2022年吉林省長春市中考數(shù)學(xué)真題卷（含答案與解析）

2022年長春市初中學(xué)業(yè)水平考試

數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色墨水簽字筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡的相應(yīng)

位置上，并認(rèn)真核對(duì)條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)是否與本人的相符合。

2.答客觀題必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)題目的正確選項(xiàng)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈

后，再選其他答案。答案不能答在試題卷上。

3.答主觀題必須用0.5毫米黑色墨水簽字筆作答，答案寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置

±o如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案。不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上

要求作答的答案無效。

4.考生必須保持答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，將試題卷和答題卡一并交回。

一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）

1.圖是由5個(gè)相同的小正方體組合而成的立體圖形，其主視圖是（）

正面

2.長春軌道客車股份有限公司制造新型奧運(yùn)版復(fù)興號(hào)智能動(dòng)車組，車頭采用鷹隼形的設(shè)計(jì)，能讓性能大幅

提升，一列該動(dòng)車組一年運(yùn)行下來可節(jié)省約1800000度電，將數(shù)據(jù)1800000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.18x105B.1.8xl06C.1.8X107D.0.18X107

3.不等式x+2>3的解集是（）

A.x<lB.x<5C.x>\D.x>5

4.實(shí)數(shù)〃，b在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，下列結(jié)論正確的是（）

ab

I______I?I_____I_______I______I?I

-3-2-10123

A.a>0B.a<bC.1<0D.ab>0

5.如圖是長春市人民大街下穿隧道工程施工現(xiàn)場的一臺(tái)起重機(jī)的示意圖，該起重機(jī)的變幅索頂端記為點(diǎn)A,

變幅索的底端記為點(diǎn)B,AO垂直地面，垂足為點(diǎn)，BC1AD,垂足為點(diǎn)C.設(shè)N4BC=a,下列關(guān)系式

正確的是（）

A,而。=空B,sin*.C.sinaABAC

D.sina

~AB

BCABAC

6.如圖，四邊形ABC。是O。內(nèi)接四邊形.若288=121。，則/3。。的度數(shù)為（）

A.138°B.121°C.118°D.112°

7.如圖，在AABC中,根據(jù)尺規(guī)作圖痕跡，下列說法不一定正確的是（）

A.AF=BFB.AE--AC

2

C./DBF+NDFB=90。D.ZBAF=NEBC

8.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P在反比例函數(shù)y=4（k>Q,%>0）的圖象上，其縱坐標(biāo)為2,過點(diǎn)

P作PQ〃y軸，交X軸于點(diǎn)Q,將線段QP繞點(diǎn)Q順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到線段QM.若點(diǎn)M也在該反比例函數(shù)

的圖象上，則左的值為（）

A.左B.73C.2y/3D.4

2

二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）

9.分解因式：m2+3m=.

10.若關(guān)于x的方程x2+x+c=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)。的值為一

11.《算法統(tǒng)宗》是中國古代重要的數(shù)學(xué)著作，其中記載：我問開店李三公，眾客都來到店中，一房七客多七

客，一房九客一房空.其大意為：今有若干人住店，若每間住7人，則余下7人無房可住；若每間住9人，則

余下一間無人住，設(shè)店中共有x間房，可求得x的值為.

12.將等腰直角三角板與量角器按如圖所示的方式擺放，使三角板的直角頂點(diǎn)與量角器的中心。重合，且兩條

直角邊分別與量角器邊緣所在的弧交于A、B兩點(diǎn).若。4=5厘米，則48的長度為_______厘米.（結(jié)果保留

13.跳棋是一項(xiàng)傳統(tǒng)智力游戲.如圖是一副跳棋棋盤的示意圖，它可以看作是由全等的等邊三角形ABC和

等邊三角形。所組合而成，它們重疊部分的圖形為正六邊形.若AB=27厘米，則這個(gè)正六邊形的周長為

厘米.

14.已知二次函數(shù)y=2函數(shù)值y的最小值為1,則。的值為.

三、解答題(本大題共10小題，共78分)

15.先化簡，再求值：(2+a)(2—a)+a(a+l),其中a=J5—4.

16.拋擲一枚質(zhì)地均勻的普通硬幣，僅有兩種可能的結(jié)果：“出現(xiàn)正面”或“出現(xiàn)反面”.正面朝上記2分，

反面朝上記1分.小明拋擲這枚硬幣兩次，用畫樹狀圖(或列表)的方法，求兩次分?jǐn)?shù)之和不大于3的概率.

17.為了讓學(xué)生崇尚勞動(dòng)，尊重勞動(dòng)，在勞動(dòng)中提升綜合素質(zhì)，某校定期開展勞動(dòng)實(shí)踐活動(dòng).甲、乙兩班在一

次體驗(yàn)挖土豆的活動(dòng)中，甲班挖1500千克土豆與乙班挖1200千克土豆所用的時(shí)間相同.已知甲班平均每小時(shí)

比乙班多挖100千克土豆，問乙班平均每小時(shí)挖多少千克土豆？

18.如圖①、圖②、圖③均是5x5的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的邊長均為1,其頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，AABC的頂

(1)網(wǎng)格中AABC的形狀是；

(2)在圖①中確定一點(diǎn)￡>,連結(jié)03、DC，使與AABC全等：

(3)在圖②中AABC的邊5c上確定一點(diǎn)E,連結(jié)AE,使

(4)在圖③中AASC的邊AB上確定一點(diǎn)P，在邊8c上確定一點(diǎn)Q,連結(jié)PQ,使且相

似比為I：2.

