一種考慮決策者風險偏好的區(qū)間數(shù)多屬性決策方法

一種考慮決策者風險偏好的區(qū)間數(shù)多屬性決策方法摘要:針對屬性值以區(qū)間數(shù)形式給出的多屬性決策問題提出了一種決策分析方法。在本文中首先描述了屬性值為區(qū)間數(shù)形式的多屬性決策問題然后通過引入決策者的風險偏好因子將區(qū)間數(shù)決策信息映射為實數(shù)值決策信息并依據(jù)屬性值與屬性均值絕對偏差的大小確定了屬性的權(quán)重在此基礎(chǔ)上依據(jù)所得權(quán)重給出了基于加權(quán)和法的方案排序方法通過對風險偏好因子的不同取值還可進行方案排序的靈敏度分析。最后通過一個算例說明了本文給出方法的可行性和有效性。關(guān)鍵詞:多屬性決策;區(qū)間數(shù);風險偏好因子;絕對偏差;靈敏度分析AnApproachtoMultipleAttributeDecisionMakingwithIntervalstheRiskPreferencesofUanhuiOeii(ShoolofBunsdnaonohannyShnyang110004Chna)sct:nappoachspopoedooveheupeabuedeconakngpobeswhheabueva-uesnheomofnevalnubes．nhspaperthedecponofheupeabuedeconakngpobeswhnevassgven．henhekpeeencepaaeerofhedeconakersuedoanerhedeconpobemwhnevasnoheadonaldeconpobemwhealvaues．Baedonheabouedev-aonbeweenabuesvauesandabuesaveagevauesogetheabueweghsapeaddvewegh-ngehodorankngaenavessgvenandenvyanayssadebyeecnghedeentvauesofkpeeencepaaeer．nayanuecalexapesuedouaeheeabyandhevadyofheappoachpopoednhspaper．ys:upeabuedeconakng;nevalnuber;kpeeencepaaeer;abouedevaon;sensitivityanalysis引言多屬性決策也稱有限方案多目標決策是在考慮多個屬性或指標的情況下選擇最佳備選方案或進行方案排序的決策問題］。由于多屬性決策在經(jīng)濟管理及工程系統(tǒng)等領(lǐng)域有著廣泛的實際背景］所以有關(guān)多屬性決策理論與方法的研究一直是決策分析的一個重要研究方向。在多屬性決策問題中由于決策問題的復雜性和決策者對事物判斷的不確定性決策者不能給出精確的數(shù)值因此在描述不確定信息時可以采用模糊數(shù)區(qū)間數(shù)的形式。其中具有區(qū)間數(shù)的多屬性決策問題受到了廣大學者的關(guān)注～。收稿日期:2010-07-19基金項目:國家自然科學基金資助項目(70701008);教育部人文社會科學研究規(guī)劃基金項目(11630180)作者簡介:女副教授研究方向決策分析知識管理等高美麗女碩士研究生研究方向決策理論與方法?！玊OPSISTOPSIS的擴展來求解區(qū)間數(shù)多屬性決策問題～通過目標規(guī)劃來建模求解最終得到方案的排序;給出了任意兩個區(qū)間數(shù)的比較但不適于多個區(qū)間數(shù)的比較;1通過R法的擴展來解決區(qū)間數(shù)多屬性決策問題此方法基于決策者的偏好比較任意兩個區(qū)間數(shù)但沒有給出不同偏好下的排序結(jié)果。本文則是針對屬性權(quán)重未知的區(qū)間數(shù)多屬性決策問題，給出了一種決策分析方法。該方法是通過引入決策者的風險偏好因子將區(qū)間數(shù)決策信息映射為實數(shù)值決策信息這樣可將區(qū)間數(shù)多屬性決策問題轉(zhuǎn)化為傳統(tǒng)的多屬性決策問題然后依據(jù)屬性值與屬性均值偏差的大小確定屬性的權(quán)重在此基礎(chǔ)上給出了一種基于簡單加權(quán)法的方案排序方法并針對選取的不同風險偏好因子對方案排序結(jié)果進行了靈敏度分析。問題的描述為了本文敘述方便首先給出區(qū)間數(shù)的定義:設(shè)R為實數(shù)域稱=xLx］={x|xLxxUxLxU，x∈R}為閉區(qū)間數(shù)若0＜xLxU則稱=xLx為正閉區(qū)間數(shù)。若xL=xU該區(qū)間數(shù)退化為普通的實數(shù)。在本文中采用下列符號來描述具有區(qū)間數(shù)的多屬性決策問題所涉及的集和量:S={s1s2sm}表示m個備選方案的集合(m2)其中si表示第i個備選方案;C={c1c2cn}表示n個屬性的集合(n2)假設(shè)這些屬性是加性獨立的其中cj表示第j個屬性;W=(www)T表示屬性的權(quán)重向量其中w

