2022-2023學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)常考點(diǎn)精練（蘇科版）：專題24 算術(shù)平方根的整數(shù)部分和小數(shù)部分（解析版）

專題24算術(shù)平方根的整數(shù)部分和小數(shù)部分1．已知．若為整數(shù)且，則的值為（

）A．43 B．44 C．45 D．46【答案】B【分析】由題意可直接進(jìn)行求解．【詳解】解：∵，∴，∴，∴；故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查算術(shù)平方根，熟練掌握算術(shù)平方根是解題的關(guān)鍵．2．已知a，b分別是的整數(shù)部分和小數(shù)部分，則2a﹣b的值為_(kāi)_____．【答案】．【分析】先求出介于哪兩個(gè)整數(shù)之間，即可求出它的整數(shù)部分，再用減去它的整數(shù)部分求出它的小數(shù)部分，再代入即可.【詳解】∵9＜13＜16，∴3＜＜4，∴a=3，b=﹣3，∴2a﹣b=2×3﹣（﹣3）=6﹣+3=．故答案為．【點(diǎn)睛】此題考查的是帶根號(hào)的實(shí)數(shù)的整數(shù)部分和小數(shù)部分的求法，利用平方找到它的取值范圍是解決此題的關(guān)鍵.3．a(chǎn)是的整數(shù)部分，b的立方根為-2，則a+b的值為_(kāi)_______．【答案】-5【詳解】∵32<10<42,∴的整數(shù)部分a=3,∵b的立方根為-2,∴b=-8,∴a+b=-8+3=-5.故答案是：-5.4．如圖，面積分別為5和10的兩個(gè)長(zhǎng)方形，通過(guò)剪、拼后恰好組成一個(gè)正方形，并且正方形的邊長(zhǎng)為a，則的整數(shù)部分為_(kāi)_______．【答案】1【分析】根據(jù)正方形的邊長(zhǎng)，進(jìn)行估算，可得結(jié)論．【詳解】解：拼剪后的正方形的面積，∴，∵，即∴，∴的整數(shù)部分是1，故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查圖形的拼剪，正方形的性質(zhì)及無(wú)理數(shù)的估算等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．三、解答題(共0分)5．已知：的算術(shù)平方根是3，的立方根是，c是的整數(shù)部分，求的值．【答案】【分析】由算術(shù)平方根，立方根的定義求出a，b的值，再估算的大小，求出c值，代入即可．【詳解】解：∵的算術(shù)平方根是3，∴，∴，∵的立方根是，∴，∴，∵

即：，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了算數(shù)平方根，立方根定義，估算無(wú)理數(shù)大小，能正確求出a、b、c的值是解題的關(guān)鍵．6．已知＝3，3a﹣b+1的平方根是±4，c是的整數(shù)部分，求a+b+2c的平方根．【答案】±5【分析】分別根據(jù)算術(shù)平方根、平方根的意義，無(wú)理數(shù)的估算求出a、b、c的值，即可求出a+b+2c的值，根據(jù)平方根的意義即可求解．【詳解】解：∵＝3，∴2a﹣1＝9，解得：a＝5，∵3a﹣b+1的平方根是±4，∴15﹣b+1＝16，解得：b＝0，∵，∴10＜＜11，∴c＝10，∴a+b+2c＝5+0+2×10＝25，∴a+b+2c的平方根為＝±5．【點(diǎn)睛】本題考查了算術(shù)平方根、平方根的意義，無(wú)理數(shù)的估算，熟知算術(shù)平方根、平方根的意義是解題關(guān)鍵．7．設(shè)2+的整數(shù)部分和小數(shù)部分分別是x、y，試求x、y的值與x-1的算術(shù)平方根．【答案】．【詳解】試題分析：先找到介于哪兩個(gè)整數(shù)之間，從而找到整數(shù)部分，小數(shù)部分讓原數(shù)減去整數(shù)部分，然后代入求值即可．試題解析：因?yàn)?＜6＜9，所以2＜＜3，即的整數(shù)部分是2，所以2+的整數(shù)部分是4，小數(shù)部分是2+-4=-2，即x=4，y=-2，所以=．考點(diǎn)：1．估算無(wú)理數(shù)的大小；2．算術(shù)平方根．8．已知a﹣4的立方根是1，3a﹣b﹣2的算術(shù)平方根是3，的整數(shù)部分是c，求2a﹣3b+c的平方根．【答案】±1.【分析】根據(jù)1的立方根是1，9的算術(shù)平方根是3，3＜＜4，分別確定a、b、c的值，再代入計(jì)算2a﹣3b+c的值即可.