2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)之基本初等函數(shù)

2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)之基本初等函數(shù)

一.選擇題(共12小題)

1.(2021?豐臺區(qū)模擬)已知函數(shù)/(x)=2、下列說法正確的是()

A.fGnn)=f(m)f(n)B.fCmn)=/()%)+f(n)

C.f(m+n)=f(m)+f(n)D.f(〃z)f(n)=f(m+n)

2.(2021?沈陽三模)已知(1,2),a=2x2,/?=(2A)2,0=22工，則a,b,c的大小

關(guān)系為()

A.a>b>cB.b>c>aC.b>a>cD.c>a>b

3.(2019?宜賓模擬)若函數(shù)f(x)=2Xav+m-n(a>0,且的圖象恒過點(-I,4),

則m+n=()

A.3B.1C.-1D.-2

4.(2020?東城區(qū)模擬)春天來了，某池塘中的荷花枝繁葉茂，已知每一天原有的加上新長

出的荷葉覆蓋水面面積是前一天的2倍，若荷葉20天可以完全長滿池塘水面，則當(dāng)荷葉

剛好覆蓋水面面積一半時，荷葉已生長了()

A.10天B.15天C.19天D.2天

5.(2021?西湖區(qū)校級模擬)已知3“=5^=15,則a,b不可能滿足的關(guān)系是()

A.a+b—abB.a+b>4

C.(?-1)2+(Z?-1)2<2D.$+戶>8

6.(2021?香坊區(qū)校級模擬)已知2"=5。=50,工哈=1，則整數(shù)〃的值為()

A.-1B.1C.2D.3

7.(2021?諸暨市模擬)已知x,y為正實數(shù)，則(）

A.lg=(Igx)2+lgyB.lg（x*Vy）=1sx+y1gy

lnx+ln

C.ey=x+yD.bxx-lny=

8.(2021?廣東模擬)如圖，直線x=f與函數(shù)f(x)=k)g3x和g(x)=log3x-l的圖象分

別交于點A,B,若函數(shù))，=/(%)的圖象上存在一點C,使得△ABC為等邊三角形，貝h

的值為()

XN

，⑸Tog,x

/W-togjX-l

33

A.M+2B.^~C.3、n+3D.3V3+3

224

9.(2021?浦東新區(qū)校級三模)若f(x)=2，+3(x6R),則y=f?(x)的定義域是()

A.RB.(5,+8)C.(3,+8)D.(0,+°O)

10.(2021?皇姑區(qū)校級模擬)已知募函數(shù)/(x)=(/n12-2/?-2)92-2在(0,+~)上為

增函數(shù)，則實數(shù)，〃的值是()

A.-1B.3C.-1或3D.1或-3

11.(2021?宜春模擬)已知嘉函數(shù)/(x)=的圖象過點(〃?，8).設(shè)“=/(2°3),

b—f(0.32).c—f(log20.3)>則a,b,c的大小關(guān)系是()

A.b<c<aB.a<c<bC.a<b〈cD.c<b<a

12.（2019?榆林一模）已知定義域為R的偶函數(shù)f（x）在（-8,0］上是減函數(shù)，且f

=2,則不等式/（log。）>2的解集為（）

A.（0,y）U（2,+8）B.（2,+8）

C.（0,喙4c°）D.（0,

二.填空題（共5小題）

13.（2021?黃浦區(qū)校級三模）函數(shù)f（x）=JR］（x>0）的反函數(shù)為（X），f'（3）

1

14.（2021?成都模擬）計算8一行占g_iog3的值為__________________.

Ig22

15.（2021?重慶模擬）己知哥函數(shù)），=（m2-3機-3）/在（0,+8）上單調(diào)遞減，則m=.

16.（2021?呼和浩特模擬）已知m。均為正實數(shù)，且滿足（1）〃=log2m2"=log1/2,則

2工

2

下面四個判斷：

①（a-b）>0；

②2人〈1；

③-工〉」；

ab

@log2?>0>log2/?.

其中一定成立的有(填序號即可).

17.(2021?嘉定區(qū)二模)已知函數(shù)/(x)=2+log“(x+1)(a>0,且a￥l).若y=/(x)的

反函數(shù)的圖象經(jīng)過點(1,2),則〃=.

三.解答題(共5小題)

18.(2019?上海模擬)己知函數(shù)f(x)=10g(9-3X)(。>°，e).

(1)若函數(shù)fG)的反函數(shù)是其本身，求a的值；

(2)當(dāng)2△時，求函數(shù)y=/(x)+f(-x)的最小值.

4

19.(2020?普陀區(qū)二模)設(shè)函數(shù)/(x)=/3'-I'-24x<°是偶函數(shù).

g(x),0<x《m

(1)求實數(shù)加的值及g(x);

(2)設(shè)函數(shù)g(x)在區(qū)間［0,，川上的反函數(shù)為gi(x),當(dāng)g"(2)>log“2(”>0且

5

QW1)時，求實數(shù)4的取值范圍.

