高中數(shù)學(xué)培優(yōu)講義練習(xí)（必修二）：專題6.9 平面向量的應(yīng)用（重難點題型精講）（學(xué)生版）

專題6.9平面向量的應(yīng)用（重難點題型精講）1．平面幾何中的向量方法(1)用向量研究平面幾何問題的思想向量集數(shù)與形于一身，既有代數(shù)的抽象性又有幾何的直觀性.因此，用向量解決平面幾何問題，就是將幾何的證明問題轉(zhuǎn)化為向量的運算問題，將“證”轉(zhuǎn)化為“算”，思路清晰，便于操作.(2)向量在平面幾何中常見的應(yīng)用①證明線段平行或點共線問題，以及相似問題，常用向量共線定理：∥=-=0(≠0).

②證明線段垂直問題，如證明四邊形是矩形、正方形，判斷兩直線(或線段)是否垂直等，常用向量垂直的條件：=0+=0.

③求夾角問題，利用夾角公式：==.

④求線段的長度或說明線段相等，可以用向量的模：||=或|AB|=||=.(3)向量法解決平面幾何問題的“三步曲”2．向量在物理中的應(yīng)用(1)力學(xué)問題的向量處理方法向量是既有大小又有方向的量，它們可以有共同的作用點，也可以沒有共同的作用點，但力卻是既有大小，又有方向且作用于同一作用點的量.用向量知識解決力的問題，往往是把向量平移到同一作用點上.(2)速度、位移問題的向量處理方法速度、加速度與位移的合成和分解，實質(zhì)就是向量的加減法運算，而運動的疊加也用到向量的合成.(3)向量與功、動量

物理上力做功的實質(zhì)是力在物體前進方向上的分力與物體位移的乘積，它的實質(zhì)是向量的數(shù)量積.

①力的做功涉及兩個向量及這兩個向量的夾角，即W=||||.功是一個實數(shù),它可正,可負(fù),也可為零.

