2022年甘肅省隴南市高考數(shù)學診斷試卷（理科）（學生版+解析版）

2022年甘肅省隴南市高考數(shù)學診斷試卷（理科）

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

1.（5分）己知集合4={忒仄-2>1},-%-6<0},則4nB=（）

A.{x|l<x<3}B.{A|1<X<2}C.{X\-2<x<]}D.{A:|-3<x<l}

2.（5分）已知復數(shù)z滿足（z-2）（1+。=1-3i,則復數(shù)z在復平面內(nèi)所對應的點位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.（5分）已知等差數(shù)列{“"}滿足420-422=2,411011=1012,則42022=（）

A.0B.1C.2D.2023

4.（5分）某班班主任為了了解該班學生寒假期間做家務勞動的情況，隨機抽取該班15名

學生，調(diào)查得到這15名學生寒假期間做家務勞動的天數(shù)分別是8,15,20,21,19,19,

10,6,20,23,這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù)分別是（）

A.18,20B.18.5,20C.19,20D.19.5,20

5.（5分）數(shù)學與建筑的結(jié)合造就建筑藝術(shù)品，如吉林大學的校門是一拋物線形水泥建筑物，

如圖.若將該大學的校門輪廓（忽略水泥建筑的厚度）2QW0）的一部分，且點A（2,

-2）在該拋物線上（）

c.（0,D.（0,一）

4o

6.（5分）新高考按照“3+1+2”的模式設置，其中“3”為語文、數(shù)學、外語3門必考科目,

“1”由考生在物理、歷史2門科目中選考1門科目，則學生甲選考的科目中包含物理和

生物的概率是（）

A.AB.Ac.AD.A

6432

7.（5分）已知A是函數(shù)f（x）SsinOJx（3〉0）圖象的一個最高點,B,C為直線丫=返

y2

（x）圖象的兩個相鄰的交點，若存在8,C,則3=（）

A.2B.2C.22LD..

333

8.（5分）在高為3的直三棱柱ABC-AiBiCi中，AABC是以C為直角的等腰三角形，且

A8=2&iCi的中點，M為線段BC上的動點，則AM+MD的最小值為（）

A.3+75B.726C.2+/10D.5

9.（5分）折扇又名“撒扇”“紙扇”，是一種用竹木或象牙做扇骨，韌紙或綾絹做扇面的能

折疊的扇子，其中乙4。8=120°,0A=2OC=2而上，則就?前的最小值是（）

A.-1B.1C.-3D.3

10.（5分）設a=2e?2,b—e02,c—1.2,則（）

A.a〈b〈cB.b<c<aC.b<a<cD.c〈b<a

22

11.（5分）已知雙曲線E：2__?_=i（a>0,b〉0）的左焦點為凡過點F的直線/垂

直于雙曲線E的一條漸近線，直線/與雙曲線E交于點N,且祁=3屈，則雙曲線E的

離心率為（）

A.V2B.V3C.D.V5

2

12.（5分）若存在正實數(shù)x,y,使得等式4x+〃（y-3e2x）Clny-live）=0成立，其中e為

自然對數(shù)的底數(shù)（）

A.（0,~y］B.[-4,4CO）

ee

C.（-8,o）D.（-8,O）U[A-,Q）

e

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上.

13.（5分）己知函數(shù)/（x）=ar3-2b/+x是定義在［2a+l,3-a］上的奇函數(shù),則a+b=.

14.（5分）（x-1）（2r-1）6的展開式中項的系數(shù)是.（用數(shù)字作答）

15.（5分）已知數(shù)列｛斯｝的前n項和為Sn,且2Sn=3an-2n,若am>729,則m的最小值

是

16.（5分）數(shù)學中有許多形狀優(yōu)美、寓意獨特的幾何體，“勒洛四面體”就是其中之一.勒

洛四面體是以正四面體的四個頂點為球心，以正四面體的棱長為半徑的四個球的公共部

分.如圖，正四面體ABCD的棱長為4,則該勒洛四面體內(nèi)切球的半徑是

三、解答題：共70分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟，17?21題為必

考題，每個試題考生都必須作答.第22,23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：

共60分.

