必要而不充分條件（C）充分必要條件 （D）既不充分也不必要條件（7）在平面直角坐標(biāo)系中，記d為點(diǎn)P（cosθ，sinθ）到直線的距離，當(dāng)θ，m變化時(shí)，d的最大值為（A）1 （B）2（C）3 （D）4（8）設(shè)集合則（A）對(duì)任意實(shí)數(shù)a， （B）對(duì)任意實(shí)數(shù)a，（2，1）（C）當(dāng)且僅當(dāng)a<0時(shí)，（2，1） （D）當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，（2，1）第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共6小題，每小題5分，共30分。（Ⅲ）證明：直線FG與平面BCD相交．（17）（本小題12分）電影公司隨機(jī)收集了電影的有關(guān)數(shù)據(jù)，經(jīng)分類整理得到下表：電影類型第一類第二類第三類第四類第五類第六類電影部數(shù)14050300200800510好評(píng)率0.40.20.150.250.20.1好評(píng)率是指：一類電影中獲得好評(píng)的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值．假設(shè)所有電影是否獲得好評(píng)相互獨(dú)立．（Ⅰ）從電影公司收集的電影中隨機(jī)選取1部，求這部電影是獲得好評(píng)的第四類電影的概率；

（Ⅱ）從第四類電影和第五類電影中各隨機(jī)選取1部，估計(jì)恰有1部獲得好評(píng)的概率；

（Ⅲ）假設(shè)每類電影得到人們喜歡的概率與表格中該類電影的好評(píng)率相等，用“”表示第k類電影得到人們喜歡，“”表示第k類電影沒(méi)有得到人們喜歡（k=1，2，3，4，5，6）．寫出方差，，，，，的大小關(guān)系．（18）（本小題13分）設(shè)函數(shù)=[]．（Ⅰ）若曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，）處的切線與軸平行，求a；（Ⅱ）若在x=2處取得極小值，求a的取值范圍．學(xué)科*網(wǎng)（19）（本小題14分）已知拋物線C：=2px經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，2）．過(guò)點(diǎn)Q（0，1）的直線l與拋物線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A，B，且直線PA交y軸于M，直線PB交y軸于N．（Ⅰ）求直線l的斜率的取值范圍；（Ⅱ）設(shè)O為原點(diǎn)，，，求證：為定值．（20）（本小題14分）設(shè)n為正整數(shù)，集合A=．對(duì)于集合A中的任意元素和，記M（）=．（Ⅰ）當(dāng)n=3時(shí)，若，，求M（）和M（）的值；（Ⅱ）當(dāng)n=4時(shí)，設(shè)B是A的子集，且滿足：對(duì)于B中的任意元素，當(dāng)相同時(shí)，M（）是奇數(shù)；當(dāng)不同時(shí)，M（）是偶數(shù)．求集合B中元素個(gè)數(shù)的最大值；學(xué)#科網(wǎng)（Ⅲ）給定不小于2的n，設(shè)B是A的子集，且滿足：對(duì)于B中的任意兩個(gè)不同的元素，M（）=0．寫出一個(gè)集合B，使其元素個(gè)數(shù)最多，并說(shuō)明理由．

