高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 2.3 函數(shù)的奇偶性與周期性課時提升作業(yè) 理試題

課時提升作業(yè)六函數(shù)的奇偶性與周期性(20分鐘40分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.(2016·福州模擬)若函數(shù)f(x)(x∈R)是奇函數(shù),函數(shù)g(x)(x∈R)是偶函數(shù),則一定成立的是()A.函數(shù)f(g(x))是奇函數(shù)B.函數(shù)g(f(x))是奇函數(shù)C.函數(shù)f(f(x))是奇函數(shù)D.函數(shù)g(g(x))是奇函數(shù)【解析】選C.由題意得,函數(shù)f(x),g(x)滿足f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),則有f(g(-x))=f(g(x)),g(f(-x))=g(-f(x))=g(f(x)),f(f(-x))=f(-f(x))=-f(f(x)),g(g(-x))=g(g(x)),故f(f(x))是奇函數(shù).2.(2016·鄭州模擬)下列函數(shù)中,既是偶函數(shù)又在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞增的是()A.y=log2|x| B.y=cos2xC.y=QUOTE D.y=log2QUOTE【解析】選A.對于A,函數(shù)y=log2|x|是偶函數(shù)且在區(qū)間(1,2)上是增函數(shù);對于B,函數(shù)y=cos2x在區(qū)間(1,2)上不是增函數(shù);對于C,函數(shù)y=QUOTE不是偶函數(shù);對于D,函數(shù)y=log2QUOTE不是偶函數(shù).【加固訓(xùn)練】(2016·大連模擬)下列函數(shù)中,與函數(shù)y=-3|x|的奇偶性相同,且在(-∞,0)上單調(diào)性也相同的是()A.y=-QUOTE B.y=log2|x|C.y=1-x2 D.y=x3-1【解析】選C.函數(shù)y=-3|x|為偶函數(shù),在(-∞,0)上為增函數(shù),選項B的函數(shù)是偶函數(shù),但其單調(diào)性不符合,只有選項C符合要求.3.已知函數(shù)f(x)是(-∞,+∞)上的奇函數(shù),且f(x)的圖象關(guān)于x=1對稱,當(dāng)x∈[0,1]時,f(x)=2x-1,則f(2017)+f(2018)的值為()A.-2 B.-1 C.0 D.1【解析】選D.因為函數(shù)f(x)為奇函數(shù),則f(-x)=-f(x),又函數(shù)的圖象關(guān)于x=1對稱,則f(2+x)=f(-x)=-f(x),所以f(4+x)=f((2+x)+2)=-f(x+2)=f(x).所以f(x)的周期為4.又函數(shù)的圖象關(guān)于x=1對稱,所以f(0)=f(2),所以f(2017)+f(2018)=f(1)+f(2)=f(1)+f(0)=21-1+20-1=1.【方法技巧】周期性問題常與奇偶性相結(jié)合,解題時注意以下兩點:(1)周期的確定:特別是給出遞推關(guān)系要明確周期如何確定.(2)周期性與奇偶性在解題時,一般情況下周期性起到自變量值轉(zhuǎn)換作用,奇偶性起到調(diào)節(jié)轉(zhuǎn)化正負號的作用.4.(2016·九江模擬)已知定義在R上的偶函數(shù)f(x),在x≥0時,f(x)=ex+ln(x+1),若f(a)<f(a-1),則a的取值范圍是()A.(-∞,1) B.QUOTEC.QUOTE D.(1,+∞)【解析】選B.根據(jù)題中所給的函數(shù)解析式,可知函數(shù)在[0,+∞)上是增函數(shù),根據(jù)偶函數(shù)圖象的對稱性,可知函數(shù)在(-∞,0]上是減函數(shù),所以f(a)<f(a-1)等價于|a|<|a-1|,解得a<QUOTE.【加固訓(xùn)練】(2016·唐山模擬)f(x)是R上的奇函數(shù),當(dāng)x≥0時,f(x)=x3+ln(1+x).則當(dāng)x<0時,f(x)=()A.-x3-ln(1-x) B.x3+ln(1-x)C.x3-ln(1-x) D.-x3+ln(1-x)【解析】選C.當(dāng)x<0時,-x>0,f(-x)=(-x)3+ln(1-x),因為f(x)是R上的奇函數(shù),所以當(dāng)x<0時,f(x)=-f(-x)=-[(-x)3+ln(1-x)],所以f(x)=x3-ln(1-x).5.(2016·深圳模擬)若函數(shù)f(x)=QUOTE為奇函數(shù),則a=()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.-QUOTE【解析】選A.因為f(x)是奇函數(shù),所以f(-x)=-f(x).