17.（12分）在△4BC中，內(nèi)角4,B,C的對邊分別為a,b,eg平疝.記

（1）求角A的值；

（2）延長AC至點。，使得CQ=AC,且BQ=2BC,求AABC的周長.

18.（12分）如圖，四邊形A5co是圓柱的軸截面，O',EF是底面圓的一條直徑，DE=

DF.

（1）證明：EFLAB；

（2）若2A￡>=JEAB,求平面BCF與平面CDE所成銳二面角的余弦值.

19.（12分）為了讓人民群眾過一個歡樂祥和的新春佳節(jié)，某地疫情防控指揮部根據(jù)當?shù)匾?/p>

情防控工作部署，安排4名干部和三個部門（4,B,C）,其中16名職工分別是A部門8

人，B部門4人

（1）若從這16名職工中選出4人作為組長，求至少有2個組長來自A部門的概率；

（2）若將這4名干部隨機安排到四個高速路口（假設每名干部安排到各高速路口是等可

能的，且各位干部的選擇是相互獨立的），記安排到第一個高速路口的干部人數(shù)為X,求

隨機變量X的分布列和數(shù)學期望.

20.(12分)已知橢圓C：三-+H_=1(。＞人＞0)的左、右焦點分別為尸1,F2,橢圓C的

a2b次

離心率小于喙.點P在橢圓C上，|PF||+|PF2|=4,且△PFIF2面積的最大值為我.

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)點M(l,1),A,8是橢圓C上不同的兩點，點N在直線/：3x+4y-12=0上，且

NAAli.NB=nBM)試問人+口是否為定值？若是；若不是，請說明理由.

21.(12分)已知函數(shù)/(x)—e'^+x-xlnx(m^O).

(1)當〃7=1時，求/(x)在［1；

(2)設函數(shù)/(X)的導函數(shù)為/(x),討論了(x)

(二)選考題：共10分，請考生從第22,23兩題中任選一題作答.如果多做，則按所做

的第一個題目計分.［選修4-4：坐標系與參數(shù)方程］

22.(10分)在平面直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為'(支為參數(shù)),

ly=3sinO.

以坐標原點0為極點，直線/的極坐標方程是pcos0-psin0+4—0.

(I)求曲線C的普通方程和直線/的直角坐標方程；

(2)已知P,。分別是曲線C和直線/上的動點，求|尸。|的最小值.

［選修4-5：不等式選講］(10分)

23.已知函數(shù)/(x)=|2x+a|+|函-3|.

(1)當“=1時，求不等式f(x)＜尤+7的解集；

(2)若關于x的不等式/(x)21恒成立，求。的取值范圍.

2022年甘肅省隴南市高考數(shù)學診斷試卷（理科）

參考答案與試題解析

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

1.（5分）已知集合A={x|3x-2>1},B={x\x1-x-6<0},則4nB=（）

A.{x|l<x<3}B.{A|1<X<2}C.{x|-2<x<l}D.{x\-3<x<l}

【解答】解：：A={x|3x-2>8}={x|x>l},

B—[xix1-x-2<0}={x|-2<x<3},

，AnB={x|l<x<3},

故選：A.

2.（5分）已知復數(shù)z滿足（z-2）（l+i）=l-3i,則復數(shù)z在復平面內(nèi)所對應的點位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【解答】解：由復數(shù)z滿足（z-2）（1+0=2-3。

則z=^j^+2=（5Ti；（IT）+2=l-4i，

l+i4

則復數(shù)Z在復平面內(nèi)所對應的點的坐標為（1,-2）,

則復數(shù)z在復平面內(nèi)所對應的點位于第四象限，

故選：D.

3.（5分）已知等差數(shù)列{。"}滿足420-422=2,411011=1012,則42022=（）

A.0B.1C.2D.2023

【解答】解：在等差數(shù)列{如}中,由。20-。22=2,得2d=-6.

.".a2O22=aion+lOl1J=1012-1011=L

故選：B.