【詳解】解：∵已知a﹣4的立方根是1，∴a﹣4=1，解得a=5；∵3a﹣b﹣2的算術(shù)平方根是3，∴3a﹣b﹣2=9，即15﹣b﹣2=9，解得b=4；∵的整數(shù)部分是c，且3＜＜4，∴c=3；∴2a﹣3b+c=2×5－3×4+3=10－12+3=1；∵1的平方根是±1，∴2a﹣3b+c的平方根±1.【點(diǎn)睛】本題考查了立方根和算術(shù)平方根的定義以及估算一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根的整數(shù)部分，解此題的關(guān)鍵是熟練掌握立方根和算術(shù)平方根的定義，了解估算一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根的方法，正確求得a、b、c的值.9．閱讀并解答下列問(wèn)題，例如：，即，的整數(shù)部分為2，小數(shù)部分為．請(qǐng)解答：(1)的整數(shù)部分是_______，小數(shù)部分是_______．(2)已知：小數(shù)部分是，小數(shù)部分是，請(qǐng)求出m+n的值．【答案】(1)4，-4；(2)1【分析】（1）因?yàn)椋矗?，所以可得的整?shù)部分；用減去得到的整數(shù)部分，可得的小數(shù)部分；（2）由與的小數(shù)部分相同，可得的值，根據(jù)不等式的性質(zhì)求出的整數(shù)部分，用減去的整數(shù)部分，可得的值，將、的值代入即可．(1)∵，∴，∴的整數(shù)部分是4，小數(shù)部分是；(2)∵小數(shù)部分是，由（1）得的小數(shù)部分是，∴與的小數(shù)部分相同，∴，∵，∴，∴，∴，∴的整數(shù)部分是4，∵的小數(shù)部分是，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式性質(zhì)的應(yīng)用、不等式的性質(zhì)、整數(shù)、小數(shù)等知識(shí)點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是理解題干并熟練運(yùn)用以上知識(shí)點(diǎn)．10．已知和的小數(shù)部分分別為，求該代數(shù)式的值.【答案】0【分析】先估算出的大小，然后求得、的值，最后直接代入利用二次根式的法則進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解；，．．．．【點(diǎn)睛】本題主要考查了估算無(wú)理數(shù)的大小、二次根式的混合運(yùn)算，求得、的值是解題的關(guān)鍵．11．的整數(shù)部分為x，小數(shù)部分為y，（1）求x、y的值；（2）求的值．【答案】（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)，可得整數(shù)，小數(shù)，根據(jù)x、y的值，可得答案；（2）將x和y的值代入計(jì)算即可．【詳解】解：(1)∵∴x=4，y=-4(2)由（1）＝＝=16++4=20+【點(diǎn)睛】本題考查求算術(shù)平方根的整數(shù)部分和小數(shù)部分，二次根式的混合運(yùn)算．根據(jù)算術(shù)平方根估算無(wú)理數(shù)是解題關(guān)鍵．12．已知的平方根是，的立方根是3，是的算術(shù)平方根．（1）填空：a=、b=、=．（2）若的整數(shù)部分是，小數(shù)部分是y，求的值【答案】（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)平方根的定義列式求出a的值，再根據(jù)立方根的定義列式求出b的值，然后根據(jù)算術(shù)平方根的定義進(jìn)行計(jì)算即可得解；（2）由于2＜＜3，由此可得的整數(shù)x的值；由此可得小數(shù)部分y的值，進(jìn)而求出的值．【詳解】（1）∵的平方根是，∴2a-1=(±3)2，∴a=5∵的立方根是3，∴=33，∵a=5∴b=2∵是的算術(shù)平方根,a=5，b=2∴m=（2）∵的整數(shù)部分是x=2∴小數(shù)部分y=-2∴=(-2-2)2==【點(diǎn)睛】本題考查了算術(shù)平方根、平方根、立方根的定義和估算無(wú)理數(shù)的大小，熟記概念，先判斷所給的無(wú)理數(shù)的近似值是解題的關(guān)鍵．13．已知的立方根是，的算術(shù)平方根是，的小數(shù)部分為．（1）分別求出，，的值；（2）求的平方根．【答案】（1），；（2）【分析】（1）根據(jù)立方根、算術(shù)平方根、估算無(wú)理數(shù)的大小得出，，，求出、即可；（2）求出的值，再求出平方根即可．