基于最小二乘法的系統(tǒng)參數(shù)辨識(shí)

基于最小二乘法的系統(tǒng)參數(shù)辨識(shí)研究生二隊(duì)李英杰082068摘要：系統(tǒng)辨識(shí)是自動(dòng)控制學(xué)科的一個(gè)重要分支，由于其特殊作用，已經(jīng)廣泛應(yīng)用于各種領(lǐng)域，尤其是復(fù)雜系統(tǒng)或參數(shù)不容易確定的系統(tǒng)的建模。過去，系統(tǒng)辨識(shí)主要用于線性系統(tǒng)的建模，經(jīng)過多年的研究，已經(jīng)形成成熟的理論。但隨著社會(huì)、科學(xué)的開展，非線性系統(tǒng)越來越受到人們的關(guān)注，其控制與模型之間的矛盾越來越明顯，因而非線性系統(tǒng)的辨識(shí)問題也越來越受到重視，其辨識(shí)理論不斷開展和完善本。文重點(diǎn)介紹了系統(tǒng)參數(shù)辨識(shí)中最小二乘法的根本原理，并通過熱敏電阻阻值溫度關(guān)系模型的辨識(shí)實(shí)例，具體說明了基于最小二乘法參數(shù)辨識(shí)在Matlab中的實(shí)現(xiàn)方法。結(jié)果說明基于最小二乘法具有算法簡單、精度較高等優(yōu)點(diǎn)。1.引言所謂辨識(shí)就是通過測取研究對象在人為輸入作用下的輸出響應(yīng)，或正常運(yùn)行時(shí)的輸入輸出數(shù)據(jù)記錄，加以必要的數(shù)據(jù)處理和數(shù)學(xué)計(jì)算，估計(jì)出對象的數(shù)學(xué)模型。這是因?yàn)閷ο蟮膭?dòng)態(tài)特性被認(rèn)為必然表現(xiàn)在它的變化著的輸入輸出數(shù)據(jù)之中，辨識(shí)只不過是利用數(shù)學(xué)的方法從數(shù)據(jù)序列中提煉出對象的數(shù)學(xué)模型而已[1]。最小二乘法是系統(tǒng)參數(shù)辨識(shí)中最根本最常用的方法。最小二乘法因其算法簡單、理論成熟和通用性強(qiáng)而廣泛應(yīng)用于系統(tǒng)參數(shù)辨識(shí)中。本文基于熱敏電阻阻值與溫度關(guān)系數(shù)據(jù)，介紹了最小二乘法的參數(shù)辨識(shí)在Matlab中的實(shí)現(xiàn)。2.系統(tǒng)辨識(shí)一般而言，建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型有兩種方法：鼓勵(lì)分析法和系統(tǒng)辨識(shí)法。前者是按照系統(tǒng)所遵循的物化〔或社會(huì)、經(jīng)濟(jì)等〕規(guī)律分析推導(dǎo)出模型。后者那么是從實(shí)際系統(tǒng)運(yùn)行和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理獲得模型。如圖1所示，系統(tǒng)辨識(shí)就是從系統(tǒng)的輸入輸出數(shù)據(jù)測算系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的理論和方法。更進(jìn)一步的定義是L.A.Zadeh曾經(jīng)與1962年給出的，即“系統(tǒng)辨識(shí)是在輸入和輸出的根底上，從系統(tǒng)的一類系統(tǒng)范圍內(nèi)，確立一個(gè)與所實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)等價(jià)的系統(tǒng)〞。另外，系統(tǒng)辨識(shí)還應(yīng)該具有3個(gè)根本要素，即模型類、數(shù)據(jù)和準(zhǔn)那么[5]。被辨識(shí)系統(tǒng)模型根據(jù)模型形式可分為參數(shù)模型和非參數(shù)模型兩大類。所謂參數(shù)模型是指微分方程、差分方程、狀態(tài)方程等形式的數(shù)學(xué)模型；而非參數(shù)模型是指頻率響應(yīng)、脈沖響應(yīng)、傳遞函數(shù)等隱含參數(shù)的數(shù)學(xué)模型。在辨識(shí)工程中，模型確實(shí)定主要根據(jù)經(jīng)驗(yàn)對實(shí)際對象的特性進(jìn)行一定程度上的假設(shè)，如對象的模型是線性的還是非線性的、是參數(shù)模型還是非參數(shù)模型等。在模型確定之后，就可以根據(jù)對象的輸入輸出數(shù)據(jù)，按照一定的辨識(shí)算法確定模型的參數(shù)[4]。圖1被研究的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)3.最小二乘法〔LS〕參數(shù)估計(jì)方法對于參數(shù)模型辨識(shí)結(jié)構(gòu)，系統(tǒng)辨識(shí)的任務(wù)是參數(shù)估計(jì)，即利用輸入輸出數(shù)據(jù)估計(jì)這些參數(shù)，建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。