4.（5分）某班班主任為了了解該班學生寒假期間做家務勞動的情況，隨機抽取該班15名

學生，調(diào)查得到這15名學生寒假期間做家務勞動的天數(shù)分別是8,15,20,21,19,19,

10,6,20,23,這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù)分別是（）

A.18,20B.18.5,20C.19,20D.19.5,20

【解答】解：將這組數(shù)據(jù)按一定順序排列為6,8,10,16,18,19,20,21,25,

則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù)分別是19,20,

故選：C.

5.（5分）數(shù)學與建筑的結(jié)合造就建筑藝術(shù)品，如吉林大學的校門是一拋物線形水泥建筑物，

如圖.若將該大學的校門輪廓（忽略水泥建筑的厚度）2（aWO）的一部分，且點A（2,

c.（0,十）D。（0,T）

O

【解答】解：???點4（2,-2）在拋物線上5,

2

??.拋物線方程為）=-g八-2y,2P=8,￡=_1,

222

，焦點坐標為（0,--）,

8

故選：A.

6.（5分）新高考按照“3+1+2”的模式設置，其中“3”為語文、數(shù)學、外語3門必考科目，

“1”由考生在物理、歷史2門科目中選考1門科目，則學生甲選考的科目中包含物理和

生物的概率是（）

A.AB.Ac.AD.A

6432

c1c%6

【解答】解：由題意可得，學生甲選考的科目中包含物理和生物的概率P=.1,5c.

8

故選：B.

7.（5分）已知A是函數(shù)f（x）=?sin3x（3〉0）圖象的一個最高點,B,C為直線丫=返

y2

（x）圖象的兩個相鄰的交點，若存在2,C,則3=（

D.呼

【解答】

解：令V^sin3x=義或

3

則方程在［0,三］的解為」L,32L

36363

由△ABC是等邊三角形,

故選：c.

8.（5分）在高為3的直三棱柱ABC-4B1C1中，△ABC是以C為直角的等腰三角形，且

AB=2&ICI的中點，M為線段BC上的動點，則AM+MZ）的最小值為（）

A.3+75B.726C.2+-/10D.5

【解答】解：將等腰直角△ABC翻折到矩形BCC向共面，如圖,

AM+MD的最小值為AD,

,:AC=BC=1Mx—=2>。。=4,

3

；.■￡>=4（2+3）3+J.2=V26>

C.AM+MD的最小值為/謝.

故選：B.

9.（5分）折扇又名“撒扇”“紙扇”，是一種用竹木或象牙做扇骨，韌紙或綾絹做扇面的能

折疊的扇子，其中NAO8=120°,OA=2OC=2CD上,則證,質(zhì)的最小值是（）

A.-1B.1C.-3D.3

【解答】解：建立如圖所示平面直角坐標系，

則B(2,0),日)，E(cos。."),

3

故EA=(-5-cos0,V3>EB=(2-cos0,

則麗稀=(-8-COS0)(2-cose)+(V3

=-2+COS20-cos0-5/SsinQ+sin3S

TT

=-2+1-4sin(04--)

6

jr

=-2sin(0+—)-1,

4

故當o+工=2L,即o=?L時，

633

瓦?而有最小值-2-4=-3,

D.c<b<a

【解答】解：???。=2/°3,b=e°,2

???妨a=-2.2+/〃2,加8=8.2,

：.lna-lnb=-0.5+/n2>-0.3+/〃“=-0.4+7.5=0.3>0,

:?lna>lnb,

?*cib，

設fG)="-(x+l),

:?f(x)="-6,

當x>0時，f(x)>0,

當xV6時，f(x)<0,

：.f(x)2/(0)=1-(5+1)=0,

?V(8.2)>0,

即e7-2-(0.6+1)>0,

即e72>1.6,

：.b>c,

.,.a>b>c.

故選：D.

