高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第六章 不等式、推理與證明 6.6 數(shù)學(xué)歸納法課時(shí)提升作業(yè) 理試題

數(shù)學(xué)歸納法(25分鐘45分)一、選擇題(每小題5分,共30分)1.(2016·鄭州模擬)用數(shù)學(xué)歸納法證明1+2+3+…+n2=QUOTE,則當(dāng)n=k+1時(shí)左端應(yīng)在n=k的基礎(chǔ)上加上()A.k2+1B.(k+1)2C.QUOTED.(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2【解析】選D.當(dāng)n=k時(shí),左邊=1+2+3+…+k2,當(dāng)n=k+1時(shí),左邊=1+2+…+k2+(k2+1)+…+(k+1)2,所以應(yīng)加上(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2.2.已知n為正偶數(shù),用數(shù)學(xué)歸納法證明1-QUOTE+QUOTE-QUOTE+…-QUOTE=2QUOTE時(shí),若已假設(shè)n=k(k≥2且k為偶數(shù))時(shí)命題為真,則還需要用歸納假設(shè)再證()A.n=k+1時(shí)等式成立 B.n=k+2時(shí)等式成立C.n=2k+2時(shí)等式成立 D.n=2(k+2)時(shí)等式成立【解析】選B.因?yàn)閚為偶數(shù),故假設(shè)n=k成立后,再證n=k+2時(shí)等式成立.3.(2016·南昌模擬)已知f(n)=12+22+32+…+(2n)2,則f(k+1)與f(k)的關(guān)系是()A.f(k+1)=f(k)+(2k+1)2+(2k+2)2B.f(k+1)=f(k)+(k+1)2C.f(k+1)=f(k)+(2k+2)2D.f(k+1)=f(k)+(2k+1)2【解析】選A.f(k+1)=12+22+32+…+(2k)2+(2k+1)2+[2(k+1)]2=f(k)+(2k+1)2+(2k+2)2.4.(2016·岳陽模擬)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE>QUOTE(n∈N*)成立,其初始值至少應(yīng)取()A.7 B.8 C.9 D.10【解析】選B.1+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE=QUOTE>QUOTE,整理得2n>128,解得n>7,所以初始值至少應(yīng)取8.【加固訓(xùn)練】1.用數(shù)學(xué)歸納法證明2n>2n+1,n的第一個(gè)取值應(yīng)是()A.1 B.2 C.3 D.4【解析】選C.因?yàn)閚=1時(shí),21=2,2×1+1=3,2n>2n+1不成立;n=2時(shí),22=4,2×2+1=5,2n>2n+1不成立;n=3時(shí),23=8,2×3+1=7,2n>2n+1成立.所以n的第一個(gè)取值應(yīng)是3.2.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式QUOTE+QUOTE+…+QUOTE>QUOTE(n>2)的過程中,由n=k到n=k+1時(shí),不等式的左邊()A.增加了一項(xiàng):QUOTEB.增加了兩項(xiàng):QUOTE,QUOTEC.增加了兩項(xiàng):QUOTE,QUOTE,又減少了一項(xiàng):QUOTED.增加了一項(xiàng):QUOTE,又減少了一項(xiàng):QUOTE【解析】選C.當(dāng)n=k時(shí),左邊=QUOTE+QUOTE+…+QUOTE,n=k+1時(shí),左邊=QUOTE+QUOTE+…+QUOTE+QUOTE+QUOTE.5.平面內(nèi)有n條直線,最多可將平面分成f(n)個(gè)區(qū)域,則f(n)的表達(dá)式為()A.n+1 B.2nC.QUOTE D.n2+n+1【解析】選C.1條直線將平面分成1+1個(gè)區(qū)域;2條直線最多可將平面分成1+(1+2)=4(個(gè))區(qū)域;3條直線最多可將平面分成1+(1+2+3)=7(個(gè))區(qū)域;…;n條直線最多可將平面分成1+(1+2+3+…+n)=1+QUOTE=QUOTE(個(gè))區(qū)域.6.