數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)期中優(yōu)化評(píng)（蘇科版）專(zhuān)題10平行四邊形

專(zhuān)題10平行四邊形知識(shí)講解平行四邊形的概念與性質(zhì)（一）平行四邊形的定義平行四邊形的定義：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.平行四邊形ABCD記作“ABCD”，讀作“平行四邊形ABCD”。平行四邊形的基本元素：邊、角、對(duì)角線.相鄰的兩邊為鄰邊，有四對(duì)；相對(duì)的邊為對(duì)邊，有兩對(duì)；相鄰的兩角為鄰角，有四對(duì)；相對(duì)的角為對(duì)角，有兩對(duì)；對(duì)角線有兩條。（二）平行四邊形的性質(zhì)1．邊的性質(zhì)：平行四邊形兩組對(duì)邊平行且相等；2．角的性質(zhì)：平行四邊形鄰角互補(bǔ)，對(duì)角相等；3．對(duì)角線性質(zhì)：平行四邊形的對(duì)角線互相平分；4．平行四邊形是中心對(duì)稱(chēng)圖形，對(duì)角線的交點(diǎn)為對(duì)稱(chēng)中心.【微點(diǎn)撥】（1）平行四邊形的性質(zhì)中邊的性質(zhì)可以證明兩邊平行或兩邊相等；角的性質(zhì)可以證明兩角相等或兩角互補(bǔ)；對(duì)角線的性質(zhì)可以證明線段的相等關(guān)系或倍半關(guān)系.（2）由于平行四邊形的性質(zhì)內(nèi)容較多，在使用時(shí)根據(jù)需要進(jìn)行選擇.（3）利用對(duì)角線互相平分可解決對(duì)角線或邊的取值范圍的問(wèn)題，在解答時(shí)應(yīng)聯(lián)系三角形三邊的不等關(guān)系來(lái)解決.平行四邊形的判定與平行線間的距離（三）平行四邊形的判定1.兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形；2.兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；3.一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；4.兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形；5.對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形.【微點(diǎn)撥】（1）這些判定方法是學(xué)習(xí)本章的基礎(chǔ)，必須牢固掌握，當(dāng)幾種方法都能判定同一個(gè)平行四邊形時(shí)，應(yīng)選擇較簡(jiǎn)單的方法.（2）這些判定方法既可作為判定平行四邊形的依據(jù)，也可作為“畫(huà)平行四邊形”的依據(jù).（四）平行線間的距離1.兩條平行線間的距離：（1）定義：兩條平行線中，一條直線上的任意一點(diǎn)到另一條直線的距離，叫做這兩條平行線間的距離.注：距離是指垂線段的長(zhǎng)度，是正值.（2）平行線間的距離處處相等任何兩平行線間的距離都是存在的、唯一的，都是夾在這兩條平行線間最短的線段的長(zhǎng)度.兩條平行線間的任何兩條平行線段都是相等的.2.平行四邊形的面積：平行四邊形的面積＝底×高；等底等高的平行四邊形面積相等.同步練習(xí)1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以A（1，0），B（2，0），C（0，1）為頂點(diǎn)構(gòu)造平行四邊形，下列各點(diǎn)中不能作為平行四邊形頂點(diǎn)坐標(biāo)的是（）A．（3，1） B．（4，1） C．（1，1） D．（3，1）【答案】B【分析】作出圖形，結(jié)合圖形進(jìn)行分析可得.【詳解】如圖所示：①以AC為對(duì)角線，可以畫(huà)出?AFCB，F(xiàn)（3，1）；②以AB為對(duì)角線，可以畫(huà)出?ACBE，E（1，1）；③以BC為對(duì)角線，可以畫(huà)出?ACDB，D（3，1），故選B.2．在平行四邊形ABCD中，∠B=60°，那么下列各式中，不能成立的是（）A．∠D=60° B．∠A=120° C．∠C+∠D=180° D．∠C+∠A=180°【答案】D【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠D＝∠B＝60°．故A正確；∵AD∥BC，∴∠A＋∠B＝180°，∴∠A＝180°－∠B＝120°，故B正確；∵AD∥BC，∴∠C＋∠D＝180°，故C正確；∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠C＝∠A＝120°，故D不正確，故選D．3．以不共線的三點(diǎn)A、B、C為頂點(diǎn)的平行四邊形共有（