20.(2021春?工農(nóng)區(qū)校級期末)化簡并求值：

___________J_2_

⑴寸(兀岑)"(捐)2+(-8)3+80-25XV2;

V44V

ln2

(2)5-log89*lo§278+?-

21.(2021春?聊城期末)已知函數(shù)f春)=1)涼<2+加是基函數(shù)3R),且

/⑴</(2).

(1)求函數(shù)f(x)的解析式；

(2)試判斷是否存在實數(shù)匕，使得函數(shù)g(x)=3-/(x)+2"在區(qū)間［-1,1］上的最大

值為6,若存在，求出b的值；若不存在，請說明理由.

22.(2020秋?撫州期末)已知基函數(shù)/(X)=(必+k-1)/2一八1+公，且/(2)<f(3).

(1)求實數(shù)上的值，并寫出相應(yīng)的函數(shù)f(x)的解析式；

(2)對于(1)中的函數(shù)/(X),試判斷是否存在正數(shù)相，使函數(shù)g⑴=1-/(X)+2mx,

在區(qū)間［0,1］上的最大值為5,若存在，求出〃?的值；若不存在，請說明理由.

2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)之基本初等函數(shù)

參考答案與試題解析

一.選擇題(共12小題)

I.(2021?豐臺區(qū)模擬)已知函數(shù)/(x)=2',下列說法正確的是()

A.f(，〃〃)=/(m)f(?)B.f(mn)=f(m)+f(〃)

C.fCm+n)—f(w)+f(-n)D.f(/n)f(n)—fCm+n)

【考點】指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì).

【專題】函數(shù)思想；定義法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算.

【分析】利用函數(shù)解析式的含義以及指數(shù)的運算性質(zhì)進行判斷即可.

【解答】解：因為/(x)=23

所以=2mn,而/(，")/(〃)=2ffl?2n=2m+,,=/(w+?),

故選項A,B錯誤,選項。正確；

f(m+n)=2m+n/(m)+f(n)=2"'+2",故選項C錯誤.

故選：D.

【點評】本題考查了函數(shù)解析式的理解和應(yīng)用，指數(shù)運算性質(zhì)的應(yīng)用，考查了化簡運算

能力，屬于基礎(chǔ)題.

2.(2021?沈陽三模)已知(1,2),a=2x"b=(2X)2,c=22、，則a,b,c的大小

關(guān)系為()

A.a>b>cB.b>c>aC.b>a>cD.c>a>b

【考點】指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)；指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點.

【專題】函數(shù)思想；轉(zhuǎn)化法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學(xué)抽象.

【分析】根據(jù)(1,2)時/<2*,判斷a<c；根據(jù)xW(1,2)時判斷匕>c；

由此得出a,b,c的大小關(guān)系.

【解答】解：xG(1,2)時，/<2、，所以2X2<22'，即a<c；

又(2D2=22\xG(1,2),2x>2x,所以2次〉？？*，即b>c；

所以a,b,c的大小關(guān)系為b>c>a.

故選：B.

【點評】本題考查了利用函數(shù)的單調(diào)性判斷數(shù)值大小的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題.

3.（2019?宜賓模擬）若函數(shù)/（x）=2X,產(chǎn)（”>0,且的圖象恒過點（-1,4）,

則m+n—（）

A.3B.1C.-1D.-2

【考點】指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.

【分析】根據(jù)題意利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和特殊點可得/n-1=0,且求

得和N的值，可得〃]+"的值.

【解答】解：；函數(shù)/（x）=2義戶，"-〃（?>0,且“WD的圖象恒過點（-1,4）,...

m-1=0,且2"""-〃=4,

解得〃?=1,n--2,.,.m+n--1,

故選：C.

【點評】本題主要考查指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和特殊點，屬于基礎(chǔ)題.

4.（2020?東城區(qū)模擬）春天來了，某池塘中的荷花枝繁葉茂，已知每一天原有的加上新長

出的荷葉覆蓋水面面積是前一天的2倍，若荷葉20天可以完全長滿池塘水面，則當(dāng)荷葉

剛好覆蓋水面面積一半時，荷葉已生長了（）

A.10天B.15天C.19天D.2天

【考點】指數(shù)函數(shù)的實際應(yīng)用.

【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.

【分析】由題意設(shè)荷葉覆蓋水面的初始面積，再列出解析式，并注明x的范圍，列出方

程求解即可.

【解答】解：設(shè)荷葉覆蓋水面的初始面積為。，則x天后荷葉覆蓋水面的面積

（xGN+）,

根據(jù)題意,令2（a-2x）=a?220,解得x=19,

故選：C.

【點評】本題考查了指數(shù)函數(shù)在實際生活中的應(yīng)用，關(guān)鍵是將信息提取出來，列出函數(shù)

的解析式.

5.（2021?西湖區(qū)校級模擬）已知3"=5。=15,則“，"不可能滿足的關(guān)系是（）

A.a+b=abB.a+b>4

C.(67-1)2+(/>-1)2<2D.fz2+Z?2>8

【考點】指數(shù)式與對數(shù)式的互化.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；邏輯推理；數(shù)學(xué)運算.