在參數(shù)估計(jì)中最常用的是最小二乘法(LS)、誤差預(yù)測估計(jì)法、輔助變量法(IV估計(jì))、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法等[4]。由于最小二乘法容易理解和掌握，利用最小二乘法原理所擬定的辨識(shí)算法在實(shí)施上比擬簡單，并且不需要數(shù)理統(tǒng)計(jì)的知識(shí)，使得最小二乘法廣泛應(yīng)用于系統(tǒng)辨識(shí)領(lǐng)域，但它也存在著一定的局限和缺乏，當(dāng)系統(tǒng)噪聲為有色噪聲時(shí)，最小二乘法不能給出無偏一致估計(jì)[5]。本文應(yīng)用熱敏電阻阻值溫度關(guān)系模型進(jìn)行了參數(shù)辨識(shí)。設(shè)一個(gè)SISO(單輸入/單輸出)過程的“黑箱〞結(jié)構(gòu)，如圖2：圖2SISO系統(tǒng)的“黑箱〞結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：，那么。假設(shè)考慮被辨識(shí)系統(tǒng)或觀測信息中含有噪聲，最終輸出。其中：為系統(tǒng)輸出量的第次觀測值;為系統(tǒng)輸出量的第次真值;為系統(tǒng)的第個(gè)輸入值;是均值為0的隨機(jī)噪聲。如果定義，，可以表示為：，式中為待估參數(shù)。令，那么有，，，最小二乘的思想就是尋找一個(gè)的估計(jì)值，使得各次測量的與由估計(jì)確定的量測估計(jì)之差的平方和最小，即：，，可得。如果的行數(shù)大于等于列數(shù)，即，滿秩，即，那么存在。那么的最小二乘估計(jì)為最小二乘估計(jì)雖然不能滿足量測方程中的每一個(gè)方程，使每個(gè)方程都有偏差，但它使所有方程偏差的平方和到達(dá)最小，兼顧了所有方程的近似程度，使整體誤差到達(dá)最小，這對抑制測量誤差是有益的。4.實(shí)例分析表1中是在不同溫度下測量同一熱敏電阻的阻值，根據(jù)測量值確定該電阻的數(shù)學(xué)模型，并求出當(dāng)溫度在時(shí)的電阻值。表1熱敏電阻的測量值t20.52632.740516173808895.7R76579082685087391094298010101032圖3在給定的溫度下熱敏電阻的測量值可以假設(shè)阻值與溫度的關(guān)系為，那么參數(shù)、的最小二乘估計(jì)為：在Matlab環(huán)境下，編輯M函數(shù)文件clearallcloseallclcT=[20.52632.740516173808895.7];%溫度R=[76579082685087391094298010101032];%阻值[m,n]=size(T);figureplot(T,R,'b+')t=0;z=0;tz=0;tt=0;fori=1:nt=t+T(i);tt=tt+T(i)*T(i);z=z+R(i);tz=tz+T(i)*R(i);enda=(tt*z-t*tz)/(n*tt-t*t);b=(n*tz-t*z)/(n*tt-t*t);R1=a+70*b;%最小二乘擬合A=polyfit(T,R,1);z=polyval(A,T);%畫圖figureplot(T,z);figureplot(T,R,'b+')holdonplot(T,z,'r');holdoff經(jīng)過仿真運(yùn)算可得：a=702.7620，b=3.4344，。在時(shí)，電阻阻值R1=943.1681熱敏電阻阻值與溫度關(guān)系曲線如圖4所示，最小二乘法的系統(tǒng)辨識(shí)模型同實(shí)際比擬結(jié)果如圖5所示。圖4阻值與溫度關(guān)系曲線圖5基于最小二乘法的系統(tǒng)辨識(shí)模型同實(shí)際比擬結(jié)果從參數(shù)辨識(shí)的結(jié)果可得出結(jié)論：辨識(shí)模型同實(shí)際結(jié)果的擬合度可以看出，最小二乘法辨識(shí)參數(shù)估計(jì)精度比擬高，證明了最小二乘法的有效性。系統(tǒng)辨識(shí)的方法有很多，最小二乘法是其中最根本、應(yīng)用最廣泛的一種系統(tǒng)辨識(shí)方法。最小二乘法可用于動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，也可以用于靜態(tài)系統(tǒng)；可用于線性系統(tǒng)，也可以用于非線性系統(tǒng)；可用于離線估計(jì)，也可以用于在線估計(jì)，這種方法不僅在今天，而且在未來都會(huì)有非常廣泛的應(yīng)用前景。參考文獻(xiàn)[1]李言俊，張科.系統(tǒng)辨理論及應(yīng)用[M].北京：國防工業(yè)出版社，2006[2]劉叔軍，蓋曉華，樊京，崔世林等.MATLAB7.0控制系統(tǒng)應(yīng)用與實(shí)例[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2005[3]石賢良，吳成富.