19.如圖，在放AABC中，ZABC^90°,點(diǎn)。是AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)。作DE_LAC交BC于點(diǎn)

E.延長皮)至點(diǎn)F,使得OF=OE，連接AE、AFCF.

(1)求證：四邊形是菱形；

BE1

(2)若一=-,5JiJtanZBCF值為_______.

EC4

20.黨的十八大以來，我國把科技自立自強(qiáng)作為國家發(fā)展的戰(zhàn)略支撐，科技事業(yè)發(fā)生了歷史性、整體性、格局

性變化，成功跨入創(chuàng)新型國家的行列，專利項(xiàng)目多項(xiàng)指數(shù)顯著攀升.如圖是長春市2016年到2020年專利授權(quán)

情況的統(tǒng)計(jì)圖.

o專利授權(quán)信（師?位:件）

*專利授權(quán)量年增長率

25000

60.0%

2000040.0%

1500020.0%

100000.0%

5000-20.0%

0-40.0%

2016年2017年2018年2019年2020年

根據(jù)以上信息回答下列問題：

（1）長春市從2016年到2020年，專利授權(quán)量最多的是年：

（2）長春市從2016年到2020年，專利授權(quán)量年增長率的中位數(shù)是;

（3）與2019年相比，2020年長春市專利授權(quán)量增加了件，專利授權(quán)量年增長率提高了個(gè)百

分點(diǎn)；（注：1%為1個(gè)百分點(diǎn)）

（4）根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖提供信息，有下列說法，正確的畫，錯(cuò)誤的畫“x”.

①因?yàn)?019年的專利授權(quán)量年增長率最低，所以2019年的專利授權(quán)量的增長量就最小?（）

②與2018年相比，2019年的專利授權(quán)量年增長率雖然下降，但專利授權(quán)量仍然上升.這是因?yàn)閷＠跈?quán)量年

增長率=當(dāng)年專利授權(quán)叱,利授權(quán)量xio。％,所以只要專利授權(quán)量年增長率大于零，當(dāng)年專利

上一年專利授權(quán)量

授權(quán)量就一定增加.（）

③通過統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，可以看出長春市區(qū)域科技創(chuàng)新力呈上升趨勢(shì)，為國家科技自立自強(qiáng)貢獻(xiàn)吉林力量?（）

21.己知A、2兩地之間有一條長440千米的高速公路.甲、乙兩車分別從A、8兩地同時(shí)出發(fā)，沿此公路相

向而行，甲車先以100千米/時(shí)的速度勻速行駛200千米后與乙車相遇，再以另一速度繼續(xù)勻速行駛4小時(shí)到

達(dá)B地；乙車勻速行駛至A地，兩車到達(dá)各自的目的地后停止.兩車距A地的路程y（千米）與各自的行駛時(shí)

間x（時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示.

（2）求兩車相遇后，甲車距A地的路程y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;

（3）當(dāng)乙車到達(dá)A地時(shí)，求甲車距A地的路程.

22.【探索發(fā)現(xiàn)】在一次折紙活動(dòng)中，小亮同學(xué)選用了常見的A4紙，如圖①，矩形ABCO為它的示意圖.他

查找了A4紙的相關(guān)資料，根據(jù)資料顯示得出圖①中他先將44紙沿過點(diǎn)A的直線折疊，使點(diǎn)

8落在上，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E,折痕為■；再沿過點(diǎn)尸的直線折疊，使點(diǎn)C落在EF上，點(diǎn)C的對(duì)

應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)“，折痕為FG；然后連結(jié)4G,沿AG所在的直線再次折疊，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)。與點(diǎn)F重合，進(jìn)而猜想

△APG也△AFG.

AEDAED

【問題解決】

（1）小亮對(duì)上面△APGgZXAFG的猜想進(jìn)行了證明，下面是部分證明過程:

證明：四邊形ABC。是矩形,

，NBAD=NB=NC=ND=90°.

NEE4=ZBE4=45°.

二AF=6AB=AD-

請(qǐng)你補(bǔ)全余下的證明過程.

【結(jié)論應(yīng)用】

（2）N/MG的度數(shù)為,度，K的值為.

AF

（3）在圖①的條件下，點(diǎn)P在線段A尸上，且AP=gA3,點(diǎn)Q在線段AG上，連結(jié)FQ、PQ,如圖②，

設(shè)則FQ+P。的最小值為.（用含。的代數(shù)式表示）

23.如圖，在oABCD中，A6=4，AO=8O=Ji3，點(diǎn)例為邊A3的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)4出發(fā)，沿折線

AD-D3以每秒JT5個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，連結(jié)PM.作點(diǎn)A關(guān)于直線尸M的對(duì)稱點(diǎn)4,連結(jié)

A'P，AM.設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，秒.