）個(gè)．A．1 B．2 C．3 D．無(wú)數(shù)【答案】C【分析】分別以△ABC的三邊為對(duì)角線作出平行四邊形即可得解.【詳解】如圖，分別以AB、BC、AC為對(duì)角線作平行四邊形，共可以作出3個(gè)平行四邊形.故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定，解題的關(guān)鍵在于以三角形的三邊作為所作平行四邊形的對(duì)角線.4．如圖，是邊延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接，，，交于點(diǎn)．添加以下條件，不能判定四邊形為平行四邊形的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AD∥BC，AB∥CD，求得DE∥BC，∠ABD=∠CDB，推出BD∥CE，于是得到四邊形BCED為平行四邊形，故A不符合題意；根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠DEF=∠CBF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到EF=BF，于是得到四邊形BCED為平行四邊形，故B不符合題意；根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠AEB=∠CBF，求得∠CBF=∠BCD，求得CF=BF，同理，EF=DF，不能判定四邊形BCED為平行四邊形；故C符合題意；根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠DEC+∠BCE=∠EDB+∠DBC=180°，推出∠BDE=∠BCE，于是得到四邊形BCED為平行四邊形，故D不符合題意．【詳解】∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，，∵，∴，∴，∴四邊形為平行四邊形，故A不符合題意；∵，∴，在與中，，∴，∴，∵，∴四邊形為平行四邊形，故B不符合題意；∵，∴，∵，∴,∴，同理，，∴不能判定四邊形為平行四邊形；故C符合題意；∵，∴，∵，∴，∴四邊形為平行四邊形，故D不符合題意，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的判定定理是解題的關(guān)鍵．5．如圖，在四邊形ABCD中，已知AB∥CD，添加一個(gè)條件，可使四邊形ABCD是平行四邊形．下列錯(cuò)誤的是（

）A．BC∥AD B．BC=AD C．AB=CD D．∠A+∠B=180°【答案】B【分析】平行四邊形的判定：①兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形；②兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；③兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形；④對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形；⑤一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．【詳解】解：根據(jù)平行四邊形的判定，A、AB∥CD，BC∥AD，能判定四邊形ABCD是平行四邊形；C、AB∥CD，AB=CD，能判定四邊形ABCD是平行四邊形；D、AB∥CD，由∠A+∠B=180°，∴BC∥AD，能判定四邊形ABCD是平行四邊形；B、添加BC=AD，則不能判定是平行四邊形．故選：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了學(xué)生對(duì)平行四邊形的判定的掌握情況．對(duì)于判定定理：“一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．”應(yīng)用時(shí)要注意必須是“一組”，而“一組對(duì)邊平行且另一組對(duì)邊相等”的四邊形不一定是平行四邊形．6．已知，四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于O，給出下列四個(gè)條件①AB∥CD，②OA＝OC，③AD＝BC，④∠A＝∠C，任取兩個(gè)條件，可得出四邊形ABCD是平行四邊形這一結(jié)論的情況有（）A．5種 B．4種 C．3種 D．2種【答案】D【分析】根據(jù)題目所給條件，利用平行四邊形的判定方法分別進(jìn)行分析即可．【詳解】①②組合可證明△ABO≌△CDO，進(jìn)而得到AB＝CD，可根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形判定出四邊形ABCD為平行四邊形；①④組合可利用兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形判定出四邊形ABCD為平行四邊形；∴有2種可能使四邊形ABCD為平行四邊形．故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行四邊形的判定，關(guān)鍵是熟練掌握平行四邊形的判定定理．7．如圖，在四邊形ABCD中，AB∥DC，AD=BC=5，DC=7，AB=13，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以3個(gè)單位/s的速度沿AD→DC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以1個(gè)單位/s的速度沿BA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)．當(dāng)四邊形PQBC為平行四邊形時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（）A．