【詳解】（1）的立方根是，的算術(shù)平方根是，的小數(shù)部分為，，，，解得：，，；（2），即的平方根為．【點(diǎn)睛】此題考查平方根、立方根、算術(shù)平方根、估算無(wú)理數(shù)的大小，能求出a、b、c的值是解題的關(guān)鍵．14．閱讀下面的文字，解答問(wèn)題：大家知道是無(wú)理數(shù)，而無(wú)理數(shù)是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，因此的小數(shù)部分我們不可能全部寫(xiě)出來(lái)，而，于是可以用來(lái)表示的小數(shù)部分．請(qǐng)解答下列問(wèn)題：(1)的整數(shù)部分是______，小數(shù)部分是______；(2)如果的小數(shù)部分為，的整數(shù)部分為，求的值．【答案】(1)，

(2)【分析】（1）估算的近似值，即可得出的整數(shù)部分和小數(shù)部分；（2）求出a、b的值，再代入計(jì)算即可．（1）解：，，的整數(shù)部分為，小數(shù)部分為，故答案為：，；（2）解：，，的小數(shù)部分，，，，的整數(shù)部分為，．【點(diǎn)睛】本題考查無(wú)理數(shù)的估算和實(shí)數(shù)的運(yùn)算，掌握算術(shù)平方根的意義是正確估算的前提．15．通過(guò)《實(shí)數(shù)》一章的學(xué)習(xí)，我們知道是一個(gè)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，因此的小數(shù)部分我們不可能全部寫(xiě)出來(lái)．聰明的小麗認(rèn)為的整數(shù)部分為1，所以減去其整數(shù)部分，差就是的小數(shù)部分，所以用來(lái)表示的小數(shù)部分．根據(jù)小麗的方法請(qǐng)完成下列問(wèn)題：（1）的整數(shù)部分為_(kāi)_________，小數(shù)部分為_(kāi)_________．（2）已知的整數(shù)部分，的整數(shù)部分為，求的立方根．【答案】（1）5；；（2）2【分析】（1）由于25<33<36，故可得出的整數(shù)部分，從而也可得出其小數(shù)部分；（2）由于9<10<16，故可得出的整數(shù)部分，即a的值；同理可確定出的整數(shù)部分，進(jìn)而確定出的整數(shù)部分，即b的值，最后即可求得a+b的立方根．【詳解】（1）∵25<33<36，∴5<<6，即的整數(shù)部分為5，小數(shù)部分為-5．故答案為：5；（2）∵9<10<16，∴，∴的整數(shù)部分；∵，∴的整數(shù)部分．∴，∴8的立方根為．【點(diǎn)睛】本題考查了算術(shù)平方根的估值問(wèn)題，求立方根，關(guān)鍵是確定根號(hào)下的數(shù)位于哪兩個(gè)相鄰正整數(shù)之間，即可確定該算術(shù)平方根的整數(shù)部分．16．觀察下邊圖形，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1．（1）則圖中陰影部分的面積是_______，邊長(zhǎng)是_______，并在數(shù)軸上準(zhǔn)確地作出表示陰影正方形邊長(zhǎng)的點(diǎn)．（2）已知為陰影正方形邊長(zhǎng)的小數(shù)部分，為的整數(shù)部分．求：①的值；②的算術(shù)平方根．【答案】（1）13，，圖見(jiàn)解析；（2）①，②．【分析】（1）根據(jù)陰影部分的面積等于正方形的面積減去四周四個(gè)小直角三角形的面積列式計(jì)算，再利用勾股定理和算術(shù)平方根的定義求出邊長(zhǎng)，最后利用勾股定理作出邊長(zhǎng)表示的無(wú)理數(shù)即可；（2）①利用無(wú)理數(shù)估算的方法即可求得x和y；②將①中的x和y代入計(jì)算，并求算術(shù)平方根．【詳解】解：（1）陰影部分面積，邊長(zhǎng)=，在圖中數(shù)軸上作出表示陰影正方形邊長(zhǎng)的點(diǎn)如圖所示：故答案為：13，；（2）①∵，，∴，，∵x為陰影正方形邊長(zhǎng)的小數(shù)部分，為的整數(shù)部分，，∴，②由①得，，∴，它的算術(shù)平方根是．【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)數(shù)與數(shù)軸，用勾股定理表示無(wú)理數(shù)．掌握等面積法是解決（1）的關(guān)鍵，(2)中需注意小數(shù)部分=原數(shù)-整數(shù)部分．17．