2022-2023學(xué)年八年級數(shù)學(xué)?？键c精練（蘇科版）：專題06 旋轉(zhuǎn)證全等（解析版）

專題06旋轉(zhuǎn)證全等類型一等腰三角形中的旋轉(zhuǎn)證全等1．已知：如圖，在等邊三角形中，點，分別在邊和上，且．以為邊作等邊三角形，連接，，．（1）你能在圖中找到一對全等三角形嗎？請說明理由；（2）圖中哪個三角形可以通過旋轉(zhuǎn)得到另一個三角形？請說明是怎樣旋轉(zhuǎn)的．【答案】（1），見詳解；（2）繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，見詳解【解析】【分析】（1）根據(jù)三角形全等的判定即可得到答案；（2）在全等的三角形中根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義即可得到答案.【詳解】解：．證明：，為等邊三角形，在和中（2）繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到.【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定，認(rèn)真觀察圖形找到全等的三角形是解決問題的關(guān)鍵.2．復(fù)習(xí)“全等三角形”的知識時，老師布置了一道作業(yè)題：“如下圖①，已知在△ABC中，AB＝AC，P是△ABC內(nèi)部任意一點，將AP繞點A順時針旋轉(zhuǎn)至AQ，使得∠QAP＝∠BAC，連接BQ，CP，則BQ＝CP．”（1）小亮是個愛動腦筋的同學(xué)，他通過對圖①的分析，證明了△ABQ≌△ACP，從而證得BQ＝CP．請你幫小亮完成證明；（2）之后，小亮又將點P移到等腰三角形ABC之外，原題中的條件不變，“BQ＝CP”仍然成立嗎？若成立，請你就圖②給出證明；若不成立，請說明理由．【答案】（1）見解析；（2）成立，見解析【解析】【分析】(1)根據(jù)得，，所以，由旋轉(zhuǎn)得，，根據(jù)題目給出的即可證明出，由全等三角形的性質(zhì)即可證明．(2)和(1)同理，根據(jù)得，，所以，由旋轉(zhuǎn)得，，根據(jù)題目給出的即可證明出，由全等三角形的性質(zhì)即可證明．【詳解】(1)證明：，，，在與中，，，．(2)仍然成立，證明如下：，，，在與中，，，．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，證明過程中涉及到旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等，找準(zhǔn)全等的條件，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．3．如圖①，、均為等邊三角形，點D、E分別在邊AB、AC上．將ADE繞點A沿順時針方向旋轉(zhuǎn)，連結(jié)BD、CE．（1）如圖②，可以根據(jù)三角形全等判定定理_________證得．（A）邊邊邊；（B）邊角邊；（C）角邊角；（D）角角邊．（2）如圖③，求證：．（3）當(dāng)點D、E、C在同一條直線上時，∠EDB的大小為________度．【答案】（1）B；（2）證明見解析；（3）60或120．【解析】【分析】（1）先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)角的和差可得，從而可得，然后根據(jù)三角形全等的判定定理即可得；（2）先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)角的和差可得，從而可得，然后根據(jù)三角形全等的判定定理即可得證；（3）分點D、E、C在同一條直線上，且點E在C、D的中間和點D、E、C在同一條直線上，且點D在C、E的中間兩種情況，再分別根據(jù)三角形全等的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)求解即可得．【詳解】（1）、均為等邊三角形，，，即，在和中，，，故選：B；（2）、均為等邊三角形，，，即，在和中，，；（3）由題意，分以下兩種情況：①如圖3-1，點D、E、C在同一條直線上，且點E在C、D的中間，是等邊三角形，，，同（1）可證：，，；②如圖3-2，點D、E、C在同一條直線上，且點D在C、E的中間，是等邊三角形，，同（2）可證：，，；綜上，的大小為或，故答案為：60或120．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、三角形全等的判定定理與性質(zhì)等知識點，較難的是題（3），正確分兩種情況討論是解題關(guān)鍵．4．閱讀材料：小胖同學(xué)發(fā)現(xiàn)這樣一個規(guī)律：兩個頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的頂角的頂點，并把它們的底角頂點連接起來則形成一組旋轉(zhuǎn)全等的三角形．