n表示屬性c的權(quán)重或重要程度并且滿足 w1 2 n

j j ∑jj=1=1wj0(j=12…n);=］ 表示具有區(qū)間數(shù)形式的決策矩陣其中珟=aLa表示方案s對應于屬性c

上的一個ijm×n ij ij ij i j結(jié)果(或評價值)不失一般性假設(shè)aL＞0aU＞0。ij ij本文要解決的問題就是根據(jù)已知的區(qū)間數(shù)決策信息如何確定屬性的權(quán)重W和W從備選方案的集合S中選擇M(＜m)個滿意的方案或?qū)Ψ桨高M行排序。原理與方法2．1 風險偏好的類型對于不確定性決策問題不同決策者因其自身性格意志等原因會有不同的風險偏好如何鑒別其偏好可使用賭博當量法。這是讓決策者面對一種測試性賭博一好一壞的結(jié)果發(fā)生概率已知然后令其評定介于二者之間的某一結(jié)果值要求它與賭博的價值完全相等稱此結(jié)果值為賭博當量并將其數(shù)值記為τ。xα表示賭博其中x＜yα表示y的概率x概率則為1－α0α1。決策者風險偏好可通過其評定的當量τ來刻畫。把當量τ與賭博的等價關(guān)系記為:xα］～τ稱此式為賭博當量的無差異式xτy。τ需反復權(quán)衡風險偏好的不同將得到大小不等的τ值因此不同風險偏好可由τ值的大小來區(qū)分。實際中可能存在以下三種風險偏好類型:①xα，］～τ中τ＜(xαy)稱決策者偏好為風險規(guī)避;②xα］～τ中τ=(xαy)稱決策者偏好為風險中立;③xα］～τ中τ＞(xαy)稱決策者偏好為風險偏好其中E(·)xα，的數(shù)學期望即1αxαy。根據(jù)上面所介紹的基于賭博當量法確定風險類型的思路下面給出不確定性區(qū)間數(shù)的基于風險偏好的表示方法。假定α在區(qū)間=xLxU上均勻分布密度函數(shù)為f(α)=1/(xU－xL)則E(xLαxU) =∫xU∫f(α)αdαxL

xU+xL2 τθ為

τθ=n()+θe() (1)θθθ其中θ稱為風險偏好因子(|θ|0．5)它表示決策者承擔風險的偏好(或程度);n()為區(qū)間數(shù)值即n()=(xL+xU)/2;e()為區(qū)間數(shù)即e()=xU－xL。具體地當－0．5θ＜0時有τ＜E(xLαxU)則稱決策者為風險規(guī)避型;當θ=0時有τ=E(xLαxU)則稱決策者為風險中立型;當0＜θ0．5時有τ＞E(xLαxU)則稱決策者為風險偏好型。風險偏好因子θ可根據(jù)決策者的風險偏好來確定θ的靈敏度分析方法。θθθ2．2 決策方法基于前面給出的風險偏好定義可將具有區(qū)間數(shù)的多屬性決策問題轉(zhuǎn)化為在風險偏好因子θ意義下具有實數(shù)值的傳統(tǒng)多屬性決策問題。依據(jù)式(1)將區(qū)間數(shù)決策矩陣珟=ijm×n轉(zhuǎn)化為帶有風險偏好因子的實數(shù)值決策矩陣AθAθaθ為ijm×n

ijaθ=(aL+aU)/2+θ(aU－aL)，i=12…m;j=12…n (2)ij ij ij ij ij為了消除不同物理量綱對決策結(jié)果的影響下面采比重變換法］將決策矩陣Aθ=aθ］ 規(guī)范化為決策矩陣Bθ=［bθ］

