2023年山東省德州市夏津高三第二次診斷性檢測數(shù)學(xué)試卷含解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再

選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

0

1.已知雙曲線A-y=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為F,若過點(diǎn)F且傾斜角為60。的直線1與雙曲線的右支有且只有一

a~

個交點(diǎn)，則此雙曲線的離心率e的取值范圍是（)

A.[2,+oo)B.(1,2),C.(2,+oo)D.(1,2]

2.已知集合4={-1,0,1,2},B={x|(x+l)(x-2)<0},則集合4nB的真子集的個數(shù)是（）

A.8B.7C.4D.3

3.在AAHC中，點(diǎn)P為8C中點(diǎn)，過點(diǎn)P的直線與A3,AC所在直線分別交于點(diǎn)“，N,若通7=2而,

前=〃恁（/1>0,〃〉0）,則丸+〃的最小值為（）

57

A.-B.2C.3D.-

42

4.阿波羅尼斯（約公元前262~190年）證明過這樣的命題：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比為常數(shù)左（左>0,左H1）的點(diǎn)的軌

跡是圓.后人將這個圓稱為阿氏圓.若平面內(nèi)兩定點(diǎn)A，B間的距離為2,動點(diǎn)P與A，B的距離之比為絲，當(dāng)P,A，

2

B不共線時，APA3的面積的最大值是（）

A.272B.0C.￡1D.—

33

5.甲、乙、丙、丁四人通過抓閹的方式選出一人周末值班（抓到“值”字的人值班）.抓完閹后，甲說：“我沒抓到.”乙

說：“丙抓到了丙說：“丁抓到了”丁說：“我沒抓到.”已知他們四人中只有一人說了真話，根據(jù)他們的說法，可以斷定

值班的人是（）

A.甲B.乙C.丙D.丁

6.設(shè)全集為R,集合A={x|0<x<2},B={x|x>l},則AD&B）=

A.{x[0<x<l}B.{x[0<x<l}C.{x|l〈x<2}D.{x[0<x<2}

7.已知角。的終邊經(jīng)過點(diǎn)P（-4〃7,3,祖〃7H0）,則2sina+cosa的值是（）

2222

A.1或-1B.二或一（C.1或一1D.T或不

,IMA|

8.已知焦點(diǎn)為產(chǎn)的拋物線C:y2=4x的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)"在拋物線C上，則當(dāng)日涓取得最大值時，直

線的方程為（）

A.y=x+l或y=-x-lB.y=gx+g或y=一/一（C.y=2x+2或y=-2工一2

D.y—■-2x+2

9.復(fù)數(shù)z=；~=的共枕復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)位于（）

1+2/

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

22

10.已知橢圓C：三+方=1（。＞人＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為耳，尸2,點(diǎn)P（x，x），Q（—%,-乂）在橢圓。上，其

中玉＞0,x＞0,若|p0|=2|O用，■卜］?，則橢圓C的離心率的取值范圍為（）

A.0，牛^B.（0,76-2］

C.—1D.他G-1］

11.若將函數(shù)f（x）=2sin（x+1|-l的圖象上各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來的;（縱坐標(biāo)不變）得到函數(shù)g（x）的圖象，則下列

說法正確的是（）

A.函數(shù)g（x）在（0,。上單調(diào)遞增B.函數(shù)g（尤）的周期是春

C.函數(shù)g（x）的圖象關(guān)于點(diǎn),存。［對稱D.函數(shù)g（x）在（0,方］上最大值是1

12.已知集合A={1,3,5},5={1,2,3},C={2,3,4,5},則（AC8）DC=（）

A.{1,2,3,5}B.{1,2,3,4}C.{2,3,4,5}D.{1,2,3,4,5）

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.春天即將來臨，某學(xué)校開展以“擁抱春天，播種綠色”為主題的植物種植實(shí)踐體驗(yàn)活動.已知某種盆栽植物每株成

活的概率為〃，各株是否成活相互獨(dú)立.該學(xué)校的某班隨機(jī)領(lǐng)養(yǎng)了此種盆栽植物10株，設(shè)X為其中成活的株數(shù)，若X

的方差OX=2.1,P（X=3）＜P（X=7）,則〃=.