小胖把具有這個規(guī)律的圖形稱為“手拉手”圖形．如圖1，在“手拉手”圖形中，小胖發(fā)現(xiàn)若∠BAC＝∠DAE，AB＝AC，AD＝AE，則BD＝CE,(1)在圖1中證明小胖的發(fā)現(xiàn)；借助小胖同學(xué)總結(jié)規(guī)律，構(gòu)造“手拉手”圖形來解答下面的問題：(2)如圖2，AB＝BC，∠ABC＝∠BDC＝60°，求證：AD+CD＝BD；(3)如圖3，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝m°，點E為△ABC外一點，點D為BC中點，∠EBC＝∠ACF，ED⊥FD，求∠EAF的度數(shù)（用含有m的式子表示）．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）∠EAF=m°.【解析】【詳解】分析：（1）如圖1中，欲證明BD=EC，只要證明△DAB≌△EAC即可；（2）如圖2中，延長DC到E，使得DB=DE．首先證明△BDE是等邊三角形，再證明△ABD≌△CBE即可解決問題；（3）如圖3中，將AE繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)m°得到AG，連接CG、EG、EF、FG，延長ED到M，使得DM=DE，連接FM、CM．想辦法證明△AFE≌△AFG，可得∠EAF=∠FAG=m°.詳（1）證明：如圖1中，∵∠BAC=∠DAE，∴∠DAB=∠EAC，在△DAB和△EAC中，，∴△DAB≌△EAC，∴BD=EC．（2）證明：如圖2中，延長DC到E，使得DB=DE．∵DB=DE，∠BDC=60°，∴△BDE是等邊三角形，∴∠BD=BE，∠DBE=∠ABC=60°，∴∠ABD=∠CBE，∵AB=BC，∴△ABD≌△CBE，∴AD=EC，∴BD=DE=DC+CE=DC+AD．∴AD+CD=BD．（3）如圖3中，將AE繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)m°得到AG，連接CG、EG、EF、FG，延長ED到M，使得DM=DE，連接FM、CM．由（1）可知△EAB≌△GAC，∴∠1=∠2，BE=CG，∵BD=DC，∠BDE=∠CDM，DE=DM，∴△EDB≌△MDC，∴EM=CM=CG，∠EBC=∠MCD，∵∠EBC=∠ACF，∴∠MCD=∠ACF，∴∠FCM=∠ACB=∠ABC，∴∠1=3=∠2，∴∠FCG=∠ACB=∠MCF，∵CF=CF，CG=CM，∴△CFG≌△CFM，∴FG=FM，∵ED=DM，DF⊥EM，∴FE=FM=FG，∵AE=AG，AF=AF，∴△AFE≌△AFG，∴∠EAF=∠FAG=m°．點睛：本題考查幾何變換綜合題、旋轉(zhuǎn)變換、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用“手拉手”圖形中的全等三角形解決問題，學(xué)會構(gòu)造“手拉手”模型，解決實際問題，屬于中考壓軸題．5．如圖1，以AB為腰向兩側(cè)分別作全等的等腰△ABC和△ABD，過頂角的頂點A作∠MAN，使∠MAN＝∠BAC＝α（0°＜α＜60°），將∠MAN的邊AM與AC疊合，繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，與射線CB、BD分別交于點E、F．設(shè)旋轉(zhuǎn)角度為β．（1）如圖1，當(dāng)0°＜β＜α?xí)r，說明線段BE＝DF的理由；（2）當(dāng)α＜β＜2α?xí)r，在圖2中畫出符合題意的圖形并寫出此時線段CE、FD與線段BD的數(shù)量關(guān)系是．（直接寫出答案）（3）聯(lián)結(jié)EF，在∠MAN繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)過程中（0°＜β＜2α），當(dāng)線段AD⊥EF時，用含α的代數(shù)式表示∠CEA＝（直接寫出答案）．【答案】（1）證明見解析，（2）CE﹣FD＝BD，（3）90°﹣α．【解析】【分析】（1）由“ASA”可證△AEB≌△AFD，可得BE＝DF；（2）根據(jù)題意即可作出圖形，由“ASA”可證△AEB≌△AFD，得BE＝DF，即可得結(jié)論；（3）由（2）可得AE＝AF，可得∠AFE＝∠AEF，由角的數(shù)量關(guān)系可求解．【詳解】解：（1）如圖1中，∵等腰△ABC和△ABD全等，∴AB＝AC＝AD，∠C＝∠ABC＝∠ABD＝∠D，∠BAC＝∠BAD，∵∠MAN＝∠BAC＝α，∴∠MAN＝∠BAD＝α，∴∠EAB＝∠FAD，在△AEB和△AFD中，，∴△AEB≌△AFD（ASA），∴BE＝DF．