第三節(jié)-三重積分1課件

一、問題的提出引言:我們知道，求非均勻平面薄片的質(zhì)量、重心等問題是二維空間的問題，要用二元函數(shù)的積分（二重積分）去解決；類似的，求非均勻空間物體的質(zhì)量、重心等問題是三維空間的問題，要用三元函數(shù)的積分（三重積分）去解決【實例】【解決方法】（1）分割近似視為均勻（2）取近似類似二重積分解決問題的思想,采用“分割,取近似,求和,取極限”

（3）求和（4）取極限m精確值二、三重積分的概念【說明】(1)（2）存在條件（充分性）（3）三重積分有與二重積分相類似的性質(zhì)（7條）（4）三重積分的物理意義（5）三、三重積分的計算1.利用直角坐標(biāo)計算三重積分——將三重積分化為三次積分．以下只限于敘述計算方法1.直角坐標(biāo)下2.柱面坐標(biāo)下3.球面坐標(biāo)下方法1.投影法(“先一后二”)方法2.截面法(切片法)(“先二后一”)先假設(shè)連續(xù)函數(shù)最后,推廣到一般可積函數(shù)的積分計算.方法1：投影法【“先一后二”】如圖∥z軸得X—型域【注意】此式稱為先對z、次對y、最后對x的三次積分得計算公式（1）（2）若交點多于兩個，也可像處理二重積分那樣，將Ω分割，化為部分區(qū)域上的三重積分之和.（3）也可把Ω投影到y(tǒng)oz面或zox面上，便可把三重積分化為其它順序的三次積分.（要求平行于x

軸或y

軸且穿過閉區(qū)域Ω內(nèi)部的直線與Ω的邊界曲面S相交不多于兩點）.【例1】【解】如圖X—型域作直線穿越Ω內(nèi)部故則【方法Ⅱ】截面法(切片法)【“先二后一”】(?)Dz之面積【解】原式(?)Dz之面積橢圓面積公式2、利用柱面坐標(biāo)計算三重積分設(shè)空間一點M(x,y,z),點M在xoy面上的投影P的極坐標(biāo)為則稱為點M

的柱面坐標(biāo).［變化范圍］［與直角坐標(biāo)的關(guān)系］0xz

yM(ρ,

,z)z

ρPxyz柱面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系為如圖，三組坐標(biāo)面分別為圓柱面；半平面；平面．柱面坐標(biāo)系中的體積元素為此即柱面坐標(biāo)系下的三重積分表達(dá)式如圖六面體近似看作長方體柱面坐標(biāo)下的三重積分的計算仍然化為三次積分來進(jìn)行，積分限是根據(jù)在積分域Ω中的變化范圍來確定的，以下舉例說明單積分二重積分（極坐標(biāo)系下計算）【方法】【適用范圍】1)積分域表面用柱面坐標(biāo)表示時方程簡單

;2)被積函數(shù)用柱面坐標(biāo)表示時變量互相分離.0xz

y1Dxy.Dxy:z=1錐面化為:

ρ=z1.用柱面坐標(biāo)【例4】..【解】0xz

y4Dxy2【例5】利用柱面坐標(biāo)計算三重積分【解】即則故【思考】本題是否可考慮用截面法來求解？3、利用球面坐標(biāo)計算三重積分0xz

yM(r,

,

)r

Pyxz球面坐標(biāo)圓錐面；球面；半平面．球面坐標(biāo)系中的體積元素為如圖，此即球面坐標(biāo)下三重積分表達(dá)式六面體近似看作長方體用三組坐標(biāo)面將積分區(qū)域分成許多小閉區(qū)域【注】(1)則球面坐標(biāo)下的三重積分的計算【規(guī)定】(3)(2)其中【例6】【解】如圖建立坐標(biāo)系則立體體積為【補(bǔ)充：利用對稱性化簡三重積分計算】使用對稱性時應(yīng)注意：１、積分區(qū)域關(guān)于坐標(biāo)面的對稱性；２、被積函數(shù)在積分區(qū)域上的關(guān)于三個坐標(biāo)軸的奇偶性．對稱性簡化運算六、小結(jié)積分區(qū)域多由坐標(biāo)面被積函數(shù)形式簡潔,或坐標(biāo)系體積元素適用情況直角坐標(biāo)系柱面坐標(biāo)系球面坐標(biāo)系