其計算公式為

ijm×nijm×nmbθaθ aθ，

為效益型屬性時 (3)ij ij∑i=1bijijθ=(1/aθ)bijijij，ij

ijm∑i=1

1aθ

，當cj^θ

為成本型屬性時 (4)為了確定屬性的權(quán)重首先求出各個屬性的平均值bj即^θbj=

m∑i=1

bθ/m，j=12…n (5)ijbj=1/B由式(3)和式(4)可知^θ 然后求各列屬性值與其均值的絕對偏ijbj=1/B^θ ^θ ^θbim×n其中矩陣B中的元素bij為^θ θ ^θbij=|bij－bj|，i=12…m;j=12…n (6)在此基礎(chǔ)上計算各列的絕對偏差之和當屬性的絕對偏差和越大說明該屬性對決策的重要性越大相應的權(quán)重也應該越大;反之當屬性的絕對偏差和越小屬性的權(quán)重應越小或為零。據(jù)此確定出屬性的權(quán)重向量Wθ=(wθwθwθ)T并對其進行歸一化處理具體的計算公式為1 2

wθ= ^bb

n m^θb，j=12…n (7)θmj ∑ij∑∑ijmi=1

j=1

i=1i根據(jù)所得屬性的權(quán)重向量利用簡單加權(quán)和法可計算各個方案的綜合評價值dθ為indθ= wθbθ，i=12…m (8)i ∑j=1

jij根據(jù)綜合評價值dθ的大小對方案進行優(yōu)劣的排序或選優(yōu)dθ愈大相應方案愈排在前面。i i綜上在考慮決策者風險偏好時求解區(qū)間數(shù)多屬性決策問題的具體步驟如下:步驟1 基于決策者的風險偏好確定θ值然后依據(jù)式(2)將區(qū)間數(shù)決策矩陣=im×n映射為實數(shù)值決策矩陣Aθ;ijm×n步驟2 依據(jù)式(3)和(4)將決策矩陣Aθ規(guī)范化為決策矩陣Bθ;ijm×n ijm×n步驟3 依據(jù)式(6)求各列屬性值與其均值的絕對偏差得到絕對偏差矩陣^θ ^θ］ ;步驟4 依據(jù)式(7)求得屬性的權(quán)重向量Wθ;i步驟5 依據(jù)式(8)求得每個方案的綜合評價值dθ;i步驟6 依據(jù)求得的每個方案的綜合評價值對所有方案進行排序;

B=b

m×n步驟7 根據(jù)決策分析的需要可以得出在給定風險偏好因子θ意義下的方案排序結(jié)果的靈敏度分析即可選取不同的θ值并分析θ變化對方案排序的影響。3 算例中的干部選拔例子來說明本文給出的方法的求解過程。由于考核選拔干部是一個多因素的決策問題某單位在對干部進行考核選拔時6項考核指標屬性思想品德c1工作態(tài)度c2工作作風c3文化水平和知識結(jié)構(gòu)c4領(lǐng)導能力c5和開拓能力c6然后由群眾推薦、評議對各項指標分別打分再進行統(tǒng)計處理并從中確定了5名候選人S={s1s2s3s4s5}。由于群眾對同一候選人所給出的指標值屬性值并不完全相同經(jīng)過統(tǒng)計處理后的每個候選人在各指標(屬性)下的評價值是以區(qū)間數(shù)的形式給出的具體的決策矩陣數(shù)據(jù)為0．850．9］0．900．9］0．910．9］0．930．9］0．900．9］0．950．90．090．9］0．890．9］0．900．9］0．900．9］0．940．9］0．900．9=0．880．9］0．840．8］0．910．9］0．910．9］0．860．8］0．910．9 0．850．8］0．910．9］0．850．8］0．860．8］0．870．9］0．920．90．860．8］0．900．9］0．900．9］0．910．9］0．900．9］0．850．8本文以θ0即決策者為風險中立型為例來說明具體計算過程。首先可依據(jù)步驟1利用式2將決槇A0然后由于各項屬性均為效益型可依據(jù)步驟2利用式3將決策矩陣A0B03求得各個屬性值的絕對偏差得到絕對偏差矩陣