2

14.（X—-）5的展開式中含V的系數(shù)為.（用數(shù)字填寫答案）

X

15.已知三棱錐尸一ABC的四個頂點(diǎn)都在球。的球面上，PA=PB=PC,AB=2,BC＜，AC=3,E,F

3

分別為AC,P8的中點(diǎn)，EF=~,則球。的體積為

2

16.已知函數(shù)/(x)=<是偶函數(shù)，直線y=，與函數(shù))，=/(x)的圖象自左向右依次交于四個不同

2x2+bx+c,x<0

點(diǎn)A,B,C,D.若45=8C,則實(shí)數(shù)f的值為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)設(shè)跖b,c,d都是正數(shù)，且x=J/+/,y=J。?+屋.求證：xyNj(ac+bd)(ad+bc).

18.(12分)某工廠為提高生產(chǎn)效率，需引進(jìn)一條新的生產(chǎn)線投入生產(chǎn)，現(xiàn)有兩條生產(chǎn)線可供選擇，生產(chǎn)線①：有A,

3兩道獨(dú)立運(yùn)行的生產(chǎn)工序，且兩道工序出現(xiàn)故障的概率依次是0.02,0.03.若兩道工序都沒有出現(xiàn)故障，則生產(chǎn)成本

為15萬元；若A工序出現(xiàn)故障，則生產(chǎn)成本增加2萬元；若B工序出現(xiàn)故障，則生產(chǎn)成本增加3萬元；若A,8兩

道工序都出現(xiàn)故障，則生產(chǎn)成本增加5萬元.生產(chǎn)線②：有“，。兩道獨(dú)立運(yùn)行的生產(chǎn)工序，且兩道工序出現(xiàn)故障的概

率依次是0.04,0.01.若兩道工序都沒有出現(xiàn)故障，則生產(chǎn)成本為14萬元；若。工序出現(xiàn)故障，則生產(chǎn)成本增加8萬元;

若b工序出現(xiàn)故障，則生產(chǎn)成本增加5萬元；若a,b兩道工序都出現(xiàn)故障，則生產(chǎn)成本增加13萬元.

(1)若選擇生產(chǎn)線①，求生產(chǎn)成本恰好為18萬元的概率；

(2)為最大限度節(jié)約生產(chǎn)成本，你會給工廠建議選擇哪條生產(chǎn)線？請說明理由.

19.(12分)已知函數(shù)八＞)=|尤—1]—|x+2].

(1)求不等式/(x)42的解集A;

(2)若不等式/*)4丁+2彳一相對xeA恒成立，求實(shí)數(shù)加的取值范圍.

20.(12分)某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品的標(biāo)準(zhǔn)長度為10.00cm,只要誤差的絕對值不超過0.03cm就認(rèn)為合格，工廠質(zhì)檢

部抽檢了某批次產(chǎn)品1000件，檢測其長度，繪制條形統(tǒng)計(jì)圖如圖：

豚數(shù)t

160115

5025

oV^^n958W9IOOOIMIiwn1003ioL/氏度5)

(i)估計(jì)該批次產(chǎn)品長度誤差絕對值的數(shù)學(xué)期望；

(2)如果視該批次產(chǎn)品樣本的頻率為總體的概率，要求從工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取2件，假設(shè)其中至少有1件是標(biāo)

準(zhǔn)長度產(chǎn)品的概率不小于0.8時，該設(shè)備符合生產(chǎn)要求.現(xiàn)有設(shè)備是否符合此要求？若不符合此要求，求出符合要求時，

生產(chǎn)一件產(chǎn)品為標(biāo)準(zhǔn)長度的概率的最小值.

21.(12分)已知函數(shù)/(x)=|x+l|—14—2x].

(1)求不等式/(x)(x-l)的解集；

21

(2)若函數(shù)/(x)的最大值為加，且2。+。=機(jī)(a〉O,b〉O),求一+一的最小值.

ab

22.(10分)已知數(shù)列｛4｝為公差不為零的等差數(shù)列，S“是數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，且％、出、生成等比數(shù)列，S7=49.

