四川省綿陽市三臺中學校2023-2024學年高三上學期第二學月測試理科數(shù)學試題

秘密★啟用前【考試時間：2023年10月11日下午14:4016:40】高中2021級高三第二學月測試理科數(shù)學本試卷分為試題卷和答題卡兩部分，其中試題卷由第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）組成，共4頁；答題卡共6頁.滿分150分，考試時間120分鐘.注意事項：1.答題前，考生務必將自己的學校、班級、姓名用毫米黑色簽字筆填寫清楚，同時用2B鉛筆將考號準確填涂在“考號”欄目內(nèi).2.選擇題使用2B鉛筆填涂在答題卡對應題目標號的位置上，如需改動，用橡皮擦擦干凈后再選涂其它答案；非選擇題用毫米黑色簽字筆書寫在答題卡的對應框內(nèi)，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效.3.考試結(jié)束后將答題卡收回.第Ⅰ卷（選擇題，共60分）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題意要求的.1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】解分式不等式化簡集合，再利用集合的交集運算即可得解.【詳解】因為，，所以.故選：A．2.執(zhí)行如圖所示程序框圖，則輸出的n為（）A.4 B.5 C.6 D.7【答案】B【解析】【分析】根據(jù)循環(huán)的功能，一一循環(huán)驗證，直至，終止循環(huán)，輸出結(jié)果.【詳解】解：因為，，第一次執(zhí)行循環(huán)體，得，；第二次執(zhí)行循環(huán)體，得，；第三次執(zhí)行循環(huán)體，得，；第四次執(zhí)行循環(huán)體，得，，則輸出．故選：B．3.已知正數(shù)滿足，則的最小值為（）A.5 B. C.4 D.【答案】B【解析】【分析】首先乘以，然后根據(jù)基本不等式求解；【詳解】因為，則，當且僅當，即時取等號,故選：．4.若四邊形是邊長為2的菱形，，分別為的中點，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用平面向量的線性運算和數(shù)量積運算解答.【詳解】因為四邊形是邊長為2的菱形，，所以.所以故選：A5.已知函數(shù)的圖像大致為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用排除法求解，先判斷函數(shù)的奇偶性，再取特殊值根據(jù)函數(shù)圖象的變化趨勢判斷【詳解】定義域為，因為，所以為奇函數(shù)，所以其圖象關于原點對稱，所以排除CD，當，，當時，的增加幅度遠大于的變化幅度，則時，，所以排除B，故選：A6.已知實數(shù)，滿足，則下列各項中一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由，可得，根據(jù)不等式的性質(zhì)即可判斷A；根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性即可判斷B；根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及換底公式即可判斷C；根據(jù)指數(shù)函數(shù)及冪函數(shù)的單調(diào)性即可判斷D.【詳解】因為，所以，則，故A錯誤；當時，，所以，故B錯誤；因為，所以，所以，即，故C錯誤；因為，所以，即，故D正確.故選：D.7.某程序研發(fā)員開發(fā)的小程序在發(fā)布時已有1000名初始用戶，經(jīng)過t天后，用戶人數(shù)，其中k和m均為常數(shù)．已知小程序發(fā)布經(jīng)過10天后有4000名用戶，則用戶超過2萬名至少經(jīng)過的天數(shù)為（）（天數(shù)按整數(shù)算，?。?A.20 B.21 C.22 D.23【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題中條件求得參數(shù)，繼而列出不等式，結(jié)合對數(shù)的運算，即可求得答案.【詳解】由題意知，當時，，又因為小程序發(fā)布經(jīng)過10天后有4000名用戶，所以，令，所以，故用戶超過2萬名至少經(jīng)過的天數(shù)為22，故選：C8.已知等比數(shù)列的前n項和為，若，則（）A.12 B.36 C.31 D.33【答案】C【解析】【分析】由等比數(shù)列的分段和性質(zhì)列方程即可解得.【詳解】因為等比數(shù)列的前n項和為，且，所以不妨設則.由分段后性質(zhì)可知：構(gòu)成等比數(shù)列.由，即，解得：.所以.故選：C9.“”是“函數(shù)在上單調(diào)遞增”的（）條件A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要【答案】A【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)在上單調(diào)遞增求出的取值范圍，再判斷充分性與必要性即可.【詳解】因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以時恒成立且在上單調(diào)遞增，所以，則是“函數(shù)在上單調(diào)遞增”的充分不必要條件.故選：A10.若偶函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，則不等式的解集為（

