高考數(shù)學一輪復習 第10章 概率 第3講 幾何概型增分練-人教版高三全冊數(shù)學試題

第3講幾何概型板塊四模擬演練·提能增分[A級基礎達標]1．在長為6m的木棒上任取一點P，使點P到木棒兩端點的距離都大于2m的概率是()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2)D.eq\f(2,3)答案B解析將木棒三等分，當P位于中間一段時，到兩端A，B的距離都大于2m，∴P＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).2．如圖所示，在圓心角為90°的扇形中，以圓心O為起點作射線OC，則使得∠AOC和∠BOC都不小于15°的概率為()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2)D.eq\f(2,3)答案D解析依題意可知∠AOC∈[15°，75°]，∠BOC∈[15°，75°]，故OC活動區(qū)域為與OA，OB構成的角均為15°的扇形區(qū)域，可求得該扇形圓心角為(90°－30°)＝60°.P(A)＝eq\f(OC活動區(qū)域的圓心角度數(shù),∠AOB的度數(shù))＝eq\f(60°,90°)＝eq\f(2,3).3．[2018·山東師大附中模擬]設x∈[0，π]，則sinx<eq\f(1,2)的概率為()A.eq\f(1,6)B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,3)D.eq\f(1,2)答案C解析由sinx<eq\f(1,2)且x∈[0，π]，借助于正弦曲線可得x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))∪eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)，π))，∴P＝eq\f(\f(π,6)×2,π－0)＝eq\f(1,3).4．[2018·湖南長沙聯(lián)考]如圖，在一個棱長為2的正方體魚缸內放入一個倒置的無底圓錐形容器，圓錐的底面圓周與魚缸的底面正方形相切，圓錐的頂點在魚缸的缸底上，現(xiàn)在向魚缸內隨機地投入一粒魚食，則“魚食能被魚缸內的圓錐外面的魚吃到”的概率是()A．1－eq\f(π,4)B.eq\f(π,12)C.eq\f(π,4)D．1－eq\f(π,12)答案A解析魚缸底面正方形的面積為22＝4，圓錐底面圓的面積為π.所以“魚食能被魚缸內的圓錐外面的魚吃到”的概率是1－eq\f(π,4).故選A.5．[2018·福建莆田質檢]從區(qū)間(0,1)中任取兩個數(shù)作為直角三角形兩直角邊的長，則所取的兩個數(shù)使得斜邊長不大于1的概率是()A.eq\f(π,8)B.eq\f(π,4)C.eq\f(1,2)D.eq\f(3,4)答案B解析任取的兩個數(shù)記為x，y，所在區(qū)域是正方形OABC內部，而符合題意的x，y位于陰影區(qū)域內(不包括x，y軸)，故所求概率P＝eq\f(\f(π,4)×12,1×1)＝eq\f(π,4).6．在棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，點O為底面ABCD的中心，在正方體ABCD－A1B1C1D1內隨機取一點P，則點P到點A.eq\f(π,12)B．1－eq\f(π,12)C.eq\f(π,6)D．1－eq\f(π,6)答案B解析正方體的體積為：2×2×2＝8，以O為球心，1為半徑且在正方體內部的半球的體積為：eq\f(1,2)×eq\f(4,3)πr3＝eq\f(1,2)×eq\f(4π,3)×13＝eq\f(2π,3)，則點P到點O的距離大于1的概率為：1－eq\f(\f(2π,3),8)＝1－eq\f(π,12).7．[2018·鐵嶺模擬]已知△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝2，BC＝6，在BC上任取一點D，則使△ABD為鈍角三角形的概率為()A.eq\f(1,6)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2)D.eq\f(2,3)答案C解析如圖，當BE＝1時，∠AEB為直角，則點D在線段BE(不包含B、E點)上時，△ABD為鈍角三角形；當BF＝4時，∠BAF為直角，則點D在線段CF(不包含F(xiàn)點)上時，△ABD為鈍角三角形．所以△ABD為鈍角三角形的概率為eq\f(1＋2,6)＝eq\f(1,2).8．[2018·綿陽模擬]在面積為S的△ABC的邊AB上任取一點P，則△PBC的面積大于eq\f(S,4)的概率是________．答案eq\f(3,4)解析如圖所示，在邊AB上任取一點P，因為△ABC與△PBC是等高的，所以事件“△PBC的面積大于eq\f(S,4)”等價于事件“|BP|∶|AB|>eq\f(1,4)”．即Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(△PBC的面積大于\f(S,4)))＝eq\f(|PA|,|BA|)＝eq\f(3,4).9．在區(qū)間[－2,4]上隨機地取一個數(shù)x，若x滿足|x|≤m的概率為eq\f(5,6)，則m＝________.