設(shè)數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和為Tn,且滿足log,(7；,+2)=扃.

(1)求數(shù)列&｝、也｝的通項(xiàng)公式；

(2)令c"=GN),證明：+c2H---Fq,<3.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.A

【解析】

若過點(diǎn)R且傾斜角為？的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點(diǎn)，則該直線的斜率的絕對值小于等于漸近線的斜

率.根據(jù)這個結(jié)論可以求出雙曲線離心率的取值范圍.

【詳解】

22

已知雙曲線="-yy=1(〃>0,8>0)的右焦點(diǎn)為F9

若過點(diǎn)F且傾斜角為鼻的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點(diǎn)，

則該直線的斜率的絕對值小于等于漸近線的斜率-,

a

離心率/=絲娑?..4,

aa

e..2,

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查雙曲線的性質(zhì)及其應(yīng)用，解題時要注意挖掘隱含條件.

2.D

【解析】

轉(zhuǎn)化條件得4口8={0』}，利用元素個數(shù)為”的集合真子集個數(shù)為2"-1個即可得解.

【詳解】

由題意得8={%|(*+1)(%_2)<0}=付_1<*<2},

AC|3={O,1},.?.集合的真子集的個數(shù)為22-1=3個.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了集合的化簡和運(yùn)算，考查了集合真子集個數(shù)問題，屬于基礎(chǔ)題.

3.B

【解析】

11(\1A

由M,P,N三點(diǎn)共線，可得打+丁=1,轉(zhuǎn)化2+〃=(/1+〃)—+—，利用均值不等式，即得解.

222〃(242〃J

【詳解】

因?yàn)辄c(diǎn)P為BC中點(diǎn)，所以+

22

又因?yàn)槎?之而，AN=pAC,

所以/=」-麗7+」-病.

222〃

因?yàn)镸,P,N三點(diǎn)共線,

所以

11(2111C

所以;1+〃=(/1+〃)-1—+幺d--..Id--X2=2,

2/12//j2X22〃A

X_n

廠了

當(dāng)且僅當(dāng)《即義=〃=1時等號成立,

11

一+——

2A2〃

所以/L+〃的最小值為1.

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題考查了三點(diǎn)共線的向量表示和利用均值不等式求最值，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于

中檔題.

4.A

【解析】

根據(jù)平面內(nèi)兩定點(diǎn)A,B間的距離為2,動點(diǎn)2與A,B的距離之比為也，利用直接法求得軌跡，然后利用數(shù)形結(jié)

2

合求解.

【詳解】

如圖所示：

P

1AJOBx

設(shè)4（一1,0）,3（1,0）,P（x,y）,則一,

“#-1）-+丫022

化簡得（x+3）2+y2=8,

當(dāng)點(diǎn)P到A8（x軸）距離最大時，APAB的面積最大，

二APAB面積的最大值是-x2x20=2A/2.

2

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查軌跡的求法和圓的應(yīng)用，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.

5.A

【解析】

可采用假設(shè)法進(jìn)行討論推理，即可得到結(jié)論.

【詳解】

由題意，假設(shè)甲：我沒有抓到是真的，乙：丙抓到了，則丙：丁抓到了是假的，

T：我沒有抓到就是真的，與他們四人中只有一個人抓到是矛盾的；

假設(shè)甲：我沒有抓到是假的，那么?。何覜]有抓到就是真的，

乙：丙抓到了，丙：丁抓到了是假的，成立，

所以可以斷定值班人是甲.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了合情推理及其應(yīng)用，其中解答中合理采用假設(shè)法進(jìn)行討論推理是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與分析

判斷能力，屬于基礎(chǔ)題.

6.B

【解析】

分析：由題意首先求得然后進(jìn)行交集運(yùn)算即可求得最終結(jié)果.

詳解：由題意可得：CRB={X|X<1},

結(jié)合交集的定義可得：Ac(C*)={0<x<l}.

本題選擇B選項(xiàng).

點(diǎn)睛：本題主要考查交集的運(yùn)算法則，補(bǔ)集的運(yùn)算法則等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.