(2016·南寧模擬)已知f(n)=(2n+7)·3n+9,存在正整數(shù)m,使得對(duì)任意n∈N*,f(n)都能被m整除,則m的最大值為()A.18 B.36 C.48 D.54【解析】選B.由于f(1)=36,f(2)=108,f(3)=360都能被36整除,猜想f(n)能被36整除,即m的最大值為36.當(dāng)n=1時(shí),可知猜想成立.假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1,k∈N*)時(shí),猜想成立,即f(k)=(2k+7)·3k+9能被36整除;當(dāng)n=k+1時(shí),f(k+1)=(2k+9)·3k+1+9=(2k+7)·3k+9+36(k+5)·3k-2,因此f(k+1)也能被36整除,故所求m的最大值為36.二、填空題(每小題5分,共15分)7.(2016·淮安模擬)當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí),求證xn+yn被x+y整除,當(dāng)?shù)诙郊僭O(shè)n=2k-1時(shí)命題為真,進(jìn)而需驗(yàn)證n=,命題為真.【解析】當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí),求證xn+yn被x+y整除,用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí),第二步假設(shè)n=2k-1時(shí)命題為真,進(jìn)而需要驗(yàn)證n=2k+1時(shí)命題為真.答案:2k+18.(2016·九江模擬)已知f(n)=1+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE(n∈N*),經(jīng)計(jì)算得f(4)>2,f(8)>QUOTE,f(16)>3,f(32)>QUOTE,則其一般結(jié)論為.【解析】因?yàn)閒(22)>QUOTE,f(23)>QUOTE,f(24)>QUOTE,f(25)>QUOTE,所以當(dāng)n≥2時(shí),有f(2n)>QUOTE.故填f(2n)>QUOTE(n≥2,n∈N*).答案:f(2n)>QUOTE(n≥2,n∈N*)9.設(shè)平面內(nèi)有n條直線(n≥3),其中有且僅有兩條直線互相平行,任意三條直線不過同一點(diǎn).若用f(n)表示這n條直線交點(diǎn)的個(gè)數(shù),則f(4)=;當(dāng)n>4時(shí),f(n)=(用n表示).【解析】f(3)=2,f(4)=f(3)+3=2+3,f(5)=f(4)+4=2+3+4,f(6)=f(5)+5=2+3+4+5,猜想f(n)=2+3+4+…+(n-1)=QUOTE(n>4).答案:5QUOTE(n+1)(n-2)(15分鐘30分)1.(5分)(2016·天津模擬)設(shè)f(x)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù),且f(x)滿足:“當(dāng)f(k)≥k2成立時(shí),總可推出f(k+1)≥(k+1)2成立”.那么,下列命題總成立的是()A.若f(1)<1成立,則f(10)<100成立B.若f(2)<4成立,則f(1)≥1成立C.若f(3)≥9成立,則當(dāng)k≥1時(shí),均有f(k)≥k2成立D.若f(4)≥16成立,則當(dāng)k≥4時(shí),均有f(k)≥k2成立【解析】選D.選項(xiàng)A,B與題設(shè)中不等號(hào)方向不同,故A,B錯(cuò);選項(xiàng)C中,應(yīng)該是k≥3時(shí),均有f(k)≥k2成立;選項(xiàng)D符合題意.2.(5分)用數(shù)學(xué)歸納法證明“1+a+a2+…+an+1=QUOTE(a≠1)”,在驗(yàn)證n=1時(shí),左端計(jì)算所得為()A.1 B.1+aC.1+a+a2 D.1+a+a2+a3【解析】選C.因?yàn)榈仁降淖蠖藶?+a+a2+…+an+1,所以當(dāng)n=1時(shí),左端=1+a+a2.3.