觀察例題：∵，即，∴的整數(shù)部分為2，小數(shù)部分為．請(qǐng)你觀察上述的規(guī)律后試解下面的問(wèn)題：（1）如果的小數(shù)部分為a，的小數(shù)部分為b，求的值．（2）已知a是的整數(shù)部分，b是的小數(shù)部分，求（﹣a）3+（b+4）2的平方根．【答案】（1）1；（2）±4【分析】（1）按照例題仿寫(xiě)即可得出小數(shù)部分和整數(shù)部分，代入即可；（2）按照例題仿寫(xiě)即可得出小數(shù)部分和整數(shù)部分，代入即可．【詳解】（1）即，的整數(shù)部分為1，小數(shù)部分為，的小數(shù)部分是，，；（2）即的整數(shù)部分為1，的小數(shù)部分為，，的平方根為：．【點(diǎn)睛】本題考查了無(wú)理數(shù)的估算，熟練掌握數(shù)的平方根是解題的關(guān)鍵．18．觀察右下圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，（1）則圖中陰影部分的面積是_______，邊長(zhǎng)是______，并在數(shù)軸上作出表示陰影正方形邊長(zhǎng)的點(diǎn)；（2）已知a為陰影正方形邊長(zhǎng)的小數(shù)部分，b為的整數(shù)部分，求：①a，b的值；②(a+b)2的算術(shù)平方根．【答案】（1）13；；數(shù)軸見(jiàn)解析；（2）①a=－3，b=3；②【分析】（1）利用大正方形的面積減去4個(gè)直角三角形的面積即可求出陰影部分的面積，然后利用勾股定理即可求出邊長(zhǎng)，再利用勾股定理即可作出表示數(shù)軸上陰影正方形邊長(zhǎng)的點(diǎn)；（2）①根據(jù)實(shí)數(shù)的比較大小先分別求出陰影正方形邊長(zhǎng)的整數(shù)部分和的整數(shù)部分，即可求出a和b的值；②根據(jù)乘方的意義和算術(shù)平方根的定義代入求值即可．【詳解】解：（1）圖中陰影部分的面積=，邊長(zhǎng)=如下圖所示，過(guò)表示3的點(diǎn)A作AB⊥數(shù)軸，且AB=2，連接OB，根據(jù)勾股定理OB=，以O(shè)為圓心，OB的長(zhǎng)為半徑作弧，交數(shù)軸原點(diǎn)右側(cè)于點(diǎn)C，OC=OB=，即點(diǎn)C即為所求．故答案為：13；；（2）①∵3＜＜4，3＜＜4∴和的整數(shù)部分都是3∴a=－3，b=3；②∵a=－3，b=3∴(a+b)2=(－3+3)2=13∴(a+b)2的算術(shù)平方根為．【點(diǎn)睛】此題考查的是勾股定理的應(yīng)用、求實(shí)數(shù)的整數(shù)部分、小數(shù)部分和實(shí)數(shù)的運(yùn)算，掌握利用勾股定理解直角三角形、實(shí)數(shù)的比較大小和算術(shù)平方根的定義是解決此題的關(guān)鍵．19．根據(jù)表格中的數(shù)字信息回答下列問(wèn)題：x16.216.316.416.516.616.716.816.917262.44265.69268.96272.25275.56278.89282.24285.61289(1)275.56的平方根是___；(2)設(shè)的整數(shù)部分為a，求－4a的立方根．【答案】(1)±16.6(2)-4【分析】（1）根據(jù)表格找到275.56對(duì)應(yīng)的x為16.6，因?yàn)槠椒礁袃蓚€(gè)，所以275.56的平方根是±16.6；（2）根據(jù)夾值法求平方根，因?yàn)?70在268.96和272.25之間，所以在16.4和16.5之間，則其整數(shù)部分為16，即a=16，將a的值代入求解即可．(1)根據(jù)表格，x2等于275.56時(shí)對(duì)應(yīng)的x為16.6，因?yàn)椤?6.6的平方都等于275.56，所以275.56的平方根是±16.6；(2)觀察表格信息可知，，∴的整數(shù)部分為16，即a＝16∴－4a＝－64∴，即－4a的立方根為－4．【點(diǎn)睛】本題考查平方根，立方根，能熟練從表格中找到相關(guān)信息和掌握夾值法求平方根是解題的關(guān)鍵．20．（1）采用夾逼法，利用的一系列不足近似值和過(guò)剩近似值來(lái)估計(jì)它的大小的過(guò)程如下：因?yàn)?，所以因?yàn)?，，所以因?yàn)?，所以因?yàn)?，所以因?精確到百分位)，使用夾逼法，求出的近似值(精確到百分位)．（2）我們規(guī)定用符號(hào)表示數(shù)的整數(shù)部分，例如①按此規(guī)定；②如果的整數(shù)部分是的小數(shù)部分是求的值．【答