^0B;依據(jù)步驟4求出相應屬性權(quán)重向量W0=(0．16080．16450．15220．15140．18010．1850)T;并依據(jù)步驟5計算出相應方案的綜合評價值分別為:d0=0．2033d0=0．2034d0=0．1982d0=0．1966d0=0．1986。由此可得到1 2 3 4 55個方案的排序結(jié)果為s2s1s5s3s4當風險偏好不同時即選取不同的風險偏好因子時方案的排序結(jié)果可能會產(chǎn)生一些變化11可以看出當決策者為風險規(guī)避型時最佳候選人為s1當決策者為風險中立型或風險偏好型時最佳候選人為s20．875 0．91 0．925 0．945 0．905 0．960．925 0．90 0．91 0．91 0．955 0．9150 A=0．895 0．85 0．925 0．925 0．875 0．9150．86 0．92 0．865 0．875 0．885 0．9250．875 0．91 0．925 0．92 0．91 0．860．1975 0．2027 0．2033 0．2066 0．1998 0．20980．2088 0．2004 0．2 0．1989 0．2108 0．2B0=0．2020 0．1893 0．2033 0．2022 0．1932 0．20．1941 0．2049 0．1901 0．1913 0．1954 0．20220．1975 0．2027 0．2033 0．2010 0．2009 0．1880．0023 0．0027 0．0033 0．0066 0．0002 0．00980．0088 0．0004 0 0．0011 0．0108 0 ^0=0．002 0．0107 0．0033 0．0022 0．0068 0 B 0．0059 0．0049 0．0099 0．0087 0．0046 0．00220．0025 0．0027 0．0033 0．0011 0．0009 0．012表1風險偏好因子取不同值及方案排序結(jié)果d風險偏好程度 風險偏好因子 θd取值(θ) i

排序結(jié)果極強風險規(guī)避–0．50．20350．20310．19820．19690．1984s1s2s5s3s4一般風險規(guī)避–0．30．20340．20310．19820．19680．1985s1s2s5s3s4較弱風險規(guī)避–0．10．20330．20320．19820．19670．1986s1s2s5s3s4風險中立00．20330．20340．19820．19660．1986s2s1s5s3s4較弱風險偏好0．10．20330．20340．19820．19650．1986s2s1s5s3s4一般風險偏好0．30．20330．20350．19820．19630．1987s2s1s5s3s4較強風險偏好0．50．20330．20350．19820．19620．1987s2s1s5s3s4由上述算例分析可見決策者的風險偏好對決策結(jié)果有一定影響但是變化還是比較穩(wěn)定的所以更加符合實際情況更具有科學性和合理性。4 結(jié)束語對于屬性值為區(qū)間數(shù)屬性權(quán)重未知的區(qū)間數(shù)多屬性決策問題本文所給出的決策分析方法考慮了決策者的風險偏好。其核心是引入了風險偏好因子在此基礎(chǔ)上給出了基于絕對偏差的權(quán)重確定方法進而利用簡單加權(quán)和法得到方案的排序或選優(yōu)進一步地可通過選取不同的風險偏好因子對方案排序結(jié)果進行靈敏度分析。該方法概念清晰計算簡單并且有可操作性。參考文獻:］gCLnK．Meeng:sd．wk:rg1．］徐澤水．不確定多屬性決策方法及應用．北京:清華大學出版社4．］樊治平尤天慧張堯．屬性權(quán)重信息不完全的區(qū)間數(shù)多屬性決策方法．東北大學學報(自然科學版)56(8):80．］張堯樊