）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)，不等式變形為，由函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，求出在上單調(diào)遞增，且，分與兩種情況進行求解，得到答案.【詳解】因為為偶函數(shù)，所以，所以，且，因為在上單調(diào)遞減，且，所以在上單調(diào)遞增，且，當時，則，故，當時，則，故，綜上：的解集為.故選：B11.已知函數(shù)在定義域上導函數(shù)為，若方程無解，且，當在上與在上的單調(diào)性相同時，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】等價轉(zhuǎn)化為在上恒成立，再分離參數(shù)即可.【詳解】因為方程無解，所以函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，因此由，得(為常數(shù))，即為單調(diào)增函數(shù)，因此在上恒成立.即在上恒成立.，因此，故選：A.12.已知函數(shù)，若有兩個極值點、且，則實數(shù)a的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】有兩個極值點，則方程有兩個實根，設，利用導數(shù)研究單調(diào)性，作出函數(shù)圖像，可知，，隨a的減小而增大，當時解得，可求實數(shù)a的取值范圍.【詳解】，有兩個極值點，則有兩個零點，即方程有兩個實根，也即方程有兩個實根，令，則，所以解得，解得，從而在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，時；時，，據(jù)此可作出函數(shù)的圖像如下：首先當且僅當時，直線與函數(shù)的圖象有兩個交點，其次，由圖可知，且當時，隨a的減小而增大，不妨考慮的情形，此時，因為，所以，將代入得：，兩式相除得，故，即．所以當且僅當時，有兩個極值點、且．故選：A第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案直接填答題卷的橫線上.13.設x，y滿足條件，則的最大值為__________．【答案】4【解析】【分析】作出不等式組表示的平面區(qū)域，再利用目標函數(shù)的幾何意義求解作答.【詳解】不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影（含邊界），其中，目標函數(shù)，即表示斜率為，縱截距為的平行直線系，畫直線，平移直線到直線，當直線過點時，直線的縱截距最大，最大，，所以的最大值為4.故答案為：414.若向量，且，則__________．【答案】【解析】【分析】利用向量的坐標運算及向量共線的坐標表示，列式求出即可得解.【詳解】依題意，，由，得，解得，所以.故答案為：15.已知，則___．【答案】【解析】【分析】根據(jù)角的變換，利用誘導公式求解.【詳解】，故答案為：16.已知函數(shù)，對都有，且是的一個零點.若在上有且只有一個零點，則的最大值為__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)余弦型函數(shù)的基本性質(zhì)可得出關于、的方程組，解出、的表達式，再結(jié)合函數(shù)與方程的關系，將問題轉(zhuǎn)化為存在唯一的，使得函數(shù)取到最大值，且，結(jié)合三角函數(shù)的基本性質(zhì)，求出的范圍，由大到小進項檢驗，即可求得的最大值.【詳解】因為函數(shù)，對都有，且是的一個零點，則，解得,因為函數(shù)在上有且只有一個零點，則方程在上有且只有一個根，因為，所以，存在唯一的，使得函數(shù)取到最大值，且，則，解得，令，則，且，所以，、的奇偶性相同，由可得，解得，即，當時，，為奇數(shù)，則，所以，，由可得，此時，當或時，函數(shù)取最大值，不合乎題意；當時，，為偶數(shù)，，即，由可得，此時，當時，函數(shù)取最大值，合乎題意.綜上所述，的最大值為.故答案為：.【點睛】思路點睛：三角函數(shù)圖象與性質(zhì)問題的求解思路：（1）將函數(shù)解析式變形為或的形式；（2）將看成一個整體；（3）借助正弦函數(shù)或余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)（如定義域、值域、最值、周期性、對稱性、單調(diào)性等）解決相關問題.三、解答題：共70分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.第1721題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.已知數(shù)列滿足.等比數(shù)列的公比為3，且.（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）記，求數(shù)列前項和.