D

2W

/MB

（1）點(diǎn)。到邊AB的距離為；

（2）用含，的代數(shù)式表示線段DP的長；

（3）連結(jié)AO，當(dāng)線段A'O最短時(shí)，求△OR#的面積；

（4）當(dāng)M、A，、C三點(diǎn)共線時(shí)，直接寫出f的值.

24.在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=f—版"是常數(shù)）經(jīng)過點(diǎn)（2,0）.點(diǎn)A在拋物線上，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)

為，"（加工0）.以點(diǎn)A為中心，構(gòu)造正方形PQWN,PQ=2|同，且PQ_Lx軸.

（1）求該拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式：

（2）若點(diǎn)8是拋物線上一點(diǎn)，且在拋物線對(duì)稱軸左側(cè).過點(diǎn)B作x軸的平行線交拋物線于另一點(diǎn)C,連接

BC.當(dāng)8C=4時(shí)，求點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（3）若〃2>0,當(dāng)拋物線在正方形內(nèi)部的點(diǎn)的縱坐標(biāo)y隨x的增大而增大時(shí)，或者y隨x的增大而減小時(shí)，求

m的取值范圍；

3

（4）當(dāng)拋物線與正方形PQMN的邊只有2個(gè)交點(diǎn)，且交點(diǎn)的縱坐標(biāo)之差為一時(shí)，直接寫出加的值.

??A

參考答案

一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）

1.圖是由5個(gè)相同的小正方體組合而成的立體圖形，其主視圖是（）

正面

C.

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)三視圖的概念，從正面看到的圖形就是主視圖，再根據(jù)小正方體的個(gè)數(shù)和排列進(jìn)行作答即可.

【詳解】正面看，其主視圖為:

故選：A.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了簡單組合體的三視圖，俯視圖是從上面看所得到的圖形，主視圖是

從正面看所得到的圖形，左視圖時(shí)從左面看所得到的圖形，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

2.長春軌道客車股份有限公司制造的新型奧運(yùn)版復(fù)興號(hào)智能動(dòng)車組，車頭采用鷹隼形的設(shè)計(jì)，能讓性能大幅

提升，一列該動(dòng)車組一年運(yùn)行下來可節(jié)省約1800000度電，將數(shù)據(jù)1800000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.18xl05B.1.8xl（）6C.1.8xl07D.0.18xl07

【答案】B

【解析】

【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為。乂10?的形式，其中仁同<10,〃為整數(shù).確定〃的值時(shí)，要看把原數(shù)變成

“時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，〃的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同.當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值>10時(shí)，”是正數(shù)：當(dāng)原數(shù)

的絕對(duì)值<1時(shí)，”是負(fù)數(shù).

詳解】解：1800000=1.8x106,

故選：B.

【點(diǎn)睛】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法.科學(xué)記數(shù)法的表示形式為axl0?的形式，其中l(wèi)<|a|<10,〃為整

數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定a的值以及〃的值.

3.不等式x+2>3的解集是（）

A.x<lB.x<5C.x>1D.x>5

【答案】C

【解析】

【分析】直接移項(xiàng)解一元一次不等式即可.

【詳解】x+2>3,

x>3—2,

x>1，

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次不等式，熟練掌握解一元一次不等式的步驟是解題的關(guān)鍵.

4.實(shí)數(shù)a,b在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，下列結(jié)論正確的是（）

ab

__I_____I?I_____I_____I_____I?I?

-3-2-10123

A.a>0B.a<bC.h-\<0D.ab>0

【答案】B

【解析】

【分析】觀察數(shù)軸得：一2<。<—1<2<〃<3,再逐項(xiàng)判斷即可求解.

【詳解】解：觀察數(shù)軸得：—2<。<—1<2<。<3,故A錯(cuò)誤，不符合題意；B正確，符合題意；

：.b-\>0,故C錯(cuò)誤，不符合題意；

：.ab<0,故D錯(cuò)誤，不符合題意；

故選：B

【點(diǎn)睛】本題主要考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸，實(shí)數(shù)的大小比較，利用數(shù)形結(jié)合思想解答是解題的關(guān)鍵.

5.如圖是長春市人民大街下穿隧道工程施工現(xiàn)場的一臺(tái)起重機(jī)的示意圖，該起重機(jī)的變幅索頂端記為點(diǎn)4

變幅索的底端記為點(diǎn)8,AO垂直地面，垂足為點(diǎn)。，BC1AD,垂足為點(diǎn)C.設(shè)NABC=a,下列關(guān)系式

正確的是（）

ABAC

A.sina=——B.sina=----C.sinaD.sina

BCABAC~AB

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)正弦三角函數(shù)的定義判斷即可.

【詳解】VBC1AC,

.?.△ABC是直角三角形,

ZABC^a,

AC

a

/.sin~AB

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了正弦三角函數(shù)的定義.在直角三角形中任意銳角NA的對(duì)邊與斜邊之比叫做NA的正弦,

記作sinN4掌握正弦三角函數(shù)的定義是解答本題的關(guān)鍵.

6.如圖，四邊形ABC。是。。的內(nèi)接四邊形.若NBCD=121。,則N88的度數(shù)為（）

A.138°B.121°C.118°D.112°

【答案】C

【解析】

【分析】由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得NA=59°,再由圓周定理可得NBOE>=2NA=118°.

