高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第四章 平面向量、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 4.4 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入課時(shí)提升作業(yè) 理試題

數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入(25分鐘50分)一、選擇題(每小題5分,共35分)1.(2015·安徽高考)設(shè)i是虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)(1-i)(1+2i)=()A.3+3i B.-1+3iC.3+i D.-1+i【解析】選C.因?yàn)?1-i)(1+2i)=1+2i-i-2i2=3+i,所以選C.2.(2016·南昌模擬)已知集合M={1,2,zi},i為虛數(shù)單位,N={3,4},M∩N={4},則復(fù)數(shù)z=()A.-2i B.2i C.-4i D.4i【解析】選C.由題意,得zi=4,所以z=QUOTE=-4i.3.(2016·瀘州模擬)若復(fù)數(shù)QUOTE(a∈R,i為虛數(shù)單位)是純虛數(shù),則a=()A.2015 B.2016 C.-2015 D.-2016【解析】選B.因?yàn)镼UOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE[(a-2016)-(a+2016)i]為純虛數(shù),所以a-2016=0,a+2016≠0,即a=2016.【加固訓(xùn)練】若(m2+mi)-(4-2i)是純虛數(shù),則實(shí)數(shù)m的值為()A.0B.±2C.2D.-2【解析】選C.因?yàn)?m2+mi)-(4-2i)=(m2-4)+(m+2)i是純虛數(shù),所以QUOTE解得m=2.【誤區(qū)警示】解答本題易誤選B,出錯(cuò)的原因是對(duì)純虛數(shù)的概念理解不清,忽視了i的系數(shù)不為0.4.設(shè)復(fù)數(shù)w=QUOTE,其中a為實(shí)數(shù),若w的實(shí)部為2,則w的虛部為()A.-QUOTE B.-QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選A.w=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE[(a+1)2-(1-a)2+2(a+1)(1-a)i]=a-QUOTEi.由題意知a=2,故w的虛部為-QUOTE=-QUOTE=-QUOTE.【加固訓(xùn)練】(2014·湖北高考)i為虛數(shù)單位,QUOTE=()A.-1 B.1 C.-i D.i【解析】選A.QUOTE=QUOTE=QUOTE=-1.5.(2014·遼寧高考)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足(z-2i)(2-i)=5,則z=()A.2+3i B.2-3iC.3+2i D.3-2i【解析】選A.由(z-2i)(2-i)=5得z=QUOTE+2i=QUOTE+2i=2+i+2i=2+3i.【一題多解】本題還可以采用如下解法:選A.設(shè)z=a+bi(a,b∈R),則由(z-2i)(2-i)=5,得z-2i=QUOTE=QUOTE=2+i,又z-2i=a+bi-2i=a+(b-2)i,所以a+(b-2)i=2+i,所以QUOTE得QUOTE故z=2+3i.6.(2016·石家莊模擬)下面是關(guān)于復(fù)數(shù)z=QUOTE的四個(gè)命題:p1:|z|=2,p2:z2=2i,p3:z的共軛復(fù)數(shù)為1+i,p4:z的虛部為-1.其中的真命題為()A.p2,p3 B.p1,p2 C.p2,p4 D.p3,p4【解析】選C.z=QUOTE=QUOTE=QUOTE=-1-i,所以|z|=QUOTE=QUOTE,p1不正確;z2=(-1-i)2=2i,p2正確;z的共軛復(fù)數(shù)為-1+i,p3不正確;顯然p4正確.7.(2016·大同模擬)若復(fù)數(shù)QUOTE(i為虛數(shù)單位)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(1,4),則()A.a=QUOTE,b=QUOTE B.a=QUOTE,b=QUOTEC.a=9,b=2 D.a=2,b=9【解析】選C.因?yàn)镼UOTE=QUOTE=QUOTE=1+4i,所以QUOTE解得a=9,b=2.【方法技巧】復(fù)數(shù)問(wèn)題的解題技巧(1)根據(jù)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式,通過(guò)其實(shí)部和虛部可判斷一個(gè)復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù),還是虛數(shù).(2)復(fù)數(shù)z=a+bi,a∈R,b∈R與復(fù)平面上的點(diǎn)Z(a,b)是一一對(duì)應(yīng)的,通過(guò)復(fù)數(shù)z的實(shí)部和虛部可判斷出其對(duì)應(yīng)點(diǎn)在復(fù)平面上的位置.【加固訓(xùn)練】(2016·泉州模擬)復(fù)數(shù)z=QUOTE(m∈R,i為虛數(shù)單位)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)不可能位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【解題提示】先把z化成a+bi(a,b∈R)的形式,再進(jìn)行判斷.【解析】選A.z=QUOTE=QUOTE=QUOTE+QUOTEi,顯然QUOTE>0與-QUOTE>0不可能同時(shí)成立,則z=QUOTE對(duì)應(yīng)的點(diǎn)不可能位于第一象限.【一題多解】本題還可采用如下解法:z=QUOTE=QUOTE+QUOTEi,設(shè)x=QUOTE,y=QUOTE,則2x+y+2=0.又直線2x+y+2=0不過(guò)第一象限,則z=QUOTE對(duì)應(yīng)的點(diǎn)不可能位于第一象限.二、填空題(每小題5分,共15分)8.