4.4 數(shù)學歸納法（教學課件）（人教A版2019選擇性必修第二冊）

1第四章《數(shù)列》人教A版2019選擇性必修第二冊4.4數(shù)學歸納法數(shù)學歸納法的概念，會用數(shù)學歸納法解決證明問題，體會數(shù)學歸納法的思想學習目標環(huán)節(jié)一：創(chuàng)設情境，引入課題

如何證明這個猜想呢?

我們自然會想到從n=5開始一個個往下驗證．

一般來說，與正整數(shù)n有關的命題，當n比較小時可以逐個驗證，但當n較大時，驗證起來會很麻煩．特別是證明n取所有正整數(shù)都成立的命題時，逐一驗證是不可能的．

因此，我們需要另辟蹊徑，尋求一種方法：通過有限個步驟的推理，證明n取所有正整數(shù)時命題都成立．我們先從多米諾骨牌游戲說起．碼放骨牌時，要保證任意相鄰的兩塊骨牌，若前一塊骨牌倒下，則一定導致后一塊骨牌倒下．這樣，只要推倒第1塊骨牌，就可導致第2塊骨牌倒下；而第2塊骨牌倒下，就可導致第3塊骨牌倒下；……總之，不論有多少塊骨牌，都能全部倒下．環(huán)節(jié)二：觀察分析，感知概念思考1：在這個游戲中，能使所有多米諾骨牌全部倒下的條件是什么?可以看出，使所有骨牌都能倒下的條件有兩個：（1）第一塊骨牌倒下；（2）任意相鄰的兩塊骨牌，前一塊倒下一定導致后一塊倒下．思考2：你認為條件（2）的作用是什么?如何用數(shù)學語言描述它?這樣，只要第1塊骨牌倒下，其他所有的骨牌就能夠相繼倒下，事實上，無論有多少塊骨牌，只要保證（1）（2）成立，那么所有的骨牌一定可以全部倒下．假設有無限多塊多米諾骨牌，我們可以想象前一塊推倒后一塊的動作將永遠進行下去．……思考4：歸納上述過程的共性，你能得出推理的一般結構嗎?我們發(fā)現(xiàn)，上述過程蘊含著一個與多米諾骨牌游戲的條件（2）類似的遞推結構：這里k是任意的，所有能使猜想成立的正整數(shù)都可以作為k，并且這樣的k也是存在的，因為數(shù)“1”就是一個例子．一般地，證明一個與正整數(shù)n有關的命題，可按下列步驟進行：只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立，這種證明方法稱為數(shù)學歸納法(mathematicalinduction)．環(huán)節(jié)三：抽象概括，形成概念思考5：數(shù)學歸納法中的兩個步驟之間有什么關系？環(huán)節(jié)四：辨析理解，深化概念在證明遞推步驟時，必須使用歸納假設，并把“證明的目標”牢記在心．1．下列各題在應用數(shù)學歸納法證明的過程中，有沒有錯誤？如果有錯誤，錯在哪里？練習

第47頁注：第二步正確的證明方法如下：環(huán)節(jié)五：課堂練習，鞏固運用分析：該問題中涉及兩個字母x和n，x是正實數(shù)，n是大于1的正整數(shù)．一種思路是不求和，而直接通過n取特殊值比較Sn與n的大小關系，并作出猜想；另一種思路是先由等比數(shù)列的求和公式求出Sn，再通過n取特殊值比較Sn與n的大小關系后作出猜想，兩種做法都必須用數(shù)學歸納法證明得到的猜想．環(huán)節(jié)六:歸納總結，反思提升問題：請同學們回顧本節(jié)課的學習內容,并回答下列問題：1.本節(jié)課學習的概念有哪些？2.在解決問題時，用到了哪些數(shù)學思想？1．知識清單：(1)數(shù)學歸納法的概念．(2)數(shù)學歸納法的步驟．2．方法歸納：歸納—猜想—證明．3．常見誤區(qū)：(1)對題意理解不到位導致n0的取值出錯；(2)推證當n＝k＋1時忽略n＝k時的假設．證明一個與正整數(shù)

有關的命題（1）證明當

時命題成立對所有正整數(shù)

命題都成立。數(shù)學歸納法的結構(2)假設當時命題成立,證明當時命題也成立。

兩個步驟缺一不可數(shù)學思想:

歸納思想，遞推思想，類比思想

數(shù)學方法：數(shù)學歸納法：兩步驟

一結論數(shù)學知識:無限遞推轉化為有限步驗證實現(xiàn)由量變到質變的飛躍環(huán)節(jié)七：目標檢測，作業(yè)布置完成教材：第51頁

練習

第1,2,3,4題