【詳解】解：???四邊形ABC力內(nèi)接于圓0,

/.ZA+ZC=180°

NBCD=121。

：.ZA=59°

二NBOD=2ZA=118。

故選：C

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和圓周角定理，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)和定理是解答本題的關(guān)鍵

7.如圖，在AABC中，根據(jù)尺規(guī)作圖痕跡，下列說法不一定正確的是（）

A.AF=BFB.AE=-AC

2

C./DBF+NDFB=90。D.ZBAF=NEBC

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)尺規(guī)作圖痕跡，可得。尸垂直平分AB,BE是NA8C的角平分線，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)和角

平分線的定義，直角三角形兩銳角互余，等邊對(duì)等角的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可.

【詳解】根據(jù)尺規(guī)作圖痕跡，可得。尸垂直平分A8,BE是NA8C的角平分線，

AF=BF,ZBDF=90°,ZABF=ZCBE,

ZABF=NBAE,4DBF+ZDFB=90°,

：.ZBAF=ZEBC,

綜上，正確的是A、C、D選項(xiàng)，

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了垂直平分線和角平分線的作圖，垂直平分線的性質(zhì)，角平分線的定義，直角三角形兩銳角

互余，等邊對(duì)等角的性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

8.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P在反比例函數(shù)>=人(k>0,X>0)的圖象上，其縱坐標(biāo)為2,過點(diǎn)

x

P作PQ〃y軸，交x軸于點(diǎn)。，將線段。尸繞點(diǎn)Q順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到線段QM.若點(diǎn)M也在該反比例函數(shù)

的圖象上，則左的值為()

A.左B.73C.2GD.4

2

【答案】C

【解析】

【分析】作軸交于點(diǎn)N,分別表示出ON、MN,利用左值的幾何意義列式即可求出結(jié)果.

【詳解】解：作軸交于點(diǎn)N,如圖所示，

.?.P點(diǎn)坐標(biāo)表示為：（&,2）,PQ^2,

2

由旋轉(zhuǎn)可知：QM=PQ=2,/P0M=6O。,

NM023O。，

：.MN=^QM=1,QN=4j,

：.ON?MN=k,

k

即：一+J3=Z,

2

解得：仁26，

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查的是k的幾何意義，表示出對(duì)應(yīng)線段是解題的關(guān)鍵.

二、填空題(本大題共6小題，每小題3分，共18分)

9.分解因式：m2+3m-.

【答案】m(m+3)

【解析】

【分析】原式提取公因式機(jī)即可得到結(jié)果.

【詳解】解：m2+3m=m(/n+3)

故答案為：加(機(jī)+3).

【點(diǎn)睛】本題主要考查了提公因式分解因式，正確找出公因式是解答本題的關(guān)鍵.

10.若關(guān)于x的方程f+x+c=o有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)c的值為.

【答案】-##0.25

4

【解析】

【分析】根據(jù)方程x2+x+c=O有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，可得△=(),計(jì)算即可.

【詳解】??,關(guān)于X的方程x2+x+c=o有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，

.-,A=l2-4xlc=0.

解得c=L

4

故答案為：—.

4

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根的判別式，即一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根時(shí)，△>()；有兩個(gè)相

等的實(shí)數(shù)根時(shí)，△=()；沒有實(shí)數(shù)根時(shí)，/<0；熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

11.《算法統(tǒng)宗》是中國古代重要的數(shù)學(xué)著作，其中記載：我問開店李三公，眾客都來到店中，一房七客多七

客，一房九客一房空.其大意為：今有若干人住店，若每間住7人，則余下7人無房可??；若每間住9人，則

余下一間無人住，設(shè)店中共有x間房，可求得x的值為.

【答案】8

【解析】

【分析】設(shè)店中共有x間房，根據(jù)“今有若干人住店，若每間住7人，則余下7人無房可?。蝗裘块g住9人，

則余下一間無人住”可列一元一次方程，求解即可.

【詳解】設(shè)店中共有x間房，

由題意得，7x+7=9(x—l),

解得x=8,

所以，店中共有8間房，

故答案為：8.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，準(zhǔn)確理解題意，找到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

12.將等腰直角三角板與量角器按如圖所示的方式擺放，使三角板的直角頂點(diǎn)與量角器的中心。重合，且兩條

直角邊分別與量角器邊緣所在的弧交于A、B兩點(diǎn).若。4=5厘米，則A8的長度為_______厘米.（結(jié)果保留

【答案】a"##2.5萬

2

【解析】

【分析】直接根據(jù)弧長公式進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】；Zz4O3=90°,QA=5cm,

._90x;rx55

/.AB=-----------=—〃cm,

1802

故答案為：一兀.

2

n/cr

【點(diǎn)睛】本題考查了弧長公式，即/=——，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

180

13.跳棋是一項(xiàng)傳統(tǒng)的智力游戲.如圖是一副跳棋棋盤的示意圖，它可以看作是由全等的等邊三角形A8C和

等邊三角形OE戶組合而成，它們重疊部分的圖形為正六邊形.若AB=27厘米，則這個(gè)正六邊形的周長為

【答案】54

【解析】

【分析】設(shè)4B交EF、FD與點(diǎn)M、N,AC交EF、于點(diǎn)G、H,BC交FD、ED于點(diǎn)、0、P,再證明

△FMN、△ANG、△BMO、△OOP、△CPH、△EGH是等邊三角形即可求解.