(2015·重慶高考)復(fù)數(shù)(1+2i)i的實(shí)部為.【解析】(1+2i)i=-2+i,所以實(shí)部為-2.答案:-29.(2016·鄭州模擬)QUOTE=.【解析】原式=QUOTE=QUOTE=(-i)3=i.答案:i10.(2015·上海高考)若復(fù)數(shù)z滿足3z+QUOTE=1+i,其中i是虛數(shù)單位,則z=.【解題提示】令z=a+bi(a,b∈R),利用復(fù)數(shù)相等轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)運(yùn)算.【解析】設(shè)z=a+bi(a,b∈R),則QUOTE=a-bi,因?yàn)?z+QUOTE=1+i,所以3(a+bi)+a-bi=1+i,即4a+2bi=1+i,所以QUOTE即QUOTE所以z=QUOTE+QUOTEi.答案:QUOTE+QUOTEi(20分鐘40分)1.(5分)(2015·上海高考)設(shè)z1,z2∈C,則“z1,z2中至少有一個(gè)數(shù)是虛數(shù)”是“z1-z2是虛數(shù)”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【解析】選B.當(dāng)z1-z2是虛數(shù)時(shí),z1,z2中至少有一個(gè)數(shù)是虛數(shù)成立,即必要性成立;當(dāng)z1,z2中至少有一個(gè)數(shù)是虛數(shù),z1-z2不一定是虛數(shù),如z1=z2=i,即充分性不成立.【加固訓(xùn)練】(2016·重慶模擬)設(shè)z1,z2是復(fù)數(shù),則下列命題中的假命題是()A.若|z1-z2|=0,則QUOTE=QUOTEB.若z1=QUOTE,則QUOTE=z2C.若QUOTE=QUOTE,則z1·QUOTE=z2·QUOTED.若QUOTE=QUOTE,則QUOTE=QUOTE【解析】選D.設(shè)z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R).選項(xiàng)具體分析結(jié)論A若|z1-z2|=0,則QUOTE=0,所以a=c,b=d,即z1=z2,故QUOTE=QUOTE正確B若z1=QUOTE,則a=c,b=-d,所以QUOTE=z2正確C若|z1|=|z2|,則a2+b2=c2+d2,所以z1·QUOTE=z2·QUOTE正確DQUOTE=(a2-b2)+2abi,QUOTE=(c2-d2)+2cdi,在a2+b2=c2+d2的前提下不能保證a2-b2=c2-d2,2ab=2cd錯(cuò)誤2.(5分)(2015·江蘇高考)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z2=3+4i(i是虛數(shù)單位),則z的模為.【解題提示】首先利用復(fù)數(shù)相等的概念求出復(fù)數(shù)z的代數(shù)形式,然后利用復(fù)數(shù)的模的公式計(jì)算即可.【解析】設(shè)z=a+bi(a,b∈R),所以z2=(a+bi)2=(a2-b2)+2abi,因?yàn)閦2=3+4i,根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義知QUOTE解得QUOTE所以QUOTE=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE3.(5分)已知復(fù)數(shù)z1=2+i,z2=1-2i,且QUOTE=QUOTE+QUOTE,則z的共軛復(fù)數(shù)為.【解析】因?yàn)閦1=2+i,z2=1-2i,所以QUOTE=QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE=QUOTE,所以z=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE-QUOTEi,故z的共軛復(fù)數(shù)為QUOTE+QUOTEi.答案:QUOTE+QUOTEi4.(12分)解答下列各題.(1)計(jì)算QUOTE·i.(2)若復(fù)數(shù)z與(z+2)2-8i都是純虛數(shù),求QUOTE.【解析】(1)QUOTE·i=QUOTEi=QUOTE=QUOTE=-iQUOTE=-iQUOTE=-i.(2)設(shè)z=bi(b∈R且b≠0),則(z+2)2-8i=(bi+2)2-8i=b2i2+4bi+4-8i=(4-b2)+(4b-8)i由題意,得QUOTE解得b=-2,所以z=-2i,QUOTE=2i.【加固訓(xùn)練】若虛數(shù)z同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件:①z+QUOTE是實(shí)數(shù);②z+3的實(shí)部與虛部互為相反數(shù).這樣的虛數(shù)是否存在?若存在,求出z;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.【解題提示】設(shè)z=a+bi(a,b∈R,b≠0),根據(jù)條件①②列關(guān)于實(shí)數(shù)a,b的方程組,把復(fù)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)的計(jì)算.【解析】存在.設(shè)z=a+bi(a,b∈R,b≠0),則z+QUOTE=a+bi+QUOTE=aQUOTE+bQUOTEi.又z+3=a+3+bi的實(shí)部與虛部互為相反數(shù),z+QUOTE是實(shí)數(shù),根據(jù)題意有QUOTE因?yàn)閎≠0,所以QUOTE解得QUOTE或QUOTE所以z=-1-2i或z=-2-i.5.(13分)若1+QUOTEi是關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程x2+bx+c=0的一個(gè)復(fù)數(shù)根.(1)試求b,c的值.(2)1-QUOTEi是否是所給方程的根,試給出判斷.【解題提示】(1)由復(fù)數(shù)相等列關(guān)于b,c的方程組求解.(2)代入方程驗(yàn)證即可.【解析】(1)由于1+QUOTEi是關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程x2+bx+c=0的一個(gè)根,則(1+QUOTEi)2+b(1+QUOTEi)