量子力學期末考試試卷及答案集

量子力學期末考試試卷及答案集量子力學試題集

量子力學期末試題及答案(A)

選擇題（每題3分共36分）1．黑體輻射中的紫外災難表明：CA.黑體在紫外線部分輻射無限大的能量；B.黑體在紫外線部分不輻射能量；C.經(jīng)典電磁場理論不適用于黑體輻射公式；

D.黑體輻射在紫外線部分才適用于經(jīng)典電磁場理論。2．關(guān)于波函數(shù)Ψ的含義，正確的是：BA.Ψ代表微觀粒子的幾率密度；

B.Ψ歸一化后，

代表微觀粒子出現(xiàn)的幾率密度；

C.Ψ一定是實數(shù)；D.Ψ一定不連續(xù)。

3．對于偏振光通過偏振片，量子論的解釋是：DA.偏振光子的一部分通過偏振片；

B.偏振光子先改變偏振方向，再通過偏振片；C.偏振光子通過偏振片的幾率是不可知的；D.每個光子以一定的幾率通過偏振片。

4．對于一維的薛定諤方程，如果Ψ是該方程的一個解，則：A

A.一定也是該方程的一個解；B.一定不是該方程的解；

C.Ψ與一定等價；

D.無任何結(jié)論。

5．對于一維方勢壘的穿透問題，關(guān)于粒子的運動，正確的是：CA.粒子在勢壘中有確定的軌跡；B.粒子在勢壘中有負的動能；C.粒子以一定的幾率穿過勢壘；D粒子不能穿過勢壘。

6．如果以l表示角動量算符，則對易運算

[lx,ly]

為：B

A.ihlz

B.ih

lz

C.i

lxlx

D.h

7．如果算符

A、B對易，且A

=A

，則：B

一定不是B的本征態(tài)；A.

一定是B的本征態(tài)；B.

C.一定是B的本征態(tài)；

D.OΨO一定是B的本征態(tài)。

8．如果一個力學量

A與H對易，則意味著A：C

A.一定處于其本征態(tài)；B.一定不處于本征態(tài)；C.一定守恒；

D.其本征值出現(xiàn)的幾率會變化。9．與空間平移對稱性相對應的是：BA.能量守恒；B.動量守恒；C.角動量守恒；D.宇稱守恒。

10．如果已知氫原子的n=2能級的能量值為-3.4ev，則n=5能級能量為：DA.-1.51ev;B.-0.85ev;C.-0.378ev;D.-0.544ev

3

11．三維各向同性諧振子，其波函數(shù)可以寫為nlm，且l=N-2n，則在一確定的能量(N+2

簡并度為：B

)h下，

A.1

N(N1)2；

B.

1

(N1)(N2)2；

C.N(N+1)；D.(N+1)(n+2)

s

12．判斷自旋波函數(shù)A.自旋單態(tài)；B.自旋反對稱態(tài)；C.自旋三態(tài)；D.

12

[(1)(2)(2)(1)]

是什么性質(zhì)：C

z本征值為1.

13.6

eVn2，則電子由n=5躍遷到n=4能級時，發(fā)出的光子

二填空題（每題4分共24分）

1．如果已知氫原子的電子能量為

En

能量為：―――――――――――，光的波長為――――――――――――。2．如果已知初始三維波函數(shù)

(r,0)，不考慮波的歸一化，則粒子的動量分布函數(shù)為(p)=――

(r,t)――――――――――――。

'

――――――――（連續(xù)或不連續(xù)），它的導數(shù)

――――――――――――，任意時刻的波函數(shù)為3．在一維勢阱（或勢壘）中，在

x=x0

點波函數(shù)

――――――――――――（連續(xù)或不連續(xù)）。4．如果選用的函數(shù)空間基矢為

n

，則某波函數(shù)

處于

n

態(tài)的幾率用Dirac符號表示為―――

―――――――，某算符

A在

態(tài)中的平均值的表示為――――――――――。

5．在量子力學中，波函數(shù)在算符操作下具有對稱性，含義是―――――――――――――――

―――――――――――，與

對應的守恒量F

一定是――――――――――算符。

6．金屬鈉光譜的雙線結(jié)構(gòu)是――――――――――――――――――――，產(chǎn)生的原因是―

―――――――――――――――――――。三計算題（40分）

1．設粒子在一維無限深勢阱中，該勢阱為：V(x)=0,當0≤x≤a，V(x)=∞,當x0或x0,

求粒子的能量和波函數(shù)。(10分)

2．設一維粒子的初態(tài)為3．計算

4。4個玻色子占據(jù)3個單態(tài)