【詳解】設(shè)A3交EAFD與點(diǎn)M、N,AC交EF、ED于點(diǎn)、G、H,BC交FD、ED于點(diǎn)0、P,如圖,

???六邊形MNGHP。是正六邊形，

，/GNM=/NMO=\20。,

：.NFNM=NFNM=60。,

???△QMN是等邊三角形，

同理可證明△ANG、4BM0、△OO尸、ACPH.△EG”是等邊三角形，

：.MO=BM,NG=AN,OP=PD,GH=HE,

：.N3MN+M0=AN+MN+BM=AB,GH+PH+OP=HE+PH+PD=DE,

*/等邊△ABCg等邊△￡)￡尸，

：.AB=DEt

VAB=27cm,

/.DE=27cm,

???正六邊形MNGHPO的周長為：NG+MN+MO+GH+PH+OP=AB+DE=54cm,

故答案為：54.

【點(diǎn)睛】本題考查了正六邊的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)以及等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，掌握正六邊的性

質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.

14.已知二次函數(shù)y=—V—2X+3,當(dāng)通/；時(shí)，函數(shù)值y的最小值為1,則a的值為.

【答案】-1-6##一百-1

【解析】

【分析】先把函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式可得當(dāng)x<-l時(shí)，y隨x的增大而增大，當(dāng)x>-l時(shí)，y隨x的增大而減

小，然后分兩種情況討論：若。之一1；若即可求解.

【詳解】解：y=—丁―2x+3=—(x+lp+4,

.?.當(dāng)x<-l時(shí)，y隨x的增大而增大，當(dāng)x>-l時(shí)，y隨x的增大而減小，

若當(dāng)隔此；時(shí)，y隨x的增大而減小，

17

此時(shí)當(dāng)x=］時(shí)，函數(shù)值y最小，最小值為1,不合題意，

若a<T,當(dāng)x="時(shí)，函數(shù)值y最小，最小值為1,

—ci1—2a+3=i，

解得：a=—1—百或一1+6（舍去）；

綜上所述，。的值為-1-6.

故答案為：-1-V3

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

三、解答題（本大題共10小題，共78分）

15.先化簡，再求值：（2+a）（2—a）+a（a+l）,其中a=J^—4.

【答案】4+a,V2

【解析】

【分析】根據(jù)平方差公式與單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式進(jìn)行計(jì)算，然后將〃=后-4代入求值即可求解.

【詳解】解：原式=4—/+/+“

=4+a

當(dāng)a=0-4時(shí)，原式=4+0-4=血

【點(diǎn)睛】本題考查了整式的混合運(yùn)算，實(shí)數(shù)的運(yùn)算，代數(shù)式求值，正確的計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

16.拋擲一枚質(zhì)地均勻的普通硬幣，僅有兩種可能的結(jié)果：“出現(xiàn)正面”或“出現(xiàn)反面”.正面朝上記2分，

反面朝上記1分.小明拋擲這枚硬幣兩次，用畫樹狀圖（或列表）的方法，求兩次分?jǐn)?shù)之和不大于3的概率.

3

【答案】-

4

【解析】

【分析】采用列表法列舉即可求解.

【詳解】根據(jù)題意列表如下：

12

第二

123

234

由表可知，總的可能結(jié)果有4種，兩次之和不大于3的情況有3種,

3

故所求概率為：3+4=-,

4

3

即兩次分?jǐn)?shù)之和不大于3的概率為二.

【點(diǎn)睛】本題考查了用列表法或者樹狀圖法列舉求解概率的知識(shí)，掌握用列表法或者樹狀圖法列舉求解概率是

解答本題的關(guān)鍵.

17.為了讓學(xué)生崇尚勞動(dòng)，尊重勞動(dòng)，在勞動(dòng)中提升綜合素質(zhì)，某校定期開展勞動(dòng)實(shí)踐活動(dòng).甲、乙兩班在一

次體驗(yàn)挖土豆的活動(dòng)中，甲班挖1500千克土豆與乙班挖1200千克土豆所用的時(shí)間相同.已知甲班平均每小時(shí)

比乙班多挖100千克土豆，問乙班平均每小時(shí)挖多少千克土豆？

【答案】乙班每小時(shí)挖400千克的土豆

【解析】

【分析】設(shè)乙班每小時(shí)挖x千克的土豆，則甲班每小時(shí)挖(100+x)千克的土豆，根據(jù)題意列出分式方程即可求

解.

【詳解】設(shè)乙班每小時(shí)挖x千克的土豆，則甲班每小時(shí)挖(100+x)千克的土豆，

15001200

根據(jù)題意有:

尤+ioo—一T"

解得：A-400,

經(jīng)檢驗(yàn)，x=400是原方程的根,

故乙班每小時(shí)挖400千克的土豆.