因為f(x)=QUOTE=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE,所以-(1-2a)=1-2a,所以1-2a=0,所以a=QUOTE.【一題多解】本題還可以采用如下解法方法一:選A.由已知f(x)為奇函數(shù)得f(-1)=-f(1),即QUOTE=QUOTE,所以a+1=3(1-a),解得a=QUOTE.方法二:選A.因為f(x)的分子是奇函數(shù),所以要使f(x)為奇函數(shù),則它的分母必為偶函數(shù),所以1-2a=0,所以a=QUOTE.方法三:選A.因為f(x)為奇函數(shù),且-QUOTE不在f(x)的定義域內(nèi),故QUOTE也不在f(x)的定義域內(nèi),所以QUOTE-a=0,所以a=QUOTE.【方法技巧】利用函數(shù)的奇偶性求參數(shù)的思路利用函數(shù)的奇偶性的定義轉(zhuǎn)化為f(-x)=±f(x),建立方程,使問題得到解決,但是在解決選擇題、填空題時還顯得比較麻煩,為了使解題更快,可采用特值法.【加固訓(xùn)練】1.(2016·衡水模擬)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且f(0)=-1,且對任意x∈R,有f(x)=-f(2-x)成立,則f(2015)的值為()A.1 B.-1 C.0 D.2【解析】選C.由函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),f(x)=-f(2-x)可知函數(shù)f(x)是周期為4的周期函數(shù),令x=1得,f(1)=-f(2-1)=-f(1),所以f(1)=0,所以f(2015)=f(4×504-1)=f(-1)=f(1)=0.2.(2016·天水模擬)已知函數(shù)f(x)是R上的偶函數(shù),g(x)是R上的奇函數(shù),且g(x)=f(x-1),若f(2)=2,則f(2018)的值為()A.2B.0C.-2D.±2【解析】選A.因為g(-x)=f(-x-1),所以-g(x)=f(x+1).又g(x)=f(x-1),所以f(x+1)=-f(x-1),所以f(x+2)=-f(x),f(x+4)=-f(x+2)=f(x),則f(x)是以4為周期的周期函數(shù),所以f(2018)=f(2)=2.3.(2016·秦皇島模擬)函數(shù)f(x)=(x-2)(ax+b)為偶函數(shù),且在(0,+∞)上單調(diào)遞增,則f(2-x)>0的解集為()A.{x|x>2或x<-2} B.{x|-2<x<2}C.{x|x<0或x>4} D.{x|0<x<4}【解析】選C.由題意可知f(-x)=f(x),即(-x-2)(-ax+b)=(x-2)·(ax+b),(2a-b)·x=0恒成立,故2a-b=0,即b=2a.則f(x)=a(x-2)(x+2).又函數(shù)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,所以a>0.f(2-x)>0,即ax(x-4)>0,解得x<0或x>4.4.(2014·湖南高考)若fQUOTE=ln(e3x+1)+ax是偶函數(shù),則a=.【解析】由偶函數(shù)的定義得fQUOTE=fQUOTE,即lnQUOTE-ax=lnQUOTE+ax,-3x=2ax,a=-QUOTE.答案:-QUOTE二、填空題(每小題5分,共15分)6.已知函數(shù)f(x)是奇函數(shù),當(dāng)x>0時,f(x)=lnx,則fQUOTE的值為.【解析】由已知可得fQUOTE=lnQUOTE=-2,所以fQUOTE=f(-2).又因為f(x)是奇函數(shù),所以fQUOTE=f(-2)=-f(2)=-ln2.答案:-ln2【加固訓(xùn)練】已知函數(shù)f(x)=QUOTE,若f(a)=QUOTE,則f(-a)=.【解析】根據(jù)題意,f(x)=QUOTE=1+QUOTE,而h(x)=QUOTE是奇函數(shù),故f(-a)=1+h(-a)=1-h(a)=2-[1+h(a)]=2-f(a)=2-QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE7.設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)同時滿足以下條件:①f(x)+f(-x)=0;②f(x)=f(x+2);③當(dāng)0≤x≤1時,f(x)=2x-1,則fQUOTE+f(1)+fQUOTE+f(2)+fQUOTE=.【解析】依題意知,函數(shù)f(x)為奇函數(shù)且周期為2,所以fQUOTE+f(1)+fQUOTE+f(2)+fQUOTE=fQUOTE+f(1)+fQUOTE+f(0)+fQUOTE=fQUOTE+f(1)-fQUOTE+f(0)+fQUOTE=fQUOTE+f(1)+f(0)=QUOTE-1+21-1+20-1=QUOTE.答案:QUOTE8.