絕密★啟用前2018年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題參考答案一、選擇題1．A 2．D 3．B 4．D 5．C 6．C 7．C 8．D二、填空題9． 10． 11． 12．3 13．y=sinx（不答案不唯一） 14．三、解答題（15）（共13分）解：（Ⅰ）在△ABC中，∵cosB=–，∴B∈（，π），∴sinB=．由正弦定理得=，∴sinA=．∵B∈（，π），∴A∈（0，），∴∠A=．（Ⅱ）在△ABC中，∵sinC=sin（A+B）=sinAcosB+sinBcosA==．如圖所示，在△ABC中，∵sinC=，∴h==，∴AC邊上的高為．（16）（共14分）解：（Ⅰ）在三棱柱ABC-A1B1C1中，∵CC1⊥平面ABC，∴四邊形A1ACC1為矩形．又E，F(xiàn)分別為AC，A1C1的中點(diǎn)，∴AC⊥EF．∵AB=BC．∴AC⊥BE，∴AC⊥平面BEF．（Ⅱ）由（I）知AC⊥EF，AC⊥BE，EF∥CC1．又CC1⊥平面ABC，∴EF⊥平面ABC．∵BE平面ABC，∴EF⊥BE．如圖建立空間直角坐稱系E-xyz．由題意得B（0，2，0），C（-1，0，0），D（1，0，1），F(xiàn)（0，0，2），G（0，2，1）．∴，設(shè)平面BCD的法向量為，∴，∴，令a=2，則b=-1，c=-4，∴平面BCD的法向量，又∵平面CDC1的法向量為，∴．由圖可得二面角B-CD-C1為鈍角，所以二面角B-CD-C1的余弦值為．（Ⅲ）平面BCD的法向量為，∵G（0，2，1），F(xiàn)（0，0，2），∴，∴，∴與不垂直，∴GF與平面BCD不平行且不在平面BCD內(nèi)，∴GF與平面BCD相交．（17）（共12分）解：（Ⅰ）由題意知，樣本中電影的總部數(shù)是140+50+300+200+800+510=2000，第四類電影中獲得好評(píng)的電影部數(shù)是200×0.25=50．故所求概率為．（Ⅱ）設(shè)事件A為“從第四類電影中隨機(jī)選出的電影獲得好評(píng)”，事件B為“從第五類電影中隨機(jī)選出的電影獲得好評(píng)”．故所求概率為P（）=P（）+P（）=P（A）（1–P（B））+（1–P（A））P（B）．由題意知：P（A）估計(jì)為0.25，P（B）估計(jì)為0.2．故所求概率估計(jì)為0.25×0.8+0.75×0.2=0.35．（Ⅲ）>>=>>．（18）（共13分）解：（Ⅰ）因?yàn)?[]，所以f′（x）=［2ax–（4a+1）］ex+［ax2–（4a+1）x+4a+3］ex（x∈R）=［ax2–（2a+1）x+2］ex．f′(1)=(1–a)e．由題設(shè)知f′(1)=0，即(1–a)e=0，解得a=1．此時(shí)f(1)=3e≠0．所以a的值為1．（Ⅱ）由（Ⅰ）得f′（x）=［ax2–（2a+1）x+2］ex=（ax–1）(x–2)ex．若a>，則當(dāng)x∈(，2)時(shí)，f′(x)<0；當(dāng)x∈(2，+∞)時(shí)，f′(x)>0．所以f(x)<0在x=2處取得極小值．若a≤，則當(dāng)x∈(0，2)時(shí)，x–2<0，ax–1≤x–1<0，所以f′(x)>0．所以2不是f(x)的極小值點(diǎn)．綜上可知，a的取值范圍是（，+∞）．（19）（共14分）解：（Ⅰ）因?yàn)閽佄锞€y2=2px經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（1，2），所以4=2p，解得p=2，所以拋物線的方程為y2=4x．由題意可知直線l的斜率存在且不為0，設(shè)直線l的方程為y=kx+1（k≠0）．由得．依題意，解得k<0或0<k<1．又PA，PB與y軸相交，故直線l不過(guò)點(diǎn)（1，-2）．從而k≠-3．所以直線l斜率的取值范圍是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）．（Ⅱ）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）．由（I）知，．直線PA的方程為y–2=．令x=0，得點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為．同理得點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為．由，得，．所以．所以為定值．學(xué)科&網(wǎng)（20）（共14分）解：（Ⅰ）因?yàn)棣?（1，1，0），β=（0，1，1），所以M(α，α)=[(1+1?|1?1|)+(1+1?|1?1|)+(0+0?|0?0|)]=2，M(α，β）=[(1+0–|1?0|)+(1+1–|1–1|)+(0+1–|0–1|)]=1．（Ⅱ）設(shè)α=（x1，x2，x3，x4）∈B，則M(α，α）=x1+x2+x3+x4．由題意知x1，x2，x3，x4∈{0，1}，且M(α，α)為奇數(shù)，所以x1，x2，x3，x4中1的個(gè)數(shù)為1或3．所以B{(1，0，0，0），（0，1，0，0)，（0，0，1，0)，（0，0，0，1)，（0，1，1，1)，(1，0，1，1)，(1，1，0，1)，(1，1，1，0)}.將上述集合中的元素分成如下四組：（1，0，0，0)，(1，1，1，0)；（0，1，0，0)，(1，1，0，1)；（0，0，1，0)，（1，0，1，1)；（0，0，0，1)，（0，1，1，1).經(jīng)驗(yàn)證，對(duì)于每組中兩個(gè)元素α，β，均有M(α，β）=1.所以每組中的兩個(gè)元素不可能同時(shí)是集合B的元素．所以集合B中元素的個(gè)數(shù)不超過(guò)4.又集合{（1，0，0，0），（0，1，0，0），（0，0，1，0），（0，0，0，1)}滿足條件，所以集合B中元素個(gè)數(shù)的最大值為4.（Ⅲ）設(shè)Sk=(x1，x2，…，xn）|(x1，x2，…，xn）∈A，xk

=1，x1=x2=…=xk–1=0）（k=1，2，…，n)，Sn+1={(x1，x2，…，xn）|x1=x2=…=xn=0}，則A=S1∪S1∪…∪Sn+1．對(duì)