【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用，明確題意列出分式方程是解答本題的關(guān)鍵.

18.如圖①、圖②、圖③均是5x5的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的邊長均為1,其頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，AABC的頂

點(diǎn)均在格點(diǎn)上.只用無刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中，按下列要求作圖，保留作圖痕跡.

(1)網(wǎng)格中AABC的形狀是；

(2)在圖①中確定一點(diǎn)￡>,連結(jié)05、DC,使△DBC與AABC全等：

(3)在圖②中AABC的邊3c上確定一點(diǎn)E,連結(jié)AE，使△ABESACBA：

(4)在圖③中AABC的邊A8上確定一點(diǎn)P，在邊8c上確定一點(diǎn)。，連結(jié)PQ,使APBO^AABC,且相

似比為1：2.

【答案】(1)直角三角形

(2)見解析(答案不唯一)

(3)見解析(4)期解析

【解析】

【分析】Q)運(yùn)用勾股定理分別計(jì)算出AB,AC,BC的長，再運(yùn)用勾股定理逆定理進(jìn)行判斷即可得到結(jié)論;

(2)作出點(diǎn)A關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)D,連接BD,CD即可得出ADBC與AABC全等:

(3)過點(diǎn)A作AEXBC于點(diǎn)E,則可知AABE^ACBA；

(4)作出以AB為斜邊的等腰直角三角形，作出斜邊上的高，交AB于點(diǎn)P,交BC于點(diǎn)Q,則點(diǎn)P,Q即為

所求.

【小問1詳解】

AB2=42+22=20,AC2=22+12=5,BC2=52=25

???AB2+AC2=BC2,

：.△ABC是直角三角形，

故答案為：直角三角形；

【小問2詳解】

如圖，點(diǎn)D即為所求作，使△O3C與AABC全等:

如圖所示，點(diǎn)E即為所作，且使△ABEsaCBA：

【小問4詳解】

如圖，點(diǎn)P,Q即為所求，使得△「BQS/XABC,且相似比為1：2.

B

【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，勾股定理逆定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定，相似三角

形的判定，熟練掌握相關(guān)定理是解答本題的關(guān)鍵.

19.如圖，在中，ZABC^90°,點(diǎn)。是AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)。作DE_LAC交于點(diǎn)

E.延長至點(diǎn)尸，使得DF=DE，連接AE、AF>CF.

F

\\

BEC

(1)求證：四邊形AEC產(chǎn)是菱形；

BE1

(2)若——=一，貝ijtanNBCF的值為.

EC4

【答案】(1)見解析(2)后

【解析】

【分析】(1)根據(jù)對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形即可得證；

(2)設(shè)=則EC=4a,根據(jù)菱形的性質(zhì)可得AE=EC=W,AE//FC，勾股定理求得AB,根

AD

據(jù)ZBCF=NB區(qū)4,tanZBCF=tanZBEA=——，即可求解.

BE

【小問i詳解】

證明：.?=DE=DF，

二四邊形AECF是平行四邊形，

■:DELAC,

???四邊形AEC產(chǎn)是菱形；

【小問2詳解】

BE1

解：?,--=->

EC4

設(shè)3E=a,則EC=4?,

???四邊形AECF是菱形;

:.AE=EC=4a,AE//FC,

NBCF=ZBEA,

在RtAABE中，AB=yjAE2-BE2=-a2=,

tanABCF=tanZBEA=—==V15.

BEa

故答案為：y/]5.

【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)，勾股定理，求正切，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

20.黨的十八大以來，我國把科技自立自強(qiáng)作為國家發(fā)展的戰(zhàn)略支撐，科技事業(yè)發(fā)生了歷史性、整體性、格局

性變化，成功跨入創(chuàng)新型國家的行列，專利項(xiàng)目多項(xiàng)指數(shù)顯著攀升.如圖是長春市2016年到2020年專利授權(quán)

情況的統(tǒng)計(jì)圖.

O專利授權(quán)信(單位:件)

(1)長春市從2016年到2020年，專利授權(quán)量最多的是年：

(2)長春市從2016年到2020年，專利授權(quán)量年增長率的中位數(shù)是;

(3)與2019年相比，2020年長春市專利授權(quán)量增加了件，專利授權(quán)量年增長率提高了個(gè)百

分點(diǎn)；(注：1%為1個(gè)百分點(diǎn))

(4)根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖提供的信息，有下列說法，正確的畫“4”，錯(cuò)誤的畫“x”.