7.B

【解析】

根據(jù)三角函數(shù)的定義求得sina,cosa后可得結(jié)論.

【詳解】

由題意得點(diǎn)。與原點(diǎn)間的距離r=J(-癡)?+(3加)2=5|/n|.

①當(dāng)加>0時，r=5m>

.3m3-4n?4

??sintz=—=一,COSQ=-------=—,

5m55m5

342

:.2sin。+cos。=2x----=—.

555

②當(dāng)機(jī)<()時，r--5m,

.3m3-4m4

..sin。=----=——,cos。=-----=—,

-5m5-5m5

c.C/3、42

..2sin。+cos。=2x——+—=——.

綜上可得2sina+cosa的值是二或一不.

故選B.

【點(diǎn)睛】

利用三角函數(shù)的定義求一個角的三角函數(shù)值時需確定三個量:角的終邊上任意一個異于原點(diǎn)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)X,縱坐標(biāo)J,

該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離r,然后再根據(jù)三角函數(shù)的定義求解即可.

8.A

【解析】

MAMA1，要使黑

過M作與準(zhǔn)線垂直,垂足為P,利用拋物線的定義可得

MFMPcosZAMPcosZMAFIMF|

最大，則NM4E應(yīng)最大，此時AM與拋物線。相切，再用判別式或?qū)?shù)計(jì)算即可.

【詳解】

MAMA]_]

過M作與準(zhǔn)線垂直，垂足為尸,

MFMPcosAAMPcosZMAF

則當(dāng)六百取得最大值時，NM4F最大，此時AM與拋物線C相切,

\MF\

易知此時直線AM的斜率存在，設(shè)切線方程為y=-x+l),

(y=Z(x+l)、.

則｛2A.則A=16—16A~=0,k~-LZ=±l，

y=4x

則直線AM的方程為y=?(x1).

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，涉及到拋物線的定義，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸的思想，是一道中檔題.

9.D

【解析】

由復(fù)數(shù)除法運(yùn)算求出z,再寫出其共扼復(fù)數(shù)，得共物復(fù)數(shù)對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo).得結(jié)論.

【詳解】

i_i(l—2i)_，+2_2-2121

1+2?-(1+2z)(l-2z)--551z=1—對應(yīng)點(diǎn)為（二,一］），在第四象限.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，考查共朝復(fù)數(shù)的概念，考查復(fù)數(shù)的幾何意義.掌握復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵.

10.C

【解析】

根據(jù)|PQ|=2］。周可得四邊形"QK為矩形，設(shè)助=〃，尸弱=加,根據(jù)橢圓的定義以及勾股定理可得

22

4cmnmnc4c46

F~"=-+-，再分析t^-+-的取值范圍，進(jìn)而求得2＜-7-^~~去＜--再求離心率的范圍即可.

【詳解】

設(shè)2耳=n,PF?=機(jī),由占＞0,＞］＞0,知機(jī)＜〃，

因?yàn)镻(%，X),Q(f,—yj在橢圓C上,|PQ|=2|O"=2|O用,

所以四邊形P片QK為矩形,?！?尸工；

由需可得咚《二＜1，

|P用33n

由橢圓的定義可得機(jī)+"=2Q浦?^2+〃2=4c2①,

平方相減可得mn=2（a2-c2）②,

4c2m2+nrmn

由①②得尤召—+—；

=F~nm'

.mn

令/=一+一,

nm

AmPV32

令u=一€—,1,

n3>

4百

所以f=2,

V3

c4c2

即2<k<-----

一3

所以02—°2〈以4^H(a2_c2

3\

所以l—e2<e2<^(1-e2),

所以!<e2<4-273,

2

解得在＜e〈G-l.

2

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了橢圓的定義運(yùn)用以及構(gòu)造齊次式求橢圓的離心率的問題,屬于中檔題.