【分析】利用指數(shù)的運算性質(zhì)，得到ab=a+b,然后利用基本不等式以及不等式的性質(zhì)

對四個選項逐一分析判斷即可.

【解答】解：因為3。=5，=15,

所以(3。)75九(5b)。=15。,

所以3必=15"5M=15",

則(15)ab=i5a+b,

所以ah=a+b,故選A正確；

因為ab=a+b>2j^,因為aWh,

所以ab>2j^,解得〃+6=出?>4,故選項8正確；

因為(?-1)2+(fe-1)2=a2+h2-2Ca+h)+2>2ah-2Ca+b)+2>2,故選項C錯誤;

因為/+房>2">8,故選項。正確.

故選：C.

【點評】本題考查了指數(shù)的運算性質(zhì)的應(yīng)用，基本不等式的運用，考查了邏輯推理能力

與化簡運算能力，屬于中檔題.

6.(2021?香坊區(qū)校級模擬)已知2。=5。=50,上哈=1則整數(shù)〃的值為()

A.-1B.1C.2D.3

【考點】指數(shù)式與對數(shù)式的互化；對數(shù)的運算性質(zhì).

【專題】計算題；函數(shù)思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算.

【分析】先把指數(shù)式化為對數(shù)式求出。，b的值，再代入工嚀>=1利用對數(shù)的運算性質(zhì)

化簡，即可求出，7的值.

【解答】解：由2。=5"=50,可得〃=log250,匕=log550,

,?工盧=1,

ab

?1.n1

??二］，

log250log550

，log5o2+川Og505=1,

n

??log5Q2+log505=l'

An

log50（2X5）=r

.\2X5W=5O,

解得/?—2,

故選：C.

【點評】本題主要考查了對數(shù)式與指數(shù)式的互化，考查了對數(shù)的運算性質(zhì)，是基礎(chǔ)題.

7.(2021?諸暨市模擬)已知x,y為正實數(shù)，貝U()

A.1g(??>')=Ugx)2+lgyB.lgG?石)=lgx《lgy

C.e,nx+,ny=x+yD.elnx'lny=xy

【考點】對數(shù)的運算性質(zhì).

【專題】方程思想；定義法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算.

【分析】利用對數(shù)、指數(shù)的性質(zhì)、運算法則直接求解.

【解答】解：x,y為正實數(shù),

對于4,1g（/?）?）=/g/+/gy=2/gx+/gy,故A錯誤;

對于B,lg（x*Vy）=Igx+lgy/y—如+/1gy,故B正確;

對于C,/w+出=e加?e?=孫,故C錯誤；

對于。，xy=elnx-elny=el,Lx+'ny,故￡>錯誤.

故選：B.

【點評】本題考查了對數(shù)、指數(shù)的運算性質(zhì)，考查對數(shù)、指數(shù)的性質(zhì)、運算法則等基礎(chǔ)

知識，是基礎(chǔ)題.

8.(2021?廣東模擬)如圖，直線x=，與函數(shù)/(x)=log3x和g(x)=log3x-1的圖象分

別交于點A，B,若函數(shù)y=/(x)的圖象上存在一點C,使得△ABC為等邊三角形，則/

的值為()

哂+3加+3

D?---------------------L?--------------------D.3V3+3

-警24

【考點】對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì).

【專題】函數(shù)思想；轉(zhuǎn)化法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算.

【分析】求出A,B的坐標(biāo)，設(shè)出C的坐標(biāo)，根據(jù)中點坐標(biāo)公式求出f的值即可.

【解答】解：由題意A(blog3f),B(610g3Z-1),\AB\—\,

設(shè)C（x,log3x）,因為△4BC是等邊三角形,

所以點C到直線AB的距離為所以t-X=烏'X=t一亭，

根據(jù)中點坐標(biāo)公式可得1。g3（t半）J0g3t+：og3t-l=］。g31,t

1工=1。83萬

所以解得t=3E+3,

2V34

故選：C.

【點評】本題考查了對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，考查中點坐標(biāo)公式，是中檔題.

9.（2021?浦東新區(qū)校級三模）若/（x）=2，+3（底R）,貝Iy=f］（x）的定義域是（）

A.RB.（5,+8）C.（3,+8）D.（0,+°0）

【考點】函數(shù)的定義域及其求法；反函數(shù).

【專題】函數(shù)思想；定義法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；邏輯推理；數(shù)學(xué)運算.

【分析】利用反函數(shù)的定義域即為原函數(shù)的值域，求解/（尤）的值域，即可得到答案.

【解答】解：y=fl（x）的定義域即為函數(shù)『CO的值域，

因為2*>0,則/（x）>3,故f（x）的值域為（3,+8）,

所以（X）的定義域是（3,+8）.

故選：C.

【點評】本題考查了反函數(shù)的理解和應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握反函數(shù)與原函數(shù)之間的關(guān)

系，即反函數(shù)的定義域即為原函數(shù)的值域，屬于基礎(chǔ)題.