B卷一、（共25分）

1、厄密算符的本征值和本征矢有什么特點？（4分）2、什么樣的狀態(tài)是束縛態(tài)、簡并態(tài)和偶宇稱態(tài)？（6分）

3、全同玻色子的波函數(shù)有什么特點？并寫出兩個玻色子組成的全同粒子體系的波函數(shù)。（4分）

(x,0)Exp(ip0x/h)，求(x,t)。

（10分）

z表象變換到x表象的變換矩陣。

（10分）

1，2，3，把所有滿足對稱性要求的態(tài)寫出來。

（10分）

和坐標x的共同本征函數(shù)。4、在一維情況下，求宇稱算符P（6分）

5、簡述測不準關(guān)系的主要內(nèi)容，并寫出時間t和能量E的測不準關(guān)系。（5分）二、（15分）已知厄密算符A,B，滿足

1、在A表象中算符

B0，求BA2B21，且AA

、B的矩陣表示；A

的本征值和本征函數(shù)；2、在A表象中算符B

3、從A表象到B表象的幺正變換矩陣S。三、（15分）線性諧振子在t0時處于狀態(tài)

(x,0)

1、在t

121x(2x2)exp23，其中

，求

0時體系能量的取值幾率和平均值。2、t0時體系波函數(shù)和體系能量的取值幾率及平均值

1

20

23332的本征值至的二次項，本征矢至的一次項。2

四、（15分）當為一小量時，利用微擾論求矩陣

五、（10分）一體系由三個全同的玻色子組成,玻色子之間無相互作用.玻色子只有兩個可能的單粒子態(tài).問體系可能的狀態(tài)有幾個?它們的波函數(shù)怎樣用單粒子波函數(shù)構(gòu)成?

一、1、厄密算符的本征值是實數(shù)，本征矢是正交、歸一和完備的。

2、在無窮遠處為零的狀態(tài)為束縛態(tài)；簡并態(tài)是指一個本征值對應一個以上本征函數(shù)的情況；將波函數(shù)中坐標變量改變符號，若得到的新函數(shù)與原來的波函數(shù)相同，則稱該波函數(shù)具有偶宇稱。

3、全同玻色子的波函數(shù)是對稱波函數(shù)。兩個玻色子組成的全同粒子體系的波函數(shù)為：

1

1(q1)2(q2)1(q2)2(q1)2

,x]2xP和坐標x的對易關(guān)系是：[P4、宇稱算符P，將其代入測不準關(guān)系知，只有當xP0時

S

和x同時具有確定值，的狀態(tài)才可能使P由(x)(x)知，波函數(shù)(x)滿足上述要求，所以(x)

和x的共同本征函數(shù)。是算符P

和G的對易關(guān)系FGGF5、設F

，k是一個算符或普通的數(shù)。以、ik

G，F(xiàn)，GF

、和依次表示F

和k在態(tài)G

中的平均值，令

2

2

2

))(G(F

4則有

，這個關(guān)系式稱為測不準關(guān)系。

時間t和能量E之間的測不準關(guān)系為：二、1、由于

tE

2

的本征值是1，因為在A表象中，算符A的矩陣是對角矩陣，21，所以算符AA

10(A)A的矩陣是：01所以，在A表象中算符A

b11b12(A)BbbB0得：b11b220；由BA2122，利用A設在A表象中算符B的矩陣是

0b2于B1，所以21

b12

00

b21

b12b12b21011b120b21b12b210，

1

*b12b1

12*

0b12

是厄；由于B

0

1

B，b12密算符，B

b12

00b*

12

0(A)iBei

be12B令，（為任意實常數(shù)）得在A表象中的矩陣表示式為：0ie

2、在A表象中算符B的本征方程為：

ei

0

ei

0

eiei0

iiee0和即

行列式為零，即

B

不同時為零的條件是上述方程的系數(shù)

ei

e

i

0

2101

1ei

21對1有：1ei

B2，對1有：1

1ei1ei

21和21

的本征值是1，本征函數(shù)為所以，在A表象中算符B

在A表象中的本征函數(shù)按列排成的矩陣，即3、從A表象到B表象的幺正變換矩陣就是將算符B

ei

1

三、解：1、t0的情況：已知線諧振子的能量本征解為：

1ei

S

21

221(x)exp(x)Hn(x)nEn(n)n

2n!2(n0,1,2)，

當n

0,1時有：

0(x)

exp(2x2)1(x)(x)exp(2x2)2，

于是t于是t0時的波函數(shù)可寫成：

(x,0)

12

0(x)1(x)33，容易驗證它是歸一化的波函數(shù)，

0時的能量取值幾率為：

1132

W(E0,0)W(E1,0)

23，23，能量取其他值的幾率皆為零。

127

E0E1336

能量的平均值為：

2、

t0時體系波函數(shù)

(x,t)