②動量涉及物體的質(zhì)量m，物體運動的速度，因此動量的計算是向量的數(shù)乘運算.【題型1用向量解決平面幾何中的平行問題】【方法點撥】用向量法解決平面幾何中的平行問題，一般來說有兩種方法.(1)普通向量法：利用向量的運算法則、運算律或性質(zhì)計算，將平行問題進行轉(zhuǎn)化求解.(2)坐標(biāo)法：建立平面直角坐標(biāo)系，實現(xiàn)向量的坐標(biāo)化，將幾何問題中的平行問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)運算.【例1】（2022·高一課前預(yù)習(xí)）在△ABC中，點M，N分別在線段AB，AC上，AM=2MB，AN=2NC.求證：MN//【變式1-1】（2022·全國·高三專題練習(xí)）在四邊形ABCD中，AB=DC，N，M是求證：CN=【變式1-2】（2022春·高一課時練習(xí)）如圖，已知AD,BE,CF是△ABC的三條高，且交于點O，DG⊥BE于點G，DH⊥CF于點H，求證：HG//【變式1-3】（2022·全國·高一專題練習(xí)）如圖所示，分別在平行四邊形ABCD的對角線BD的延長線和反向延長線上取點F和點E，使DF=BE.試用向量方法證明：四邊形AECF是平行四邊形.【題型2用向量解決平面幾何中的垂直問題】【方法點撥】用向量法解決平面幾何中的垂直問題，一般來說有兩種方法.(1)普通向量法：利用向量的運算法則、運算律或性質(zhì)計算，有時可選取適當(dāng)?shù)幕?盡量用已知?；驃A角的向量作為基底)，將題中涉及的向量用基底表示.(2)坐標(biāo)法：建立平面直角坐標(biāo)系，實現(xiàn)向量的坐標(biāo)化，將幾何問題中的垂直問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)運算.【例2】（2022·高二課時練習(xí)）如圖，在平行四邊形ABCD中，點E是AB的中點，F(xiàn),G是AD,BC的三等分點（AF=23AD，BG=23(1)用a,b表示(2)如果a=43【變式2-1】（2022·高一課時練習(xí)）用向量方法證明：菱形對角線互相垂直．已知四邊形ABCD是菱形，AC，BD是其對角線．求證：AC⊥BD．【變式2-2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，正方形ABCD的邊長為a，E是AB的中點，F(xiàn)是BC的中點，求證：DE⊥AF.【變式2-3】（2022·高二課時練習(xí)）如圖所示，在等腰直角三角形ACB中，∠ACB=90°，CA=CB，D為BC的中點，E是AB上的一點，且AE=2EB，求證：AD⊥CE.【題型3利用向量求線段間的長度關(guān)系】【方法點撥】利用向量知識，結(jié)合具體條件，將平面幾何中的長度關(guān)系進行轉(zhuǎn)化求解.【例3】（2021·高一課時練習(xí)）如圖，在?ABCD中，點E，F(xiàn)分別是AD，DC邊的中點，BE，BF分別與AC交于R，T兩點，你能發(fā)現(xiàn)AR，RT，TC之間的關(guān)系嗎？用向量方法證明你的結(jié)論.【變式3-1】（2022·高一課時練習(xí)）在梯形ABCD中，BC>AD，AD//BC，點E，F(xiàn)分別是BD，AC的中點，求證：【變式3-2】（2022·高一課前預(yù)習(xí)）如圖，在△ABC中，點E為邊AB上一點，點F為線段AC延長線上一點，且BEAB=CFAC，連接EF交BC于點【變式3-3】（2022·高一單元測試）如圖，在△OAB中，點C分OA為1:3，點D為OB中點，AD與BC交于P點，延長OP交AB于E，求證：AE=3EB.【題型4用向量解決夾角問題】【方法點撥】利用向量知識，結(jié)合具體條件，利用向量的夾角公式進行轉(zhuǎn)化求解.【例4】（2022春·山東菏澤·高一期末）如圖，在△ABC中，已知AC=1，AB=3，∠BAC=60°，且PA+PB+【變式4-1】（2022春·重慶·高一期末）如圖，在△ABC中，已知∠BAC=120°，AB=2，AC=4，點D在BC上，且BD=2DC，點E是AC的中點，連接AD，BE相交于(1)求線段AD，BE的長；(2)求∠EOD的余弦值.【變式4-2】（2022春·廣東河源·高一階段練習(xí)）已知△ABC是等腰直角三角形，∠B=90°，D是BC邊的中點，BE⊥AD，垂足為E，延長BE交AC于點F，連接DF，求證：【變式4-3】（2022·高二課時練習(xí)）已知梯形ABCD中，AB?//?CD，AB=2CD，E為BC的中點，F(xiàn)為BD與AE的交點，(1)求λ和μ的值；(2)若AB=22，BC=6，∠ABC=45°，求EA與BD【題型5用向量解決物理中的相關(guān)問題】【方法點撥】平面向量在物理的力學(xué)、運動學(xué)中應(yīng)用廣泛，用向量處理這些問題時，先根據(jù)題意把物理中的相關(guān)量用有向線段表示，再利用向量加法的平行四邊形法則轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程來計算.【例5】（2022·高一課時練習(xí)）如圖，一滑輪組中有兩個定滑輪A，B，在從連接點O出發(fā)的三根繩的端點處，掛著3個重物，它們所受的重力分別為4N，4N和43【變式5-1】（2023·高一課時練習(xí)）已知兩個力F1=5i+4j，F(xiàn)2=?2i+j，F(xiàn)1，F(xiàn)2作用于同一質(zhì)點，使該質(zhì)點從點(1)F1，F(xiàn)(2)F1，F(xiàn)2的合力【變式5-2】（2022·高一單元測試）如圖所示，一條河的兩岸平行，河的寬度d=500m，一艘船從A點出發(fā)航行到河對岸，船航行速度的大小為|v1|=10km/?，水流速度的大小為|v(1)當(dāng)cosθ(2)當(dāng)船垂直到達對岸時，航行所需時間是否最短？為什么？【變式5-3】（2022·高二課時練習(xí)）解決本節(jié)開始時的問題：在如圖的天平中，左、右兩個秤盤均被3根細(xì)繩均勻地固定在橫梁上.在其中一個秤盤中放入質(zhì)量為1kg的物品，在另一個秤盤中放入質(zhì)量為1kg的砝碼，天平平衡.3根細(xì)繩通過秤盤分擔(dān)對物品的拉力（拉力分別為F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3），若3根細(xì)繩兩兩之間的夾角均為π3，不考慮秤盤和細(xì)繩本身的質(zhì)量，則F1【題型6向量與幾何最值】【方法點撥】根據(jù)具體條件，利用向量知識，將平面幾何中的最值問題進行轉(zhuǎn)化求解即可.【例6】（2022·江蘇鹽城·模擬預(yù)測）如圖，已知正方形ABCD的邊長為2，過中心O的直線l與兩邊AB，CD分別交于點M，N．(1)若Q是BC的中點，求QM?(2)若P是平面上一點，且滿足2OP=λOB【變式6-1】（2022春·廣西柳州·高一階段練習(xí)）在△ABC中，CA=6，AB=8，∠BAC=π2，D為邊(1)求AD?(2)若點P滿足CP=λCAλ∈R【變式6-2】（2022·高一課前預(yù)習(xí)）梯形ABCD中，AB//CD，AB=2，AD