10.（2021?皇姑區(qū)校級模擬）已知幕函數(shù)/（x）=（瘍-2加-2）92-2在（0,+~）上為

增函數(shù)，則實數(shù)，”的值是（）

A.-1B.3C.-1或3D.1或-3

【考點】塞函數(shù)的概念、解析式、定義域、值域；塞函數(shù)的性質(zhì).

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)據(jù)分析.

【分析】由題意利用募函數(shù)的定義和性質(zhì)，可得病一2m-2=1,且nr-2>0,由此求

得m的值.

【解答】解：???基函數(shù)/(了)=(加2-2〃?-2)XJR2-2在(0,+8)上為增函數(shù)，

J.m2-2m-2=1,且m2_2>0,求得帆=3,

故選：B.

【點評】本題主要考查暴函數(shù)的定義和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

11.(2021?宜春模擬)已知事函數(shù)/(X)=(w-1)/的圖象過點(機，8).設(shè)(2°，3),

fe=/(0.32),c=/(log20.3),則a,b,c的大小關(guān)系是()

A.b<c<aB.a<c<bC.a<b<cD.c<b<a

【考點】基函數(shù)的概念、解析式、定義域、值域；幕函數(shù)的性質(zhì).

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算.

【分析】利用罌函數(shù)的定義，先求出/(x)的解析式，可得八氏c的值，從而判斷a,

b,c的大小關(guān)系.

【解答】解：?.?累函數(shù)f(x)=/的圖象過點(加，8),

.*./?-1=1,且〃7=8,

求得〃?=2,n—3,故/(x)=/.

(203)=209>1,ft=/(0.32)=0.36e(0,1),c=f(log20.3)=^咤。.3)3<

0,

:?a>b>c,

故選：D.

【點評】本題主要考查嘉函數(shù)的定義和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

12.(2019?榆林一模)已知定義域為R的偶函數(shù)/?)在(-8,0］上是減函數(shù)，且f(/)

=2,則不等式/(log”)>2的解集為()

A.(0,y)IJ(2,+8)B.(2,+8)

C.(0,U(V2>+00)D.(0,夸>)

【考點】奇函數(shù)、偶函數(shù)；對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點.

【專題】計算題.

【分析】由題意知不等式即/(log4X)>f(/>即10g4X>A,或log4X<-利用對

數(shù)函數(shù)的定義域和單調(diào)性

求出不等式的解集.

【解答】解：由題意知不等式/(log4X)>2,即f(log4X)>f(A),又偶函數(shù)/(x)

在(-8,0］上是減函數(shù)，

.*./(X)在［0,+°°)上是增函數(shù)，.??k)g4X>-^=log42,或log4X<--=log2?

.*.0<x<A,或x>2,

2

故選：A.

【點評】本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的應(yīng)用，對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及特殊點.

填空題(共5小題)

13.(2021?黃浦區(qū)校級三模)函數(shù)可(x>0)的反函數(shù)為)'=/1(幻，廣(3)

=_2V2_.

【考點】反函數(shù).

【專題】整體思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算.

【分析】先求出已知函數(shù)的反函數(shù)，然后把x=3代入即可求解.

【解答】解：因為),f(x)=J77?(x>0)，

所以X=Jy2_］,即(x)

所以/1(3)

故答案為：

【點評】本題主要考查了反函數(shù)的求解，屬于基礎(chǔ)題.

1

14.(2021?成都模擬)計算gWlg-iogzS的值為_3_.

1g22

【考點】對數(shù)的運算性質(zhì).

【專題】計算題；方程思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算.

【分析】直接利用指數(shù)與對數(shù)的運算法則化簡求解即可.

1

3=+lo26

【解答】解:8-4^1--log23-^g-Iog23=-l+log22=^-+1=-1.

xE乙乙乙乙乙

故答案為：3.

2

【點評】本題考查對數(shù)的運算法則的應(yīng)用，指數(shù)式求值，是基礎(chǔ)題.

15.（2021?重慶模擬）已知基函數(shù)y=（〃，-3m-3）在（0,+°°）上單調(diào)遞減，則m=

-1.

【考點】累函數(shù)的概念、解析式、定義域、值域.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)據(jù)分析.

【分析】由題意利用幕函數(shù)的定義和性質(zhì)，求得優(yōu)的值.

【解答】解：???基函數(shù)〉=（川一3m-3）/在（0,+8）上單調(diào)遞減，

tn2-3m-3=1,且〃7<0,

求得m=-1,

故答案為：-1.

【點評】本題主要考查事函數(shù)的定義和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

16.（2021?呼和浩特模擬）已知mh均為正實數(shù)，且滿足（上）"=log2。，2。=咋/,則

~2

下面四個判斷：

①/〃（〃-b）>0；

②2"-y；

③-上〉」

ab

④log2”>0>log2b.

其中一定成立的有②③④（填序號即可）.

【考點】對數(shù)值大小的比較.

【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算.

【分析】利用對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，先求出”，匕的范圍，再根據(jù)m〃的范圍即

可求解.