11.A

【解析】

根據(jù)三角函數(shù)伸縮變換特點(diǎn)可得到g(x)解析式；利用整體對應(yīng)的方式可判斷出g(x)在(0苗］上單調(diào)遞增，A正確;

關(guān)于點(diǎn)(一專,-1)對稱，。錯誤；根據(jù)正弦型函數(shù)最小正周期的求解可知3錯誤；根據(jù)正弦型函數(shù)在區(qū)間內(nèi)值域的求

解可判斷出最大值無法取得，。錯誤.

【詳解】

將橫坐標(biāo)縮短到原來的!得：g(x)=2sin(2x+看卜

當(dāng),可〈0八乃,"、時,,2X+77T七(71節(jié)4J、

?.?sinx在后身上單調(diào)遞增.”(力在(0?上單調(diào)遞增，A正確;

g(x)的最小正周期為：7=笄"不是g(x)的周期，B錯誤；

當(dāng)尤=后時,2x+*=。，g，^)=T

??.g(x)關(guān)于點(diǎn)(-強(qiáng),-1)對稱，c錯誤；

當(dāng)x型中時，2x+?(矍J.?.g(x)?O，l)

此時g(x)沒有最大值，。錯誤.

本題正確選項(xiàng)：A

【點(diǎn)睛】

本題考查正弦型函數(shù)的性質(zhì)，涉及到三角函數(shù)的伸縮變換、正弦型函數(shù)周期性、單調(diào)性和對稱性、正弦型函數(shù)在一段

區(qū)間內(nèi)的值域的求解；關(guān)鍵是能夠靈活應(yīng)用整體對應(yīng)的方式，通過正弦函數(shù)的圖象來判斷出所求函數(shù)的性質(zhì).

12.D

【解析】

根據(jù)集合的基本運(yùn)算即可求解.

【詳解】

解：；4={1,3,5},8={1,2,3),C={2,3,4,5},

則(ACB)DC={1,3}D{2,3,4,5}={1,2,3,4,5}

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查集合的基本運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.0.7

【解析】

/、10p(l-p)=2.1

由題意可知：X~B(1O,〃)，且{"V小，從而可得，值.

【詳解】

由題意可知：X~B(10,p)

10p(l-p)=2.1ri00p2-100/?+21=0

]P(X=3)<P(X=7)[p>0.5

/.p=0.7

故答案為：0.7

【點(diǎn)睛】

本題考查二項(xiàng)分布的實(shí)際應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力，考查計(jì)算能力，屬于中檔題.

14.1()

【解析】

由題意得，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)為(+1=C。j(_2)==(_2)，C#5-2r,

X

令r=1,貝!|石=(一2)|。；丁=一101,所以不得系數(shù)為一10.

15.4岳

【解析】

可證NABC=90°,則E為AABC的外心，又B4=PB=PC則PEJ_平面ABC

即可求出必，PE的值，再由勾股定理求出外接球的半徑，最后根據(jù)體積公式計(jì)算可得.

【詳解】

解：?.?AB=2,BC=下,AC=3

：.AB2+BC2=AC2

：.ZABC=90°,因?yàn)椤隇锳C的中點(diǎn)，所以E為A4BC的外'心,

因?yàn)镻A=PB=PC,所以點(diǎn)尸在A4BC內(nèi)的投影為A43c的外心￡,

所以PE_L平面ABC,

???B￡u平面ABC

：.PE±BE,

所以PB=2EF=3,

所以PE=dPB2—BE?=二6,

2

產(chǎn)，所以「=6,所以球O體積，V=g萬，=4岳.

又球心。在PE上，設(shè)PO=r,則

故答案為：4岳

【點(diǎn)睛】

本題考查多面體外接球體積的求法，考查空間想象能力與思維能力，考查計(jì)算能力，屬于中檔題.

16.——

2

【解析】

由f(x)是偶函數(shù)可得尤＞0時恒有/(-%)=/(幻，根據(jù)該恒等式即可求得a,b,c的值，從而得到f(x),令f=f(x),

可解得A,B,C三點(diǎn)的橫坐標(biāo)，根據(jù)AB=3。可列關(guān)于，的方程，解出即可.