1i23i

0(x)exp(t)1(x)exp(t)3232

顯然，哈密頓量為守恒量，它的取值幾率和平均值不隨時間改變，故t均值與t

0時體系能量的取值幾率和平

0的結(jié)果完全相同。

2

1000

0202

0HH003H0四、解：將矩陣改寫成：

能量的零級近似為：E1

(0)

(0)(0)

1，E22，E33

3

032

(1)(1)(1)

E2E0E312能量的一級修正為：，，

E1(2)

能量的二級修正為：

(2)

E2

2H12

(0)

E1(0)E2

2H13

(0)

E1(0)E3

42

，

2H21

(0)

E2E1(0)

2H23

(0)

E2E3(0)

429252

，

E3(2)

2H31E3(0)E1(0)

2H32

(0)E3(0)E2

92

所以體系近似到二級的能量為：E1

2

142，E2252，E3329

1(0)

先求出

H0屬于本征值1、2和3的本征函數(shù)分別為：

001

(0)(0)13002

010

，，，

利用波函數(shù)的一級修正公式

k(1)

ik

Hik

i(0)

(0)(0)EkEi

，可求出波函數(shù)的一級修正為：

1(1)

002(1)(1)

2123103

300，，

120122133

031，，近似到一級的波函數(shù)為：

五、解：由玻色子組成的全同粒子體系，體系的波函數(shù)應是對稱函數(shù)。以qi表示第i子的坐標，根據(jù)題設，體系可能的狀態(tài)有以下四個：

(1)(2)

(q)(q)(q)2(q1)2(q2)2(q3)s__s（1）；（2）

(3)C1(q1)1(q2)2(q3)1(q1)2(q2)1(q3)1(q2)2(q1)1(q3)；s（3）

(4)

C[2(q1)2(q2)1(q3)2(q1)1(q2)2(q3)2(q2)2(q3)1(q1)（4）s

(i1,2,3)個粒

一、（20分）已知氫原子在t0時處于狀態(tài)

12011(x,,0)(x)(x)(x)

213

013330

其中，n(x)為該氫原子的第n個能量本征態(tài)。求能量及自旋z分量的取值概率與平均值，寫出t時的波函數(shù)。

解已知氫原子的本征值為

0

將t

En

e41

22n2

，

n1,2,3,（1）

0時的波函數(shù)寫成矩陣形式

1xx

2333（2）(x,0)2

x13

利用歸一化條件

1__

cdxx3x

32

3

2

1xx32

332*

1x321x（3）

3

124272

cc

9999

于是，歸一化后的波函數(shù)為

(x,0)

1

x3

xxx

32

32（4）

231

x1x

能量的可能取值為E1,E2,E3，相應的取值幾率為

WE412

1,07;WE2,07;WE3,07

能量平均值為

E0

47E121

7E27

E3e44127117121161e424795042自旋z分量的可能取值為

2,2

，相應的取值幾率為

Ws123

4z2,0777;W

sz2,07自旋z分量的平均值為

s347272

z014

t0時的波函數(shù)

i(x,t)expEi

2

x2t3

xexpE3t

i1xexpE1t

二.（20分）質(zhì)量為m的粒子在如下一維勢阱中運動

V0

0

.x0

VxV,0x0

a

0,xa5）

6）

7）

8）

9）（（（（（

若已知該粒子在此勢阱中有一個能量E

V02

的狀態(tài)，試確定此勢阱的寬度a。

解對于V0

E0的情況，三個區(qū)域中的波函數(shù)分別為

1x0

2xAsinkx（1）

3

xBexpx其中，

k

2m(EV0)

mE

;

2

利用波函數(shù)再x0處的連接條件知，n，n0,1,2,。

在x

a處，利用波函數(shù)及其一階導數(shù)連續(xù)的條件

2a3a

'

2

a'3a

得到

AsinkanBexpaAkcoskanBexpa

于是有

tanka

k

此即能量滿足的超越方程。

當

E

1

2

V0時，由于

故

mV0

an

4

n1,2,3,最后得到勢阱的寬度

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）7）

（

1

an

4mV0

三、（20分）證明如下關(guān)系式

（8）

（1）任意角動量算符j滿足jjij。

證明對x分量有

jjjj=ij

jj

x

yz

zy

x

同理可知，對

y與z分量亦有相應的結(jié)果，故欲證之式成立。

nnnp

是一個厄米算符，其中，

投影算符

n是任意正交歸一的完備本征函數(shù)系。

n的矩陣元為p

證明

在任意的兩個狀態(tài)而投影算符

與

之下，投影算符

nnnp

nn的共算符pp的矩陣元為

**nnpppn

nn

*

nnnn

__

顯然，兩者的矩陣元是相同的，由利用

*

k

'

'