【解答】解：令f（x）—（-^-）X-log2JC.則/（I）-0=A>0,f（5/2）=

-亞=號）@：（”蛔,

**.6ZE（1,^/2）.

???2b=log]〃,/?>0,???2力>1,：.he（0,A）,

12

2

A<n-b<y/"2f

①：???/〃（“-%）可能小于等于0,.??①錯誤，

②：'：h-a<0,.,.2Z>F<2°=1,.?.②正確，

③：'：a>b>0,A-A>-A,.,.③正確，

abab

④：VtzG（1,V^），**?Iog2?>0,

■:be（0,A）,，log28V0,/.Iog2t?>0>log2/?.???④正確，

2

故答案為：②③④.

【點評】本題考查對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的運用，屬于中檔題.

17.（2021?嘉定區(qū)二模）已知函數(shù)/（x）=2+k>g〃（x+1）（〃>0,且〃W1）.若y=/（x）的

反函數(shù)的圖象經(jīng)過點（1,2）,則。=1.

一3一

【考點】反函數(shù).

【專題】函數(shù)思想；定義法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；邏輯推理：數(shù)學(xué)運算.

【分析】利用函數(shù)與反函數(shù)圖象關(guān)于y=x對稱，可得函數(shù)的圖象經(jīng)過點（2,1）,

代入求解即可.

【解答】解：因為y=/（x）的反函數(shù)的圖象經(jīng)過點（1,2）,

由函數(shù)與反函數(shù)圖象關(guān)于y=x對稱，則函數(shù)/（X）的圖象經(jīng)過點（2,1）,

則有2+log“（2+1）=1,解得

故答案為：1.

3

【點評】本題考查了函數(shù)與反函數(shù)關(guān)系的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握函數(shù)與反函數(shù)的圖象

關(guān)于y=x對稱，考查了邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題.

三.解答題（共5小題）

18.（2019?上海模擬）已知函數(shù)f（x）=log（9-3x）（。>0,aWD.

（1）若函數(shù)f（x）的反函數(shù)是其本身，求。的值；

（2）當(dāng)時，求函數(shù)y=/（x）+fC-x）的最小值.

4

【考點】反函數(shù).

【專題】轉(zhuǎn)化法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.

【分析】（1）由互為反函數(shù)的函數(shù)定義域和值域互換得反函數(shù)解析式.

（2）得到解析式后根據(jù)基本不等式求最小值.

【解答】解：(1)由題意知函數(shù)/(X)的反函數(shù)是其本身，所以/(%)的反函數(shù)。丫=9

-3*,x=log3(9~a7),

zX,

反函數(shù)為>=陛3(9-a)^f(x)=loga(9-3)所以”=3.

(2)當(dāng)時，f(x)=log(9-31),f(-JC)=log(9-3(-x)),

4——

44

［82-(-

則y=f(X)+/(-%)=-Iog431》-3,

故最小值為-3.

【點評】本題考查了反函數(shù)和基本不等式的應(yīng)用，屬于簡單題.

19.(2020?普陀區(qū)二模)設(shè)函數(shù)/(x)=卜'-I，-24x4°是偶函數(shù).

g(x),0<x<m

(1)求實數(shù)機的值及g(x)；

(2)設(shè)函數(shù)g(x)在區(qū)間［0,〃力上的反函數(shù)為-1(x),當(dāng)g7(2)>log?2.(〃>0且

5

時，求實數(shù)4的取值范圍.

【考點】反函數(shù).

【專題】轉(zhuǎn)化思想；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；邏輯推理；數(shù)學(xué)運算.

【分析】(1)直接利用偶函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用求出結(jié)果.

(2)利用反函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用和不等式的應(yīng)用求出結(jié)果.

【解答】解：(1)由于函數(shù)為偶函數(shù)，

所以：函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，且/(-x)=f(x)

所以"7=2.

當(dāng)0<xW2時，f(x)=g(x),

則-2W-xVO,/(-x)=3*-l=f(x).

故g(%)=y-1.

(2)函數(shù)g(x)在區(qū)間［0,2］上的反函數(shù)晨I(x).

所以3g-'「)_}2,解得g"G)=1.

即log1，

a5

貝IJ:

0<a<la〉l

故實數(shù)a的取值范圍為（0,2）U（1,+oo）.

5

【點評】本題考查的知識要點：對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，反函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，不等式

的解法及應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題型.

20.（2021春?工農(nóng)區(qū)校級期末）化簡并求值：

____________1_2

⑴寸（冗：）7+（瑞）2+（-8）3+80-25XV2;

V44y

⑵^-^-+1gl2.5-logg9*log278+e

【考點】有理數(shù)指數(shù)基及根式；對數(shù)的運算性質(zhì).

【專題】函數(shù)思想；轉(zhuǎn)化法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；邏輯推理；數(shù)學(xué)運算.

【分析】（1）利用根式的定義以及分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的運算性質(zhì)化簡求值即可；

（2）利用對數(shù)的運算性質(zhì)以及運算法則近似化簡求值即可.