【詳解】

解：因?yàn)锳x)是偶函數(shù)，所以X〉0時恒有/(r)=/*),即2/_加+,=/-4x-1,

所以（a-2）x2+（b-4）x-c-l=O,

"2=0

所以—4=0,解得a=2,b=4,c=-l；

c+1=0

2x2—4x—1,x.0

所以/（X）={c2

2x2+4x-l,x<0'

由f=2f+4x-l,即2x2+4x-l-r=0,解得x=-l±：，2f+6；

2

xA=-1——J2t+6,Xg=-1+—>/2r+6.

由f=2f-4x-l,即2X2-4X-1T=0,解得x=l土」2f+6.

2

2=1—-《2t+6,x。=1+—J2t+6.

因?yàn)锳B=BC,所以/一%A=%一/，即，2r+6=2-j2t+6，解得，=-g，

故答案為：——■.

2

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì)及二次函數(shù)的圖象、性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬中檔題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.證明見解析

【解析】

利用比較法進(jìn)行證明：把代數(shù)式(。2+y)/2+42),(訛+M)2展開、作差、化簡可得，(加一加)220,可證得

\Ja2+b2-\]c2+d22ac+M>()成立，同理可證明\!a2+b2-\Jc2+d22ad+Oc>0，由此不等式得證?

【詳解】

證明:因?yàn)?^2)(c2+d2^=a2c2+a2d2+c2b2+b2d2,

(ac+仇/J=a2c2+2abcd+b2d2,

所以(/+b2)(c2+/)—(ac+bd)2=a2d2-labcd+c2b2

=(a"-bc)2>0,

(/+切卜2+〃2"俳+")2成立，又么c、氏d都是正數(shù),

'y1a2+b2-yjc2+d->ac+bd>0>①

同理yjcr+b2-Vc2+d2>ad+bc>0'

；.xy之小(ac+bd)(ad+be).

【點(diǎn)睛】

本題考查利用比較法證明不等式;考查學(xué)生的邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力;把差變形為因式乘積的形式是證明本題的

關(guān)鍵;屬于中檔題。

18.(1)0.0294.(2)應(yīng)選生產(chǎn)線②.見解析

【解析】

(1)由題意轉(zhuǎn)化條件得A工序不出現(xiàn)故障8工序出現(xiàn)故障，利用相互獨(dú)立事件的概率公式即可得解；

(2)分別算出兩個生產(chǎn)線增加的生產(chǎn)成本的期望，進(jìn)而求出兩個生產(chǎn)線的生產(chǎn)成本期望值，比較期望值即可得解.

【詳解】

(1)若選擇生產(chǎn)線①，生產(chǎn)成本恰好為18萬元，即A工序不出現(xiàn)故障B工序出現(xiàn)故障，故所求的概率為

(1-0.02)x0.03=0.0294.

(2)若選擇生產(chǎn)線①，設(shè)增加的生產(chǎn)成本為々萬元)，則J的可能取值為0,2,3,5.

尸(g=0)=(l-0.02)x(l-0.03)=0.9506,

P(J=2)=0.02x(1-0.03)=0.0194,

p(g=3)=(1-0.02)x0.03=0.0294,

p(^=5)=0.02x0.02=0.0006,

所以E(J)=0x0.9506+2x0.0194+3x0.0294+5x0.0006=0.13萬元；

故選生產(chǎn)線①的生產(chǎn)成本期望值為15+0.13=15.13（萬元）.

若選生產(chǎn)線②，設(shè)增加的生產(chǎn)成本為〃（萬元），則〃的可能取值為0,8,5,13.

P（7=0）=（l-0.04）x（l-0.01）=0.9504,

=8)=0.04x(1-0.01)=0.0396,

=5)=(1-0.04)x0.01=0.0096,

=13)=0.04x0.01=0.0004,

所以E⑺=0x0.9504+8x0.0396+5x0.0096+13x0.0004=0.37,

故選生產(chǎn)線②的生產(chǎn)成本期望值為14+0.37=14.37（萬元），

故應(yīng)選生產(chǎn)線②.

【點(diǎn)睛】

本題考查了相互獨(dú)立事件的概率，考查了離散型隨機(jī)變量期望的應(yīng)用，屬于中檔題.