答案3解析由題意知m>0，當0<m<2時，－m≤x≤m，此時所求概率為eq\f(m－－m,4－－2)＝eq\f(5,6)，解得m＝eq\f(5,2)(舍去)；當2≤m<4時，所求概率為eq\f(m－－2,4－－2)＝eq\f(5,6)，解得m＝3；當m≥4時，概率為1，不合題意，故m＝3.10．[2018·保定調研]在區(qū)間[－1,1]內隨機取兩個實數(shù)x，y，則滿足y≥x－1的概率是________．答案eq\f(7,8)解析點(x，y)分布在如圖所示的正方形區(qū)域內，畫出x－y－1≤0表示的區(qū)域，可知所求的概率為1－eq\f(\f(1,2),\a\vs4\al(4))＝eq\f(7,8).[B級知能提升]1．[2018·鄭州模擬]分別以正方形ABCD的四條邊為直徑畫半圓，重疊部分如圖中陰影區(qū)域所示，若向該正方形內隨機投一點，則該點落在陰影區(qū)域的概率為()A.eq\f(4－π,2)B.eq\f(π－2,2)C.eq\f(4－π,4)D.eq\f(π－2,4)答案B解析設AB＝2，則S陰影＝2π－4.∴所求概率P＝eq\f(2π－4,4)＝eq\f(π－2,2)，故選B項．2．已知P是△ABC所在平面內一點，eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＋2eq\o(PA,\s\up6(→))＝0，現(xiàn)將一粒黑芝麻隨機撒在△ABC內，則該粒黑芝麻落在△PBC內的概率是()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,3)D.eq\f(1,2)答案D解析由eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＋2eq\o(PA,\s\up6(→))＝0，得eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝－2eq\o(PA,\s\up6(→))，設BC邊中點為D，連接PD，則2eq\o(PD,\s\up6(→))＝－2eq\o(PA,\s\up6(→))，P為AD中點，所以所求概率P＝eq\f(S△PBC,S△ABC)＝eq\f(1,2)，即該粒黑芝麻落在△PBC內的概率是eq\f(1,2).故選D.3．[2018·山東模擬]在區(qū)間[0,2]上隨機地取一個數(shù)x，則事件“－1≤logeq\s\do8(\f(1,2))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))≤1”發(fā)生的概率為________．答案eq\f(3,4)解析不等式－1≤logeq\s\do8(\f(1,2))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))≤1可化為logeq\s\do8(\f(1,2))2≤logeq\s\do8(\f(1,2))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))≤logeq\s\do8(\f(1,2))eq\f(1,2)，即eq\f(1,2)≤x＋eq\f(1,2)≤2，解得0≤x≤eq\f(3,2)，故由幾何概型的概率公式得P＝eq\f(\f(3,2)－0,2－0)＝eq\f(3,4).4．設有關于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.(1)若a是從0,1,2,3四個數(shù)中任取的一個數(shù)，b是從0,1,2三個數(shù)中任取的一個數(shù)，求上述方程有實根的概率；(2)若a是從區(qū)間[0,3]任取的一個數(shù)，b是從區(qū)間[0,2]任取的一個數(shù)，求上述方程有實根的概率．解設事件A為“方程x2＋2ax＋b2＝0有實根”．當a≥0，b≥0時，方程x2＋2ax＋b2＝0有實根的充要條件為a≥b.(1)基本事件共有12個：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)．其中第一個數(shù)表示a的取值，第二個數(shù)表示b的取值．事件A中包含9個基本事件，故事件A發(fā)生的概率為P(A)＝eq\f(9,12)＝eq\f(3,4).(2)試驗的全部結果所構成的區(qū)域為{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2}，構成事件A的區(qū)域為{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2，a≥b}，如圖．所以所求的概率為P(A)＝eq\f(3×2－\f(1,2)×22,3×2)＝eq\f(2,3).5．甲、乙兩艘輪船駛向一個不能同時停泊兩艘輪船的碼頭，它們在一晝夜內任何時刻到達是等可能的．(1)如果甲船和乙船的停泊時間都是4小時，求它們中的任何一條船不需要等待碼頭空出的概率；(2)如果甲船的停泊時間為4小時，乙船的停泊時間為2小時，求它們中的任何一條船不需要等待碼頭空出的概率．解(1)設甲、乙兩船到達時間分別為x、y，則0≤x<24,0≤y<24且y－x>4或y－x<－4.作出區(qū)域eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x<24，,0≤y<24，,y－x>4或y－x<－4.))設“兩船無需等待碼頭空出”為事件A，則P(A)＝eq\f(2×\f(1,2)×20×20,24×24)＝eq\f(2