12

【解答】解：（1）萬+(-8尸+8°，25x,=

|+(y)-1+(-2)2+(23)4X24=

§27^+e

=_5

【點評】本題考查了化簡求值問題，主要考查了分?jǐn)?shù)指數(shù)基的運算性質(zhì)、根式的定義以

及對數(shù)的運算性質(zhì)，考查了化簡運算能力，屬于基礎(chǔ)題.

21.(2021春?聊城期末)已知函數(shù)/(X)=(“2-4-1)J-2+加是基函數(shù)QgR),且

/(1)</(2).

(1)求函數(shù)f(x)的解析式；

(2)試判斷是否存在實數(shù)6,使得函數(shù)g(x)=3-/(x)+2云在區(qū)間［-1,1］上的最大

值為6,若存在，求出6的值；若不存在，請說明理由.

【考點】幕函數(shù)的概念、解析式、定義域、值域.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算.

【分析】(1)由題意利用基函數(shù)的定義和性質(zhì)，求得a的值，可得結(jié)論.

(2)由題意利用利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的最大值，可得b的值.

2

【解答】解：(1)???函數(shù)/(x)=(a-a-1)x"一加<2+涼是累函數(shù)(aeR),且/(1)

</(2),

：.c^-a-1=1,且(1-a)(2+a)>0,

求得a=-l,故/(x)=/.

(2)設(shè)存在實數(shù)6,使函數(shù)g(x)=3-/(x)+2區(qū)=-7+2"+3在區(qū)間［-1,1］上的最

大值為6,

由于g(x)的圖象的對稱軸為x=b,

當(dāng)b<-1時，則/(-1)=-1-2b+3=6,求得h=-2；

當(dāng)-IWbWl時，/(6)--b2+2b2+3—6,求得b=士?(舍去)；

當(dāng)b>l時，則/(I)=7+26+3=6,求得匕=2,

綜上可得，存在6=±2,滿足條件.

【點評】本題主要考查落函數(shù)的定義和性質(zhì)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最大值，屬于基礎(chǔ)

題.

22.(2020秋?撫州期末)已知事函數(shù)/(x)=(1+…)，2W),且/(2)</(3).

(1)求實數(shù)上的值，并寫出相應(yīng)的函數(shù)/(x)的解析式；

(2)對于(1)中的函數(shù)/(無)，試判斷是否存在正數(shù)如使函數(shù)g(x)=1-/(x)+2mx,

在區(qū)間［0,1］上的最大值為5,若存在，求出〃?的值；若不存在，請說明理由.

【考點】幕函數(shù)的概念、解析式、定義域、值域；幕函數(shù)的性質(zhì).

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算.

【分析】(1)由題意利用基函數(shù)的定義和性質(zhì)，求出上的值，可得函數(shù)的解析式.

(2)由題意求出加的值，可得g(x)的解析式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)，求出川的值.

【解答】解：(1)7/(2)</(3),

，累函數(shù)f(X)=(必+k-1)/2""1+A)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

???(2-A)(1+1)>0,A-1<k<2,^k-1=1,

/.k=1,f(x)=/.

(2)(x)=1-f(x)+2nix=-x^+2nvc+\,

Tg(x)開口方向向下，對稱軸戈=機(加>0),

1)當(dāng)OVmVl時，g(x)在區(qū)間［0,詞上遞增，在區(qū)間［〃?，1］上遞減.

2,

,e-g(x)max=g(ni)=in+l=5-'-m=+2,均不符合題意舍去，

2)當(dāng)團21時，g(X)在區(qū)間［0,1］上遞增，「送(X)mcix=g(1)=2m=5,

符合題意，

綜上1

【點評】本題主要考查募函數(shù)的定義和性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.

考點卡片

1.函數(shù)的定義域及其求法

【知識點的認識】函數(shù)的定義域就是使函數(shù)有意義的自變量的取值范圍.

求解函數(shù)定義域的常規(guī)方法：①分母不等于零；

②根式（開偶次方）被開方式》0；

③對數(shù)的真數(shù)大于零，以及對數(shù)底數(shù)大于零且不等于1:

④指數(shù)為零時，底數(shù)不為零.

⑤實際問題中函數(shù)的定義域；

【解題方法點撥】

求函數(shù)定義域，一般歸結(jié)為解不等式組或混合組.（1）當(dāng)函數(shù)是由解析式給出時，其定義

域是使解析式有意義的自變量的取值集合.（2）當(dāng)函數(shù)是由實際問題給出時，其定義域的確

定不僅要考慮解析式有意義，還要有實際意義（如長度、面積必須大于零、人數(shù)必須為自然

數(shù)等）.（3）若一函數(shù)解析式是由幾個函數(shù)經(jīng)四則運算得到的，則函數(shù)定義域應(yīng)是同時使這

幾個函數(shù)有意義的不等式組的解集.若函數(shù)定義域為空集，則函數(shù)不存在.（4）抽象函數(shù)的

定義域：①對在同一對應(yīng)法則/下的量“x”“x+a”“x-a”所要滿足的范圍是一樣的；②函

數(shù)g（X）中的自變量是X,所以求g（x）的定義域應(yīng)求g（X）中的X的范圍.