（2）畫圖如圖所示，線段CE、FD與線段BD的數(shù)量關(guān)系是CE﹣FD＝BD，理由如下：∵∠MAN＝∠BAD，∴∠DAF＝∠BAE，∵∠ABC＝∠ADB，∴∠ABE＝∠ADF，在△ABE和△ADF中，，∴△AEB≌△AFD（ASA），∴BE＝DF，∵BC＝BD，∴CE﹣FD＝CE﹣BE＝BC＝BD，故答案為：CE﹣FD＝BD；（3）如圖3中，設(shè)AE交BD于點O，連接EF．由（2）得，△ABE≌△ADF（ASA），∴AE＝AF，∴∠AFE＝∠AEF，∵∠BAD＝∠EAF，∠ABD＝∠ADB，∴∠ABD＝∠AFE，∵AD⊥EF，∴∠DAF+∠AFE＝90°，∵∠DAF＝∠BAE，∠ABD＝∠AFE，∴∠OAB+∠OBA＝90°，∴∠AOB＝∠AOF＝90°，∴∠AFD＝90°﹣∠EAF＝90°﹣α，∵∠CEA＝∠AFD，∴∠CEA＝90°﹣α，故答案為：90°﹣α．【點睛】本題是幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是證明△AEB≌△AFD．類型二等腰直角三角形中的旋轉(zhuǎn)證全等6．兩塊等腰直角三角尺與（不全等）如圖（1）放置，則有結(jié)論：①②；若把三角尺繞著點逆時針旋轉(zhuǎn)一定的角度后，如圖（2）所示，判斷結(jié)論：①②是否都還成立？若成立請給出證明，若不成立請說明理由．【答案】①AC=BD②AC⊥BD都還成立，理由見解析【解析】【分析】利用全等三角形的判定方法（SAS）得出△ACO≌△BDO，進(jìn)而得出AC=BD，再利用三角形內(nèi)角和定理得出AC⊥BD．【詳解】解：①AC=BD②AC⊥BD都還成立，理由如下：如圖，設(shè)AO、AC與BD分別交于點E、N，∵∠AOB=∠COD=90°，∴∠AOB+∠DOA=∠COD+∠DOA，即∠COA=∠DOB，在△ACO和△BDO中，，∴△ACO≌△BDO（SAS），∴AC=BD，∠OBD=∠OAC，又∵∠BEO=∠AED，∴∠AOB=∠ANE=90°，∴AC⊥BD，綜上所述：①AC=BD②AC⊥BD都還成立．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知得出△ACO≌△BDO．7．已知，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，點D為BC的中點，∠EDF=90°．（1）【觀察發(fā)現(xiàn)】如圖①，若點E、F分別為AB、AC上的點，則圖中全等三角形一共有對；（2）【類比探究】若將∠EDF繞點D在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)到E、F點分別在AB、CA延長線上時，BE=AF嗎？請利用圖②說明理由．（3）【解決問題】連結(jié)EF，把△EDF把繞點D在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)到DF與△ABC的腰所在的直線垂直時，請直接寫出∠BDF的度數(shù).【答案】（1）3；（2）BE=AF；見解析；（3）45°或135°．【解析】【分析】（1）有3對，即△EDB≌△FDA，△EDA≌△FDC，△ADB≌△ADC.根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得出AD=BD、∠EBD=∠FAD，根據(jù)同角的余角相等可得出∠BDE=∠ADF，由此即可證出△BDE≌△ADF（ASA），其余同理可證得；（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及等角的補角相等可得出∠EBD=∠FAD、BD=AD，根據(jù)同角的余角相等可得出∠BDE=∠ADF，由此即可證出△EDB≌△FDA（ASA），再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出BE=AF．（3）畫出符合條件的圖形即可求解.【詳解】（1）有3對，即△EDB≌△FDA，△EDA≌△FDC，△ADB≌△ADC.證明如下：∵AB=AC，點D為BC的中點，∴∠ADB=∠ADC=90°，BD=CD，∴△ADB≌△ADC；∵∠EDB+∠EDA=90°，∠EDA+∠FDA=90°，∴∠EDB=∠FDA．在△EDB和△FDA中，，∴△EDB≌△FDA，同理可證△EDA≌△FDC.（2）BE=AF，證明如下：連接AD，如圖②所示．∵∠ABD=∠BAD=45°，∴∠EBD=∠FAD=135°．∵∠EDB+∠BDF=90°，∠BDF+∠FDA=90°，∴∠EDB=∠FDA．在△EDB和△FDA中，，∴△EDB≌△FDA（ASA），∴BE=AF．（3）45°或135°．如圖所示：