22

11.(5分)已知雙曲線E：￥-%=l(a>0，b〉0)的左焦點為凡過點尸的直線/垂

直于雙曲線E的一條漸近線，直線/與雙曲線E交于點N,且而=3而，則雙曲線E的

離心率為()

A.V2B.V3C.D.疾

2

【解答】解：設M在漸近線產(chǎn)=一且x上，

a

則直線EW的方程為尸=包(x+c),

b

(_(2

(x+c)x=-^—

聯(lián)立方程《，解得,,

b_ab

y--xy=

ac

2,

：.M(,辿)，

cc

又：同=5而，d-+6c，辿)，

?.?點N在雙曲線上,

/Q5Q2\2Q2

.k2c-3a)8a

=2,

a2c2c2

化簡得4c2=1346,

?*V—?-')

a2

故選：C.

12.(5分)若存在正實數(shù)x,y,使得等式4x+a(y-3e2x)Uny-Inx)=0成乂，其中e為

自然對數(shù)的底數(shù)()

A.(0,4]B-\~2>-HOO)

ee

C.(-8,o)D.(-oo,o)u/，一)

e-

【解答】解：由4x+〃(y-3e2x)Clny-bvc)=0得4%+〃(廠4入)加工=0,

x

即5+o(工-3?2)加工=6,

XX

設/=工，則/>(),

X

則4+。(r-3e2)lnt=0,

即([-3?2)/川=-2有解，

a

設g(r)=Ct-2e2)Int,

則g'(z)=/WF-t一為增函數(shù),

t

Q2

???g'(?)=/n?+3-2?—=2+1-5=0,

68

e

.??當時，gf(/)>2,

當OV/V/時，g，(Q<3,

,當f=及時,函數(shù)g(r)取得最小值g(e2)=(e7-3e2)lne1=-4e2,

即g(/)2g(e2)=-4e2,

若(f-3/)碗=-2有解，

a

則-22-4昌即或昌

aa

??.。<0或介工

2

e

故選：D.

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上.

13.(5分)已知函數(shù)f(x)=加-2蘇+%是定義在［2〃+1,3-4］上的奇函數(shù)，貝!|a+b=2.

4.

【解答】解：函數(shù)/(x)=0?-2版4+、是定義在［2a+1,3-網(wǎng)上的奇函數(shù)，

可得2“+1+4-a=0,解得a=-4,

又/(-x)=-f(x),可得b=8,

所以a+b--4.

故答案為：-4.

14.(5分)(x-1)-1)6的展開式中N項的系數(shù)是220.(用數(shù)字作答)

【解答】解:展開式中含X3的項為xX以(2x)2,(-5)4-IX￡(2x)7.(-1)33,

所以V的系數(shù)為220,

故答案為：220.

15.(5分)已知數(shù)列｛所｝的前n項和為Sn,且2s=3z-2n,若a,”>729,則m的最小值

是7

【解答】解：當〃=1時，2a8=3ai~5,解得m=2；

當〃》6時，?：2Sn=3anYm,

2Sn-i=8?！?1~2(n-5)f

兩式相減，整理得。〃=33」+6,

??〃〃+1=3(a〃-4+1),

又=3#6,

???｛版+1｝是以3為首項，8為公比的等比數(shù)列，

n-1n>

?'-an+l=3X4=3

n

an=3-l-

令am=3m-7>729，

解得機》7.

又；，

???，"的最小值是7,

故答案為:4.

16.（5分）數(shù)學中有許多形狀優(yōu)美、寓意獨特的幾何體，“勒洛四面體”就是其中之一.勒

洛四面體是以正四面體的四個頂點為球心，以正四面體的棱長為半徑的四個球的公共部

分.如圖，正四面體A8C。的棱長為4,則該勒洛四面體內(nèi)切球的半徑是_4-旄

【解答】解：由題意知：該勒洛四面體內(nèi)切球的球心即為正四面體B8CZ）的中心。，且

該勒洛四面體內(nèi)切球與勒洛四面體相切，

并連接。4,OE,0D

顯然，A,O,E三點共線,

所以點4到平面BCD的距離72_2由2_（喑2=嚶

h=ABr

設OA=x,則/=Ch-x）2+J,

代入數(shù)據(jù)，解得：x=V2.即0A=&，

所以該勒洛四面體內(nèi)切球的半徑為0E=AE-0A=4-A歷，

故答案為：

三、解答題：共70分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟，17?21題為必

考題，每個試題考生都必須作答.第22,23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：

共60分.