【命題方向】高考會考中多以小題形式出現(xiàn)，也可以是大題中的一小題.

2.奇函數(shù)、偶函數(shù)

【奇函數(shù)】

如果函數(shù)/（X）的定義域關(guān)于原點對稱，且定義域內(nèi)任意一個x,都有f（-x）=-

/（尤），那么函數(shù)f（x）就叫做奇函數(shù)，其圖象特點是關(guān)于（0,0）對稱.

解題方法點撥：

①如果函數(shù)定義域包括原點，那么運用f（0）=0解相關(guān)的未知量；

②若定義域不包括原點，那么運用/（X）=-/（-》）解相關(guān)參數(shù)；

③已知奇函數(shù)大于0的部分的函數(shù)表達式，求它的小于0的函數(shù)表達式，如奇函數(shù)/（x）,

當(dāng)x>0時，f（x）=7+x

那么當(dāng)X<0時，-X>0,有/（-X）=（-X）2+（-x）=-f（x）—x1-x=^f（x）—-x1+x

命題方向：

奇函數(shù)是函數(shù)里很重要的一個知識點，同學(xué)們一定要熟悉奇函數(shù)的概念和常用的解題

方法，它的考查形式主要也就是上面提到的這兩種情況--求參數(shù)或者求函數(shù)的表達式.

【偶函數(shù)】

如果函數(shù)/（X）的定義域關(guān)于原點對稱，且定義域內(nèi)任意一個X,都有/（-X）=/

（X）,那么函數(shù)/（X）就叫做偶函數(shù)，其圖象特點是關(guān)于），軸對稱.

解題方法點撥：

①運用/（x）=f（-JC）求相關(guān)參數(shù)，y=axi+hj^+cx+d,那么a+c是多少？

②結(jié)合函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱求函數(shù)與x軸的交點個數(shù)或者是某個特定的值，如偶函數(shù)-

2）=0,周期為2,那么在區(qū)間（-2,8）函數(shù)與x軸至少有幾個交點.

命題方向：

與奇函數(shù)雷同，熟悉偶函數(shù)的性質(zhì)，高考中主要還是以選擇題或者填空題的形式考查

對偶函數(shù)性質(zhì)的靈活運用.

3.有理數(shù)指數(shù)惠及根式

【根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)幕】

規(guī)定：an=垢(々>0,m,〃EN=n>1)

(a>0,in,〃€N*,n>\)

0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)事等于0,。的負分?jǐn)?shù)指數(shù)幕沒有意義

常考題型:

例1:下列計算正確的是（

B、qC、0(-3)4=3

空1-x-SO)

分析：直接由有理指數(shù)幕的運算性質(zhì)化簡求值，然后逐一核對四個選項得答案.

解:,/（-1）0=1,

???A不正確；

不正確;

7V(-3)4=V?=3,

C正確；

/x\22x

??ka)a2X-2

_=-=a

aa

不正確.

故選：C.

點評：本題考查了根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)累的互化，考查了有理指數(shù)基的運算性質(zhì)，是基礎(chǔ)的計算

題.

【有理數(shù)指數(shù)幕】

(1)累的有關(guān)概念：

m

①正分?jǐn)?shù)指數(shù)哥：an=W((4>°，m,且〃>1)；

m11

②負分?jǐn)?shù)指數(shù)幕：an='=_L(。>0,，*,〃6N*,且〃>1)；

a

③0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)累等于0,0的負分?jǐn)?shù)指數(shù)塞無意義.

(2)有理數(shù)指數(shù)基的性質(zhì)：

①(“>0,r,seQ)；

②(a，)s=ars(a>0,r,s€Q)；

(3)(ab)(a>0,b>0,rGQ).

?？碱}型：

例1：若“>0,且根，〃為整數(shù)，則下列各式中正確的是()

m

A、出二n豆B、C、(/)"=""〃D、14-

a?a-a

an—a0-n

分析：先由有理數(shù)指數(shù)基的運算法則，先分別判斷四個備選取答案，從中選取出正確答案.

解:A中,afn-i-an=cf1'n,故不成立；

8中，am-a"=am+n^am'n,故不成立;

C中，（〃"'）小,故不成立；

。中，l+a"=a°”，成立.

故選：D.

點評：本題考查有理數(shù)指數(shù)事的運算，解題時要熟練掌握基本的運算法則和運算性質(zhì).

4.指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

【知識點的認識】

1、指數(shù)函數(shù)丫="（〃>0,且“W1）的圖象和性質(zhì)：

定義域R

值域（0,+8）

性質(zhì)過定點（0,1）

當(dāng)x>0時，y>l；當(dāng)x>0時，OVyVl；

x<0時，0<y<lx<0時，y>\

在R上是增函數(shù)在R上是減函數(shù)

2、底數(shù)對指數(shù)函數(shù)的影響：

①在同一坐標(biāo)系內(nèi)分別作函數(shù)的圖象，易看出：當(dāng)〃>/時，底數(shù)越大，函數(shù)圖象在第一象

限越靠近y軸：同樣地，當(dāng)時，底數(shù)越小，函數(shù)圖象在第一象限越靠近x軸.

