高中數(shù)學(xué)培優(yōu)講義練習（選擇性必修一）：橢圓的簡單幾何性質(zhì)-重難點題型精講（教師版）

專題3.3橢圓的簡單幾何性質(zhì)-重難點題型精講1．橢圓的范圍設(shè)橢圓的標準方程為(a>b>0)，研究橢圓的范圍就是研究橢圓上點的橫、縱坐標的取值范圍.(1)從形的角度看：橢圓位于直線x=a和y=b所圍成的矩形框里.

(2)從數(shù)的角度看：利用方程研究，易知=1-≥0，故≤1，即-a≤x≤a；=1-≥0，故≤1，即-b≤y≤b.2．橢圓的對稱性(1)從形的角度看：橢圓既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形.

(2)從數(shù)的角度看：在橢圓的標準方程(a>b>0)中以-y代替y，方程并不改變，這說明當點P(x,y)在橢圓上時，它關(guān)于x軸的對稱點(x,-y)也在橢圓上，所以橢圓關(guān)于x軸對稱；同理，以-x代替x，方程也不改變，所以橢圓關(guān)于y軸對稱；以-x代替x，以-y代替y，方程也不改變，所以橢圓關(guān)于原點對稱.坐標軸是橢圓的對稱軸，原點是橢圓的對稱中心，橢圓的對稱中心叫作橢圓的中心.3．橢圓的頂點與長軸、短軸以橢圓的標準方程(a>b>0)為例.

(1)頂點

令x=0，得y=b；令y=0，得x=a.

這說明(-a,0)，(a,0)是橢圓與x軸的兩個交點，(0,-b),(0,b)是橢圓與y軸的兩個交點.因為x軸、y軸是橢圓的對稱軸，所以橢圓與它的對稱軸有四個交點，這四個交點叫作橢圓的頂點.

(2)長軸、短軸

線段，分別叫作橢圓的長軸和短軸.

長軸長=2a，短軸長=2b，a和b分別叫作橢圓的長半軸長和短半軸長.4．橢圓的離心率(1)離心率的定義：橢圓的焦距與長軸長的比稱為橢圓的離心率.用e表示，即e=.

(2)離心率的范圍：0<e<1.

(3)橢圓離心率的意義：橢圓離心率的變化刻畫了橢圓的扁平程度.

當e越接近于1時，c越接近于a，從而b=越小，因此橢圓越扁；當e越接近于0時，c越接近于0，從而b=越接近于a，因此橢圓越接近于圓；當且僅當a=b時，c=0，這時兩個焦點重合，圖形變?yōu)閳A，它的方程為.5．橢圓的幾何性質(zhì)的挖掘(1)橢圓的通徑：過橢圓的焦點且垂直于長軸的直線被橢圓截得的弦稱為橢圓的通徑，通徑長為=.

說明：無論焦點在x軸上還是在y軸上，橢圓的通徑長均為.

(2)橢圓上到中心距離最小的點是短軸的兩個端點，到中心距離最大的點是長軸的兩個端點.(3)橢圓的焦半徑

a.焦半徑定義：橢圓上一動點與焦點的距離稱為焦半徑.

b.焦半徑公式：

已知點P在橢圓上，且，分別是左(下)、右(上)焦點，

當焦點在x軸上時，=a+，=a-；當焦點在y軸上時，=a+，=a-.【題型1利用橢圓的幾何性質(zhì)求標準方程】【方法點撥】(1)利用橢圓的幾何性質(zhì)求橢圓的標準方程時，通常采用待定系數(shù)法，其步驟是：a.確定焦點的位置；b.設(shè)出相應(yīng)橢圓的標準方程(對于焦點位置不確定的橢圓可能有兩種標準方程)；c.根據(jù)已知條件構(gòu)造關(guān)于參數(shù)的關(guān)系式，利用方程(組)求參數(shù).列方程(組)時常用的關(guān)系式有，e=等.(2)在橢圓的簡單幾何性質(zhì)中，軸長、離心率不能確定橢圓的焦點位置，因此僅依據(jù)這些條件確定的橢圓的標準方程可能有兩個.【例1】（2022·河南·高三階段練習（文））已知橢圓C:x2a2+y2A．x22+y2=1 B．x【解題思路】由已知條件可得c與a的值，進而得b的值，然后得標準方程.【解答過程】由于2c=2,所以c=1,又因為e=ca=b2=a故選：C.【變式1-1】（2022·全國·高考真題（文））已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為13，A1,A．x218+y216=1 B．【解題思路】根據(jù)離心率及BA1?【解答過程】解：因為離心率e=ca=1?bA1,A2分別為B為上頂點，所以B(0,b).所以BA1所以?a2+b2故橢圓的方程為x2故選：B.【變式1-2】（2022·全國·高二課時練習）焦點在y軸上，長軸長為10，離心率為35的橢圓的標準方程為（