17.（12分）在△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,岑■藤,正.

（1）求角4的值;

(2)延長AC至點。，使得CQ=AC,且BD=2BC,求aABC的周長.

【解答】解：(1)ZVIBC的面積靛.正.得邑csinA=1,

223

.,.tanA=代，V0<A<TT2L;

6

(2)在△ABO中，由余弦定理有

22

.?.4/=36+4廬-2X6X26X&,：.a^3+b-3b@,

2

*/ZACB^-ZBCD=TircosZACB+cosZBCD=4,

2.,22.,22

...a+b-36+a+b-7a=52一/=一跳②，

8ab2ab

由①②解得。=8,a=3{,

???△ABC的周長為15+7我.

18.（12分）如圖，四邊形A3C。是圓柱的軸截面，O',EV是底面圓的一條直徑，DE=

DF.

（1）證明：EF±AB；

（2）若求平面8CF與平面C￡>E所成銳二面角的余弦值.

【解答】解：（1）證明：連接。0,

因為。E=OF.EF是底面圓的一條直徑，

所以￡>OJ_EF,因為A。是圓柱的母線，

所以4￡>_LE凡因為OOCAO=。，ABCD,

所以EFJL平面ABCD,ABu平面ABCD,

：.EF±AB；

(2)以。為坐標原點，。￡00'所在直線為坐標軸建立如圖所示的空間直角坐標系,

設AB=2,則尸（1,5,B（0,1,C（4,1,代），-7,如）,0,2）,

所以而=(1,0),BC，7,M),ED=(1,匹),EC=(1,1,夜),

設平面BCF的一個法向量為扇=(X，y，

則??號x-y=0，令產(chǎn)1,z”

npBC=V3z=3

平面2CF的一個法向量為亟=(4,1,

設平面OEC的一個法向量為、=(a,b,

則付空a-bW^c=3,令ea=-a,

m?EC=a+b+>/3c=0

所以平面DEC的一個法向量為；=(-，§,5,

所以cosV、，,>=_m?n_=愿,

ImI*Ini71+7XA/3+14

所以平面BCF與平面COE所成銳二面角的余弦值為限.

19.(12分)為了讓人民群眾過一個歡樂祥和的新春佳節(jié)，某地疫情防控指揮部根據(jù)當?shù)匾?/p>

情防控工作部署，安排4名干部和三個部門(4,B,C),其中16名職工分別是4部門8

人，B部門4人

(1)若從這16名職工中選出4人作為組長，求至少有2個組長來自A部門的概率；

(2)若將這4名干部隨機安排到四個高速路口(假設每名干部安排到各高速路口是等可

能的，且各位干部的選擇是相互獨立的)，記安排到第一個高速路口的干部人數(shù)為X,求

隨機變量X的分布列和數(shù)學期望.

【解答】解：（1）至少有2個組長來自A部門共有3種情況：有3個組長來自A部門,

有3個組長來自A部門.

C2c7+C3c1+C7

設事件A表示“至少有2個組長來自A部門”，則P（A）=工§__"一鼠=字_

C2*4*130

16

（2）由題意可得：X的可能取值為0,3,2,3,8.

P(X=k)=c：g)k(_1_)2-k,%=o,1,5,3,依照s4=_81_)p(X=l)=「1

,256

xAx(3)4=JO：勺5￡,p(x=3)=上__L.

7256256256256

可得X的分布列

8cnbsp\X&nhsp;7 \1 2&〃加p;3 4

 \P :*1&〃加〃；.I。1 54128cnbsp\——

256256256256256

E(X)=6X」=3.

4

20.（12分）已知橢圓C：3丁+2_=1（。＞匕＞0）的左、右焦點分別為乃，F(xiàn)2,橢圓C的

a2b,2

離心率小于亞.點尸在橢圓C上，|PF||+|PF2|=4,且△PFIF2面積的最大值為e.