4s B．3s C．2s D．1s【答案】B【詳解】解：設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則CP=123t，BQ=t，根據(jù)題意得到123t=t，解得：t=3，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查一元一次方程及平行四邊形的判定，難度不大．8．在?ABCD中，AB＜BC，對(duì)角線AC的垂直平分線交AD于點(diǎn)E，連結(jié)CE，若?ABCD的周長(zhǎng)為20cm，則△CDE的周長(zhǎng)為（）A．20cm B．40cm C．15cm D．10cm【答案】D【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)解答即可．【詳解】∵對(duì)角線AC的垂直平分線交AD于點(diǎn)E，∴AE＝CE，∵?ABCD的周長(zhǎng)為20cm，∴AD+DC＝10cm，∴△CDE的周長(zhǎng)＝DE+CE+CD＝AE+DE+CD＝AD+CD＝10cm，故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查平行四邊形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出AE=CE．9．如圖，將?ABCD沿對(duì)角線AC折疊，使點(diǎn)B落在B′處，若∠1=∠2=44°，則∠B為（）A．66° B．104° C．114° D．124°【答案】C【分析】根據(jù)平行四邊形性質(zhì)和折疊性質(zhì)得∠BAC=∠ACD=∠B′AC=∠1，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得.【詳解】∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠ACD=∠BAC，由折疊的性質(zhì)得：∠BAC=∠B′AC，∴∠BAC=∠ACD=∠B′AC=∠1=22°，∴∠B=180°∠2∠BAC=180°44°22°=114°，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，求出∠BAC的度數(shù)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．10．如圖，平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)為36cm，ABC的周長(zhǎng)為28cm，則對(duì)角線AC的長(zhǎng)為（）A．28cm B．18cm C．10cm D．8cm【答案】C【分析】平行四邊形的周長(zhǎng)為相鄰兩邊之和的2倍，即2（AB+BC）＝36，則AB+BC＝18cm，而△ABC的周長(zhǎng)＝AB+BC+AC＝28，繼而即可求出AC的長(zhǎng)．【詳解】解：∵?ABCD的周長(zhǎng)是36cm，∴AB+AD＝18cm，∵△ABC的周長(zhǎng)是28cm，∴AB+BC+AC＝28cm，∴AC＝（AB+BC+AC）﹣（AB+AC）＝28﹣18＝10（cm）．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，掌握平行四邊形的性質(zhì)，根據(jù)題意列出三角形周長(zhǎng)的關(guān)系式，結(jié)合平行四邊形周長(zhǎng)的性質(zhì)求解是本題的關(guān)鍵．11．如圖，在平行四邊形ABCD中，過(guò)點(diǎn)C的直線CE⊥AB，垂足為E，若∠BAD=127°，則∠BCE=____．【答案】37°【分析】由平行四邊形的性質(zhì)得出∠B+∠BAD=180°，可得∠B的度數(shù)，由直角三角形的兩上銳角互余得出∠BCE=90°∠B即可．【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠B+∠BAD=180°，∵∠BAD=127°∴∠B=53°，∵CE⊥AB，∴∠E=90°，∴∠BCE=90°∠B=90°53°=37°，故答案為：37°．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、直角三角形兩銳角互余．熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，求出∠B的度數(shù)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．12．如圖，?ABCD的對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，AE平分∠BAD交BC于點(diǎn)E，且∠ADC＝60°，AB＝BC，連結(jié)OE.下列結(jié)論：①∠CAD＝30°；②S?ABCD＝AB·AC；③OB＝AB；④OE＝BC，成立的結(jié)論有______．