∵DF⊥AC,∴∠CDF=45°,∴∠BDF=135°；或者∵DF⊥AB,∴∠BDF=45°；故答案是：45°或135°．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：根據(jù)全等三角形的判定定理ASA證出△EDB≌△FDA．8．旋轉(zhuǎn)變換是全等變換的一種形式，我們在解題實踐中經(jīng)常用旋轉(zhuǎn)變換的方法來構(gòu)造全等三角形來解決問題．（1）方法探究：如圖①，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D、E在邊BC上，∠DAE=45°試探究線段BD、CE、DE可以組成什么樣的三角形．我們可以過點B作BF⊥BC，使BF=EC，連接AF、DF，易得∠AFB=45°進(jìn)而得到△AFB≌△AEC，相當(dāng)于把△AEC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°到△AFB，請接著完成下面的推理過程：∵△AFB≌△AEC，∴∠BAF=，AF=AE，∵∠BAC=90°，∠DAE=45°，∴∠BAD+∠CAE=，∴∠BAF+∠BAD=45°，∴∠DAF=45°=，在△DAF與△DAE中，AF=AE，∠DAF=∠DAE，AD=AD，∴△DAF≌△DAE，∴DF=，∵BD、BF、DF組成直角三角形，∴BD、CE、DE組成直角三角形.（2）方法運用①如圖②，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠BCD=90°，∠ABC+∠ADC=180°，點E在邊BC上，點F在邊CD上，∠EAF=45°試判斷線段BE、DF、EF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．②如圖③，在①的基礎(chǔ)上若點E、F分別在BC和CD的延長線，其他條件不變，①中的關(guān)系在圖③中是否仍然成立？若成立請說明理由；若不成立請寫出新的關(guān)系，并說明理由．【答案】（1）∠CAE，45°，∠DAE，DE；（2）①EF=BE+DF；②①中關(guān)系不成立,EF=BE-DF.【解析】【分析】(1)作AF⊥AB，使AF=BE，連接DF，根據(jù)SAS證得△CAF≌△CBE和△CDF≌△CDE，再由勾股定理和等量代換即可解答；(2)延長CD到G，使DG=BE，證得△ABE≌△ADG,可得AE=AG，∠EAB=∠DAG,可得∠EAF=∠GAF,進(jìn)而可得△AEF≌△AGF,所以得GF=EF得到EF=BE+DF;(3)延長CD到G，使DG=BE，證得△ABE≌△ADG,可得AE=AG，∠DAG=∠EAB=90°-∠DAE,進(jìn)而可得△AEF≌△AGF,所以得GF=EF,EF=BE-DF.【詳解】（1）∠CAE，45°，∠DAE，DE；（2）①EF=BE+D.理由：延長CD到G，使DG=BE，則∠ADG+∠ADC=180°，∵∠ABC+∠ADC=180°∴∠ABC=∠ADG，在△ABE和△ADG中，

DG=BE∠ABC=∠ADG

AB=AD

∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE=AG，∠EAB=∠DAG,∴∠EAF=∠GAF=45°,∴△AEF≌△AGF,∴GF=EF.②.①中關(guān)系不成立,EF=BE-DF.理由:延長CD到G，使DG=BE，證得△ABE≌△ADG,可得AE=AG，∠DAG=∠EAB=90°-∠DAE,∵∠DAF=45°-∠DAE,∴∠GAF=∠DAG-∠DAF=（90°-∠DAE）-（45°-∠DAE）=45°=∠EAF,

∴△AEF≌△AGF,∴GF=EF,∵GF=DG-DF,∴EF=BE-DF.【點睛】此題主要考查勾股定理及三角形全等的判定與性質(zhì)，解答時要充分分析里面的條件與問題之間的聯(lián)系．9．已知：△ABC和△ADE是兩個不全等的等腰直角三角形，其中BA=BC，DA=DE，連接EC，取EC的中點M，連接BM和DM．（1）如圖1，如果點D、E分別在邊AC、AB上，那么BM、DM的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系是；（2）將圖1中的△ADE繞點A旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時，判斷（1）中的結(jié)論是否仍然成立，并說明理由．【答案】1），；（2）成立，理由見解析【解析】【分析】（1）利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得出BM=DM=EC，再利用∠1=∠2，∠3=∠4，∠BMD=2（∠1+∠3），即可得出答案；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)首先得出∠8=∠BAD，再利用SAS證明△ABD≌△CBF，進(jìn)而得出BD=BF，∠ABD=∠CBF，∠DBF=∠ABC=90°，即可得出BM與DM的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系．