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)數(shù)列的遞推公式和等比數(shù)列的定義即可求出數(shù)列通項；（2）根據(jù)分組求和與裂項求和法以及等比數(shù)列的求和公式即可求出【小問1詳解】數(shù)列滿足，是以為首項，為公差的等差數(shù)列，，，等比數(shù)列的公比為3，且，，【小問2詳解】，18.已知函數(shù)（，）.已知的最大值為1，且的相鄰兩條對稱軸之間的距離為（1）求函數(shù)的解析式及在的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若將函數(shù)圖象上點縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼?，再向右平移單位，得到函?shù)的圖象，若在區(qū)間上的最小值為，求m的最大值.【答案】（1）；，（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題干中所給條件求出解析式，然后求其單調(diào)區(qū)間即可.（2）根據(jù)的平移變換求出表達式，然后根據(jù)區(qū)間上的最小值為，求m的最大值.【小問1詳解】，，解得；，即，解得；；令，得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（）；所以在的單調(diào)遞增區(qū)間為，【小問2詳解】將函數(shù)圖象上的點縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼模玫降膱D象，再向右平移單位，得到函數(shù)的圖象，即；因為，所以，因為在區(qū)間上的最小值為，所以，解得.所以的最大值為.19.在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知．（1）求角A的大?。唬?）若，求BC邊上中線AD長的最小值．【答案】（1）（2）1【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊化角，再根據(jù)三角恒等變換化簡求解即可；（2）由余弦定理可得，再根據(jù)兩邊平方化簡可得，聯(lián)立可得，再根據(jù)基本不等式求最值即可【小問1詳解】因為，所以，所以．因為，所以．因為，所以．【小問2詳解】在中，由余弦定理得，所以，①因為為邊上的中線，所以，所以，②由①得，③代入②得，④由③得，所以，當且僅當即時取等號，代入④得，所以，長的最小值為1．20.已知函數(shù)的圖象過點，且在點P處的切線恰好與直線垂直.（1）求函數(shù)的解析式；（2）若函數(shù)的圖象與拋物線恰有三個不同交點，求m的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)圖象過點及導數(shù)的幾何意義列方程求解即可；（2）構(gòu)造差函數(shù)，從而只需函數(shù)有三個零點即可，求導，求極值即可求解.【小問1詳解】因為的圖象經(jīng)過點，所以，又，則，由條件，即，解得，代入解得，故；【小問2詳解】由（1）知：，令，則原題意等價于圖象與軸有三個交點.因為，100極大極小所以在時取得極大值，在時取得極小值，依題意得，解得，故m的取值范圍為.21.已知函數(shù)．（1）若在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求的取值范圍；（2）若有兩個不同的極值點，且則存在，使得成立．求的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）轉(zhuǎn)化為恒成立，再利用導數(shù)求出最小值代入可求出結(jié)果；（2）先推出，，再將不等式化為恒成立，根據(jù)右邊構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)求出最大值即可得解.【小問1詳解】的定義域為，，在定義域內(nèi)單調(diào)遞增當時，恒成立，若恒成立，若，設，，當時，，當時，，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，故．綜上.【小問2詳解】，因為存在兩個極值點且，則為方程的兩個根，即為的兩根，因為，且．所以且，，因為，則，設，則；令，則，當時，，為減函數(shù)，所以當時，，∴當時，，即；∴單調(diào)遞增，則，∴.【點睛】結(jié)論點睛：本題考查不等式的恒成立與有解問題，可按如下規(guī)則轉(zhuǎn)化：一般地，已知函數(shù)，（1）若，總有成立，故；（2）若，總有成立，故；（3）若，使得成立，故；（4）若，使得，故.（二）選考題：共10分.請考生在22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題記分.[選修44：坐標系與參數(shù)方程]22.如圖，在極坐標系中，圓的半徑為，半徑均為的兩個半圓弧所在圓的圓心分別為，，是半圓弧上的一個動點，是半圓弧上的一個動點.（1）若，求點的極坐標；（2）若點是射線與圓的交點，求面積的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)圖形關系可確定，極角，由此可得點的極坐標；（2）利用表示出和，代入三角形面積公式，結(jié)合三角恒等變換知識可化簡得到，結(jié)合正弦型函數(shù)值域可求得結(jié)果.【小問1詳解】由知：，，點的極角為，點的極坐標為.【小問2詳