與

的任意性可知投影算符

n是厄米算符。p

xxxx證明xp

k

k

xmn

xkn，其中，kx為任xmkp

k

意正交歸一完備本征函數(shù)系。證明

xmnxp

*

xnxdxmxxp

*

xnxdxmxxdx'x'xp

dx

*

m

xnx'xxdx'x'xp

'

xdxxxdxxxp

*

m

'

*k

'

'

k

k

x'

n

*m

'

k

*k

'

'

x

'

xdxxxxdxxp

n

k

xp

mk

x

k

2

kn

四、（20分）在L與Lz表象中，在軌道角動量量子數(shù)l

、L1的子空間中，分別計算算符Lyx

的矩陣元，進而求出它們的本征值與相應的本征矢。與Lz

解在L與Lz表象下，當軌道角動量量子數(shù)l皆為三維矩陣。

2

與L、L1時，m1,0,1，顯然，算符Lyxz

是對角矩陣，且其對角元為相應的本征值，于是有由于在自身表象中，故Lz

100

000（1）Lz

001

相應的本征解為

1

Lz;10

00

Lz0;01（2）

0L00

z;11

對于算符Lx

、Ly而言，需要用到升降算符，即Lx12LL

Ly1

L2i

L

而

L

lm,m當l

1,m1,0,1時，顯然，算符Lx

、Ly的對角元皆為零，并且，1Lx1Ly0

L1,L1,0xy

只有當量子數(shù)m相差1時矩陣元才不為零，即

1Lx1,0Lx1,1LxLx

1,0

Ly1,Ly

1,01Ly1,0Ly

于是得到算符Lx

、Ly的矩陣形式如下3）

4）

5）

6）

（（（（

0100i0

101;Li0i（7）Lxy0100i0

Ly

滿足的本征方程為

0

ii00c1c1

ic2c2（8）

20

i

0c3c3

相應的久期方程為

ii2

i2

i2

02

將其化為

320得到三個本征值分別為

1;20;3將它們分別代回本征方程，得到相應的本征矢為

1i111

i

122;0;23

2i212i

Lx

滿足的本征方程為

010101c1c1cc

2201

0c3c3

相應的久期方程為

（9）

10）

11）

12）13）

（（（（

（14）0將其化為

得到三個本征值分別為

320（15）

1;20;3（16）

將它們分別代回本征方程，得到相應的本征矢為

111

11

1;0;（17）2322111

五、（20分）由兩個質(zhì)量皆為

、角頻率皆為

的線諧振子構(gòu)成的體系，加上微擾項

__（x,x分別為兩個線諧振子的坐標）后，用微擾論求體系基態(tài)能量至二級修正、W1212

第二激發(fā)態(tài)能量至一級修正。

提示：線諧振子基底之下坐標算符的矩陣元為

1n

mxnm,n1

2

式中，

n1

m,n12

。

解體系的哈密頓算符為

其中

HWH0

（1）

12221pHp2x12x2022年22

__W

（2）

12

的解為已知H0

其中

Enn1

nx1,x2nx1nx2

1

2

（3）

n1,n2,n0,1,2,

（4）

1,2,3,,fn

將前三個能量與波函數(shù)具體寫出來

E00;00x10x2

E012,110x11x2121x10x2E03,2

212x10x2

220x12x2231x11x2

對于基態(tài)而言，n1

n2n0，f01，體系無簡并。

利用公式

1nn1

mxn

2m,n12m,n1

可知

E1000

0E2

fn

0nn0

0

n01

E0E0

0n

顯然，求和號中不為零的矩陣元只有

023230

22

于是得到基態(tài)能量的二級修正為

2

E2

120

E0E04

23

0248

第二激發(fā)態(tài)為三度簡并，能量一級修正滿足的久期方程為

5）

6）

7）

8）

9）

（（（（（

1

11E2

W12

1

W22E2

W13W23

1

W33E2

W21W31

0（10）

W32

其中

W11W22W33W12W210

W13W31W23W32（11）

將上式代入（10）式得到

E2

1

E2

1

00（12）

1

整理之，E2滿足

于是得到第二激發(fā)態(tài)能量的一級修正為

E2

1

3

21

4E20（13）

1E21

11

;E0;E222322

（14）

1.微觀粒子具有波粒二象性。

2．德布羅意關(guān)系是粒子能量E、動量P與頻率、波長之間的關(guān)系，其表達式為：E=h,

p=h/。

3．根據(jù)波函數(shù)的統(tǒng)計解釋，(x,t)

4．量子力學中力學量用厄米算符表示。

5．坐標的x分量算符和動量的x分量算符

2

dx的物理意義為：粒子在x―dx范圍內(nèi)的幾率。

px的對易關(guān)系為：x,pi。

6．量子力學關(guān)于測量的假設認為：當體系處于波函數(shù)(x)所描寫的狀