(填序號(hào))【答案】①②④【分析】由四邊形ABCD是平行四邊形，得到∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，根據(jù)AE平分∠BAD，得到∠BAE=∠EAD=60°推出△ABE是等邊三角形，由于AB=BC，得到AE=BC，得到△ABC是直角三角形，于是得到∠CAD=30°，故①正確；由于AC⊥AB，得到S?ABCD=AB?AC，故②正確，根據(jù)AB=BC，OB=BD，且BD＞BC，得到AB≠OB，故③錯(cuò)誤；根據(jù)三角形的中位線定理得到OE=AB，于是得到OE=BC，故④正確．【詳解】∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠EAD=60°∴△ABE是等邊三角形，∴AE=AB=BE，∵AB=BC，∴AE=BC，∴∠BAC=90°，∴∠CAD=30°，故①正確；∵AC⊥AB，∴S?ABCD=AB?AC，故②正確，∵AB=BC，OB=BD，∵BD＞BC，∴AB≠OB，故③錯(cuò)誤；∵CE=BE，CO=OA，∴OE=AB，∴OE=BC，故④正確．故答案為①②④．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，平行四邊形的面積公式，熟練掌握性質(zhì)定理和判定定理是解題的關(guān)鍵．13．如圖，為的對(duì)角線，M、N分別在上，且則_____（填“＜”、“＝”或“＞”）【答案】＝【分析】連結(jié)，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，，由已知條件根據(jù)等底同高的三角形面積相等可得，即可得出答案．【詳解】連結(jié)，如圖四邊形是平行四邊形，，，,，,，．故答案為：=【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，通過(guò)找到等底同高的三角形是解題的關(guān)鍵．14．如圖，分別是的邊上的點(diǎn)．將四邊形沿翻折，得到四邊形交于點(diǎn)則的周長(zhǎng)為_(kāi)_______．【答案】24【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AD∥BC，由平行線的性質(zhì)得到∠AEG=∠EGF，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到，推出△GEF是等邊三角形，于是得到結(jié)論．【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠AEG=∠EGF，∵將四邊形沿翻折，得到，∴，∴∠AEG=60°，∴∠EGF=60°，∴△EGF是等邊三角形，∵EF=8，∴△GEF的周長(zhǎng)=24，故答案為：24．【點(diǎn)睛】此題考查平行四邊形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，等邊三角形的判定及性質(zhì)，熟練掌握基本性質(zhì)是解題關(guān)鍵．15．如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),A(1,3),B(2,1),直角坐標(biāo)系中存在點(diǎn)C,使得O,A,B,C四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形,則C點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_____________________________.

【答案】(3,4)或(1,2)或(1,2)【分析】由平行四邊形的性質(zhì)：平行四邊形的對(duì)邊平行且相等，即可求得點(diǎn)C的坐標(biāo)；注意三種情況．【詳解】如圖所示：∵以O(shè)、A、B、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，O（0，0），A（1，3），B（2，0），∴三種情況：①當(dāng)AB為對(duì)角線時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，4）；②當(dāng)OB為對(duì)角線時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，2）；③當(dāng)OA為對(duì)角線時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，2）；故答案是：（3，4）或（1，2）或（1，2）．【點(diǎn)睛】考查了平行四邊形的性質(zhì)：平行四邊形的對(duì)邊平行且相等．解題的關(guān)鍵是要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．16．如圖，矩形ABCD中，E是AD的中點(diǎn)，延長(zhǎng)CE，BA交于點(diǎn)F，連接AC，DF．（1）求證：四邊形ACDF是平行四邊形；（2）當(dāng)CF平分∠BCD時(shí)，寫(xiě)出BC與CD的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）BC=2CD，理由見(jiàn)解析.【分析】（1）利用矩形的性質(zhì)，即可判定△FAE≌△CDE，即可得到CD=FA，再根據(jù)CD∥AF，即可得出四邊形ACDF是平行四邊形；（2）先判定△CDE是等腰直角三角形，可得CD=DE，再根據(jù)E是AD的中點(diǎn)，可得AD=2CD，依據(jù)AD=BC，即可得到BC=2CD．【詳解