【詳解】（1）如圖1；∵M(jìn)是EC的中點，∴BM=EC，DM=EC，（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半），∴DM=BM．∵M(jìn)是EC的中點，∴MC=EC，∴BM=MC=DM，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∵∠BME=∠1+∠2，∠EMD=∠3+∠4，∴∠BMD=2（∠1+∠3），∵△ABC等腰直角三角形，∴∠BCA=45°，∴∠BMD=90°，∴BM=DM且BM⊥DM；故答案為BM=DM且BM⊥DM．（2）成立．方法1如下圖所示，分別取AC，AE的中點H，F(xiàn)，連接HM，F(xiàn)M．則，．∵點M為CE的中點，∴，，，．∴，，．∵，，∴．∴．∴，．．∴BM、DM的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系是：，．方法2

倍長中線法

理由如下：延長DM至點F，使MF=MD，連接CF、BF、BD．在△EMD和△CMF中，∵∴△EMD≌△CMF（SAS），∴ED=CF，∠DEM=∠1．∵AB=BC，AD=DE，且∠ADE=∠ABC=90°，∴∠2=∠3=45°，∠4=∠5=45°．∴∠BAD=∠2+∠4+∠6=90°+∠6．∵∠8=360°-∠5-∠7-∠1，∠7=180°-∠6-∠9，∴∠8=360°-45°-（180°-∠6-∠9）-（∠3+∠9），=360°-45°-180°+∠6+∠9-45°-∠9=90°+∠6．∴∠8=∠BAD．在△ABD和△CBF中，∵，∴△ABD≌△CBF（SAS），∴BD=BF，∠ABD=∠CBF．∴∠DBF=∠ABC=90°．∵M(jìn)F=MD，∴BM=DM且BM⊥DM．【點睛】此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及圖形的旋轉(zhuǎn)，正確利用全等三角形的判定得出△ABD≌△CBF是解題關(guān)鍵．類型三多邊形中的旋轉(zhuǎn)證全等10．如圖，四邊形是正方形，點E在上，點F在的延長線上，，在此圖中是否存在兩個全等的三角形？其中一個三角形能夠通過旋轉(zhuǎn)另外一個三角形而得到嗎？【答案】存在，能【解析】【分析】在△CDF和△CBE中，根據(jù)正方形的性質(zhì)知DC＝BC、已知條件DF＝BE可以證得△CDF≌△CBF．【詳解】解：在此圖中存在兩個全等的三角形，即△CDF≌△CBE．理由如下：∵點F在正方形ABCD的邊AD的延長線上，∴∠CDF＝∠CDA＝90°，在△CDF和△CBE中，，∴△CDF≌△CBE（SAS），∴∠FCD＝∠ECB，CF＝CE，∴∠FCE＝∠FCD＋∠DCE＝∠ECB＋∠DCE＝∠DCB＝90°，∴△CDF是由△CBE繞點C沿順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到的．【點睛】本題綜合考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．本題中通過全等三角形（△CDF≌△CBE）的對應(yīng)角∠FCD與∠ECB相等是解答的關(guān)鍵．11．（1）如圖1，在正方形ABCD中，E、F分別是邊BC、CD上的點，且∠EAF=45°，把△ADF繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG，請直接寫出圖中所有的全等三角形；（2）在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°.①如圖2，若E、F分別是邊BC、CD上的點，且2∠EAF=∠BAD，求證：EF=BE+DF；②若E、F分別是邊BC、CD延長線上的點，且2∠EAF=∠BAD，①中的結(jié)論是否仍然成立？請說明理由【答案】（1）△ADF≌△ABG、△AEF≌△AEG；（2）①證明見解析；②不成立；理由見解析；【解析】【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)易得△ADF≌△ABG、△AEF≌△AEG；（2）①如圖，將△ADF繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)，使AD與AB重合，易證△ADF≌△ABG，故∠DAF=∠BAG，AF=AG，DF=BG，由2∠EAF=∠BAD得∠EAF=∠EAG，從而得△AEF≌△AEG，易得證；②不成立.如圖，將△ADF繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)，使AD