A．x2100+C．x225+【解題思路】根據(jù)長軸長算出a后，由離心率可得c的值，從而可得橢圓的標準方程.【解答過程】因為長軸長為10，故長半軸長a=5，因為e=ca=故b2又焦點在y軸上，所以橢圓的標準方程為y2故選：D.【變式1-3】（2022·全國·高二課時練習）中心在原點，焦點在坐標軸上，離心率為32，且過點2,0的橢圓方程是（

A．x24+y2C．x24+y2【解題思路】討論焦點在x軸和y軸兩種情況，根據(jù)已知計算即可得出結(jié)果.【解答過程】當橢圓的焦點在x軸上，設(shè)橢圓的方程為x2a2∴b∵橢圓過點（2，0），∴22a2+02b∴橢圓標準方程為x當橢圓的焦點在y軸上，同理易得：x故選：D.【題型2橢圓的焦距與長軸、短軸】【方法點撥】根據(jù)已知條件，結(jié)合橢圓的焦距與長軸、短軸等知識，進行求解即可.【例2】（2022·全國·高二課時練習）橢圓C:x216A．8，4，(±23,0) B．8，4，(0,±23) C．4，2，(±23,0) 【解題思路】根據(jù)橢圓中長軸長、短軸長和焦點坐標的定義可答案.【解答過程】在橢圓C:x216所以橢圓C:x216+y24故選：A.【變式2-1】（2022·全國·高二課時練習）已知橢圓x2+2y2=2A．有相同的長軸與短軸 B．有相同的焦距C．有相同的焦點 D．有相同的離心率【解題思路】根據(jù)橢圓的標準方程，可得a,b,c以及離心率的值，即可求解.【解答過程】將橢圓方程x2+2y其焦點在x軸上，a1=2，b1=1將橢圓方程2x2+y2=1整理得x2則c2=a故選:D．【變式2-2】（2021·重慶市高二階段練習）橢圓x237+A．23 B．5 C．43 【解題思路】根據(jù)橢圓的方程求得a,b,c的值，即可求得焦距2c的值，得到答案.【解答過程】由橢圓x237+y2所以橢圓的焦距為2c=10.故選：D.【變式2-3】（2022·全國·高二課時練習）若橢圓x225+y2A．有相等的長軸長 B．有相等的焦距C．有相等的短軸長 D．長軸長與焦距之比相等【解題思路】分別求出橢圓x225+【解答過程】解：橢圓x225+y29=1∴長軸長是10，短軸長是6；焦距是8；焦點坐標是(±4,0)；離心率是：45橢圓x2∵a1=25?k，∴長軸長是225?k，短軸長是29?k；焦距是8；焦點坐標是(±4,0)；離心率是∴橢圓x225+故選：B．【題型3求橢圓的離心率或其取值范圍】【方法點撥】求橢圓的離心率通常有如下兩種方法：①若給定橢圓的方程，則根據(jù)橢圓的焦點位置確定，求出a，c的值，利用公式e=直接求解；②若橢圓方程未知，則根據(jù)條件及幾何圖形建立a，b，c，e滿足的關(guān)系式，化為a，c的齊次方程，得出a，c的關(guān)系或化為e的方程求解，此時要注意e∈(0,1).【例3】（2022·江蘇·高二階段練習）已知橢圓C:x2m+yA．55 B．12或55 C．12或32【解題思路】對焦點所在位置進行分類討論，利用a2=b【解答過程】因為橢圓C:x2m當橢圓焦點在x軸上，m=4+1=5，所以e=c當橢圓焦點在y軸上，4=m+1，所以e=c故選：B.【變式3-1】（2022·安徽蚌埠·一模）若橢圓C:x2a2+y2A．0,55 B．55,1 C．【解題思路】利用點差法可得直線AB的斜率，從而可得AB垂直平分線直線方程，由點P在AB垂直平分線上，結(jié)合AB的中點在橢圓內(nèi)可解.【解答過程】記AB中點為Qm,n，則x由題意點Pa5,0將Ax1兩式相減可得x1所以?4a2所以AB的中垂線的方程為y?n=a2n4mx?m由題意，m<a,a>2，故a2所以e=故選：B.