2

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）點M（l,1）,A,3是橢圓C上不同的兩點，點N在直線/：3x+4y-12=0上，且

一版，試問人+N是否為定值？若是；若不是，請說明理由.

【解答】解：（1）\PFi\+\PF2\=2=2a,a=2,則

當P為上頂點或下頂點時,，△PF3F2的面積最大，4-X2cXb=bc=V3,

bc=V2

由，4=b2+c8^Wb=V3,c=2.

23

所以橢圓C的方程為江上

43

（2）由于欣=入高，NB=HBM,所以A,M,N,

72

由（1）得橢圓C的方程為-J^=],故M（l,

47

所以直線A/N與橢圓必有兩個交點A,B,不妨設A在MN之間,

當直線MN的斜率不存在時，直線的方程為x=8,

B+4-7=y=±3即A(5,"I"),B(6,等),

2+4y-12=0即N(l，

由NA二人AM，NB二NBM得(0,=X(0,^-),(0,~^-)=|1(0,-y-),

所以入手|i=-A,X+|l=0.

當直線MN的斜率存在時，設直線"N的方程為y-2=A(x-1),

y-l=k(x-2)

由1v*2V2消去y并化簡得(5+43)x3+(8左-8內(nèi))X+4d-2%-8=0,

AJf

3k2-8k5k2-8k-8

xA+xR=-----2xAxR=----------E-

B8+4kAB3+4k5

y-i=k(x-i)解得當生

由

3x+4y-12=0N4k+7

*一.

由NA二人AM，NB=WBM得XA-XN=X(XM-XA),XB-XN=|iCXM-XB\

所以入+N=￡&31=工^31

XM-XAXM-XB1-XA1-XB

=XN(XA+XB-7)-2XAXB+(XA+XB)

xAxB-(xA+xB)+1

999

6k+8,8k-8k3k-8k-2,8k-3k、

,Xv(g--Z)-2n.vX7-(E-)

4k+7n3+4k83+4k63+4k‘

4k2-3k-88k6-8k.,

------2——z(----r)+1

3+33+6k」

-6k-16.8k+16

^3+4k453+8k2

5

3+4k2

綜上所述，入+”為定值.

21.（12分）已知函數(shù)/（無）=e,tLX+x-xlnx（/n0）.

(1)當m=l時,求/(%)在口;

(2)設函數(shù)/(x)的導函數(shù)為/(x),討論了(x)

【解答】解：(1)當m=l時，f(x)=ex+x-xlnx,x6［l.

f'(x)-lnx=g(x),

gr(x)--=u(x)在在［1.

X

，(1)=e-1>3,：.gf(x)>0,

：.g(x)在陽1,e］上單調(diào)遞增，

：.f(x)=g(x)>8,

??.函數(shù)f(x)x6［l,e］上單調(diào)遞增，

x=l時，函數(shù)f(x)取得最小值；

x=c時，函數(shù)/(%)取得最大值-e=c，

.V(x)在［5,e］上的值域為［e+1,ee］.

(2)函數(shù)/(x)=^+x-xlnx(機20),xG(5.

f(x)=mefnx+\~Inx-\=tnemx-Inx,

①6=2時，f(x)=l+x-xlnx,+8).

f(x)=-/心在在(0,+8)上單調(diào)遞減.

：.f(x)在在(4,+8)上存在唯一零點1.

②相>0時，f(x)=memx-lnx=h(x),

h'(X)=，"7/r一」在xe(0.

X

%f5時，hf(x)-8,hf(%)f+8.

???存在唯——；《)€(0,+°°)6mx0=—k-,2/zwi+〃rto=-/〃X4,

x8

使得函數(shù)〃(x)在(0,xo)上單調(diào)遞減，在(K,+8)上單調(diào)遞增.

即x=xo時，函數(shù)〃（X）取得極小值即最小值,

mx

h(xo)—mp2-lrvco=—--+nvco+2lnm,

mx^

*/—--+如026,當且僅當一-_6,即mxo=l時取等號.

IRXQmXg

加>旦時，h(刈)>2+7歷工=0,+8)上不存在零點.

ee