3111

19.(1)一一,+oo(2)m<——

L2)4

【解析】

（1）按絕對值的定義分類討論去絕對值符號后解不等式；

（2）不等式轉(zhuǎn)化為加4尤2+3%+2—?dú)w一1],求出g（x）=f+3x+2—,一1|在[-于+8）上的最小值即可，利用絕對

值定義分類討論去絕對值符號后可求得函數(shù)最小值.

【詳解】

x>1f-2<x<1fx<-2

解：(D5或V或1

x—1—x—2421—x—x—2<21—x+x+x+2<2

3

解得xNl或一二<工<1或無解

2

綜上不等式的解集為A=-|,+oo\

_3

,+oo|時，f(x)<x2+2x-m,BP|x-l|<x2+3x+2-m

(2)XG~2

所以只需加工/+3兀+2-,一1|在_￥€-g,+8）時恒成立即可

x2+2x+3,x>1

令^(x)=x2+3x+2-|x-l|=<3，

x9+4x+1,-

由解析式得g(x)在[-1,+8)上是增函數(shù),

311

???當(dāng)X=-耳時，g(X)min=--

BPm<---

4

【點(diǎn)睛】

本題考查解絕對值不等式，考查不等式恒成立問題，解決絕對值不等式的問題，分類討論是常用方法.掌握分類討論

思想是解題關(guān)鍵.

20.(1)0.01025(2)1--

5

【解析】

(1)根據(jù)題意即可寫出該批次產(chǎn)品長度誤差的絕對值X的頻率分布列，再根據(jù)期望公式即可求出；

(2)由(1)可知，任取一件產(chǎn)品是標(biāo)準(zhǔn)長度的概率為0.4,即可求出隨機(jī)抽取2件產(chǎn)品，都不是標(biāo)準(zhǔn)長度產(chǎn)品的概率,

由對立事件的概率公式即可得到隨機(jī)抽取2件產(chǎn)品，至少有1件是標(biāo)準(zhǔn)長度產(chǎn)品的概率，判斷其是否符合生產(chǎn)要求；

當(dāng)不符合要求時，設(shè)生產(chǎn)一件產(chǎn)品為標(biāo)準(zhǔn)長度的概率為x,可根據(jù)上述方法求出P=1-(1-幻2,解1-(1-0.8,

即可得出最小值.

【詳解】

(1)由柱狀圖，該批次產(chǎn)品長度誤差的絕對值X的頻率分布列為下表：

X00.010.020.030.04

頻率P0.40.30.20.0750.025

所以X的數(shù)學(xué)期望的估計(jì)為

E(X)=0x0.4+0.01x0.3+0.02x0.2+0.03x0.075+0.04x0.025=0.01025.

(2)由(1)可知任取一件產(chǎn)品是標(biāo)準(zhǔn)長度的概率為().4,設(shè)至少有1件是標(biāo)準(zhǔn)長度產(chǎn)品為事件8,則

P(8)=l-(3]=—=0.64<0.8?故不符合概率不小于0.8的要求.

⑸25

設(shè)生產(chǎn)一件產(chǎn)品為標(biāo)準(zhǔn)長度的概率為x,

由題意P(8)=l—(1—x)220.8,又0cx<1,解得XN1—

5

所以符合要求時，生產(chǎn)一件產(chǎn)品為標(biāo)準(zhǔn)長度的概率的最小值為1-坦.

5

【點(diǎn)睛】

本題主要考查離散型隨機(jī)變量的期望的求法，相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率公式的應(yīng)用，對立事件的概率公式的應(yīng)用,

解題關(guān)鍵是對題意的理解，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

21.(1)[1,4](2)3

【解析】

X-5,x<—1,

⑴化簡得到.〃x)=<3%一3,一掇k2,,分類解不等式得到答案.

一x+5,x>2.

(2)/(x)的最大值加=/(2)=3,2。+〃=33>0/>0),利用均值不等式計(jì)算得到答案.

【詳解】

x—5,x<—1,

(1)/(x)=|x+l|-|4-2x|=<3x-3,-m2,

-x+5,x>2.