【變式3-2】（2022·江西省高二階段練習）設(shè)橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點M，N在C上（M位于第一象限），且點MA．24 B．12 C．62【解題思路】設(shè)MF2=x，則MF1【解答過程】解：依題意作下圖，由于MN=F1F2∴四邊形MF1NF2設(shè)MF2=x根據(jù)勾股定理，MF12整理得x2由于點M在第一象限，x=a?a由22MF2=整理得7c2+6ac?9a2故選：C．【變式3-3】（2022·全國·高二課時練習）已知橢圓x2a2+y2b2=1a>b>0上存在點A．0,14 B．14,1 C．【解題思路】先由橢圓的定義結(jié)合已知求得PF1,PF【解答過程】由橢圓的定義得PF1+PF2=2a，又∵而PF1?即32a?12a≤2c，即a≤2c故選：D．【題型4根據(jù)橢圓的離心率求參數(shù)】【方法點撥】根據(jù)橢圓的離心率和已知條件及幾何圖形建立a，b，c，e滿足的關(guān)系式，得出含有參數(shù)的有關(guān)a，c的關(guān)系式或化為e的方程，即可求解，此時要注意e∈(0,1).【例4】（2022·全國·高三專題練習）若橢圓x2a2+y2=1(a>0)A．2 B．12 C．2或22 D．2【解題思路】分a2>1和【解答過程】解：當a2>1，即a>1時，則a2當a2<1，即0<a<1時，則1?a綜上：a的值為2或22故選：C.【變式4-1】（2022·甘肅定西·高二開學(xué)考試（理））如果橢圓x2k+8+y29=1(k>?8)A．4 B．4或?54 C．?45 【解題思路】分焦點在x軸和在y軸兩種情況，分別得到a,b的表達式，進而求得c的表達式，然后根據(jù)離心率得到關(guān)于k的方程，求解即可．【解答過程】解：因為橢圓x2k+8+當k+8>9時，橢圓焦點在x軸上，可得：a=k+8,b=3,∴c=a當0<k+8<9時，橢圓焦點在y軸上，可得：a=3,b=k+8,∴c=a∴k=4或k=?5故選：B．【變式4-2】（2021·甘肅·高二階段練習（理））“m=8”是“橢圓x2m+y2A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【解題思路】橢圓x2m+y24=1離心率為22，可得：m>4時，【解答過程】橢圓x2m+m>4時，1?4m=0<m<4時，1?m4總之m=8或2．∴“m=8”是“橢圓x2m+故選：A．【變式4-3】（2022·全國·高二課時練習）設(shè)e是橢圓x2k+y2A．0,3 B．3,C．0,2 D．0,3【解題思路】利用橢圓的離心率公式進行求解即可.【解答過程】當焦點在x軸時e=k?4∴k?4當焦點在y軸時e=4?k所以實數(shù)k的取值范圍是0,3∪故選：D.【題型5橢圓中的最值問題】【方法點撥】求解此類問題一般有以下兩種思路：(1)幾何法：若題目中的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來解決，這就是幾何法.解題的關(guān)鍵是能夠準確分析出最值問題所隱含的幾何意義，并能借助相應(yīng)曲線的定義求解.(2)代數(shù)法：若題目中的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可建立目標函數(shù)，將目標變量表示為一個(或多個)變量的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)函數(shù)關(guān)系式的特征選用配方法、判別式法，應(yīng)用基本不等式以及三角函數(shù)的最值求法求出最大值、最小值或范圍，但要注意自變量的取值范圍對最值的影響.