②底數(shù)對函數(shù)值的影響如圖.

③當(dāng)。>0,且aW/時，函數(shù)y="與函數(shù)y=（上尸的圖象關(guān)于y軸對稱.

a

3、利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較大?。?/p>

若底數(shù)相同而指數(shù)不同，用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較:

若底數(shù)不同而指數(shù)相同，用作商法比較；

若底數(shù)、指數(shù)均不同，借助中間量，同時要注意結(jié)合圖象及特殊值.

5.指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點

【知識點歸納】

1、指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的討論，一般會以復(fù)合函數(shù)的形式出現(xiàn)，所以要分開討論，首先討論a

的取值范圍即”>1,的情況.再討論g(x)的增減，然后遵循同增、同減即為增，

一減一增即為減的原則進行判斷.

2、同增同減的規(guī)律：

(l)y=〃如果。>1,則函數(shù)單調(diào)遞增；

(2)如果OV“V1,則函數(shù)單調(diào)遞減.

3、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性：

(1)復(fù)合函數(shù)為兩個增函數(shù)復(fù)合：那么隨著自變量X的增大，丫值也在不斷的增大；

(2)復(fù)合函數(shù)為兩個減函數(shù)的復(fù)合：那么隨著內(nèi)層函數(shù)自變量X的增大，內(nèi)層函數(shù)的丫值

就在不斷的減小，而內(nèi)層函數(shù)的丫值就是整個復(fù)合函數(shù)的自變量X.因此，即當(dāng)內(nèi)層函數(shù)自

變量X的增大時，內(nèi)層函數(shù)的y值就在不斷的減小，即整個復(fù)合函數(shù)的自變量X不斷減小，

又因為外層函數(shù)也為減函數(shù)，所以整個復(fù)合函數(shù)的丫值就在增大.因此可得“同增”若復(fù)

合函數(shù)為一增一減兩個函數(shù)復(fù)合：內(nèi)層函數(shù)為增函數(shù)，則若隨著內(nèi)層函數(shù)自變量x的增大,

內(nèi)層函數(shù)的y值也在不斷的增大，即整個復(fù)合函數(shù)的自變量x不斷增大，又因為外層函數(shù)

為減函數(shù)，所以整個復(fù)合函數(shù)的y值就在減小.反之亦然，因此可得“異減”.

6.指數(shù)函數(shù)的實際應(yīng)用

【知識點歸納】

指數(shù)函數(shù)圖象的應(yīng)用：

函數(shù)的圖象是直觀地表示函數(shù)的一種方法.函數(shù)的很多性質(zhì)，可以從圖象上一覽無余.數(shù)形

結(jié)合就是幾何與代數(shù)方法緊密結(jié)合的一種數(shù)學(xué)思想.指數(shù)函數(shù)的圖象通過平移、翻轉(zhuǎn)等變可

得出一般函數(shù)的圖象.利用指數(shù)函數(shù)的圖象，可解決與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的比較大小、研究單調(diào)

性、方程解的個數(shù)、求值域或最值等問題.

7.指數(shù)式與對數(shù)式的互化

【知識點歸納】

$=N=logaN=b；

loga〃N=N

指數(shù)方程和對數(shù)方程主要有以下幾種類型:

(1)/(x)=log/；log/(x)=b=f(x)=ab(定義法)

(2)=a8x><=>/(x)=g(x)；log?/(x)=log〃g(x)<^>f(x)=g(x)>0(同底法)

(3)c/(x)=b^，x)<=>/(x)\ogma=g(x)logmb；(兩邊取對數(shù)法)

(4)\0g(if(X)=10g/7g(X)OlOgc/(X)=——-——]0gg(x)；(換底法)

log.aba

(5)Alog2x+Blogax+C=0(A(〃)2+Bav+C=0)(設(shè)1=logax或/=〃)(換元法)

a

8,對數(shù)的運算性質(zhì)

【知識點的認識】

對數(shù)的性質(zhì)：①@1°與"=空②logaaN=N（。＞0且a于I）.

1T

logo（MN）=log“M+log“N；log?—=log?Af-\ogaN；

log"""=nlogt/M；l°g"—logaAf.

9.對數(shù)值大小的比較

【知識點歸納】

1、若兩對數(shù)的底數(shù)相同，真數(shù)不同，則利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來比較.

2、若兩對數(shù)的底數(shù)和真數(shù)均不相同，通常引入中間變量（1,-1,0）進行比較

3、若兩對數(shù)的底數(shù)不同，真數(shù)也不同，則利用函數(shù)圖象或利用換底公式化為同底的再進行

比較.（畫圖的方法：在第一象限內(nèi)，函數(shù)圖象的底數(shù)由左到右逐漸增大）

10.對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

【知識點歸納】

對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)

10gaX（a>l）