(2016·合肥模擬)設(shè)定義在[-2,2]上的偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,2]上單調(diào)遞減,若f(1-m)<f(m),則實數(shù)m的取值范圍是.【解析】因為f(x)是偶函數(shù),所以f(-x)=f(x)=f(|x|).所以不等式f(1-m)<f(m),等價于f(|1-m|)<f(|m|).又當(dāng)x∈[0,2]時,f(x)是減函數(shù).所以QUOTE解得-1≤m<QUOTE.答案:QUOTE(20分鐘40分)1.(5分)(2014·山東高考)對于函數(shù)f(x),若存在常數(shù)a≠0,使得x取定義域內(nèi)的每一個值,都有f(x)=f(2a-x),則稱f(x)為準偶函數(shù).下列函數(shù)中是準偶函數(shù)的是()A.f(x)=QUOTE B.f(x)=x2C.f(x)=tanx D.f(x)=cos(x+1)【解題提示】本題為新定義問題,準確理解準偶函數(shù)的概念再運算.【解析】選D.由f(x)=f(2a-x)可知,fQUOTE關(guān)于x=a對稱,準偶函數(shù)即偶函數(shù)左右平移得到的.【加固訓(xùn)練】定義兩種運算:a?b=QUOTE,a⊕b=QUOTE,則f(x)=QUOTE是()A.奇函數(shù) B.偶函數(shù)C.既奇又偶函數(shù) D.非奇非偶函數(shù)【解析】選A.因為2?x=QUOTE,x⊕2=QUOTE,所以f(x)=QUOTE=QUOTE=QUOTE,該函數(shù)的定義域是[-2,0)∪(0,2],且滿足f(-x)=-f(x).故函數(shù)f(x)是奇函數(shù).2.(5分)已知函數(shù)f(x)=ln(QUOTE-3x)+1,則f(lg2)+fQUOTE=()A.-1B.0C.1D.2【解題提示】利用函數(shù)g(x)=ln(QUOTE-3x)的奇偶性求解.【解析】選D.設(shè)g(x)=ln(QUOTE-3x)=f(x)-1,g(-x)=ln(QUOTE+3x)=lnQUOTE=-g(x).所以g(x)是奇函數(shù),所以f(lg2)-1+fQUOTE-1=g(lg2)+gQUOTE=0,因此f(lg2)+fQUOTE=2.3.(5分)(2016·長沙模擬)設(shè)f(x)是定義在實數(shù)集R上的函數(shù),若函數(shù)y=f(x+1)為偶函數(shù),且當(dāng)x≥1時,有f(x)=1-2x,則fQUOTE,fQUOTE,fQUOTE的大小關(guān)系是.【解析】因為函數(shù)y=f(x+1)為偶函數(shù),圖象的對稱軸為y軸,把y=f(x+1)的圖象向右平移1個單位長度得到函數(shù)y=f(x)的圖象,所以函數(shù)y=f(x)的圖象的對稱軸為x=1.又已知當(dāng)x≥1時,有f(x)=1-2x,此時f(x)為減函數(shù),所以當(dāng)x<1時,f(x)為增函數(shù),所以fQUOTE>fQUOTE>fQUOTE.答案:fQUOTE>fQUOTE>fQUOTE4.(12分)設(shè)f(x)是(-∞,+∞)上的奇函數(shù),f(x+2)=-f(x),當(dāng)0≤x≤1時,f(x)=x.(1)求f(π)的值.(2)當(dāng)-4≤x≤4時,求f(x)的圖象與x軸所圍成圖形的面積.(3)寫出(-∞,+∞)內(nèi)函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.【解析】(1)由f(x+2)=-f(x),得f(x+4)=f((x+2)+2)=-f(x+2)=f(x),所以f(x)是以4為周期的周期函數(shù).所以f(π)=f(-1×4+π)=f(π-4)=-f(4-π)=-(4-π)=π-4.(2)由f(x)是奇函數(shù)與f(x+2)=-f(x),得f((x-1)+2)=-f(x-1)=f(-(x-1)),即f(1+x)=f(1-x).從而可知函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱.又當(dāng)0≤x≤1時,f(x)=x,且f(x)的圖象關(guān)于原點成中心對稱,則f(x)的圖象如圖所示.設(shè)當(dāng)-4≤x≤4時,f(x)的圖象與x軸圍成的圖形面積為S,則S=4S△OAB=4×QUOTE=4.(3)函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[4k-1,4k+1](k∈Z),單調(diào)遞減區(qū)間為[4k+1,4k+3](k∈Z).5.(13分)已知函數(shù)y=f(x)在定義域[-1,1]上既是奇函數(shù),又是減函數(shù).(1)求證:對任意x1,x2∈[-1,1],有[f(x1)+f(x2)]·(x1+x2)≤0.(2)若f(1-a)+f(1-a2)<0,求實數(shù)a的取值范圍.【解析】(1)若x1+x2=0,顯然不等式成立.若x1+x2<0,則-1≤x1<-x2≤1,因為f(x)在[-1,1]上是減函數(shù)且為奇函數(shù)