【例5】（2020·廣西·高二階段練習（文））若點O和點F分別為橢圓x24+y23=1A．5 B．6 C．7 D．8【解題思路】設(shè)點Px0,y0，可得出y【解答過程】由橢圓方程得F?1,0，設(shè)P(x0∵P為橢圓x24+y23=1∴OP因為?2≤x0≤2，當x0=2故選：B.【變式5-1】（2022·全國·高二課時練習）已知橢圓C：x29+y2b2=1b>0A．1 B．2 C．3 D．6【解題思路】根據(jù)橢圓的性質(zhì)可得橢圓上的點到右焦點距離最小值為a?c，即可求出c，再根據(jù)c2【解答過程】解：根據(jù)橢圓的性質(zhì)，橢圓上的點到右焦點距離最小值為a?c，即a?c=3?22，又a=3，所以c=2由c2=a故選：A.【變式5-2】（2022·重慶八中模擬預(yù)測）已知F1，F(xiàn)2分別為橢圓C:x24+yA．2 B．23 C．4 D．【解題思路】橢圓上的點P滿足PF1?【解答過程】橢圓上的點P滿足PF當點P為F2F1PF1?故選：B.【變式5-3】（2022·河南洛陽·三模（理））已知點M是橢圓C：x24+y23=1上異于頂點的動點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓的左、右焦點，O為坐標原點，E為MF1A．1 B．2 C．3 D．2【解題思路】由題，結(jié)合角平分線性質(zhì)與橢圓的性質(zhì)，SMF1PF2=12MF1+MF2?=2?，【解答過程】由圖，a2=4,??b2=3，c=a2?b2=1，故F1F2=2，設(shè)MF2=t，則MF1=4?t，cos∠MF2F1=22+t2故選：B.【題型6橢圓的實際應(yīng)用問題】對于橢圓的實際應(yīng)用問題，結(jié)合具體條件建立坐標系，得出橢圓的基本量或基本量之間的關(guān)系，利用橢圓的性質(zhì)進行求解，注意要滿足實際情況.【例6】（2021春?浙江期中）如圖所示，一個圓柱形乒乓球筒，高為12厘米，底面半徑為2厘米．球筒的上底和下底分別粘有一個乒乓球，乒乓球與球筒底面及側(cè)面均相切（球筒和乒乓球厚度忽略不計），一個平面與兩個乒乓球均相切，且此平面截球筒邊緣所得的圖形為一個橢圓，則該橢圓的離心率為（）A．154 B．32 C．26【解題思路】設(shè)橢圓方程為x2a2+y2b2=1（a【解答過程】解：不妨設(shè)橢圓方程為x2a2+y由題意得2a=12?解得a＝4，b＝2，c=16?4=2∴該橢圓的離心率為e=c故選：B．【變式6-1】（2021春?山東期末）國家體育場“鳥巢”的鋼結(jié)構(gòu)鳥瞰圖如圖1所示，內(nèi)外兩圈的鋼骨架是離心率相同的橢圓；某校體育館的鋼結(jié)構(gòu)與“鳥巢”相同，其平面圖如圖2所示，若由外層橢圓長軸一端點A和短軸一端點B分別向內(nèi)層橢圓引切線AC，BD，且兩切線斜率之積等于?5A．34 B．58 C．74【解題思路】過P（x0，y0）且與橢圓x2a2+y2b分別代入A，B坐標，求出C，D的坐標，進而表示出直線AC和直線BD的斜率，再代入kAC?kBD=?【解答過程】解：設(shè)內(nèi)圈橢圓的方程為x2a2+y則A（﹣ma，0），B（0，mb），設(shè)C（xC，yC），D（xD，yD）．過C點且與內(nèi)圈橢圓相切的直線方程為xCxa2+代入x2a2+y2b2過D點且與內(nèi)圈橢圓相切的直線方程為xDxa2+代入x2a2+y2b2所以kAC?k故選：D．【變式6-2】（2021·江蘇南通·高二期中）某高速公路隧道設(shè)計為單向三車道，每條車道寬4米，要求通行車輛限高5米，隧道全長1.5千米，隧道的斷面輪廓線近似地看成半個橢圓形狀（如圖所示）.（1）若最大拱高?