①因?yàn)?019年的專利授權(quán)量年增長率最低，所以2019年的專利授權(quán)量的增長量就最小.()

②與2018年相比，2019年的專利授權(quán)量年增長率雖然下降，但專利授權(quán)量仍然上升.這是因?yàn)閷＠跈?quán)量年

增長率=當(dāng)年專利￥權(quán)±二;￡利授權(quán)量xIQ%,所以只要專利授權(quán)量年增長率大于零，當(dāng)年專利

上一年專4利授權(quán)量

授權(quán)量就一定增加.()

③通過統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，可以看出長春市區(qū)域科技創(chuàng)新力呈上升趨勢(shì)，為國家科技自立自強(qiáng)貢獻(xiàn)吉林力量?()

【答案】(1)2020

(2)18.1%(3)5479,30.2

(4)①X,②③J

【解析】

【分析】(1)觀察統(tǒng)計(jì)圖可得專利授權(quán)量最多的是2020年，即可求解；

(2)先把專利授權(quán)量年增長率從小到大排列，即可求解；

(3)分別用2020年長春市專利授權(quán)量減去2019年長春市專利授權(quán)量，2020年專利授權(quán)量年增長率減去2019

年專利授權(quán)量年增長率，即可求解；

(4)①根據(jù)題意可得2017年的的專利授權(quán)量的增長量低于2019年的，可得①錯(cuò)誤；②根據(jù)專利授權(quán)量年增

當(dāng)年專利授權(quán)量_上一年專利授權(quán)量

長率=口中<隹僅僅學(xué)，七二隹僅伏上xl00%,可得②正確；③觀察統(tǒng)計(jì)圖可得從2016年到2020

上一年專利授權(quán)量

年，每年的專利授權(quán)量都有所增加，可得③正確，即可求解.

【小問1詳解】

解：根據(jù)題意得：從2016年到2020年，專利授權(quán)量最多的是2020年；

故答案為：2020

【小問2詳解】

解:把專利授權(quán)量年增長率從小到大排列為：15.8%,16.0%,18.1%,25.4%,46.0%,

位于正中間的是18.1%,

專利授權(quán)量年增長率的中位數(shù)是18.1%；

故答案為：18.1%

【小問3詳解】

解：與2019年相比，2020年長春市專利授權(quán)量增加了17373-11894=5479件；

專利授權(quán)量年增長率提高了46.0%-15.8%=30.2%,

專利授權(quán)量年增長率提高了302個(gè)百分點(diǎn)；

故答案為：5479,30.2

【小問4詳解】

解：①因?yàn)?017年的專利授權(quán)量的增長量為8190-7062=1128件；2019年的專利授權(quán)量的增長量11894-

10268=1626件,

所以2019年的專利授權(quán)量的增長量高于2017年的專利授權(quán)量的增長量，故①錯(cuò)誤；

故答案為：X

當(dāng)年專利授權(quán)量-上一年專利授權(quán)量

②因?yàn)閷＠跈?quán)量年增長率=X100%,

上一年專利授權(quán)量

所以只要專利授權(quán)量年增長率大于零，當(dāng)年專利授權(quán)量就一定增加，故②正確；

故答案為：J

根據(jù)題意得：從2016年到2020年，每年的專利授權(quán)量都有所增加，

所以長春市區(qū)域科技創(chuàng)新力呈上升趨勢(shì)，故③正確；

故答案為：V

【點(diǎn)睛】本題主要考查了折線統(tǒng)計(jì)圖和條形統(tǒng)計(jì)圖，理解統(tǒng)計(jì)圖中數(shù)據(jù)之間的關(guān)系是正確解答的關(guān)鍵.

21.己知力、8兩地之間有一條長440千米的高速公路.甲、乙兩車分別從4、B兩地同時(shí)出發(fā)，沿此公路相

向而行，甲車先以100千米/時(shí)的速度勻速行駛200千米后與乙車相遇，再以另一速度繼續(xù)勻速行駛4小時(shí)到

達(dá)B地；乙車勻速行駛至A地，兩車到達(dá)各自的目的地后停止.兩車距A地的路程y（千米）與各自的行駛時(shí)

間x（時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示.

（2）求兩車相遇后，甲車距4地的路程y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（3）當(dāng)乙車到達(dá)A地時(shí)，求甲車距A地的路程.

【答案】（1）2.6（2）甲車距A地的路程y與x之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=60x+80

（3）300千米

【解析】

【分析】（1）先根據(jù)甲乙兩車相遇時(shí)甲車行駛的路程除以速度可求出〃，的值，再用，”的值加4即可得〃的

值；

（2）由（1）得（2,200）和（6,440）,再運(yùn)用待定系數(shù)法求解即可；

（3）先求出乙車的行駛速度，從而可求出行駛時(shí)間，代入函數(shù)關(guān)系式可得結(jié)論.

【小問1詳解】

根據(jù)題意得，加=200+100=2（時(shí)）

〃=加+4=2+4=6（時(shí)）

故答案為：2.6；

【小問2詳解】

由（1）得（2,200）和（6,440）,

設(shè)相遇后，甲車距A地的路程），與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y="+〃

'2k+b=2QQ

則有：必+…，

女=60

解得,

工=80

甲車距A地的路程y與x之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=60x+80

【小問3詳解】

甲乙兩車相遇時(shí)，乙車行駛的路程為440-200=240千米，

，乙車的速度為：240+2=120（千米/時(shí)）

，乙車行完全程用時(shí)為：440-^120=—（時(shí)）

3

11c

?：—>2

3

.,.當(dāng)x=一時(shí)，y=60x—(■80=300千米,

33

即：當(dāng)乙車到達(dá)A地時(shí)，甲車距A地的路程為300千米

【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，讀懂圖象是解答本題的關(guān)鍵.