(5分)利用數(shù)學(xué)歸納法證明“(n+1)(n+2)…(n+n)=2n×1×3×…×(2n-1),n∈N*”時(shí),從假設(shè)n=k推證n=k+1成立時(shí),可以在n=k時(shí)左邊的表達(dá)式上再乘一個(gè)因式,多乘的這個(gè)因式為.【解析】當(dāng)n=k時(shí),左邊=(k+1)(k+2)…(k+k),當(dāng)n=k+1時(shí),左邊=(k+2)(k+3)+…+(k+k)(k+k+1)(k+1+k+1),故所乘的因式為QUOTE=2(2k+1).答案:2(2k+1)4.(15分)(2016·常德模擬)設(shè)a>0,f(x)=QUOTE,令a1=1,an+1=f(an),n∈N*.(1)寫出a2,a3,a4的值,并猜想數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論.【解析】(1)因?yàn)閍1=1,所以a2=f(a1)=f(1)=QUOTE;a3=f(a2)=QUOTE;a4=f(a3)=QUOTE.猜想an=QUOTE(n∈N*).(2)①當(dāng)n=1時(shí),a1=1猜想正確.②假設(shè)n=k(k≥1,k∈N*)時(shí)猜想正確,則ak=QUOTE.則ak+1=f(ak)=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE.這說明,n=k+1時(shí)猜想正確.由①②知,對(duì)于任何n∈N*,都有an=QUOTE.【加固訓(xùn)練】1.(2016·深圳模擬)已知點(diǎn)Pn(an,bn)滿足an+1=an·bn+1,bn+1=QUOTE(n∈N*)且點(diǎn)P1的坐標(biāo)為(1,-1).(1)求過點(diǎn)P1,P2的直線l的方程.(2)試用數(shù)學(xué)歸納法證明:對(duì)于n∈N*,點(diǎn)Pn都在(1)中的直線l上.【解析】(1)由P1的坐標(biāo)為(1,-1)知a1=1,b1=-1.所以b2=QUOTE=QUOTE.a2=a1·b2=QUOTE.所以點(diǎn)P2的坐標(biāo)為QUOTE.所以直線l的方程為2x+y=1.(2)①當(dāng)n=1時(shí),2a1+b1=2×1+(-1)=1成立.②假設(shè)n=k(k∈N*,k≥1)時(shí),2ak+bk=1成立,則2ak+1+bk+1=2ak·bk+1+bk+1=QUOTE(2ak+1)=QUOTE=QUOTE=1,所以當(dāng)n=k+1時(shí),命題也成立.由①②知,對(duì)n∈N*,都有2an+bn=1,即點(diǎn)Pn都在直線l上.2.在數(shù)列{an},{bn}中,a1=2,b1=4,且an,bn,an+1成等差數(shù)列,bn,an+1,bn+1成等比數(shù)列(n∈N*).(1)求a2,a3,a4及b2,b3,b4,由此猜測(cè){an},{bn}的通項(xiàng)公式,并證明你的結(jié)論.(2)證明:QUOTE+QUOTE+…+QUOTE<QUOTE.【解析】(1)由條件得2bn=an+an+1,QUOTE=bnbn+1,由此可得a2=6,b2=9,a3=12,b3=16,a4=20,b4=25,猜測(cè)an=n(n+1)(n∈N*),bn=(n+1)2(n∈N*).用數(shù)學(xué)歸納法證明:①當(dāng)n=1時(shí),由上可得結(jié)論成立.②假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1,k∈N*)時(shí),結(jié)論成立,即ak=k(k+1),bk=(k+1)2,那么當(dāng)n=k+1時(shí),ak+1=2bk-ak=2(k+1)2-k(k+1)=(k+1)(k+2),bk+1=QUOTE=QUOTE=(k+2)2,所以當(dāng)n=k+1時(shí),結(jié)論也成立.由①②,可知an=n(n+1),bn=(n+1)2對(duì)一切正整數(shù)都成立.(2)①當(dāng)n=1時(shí),QUOTE=QUOTE<QUOTE.②當(dāng)n≥2時(shí),由(1)知an+bn=n(n+1)+(n+1)2=(n+1)(2n+1)>2(n+1