22.【探索發(fā)現(xiàn)】在一次折紙活動(dòng)中，小亮同學(xué)選用了常見的44紙，如圖①，矩形A8CO為它的示意圖.他

查找了A4紙的相關(guān)資料.，根據(jù)資料顯示得出圖①中4。=拒46.他先將A4紙沿過點(diǎn)4的直線折疊，使點(diǎn)

B落在上，點(diǎn)8的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E,折痕為■：再沿過點(diǎn)尸的直線折疊，使點(diǎn)C落在所上，點(diǎn)C的對(duì)

應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)“，折痕為尸G；然后連結(jié)4G,沿AG所在的直線再次折疊，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)。與點(diǎn)F重合，進(jìn)而猜想

^ADG^^AFG.

【問題解決】

(1)小亮對(duì)上面△APGgAAFG的猜想進(jìn)行了證明，下面是部分證明過程：

證明：四邊形A8CZ)是矩形，

:.ZBAD=ZB=ZC=Z￡>=90°.

由折疊可知，ABAF=-ZBAD=45°,ZBFA^ZEFA.

2

:.ZEFA^ZBFA=45°.

???AF=叵AB=AD-

請(qǐng)你補(bǔ)全余下的證明過程.

【結(jié)論應(yīng)用】

(2)NZMG的度數(shù)為度，生■的值為:

AF

(3)在圖①的條件下，點(diǎn)P在線段A尸上，且AP=；A2,點(diǎn)Q在線段AG上，連結(jié)FQ、PQ,如圖②,

設(shè)鉆=a,則/Q+PQ的最小值為.(用含。的代數(shù)式表示)

【答案】(1)見解析⑵22.5°,&-1.

(3)叵a

2

【解析】

【分析】（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)可得AO=AF,ZAFG=ZE>=90°,由HL可證明結(jié)論；

（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)可得NNMG=‘ND4尸=22.5°;證明AGCb是等腰直角三角形，可求出GF的長，從

2

而可得結(jié)論；

（3）根據(jù)題意可知點(diǎn)F與點(diǎn)。關(guān)于AG對(duì)稱，連接尸￡>,則為PQ+F。最小值，過點(diǎn)尸作PR求

出P/?=AR=Y￡a，求出OR,根據(jù)勾腰定理可得結(jié)論.

4

【小問1詳解】

證明：四邊形ABC。矩形，

:.NBAD=NB=NC=ND=90°.

由折疊可知，ZBAF=-ZBAD=45°,ZBFA^ZEFA.

2

：.ZEFA=ZBFA^45°.

AF=V2A5=AD-

由折疊得，NCFG=NGFH=45。,

：.ZAFG=ZAFE+ZGFE=45°+45°=90°

，ZAFG=N￡>=90°

XAD=AF,AG=AG

：.AADG^AAFG

【小問2詳解】

由折疊得，ZBAF=ZE4F,

又/區(qū)4尸+/￡4尸=90°

ZEAF=-NBAE=-x90°=45°,

22

由AADGgAAFG得，ZDAG=NE4G=-NFAD=-x45°=22.5°,

22

NAFG=NADG=9（）°,

又NAFB=45°

.?.NGFC=45°,

r.ZFGC=45°,

r.GC=FC.

設(shè)A6=x，則6R=X,AP=&X=AO=8C,

FC=BC-BF=6x-x=（6-l）x

GF=y/2FC=(2-y/2)x

.工包四地八

AFyJ2x

【小問3詳解】

如圖，連接ED,

DG=FG

.?.AG是尸。的垂直平分線，即點(diǎn)尸與點(diǎn)。關(guān)于AG軸對(duì)稱,

連接PD交AG于點(diǎn)Q,則PQ+FQ的最小值為PD的長；

過點(diǎn)P作PR_LAD交AO于點(diǎn)尺

<?,NDAF=NBAF=45°

???/”/?=45°.

:?AR=PR

2

22

又AR+PR2=AP=(92=￡_

:.AR=PR=—a,

4

，DR=AD-AR=y/2a--a=-y[2a

44

在Rt/SDPR中，D產(chǎn)=AR2+PR2

DP=JAR?+PR?=J(^a)2+(^a)2=^a

.?.PQ+FQ的最小值為

2

【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，最短路徑問題，矩形的性質(zhì)以及勾股定理等

知識(shí)，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解答本題的關(guān)鍵.

23.如圖，在口A8CO中，A3=4，AD=BD=A，點(diǎn)M為邊A5的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)A出發(fā)，沿折線

A￡>-￡)3以每秒J百個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，連結(jié)尸M.作點(diǎn)A關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)4,連結(jié)

A'P，A!M.設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，秒.

D

2W

/MB

(1)點(diǎn)D到邊AB的距離為；

(2)用含，的代數(shù)式表示線段DP的長；

(3)連結(jié)AO，當(dāng)線段A'Z)最短時(shí)，求△OR#的面積；

(4)當(dāng)M、A，、C三點(diǎn)共線時(shí)，直接寫出f的值.

【答案】(1)3(2)當(dāng)0W/W1時(shí)，=?；當(dāng)1<W2時(shí)，PD=y/13t->/13;

⑶3

5

(4)2或空

311

【解析】

【分析】Q)連接。M,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得再由勾股定理，即可求解；

(2)分